哈密顿力学

Learning objectives / 学习目标

完成本课后，你应当能够：

1. 在速度 Hessian 非奇异的条件下完成 Legendre 变换，并说明奇异情形为什么不能直接反演。
2. 从 \(dH\) 或相空间作用量推导 Hamilton canonical equations。
3. 区分 Hamiltonian、Lagrangian energy function 与机械能，并正确陈述守恒条件。
4. 用 Hamiltonian vector field 证明 Liouville theorem，解释“体积不变”不等于“形状不变”。
5. 固定 Poisson bracket 符号约定，计算时间演化、守恒量和无穷小生成元。
6. 检验 canonical transformation，使用 generating function，并建立 Hamilton–Jacobi equation。

0. Canonical notation and dimensions / 正则记号与量纲

定义相空间坐标

\[\mathbf z = \begin{pmatrix} \mathbf q\\ \mathbf p \end{pmatrix}, \qquad \mathbf J = \begin{pmatrix} \mathbf 0&\mathbf I\\ -\mathbf I&\mathbf 0 \end{pmatrix}.\]

Knowledge 1 — Legendre transformation and Hamiltonian / 勒让德变换与哈密顿量

Knowledge ID: P01-U09-L03-K01

1.1 From velocities to momenta

从

\[p_i=\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}\]

定义速度 Hessian

\[\boxed{ W_{ij} \equiv \frac{\partial^2L} {\partial\dot q_i\partial\dot q_j} }.\]

若

\[\boxed{\det\mathbf W\ne0},\]

逆函数定理保证至少局部可把速度写成

\[\dot q_i=\dot q_i(\mathbf q,\mathbf p,t).\]

Hamiltonian 是对速度变量的 Legendre transform：¹

\[\boxed{ H(\mathbf q,\mathbf p,t) =\sum_i p_i\dot q_i-L(\mathbf q,\dot{\mathbf q},t) },\]

右端最后必须把 \(\dot{\mathbf q}\) 全部消去。

1.2 Regular versus singular maps

若 \(\det\mathbf W=0\)，不同速度可能给同一组 \(p_i\)，或动量之间出现 constraint。此时直接写 \(H=\sum p_i\dot q_i-L\) 但仍保留无法消去的速度，并不构成合法 Hamiltonian。

1.3 Differential identity and the energy caveat

对正则变换，

\[\begin{aligned} dH &=\sum_i \left( \dot q_i\,dp_i+p_i\,d\dot q_i \right) -\sum_i \left( \frac{\partial L}{\partial q_i}dq_i +\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}d\dot q_i \right) -\frac{\partial L}{\partial t}dt\\ &= \sum_i\dot q_i\,dp_i -\sum_i\frac{\partial L}{\partial q_i}dq_i -\frac{\partial L}{\partial t}dt. \end{aligned}\]

由 \(p_i=L_{\dot q_i}\)，\(d\dot q_i\) 项恰好抵消。

对 natural Lagrangian

\[L=T(\mathbf q,\dot{\mathbf q})-V(\mathbf q),\]

且 \(T\) 是速度的齐次二次型时，

\[H=2T-(T-V)=T+V.\]

Worked Example 1 — Legendre transform in polar coordinates

\[L= \frac12m \left( \dot r^2+r^2\dot\phi^2 \right) -V(r).\]

共轭动量为

\[p_r=m\dot r, \qquad p_\phi=mr^2\dot\phi.\]

反演并代入：

\[\boxed{ H= \frac{p_r^2}{2m} +\frac{p_\phi^2}{2mr^2} +V(r) }.\]

取 \(m=0.500\ \mathrm{kg}\)、\(r=2.00\ \mathrm m\)、\(\dot r=3.00\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)、\(\dot\phi=4.00\ \mathrm{rad\,s^{-1}}\)、\(V=5.00\ \mathrm J\)：

\[p_r=1.50\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}, \qquad p_\phi=8.00\ \mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}},\]

\[H=2.25+16.0+5.00=23.25\ \mathrm J.\]

Knowledge 2 — Hamilton's canonical equations / 哈密顿正则方程

Knowledge ID: P01-U09-L03-K02

2.1 Derivation from \(dH\)

沿物理轨迹，Euler–Lagrange 方程给出

\[\dot p_i=\frac{\partial L}{\partial q_i}.\]

将其与上节的 \(dH\) 和一般全微分

\[dH =\sum_i\frac{\partial H}{\partial q_i}dq_i +\sum_i\frac{\partial H}{\partial p_i}dp_i +\frac{\partial H}{\partial t}dt\]

逐项比较：

\[\boxed{ \dot q_i=\frac{\partial H}{\partial p_i}, \qquad \dot p_i=-\frac{\partial H}{\partial q_i} }.\]

同时

\[\boxed{ \left. \frac{\partial H}{\partial t} \right|_{\mathbf q,\mathbf p} =- \left. \frac{\partial L}{\partial t} \right|_{\mathbf q,\dot{\mathbf q}} }.\]

Hamilton equations 是 \(2n\) 条一阶方程；初值是相空间中的一个点 \((\mathbf q_0,\mathbf p_0)\)。

2.2 Conservation of \(H\)

沿 Hamiltonian trajectory，

\[\frac{dH}{dt} =\sum_i \left( \frac{\partial H}{\partial q_i}\dot q_i +\frac{\partial H}{\partial p_i}\dot p_i \right) +\frac{\partial H}{\partial t} =\frac{\partial H}{\partial t}.\]

因此

\[\boxed{ \frac{\partial H}{\partial t}=0 \quad\Longrightarrow\quad H=\text{constant} }.\]

这是“无显式时间依赖”的充分条件；在特殊系统中，即便 \(H\) 显含 \(t\)，也可能存在别的守恒组合。

Worked Example 2 — Harmonic oscillator as phase-space rotation

\[H(q,p)=\frac{p^2}{2m}+\frac12m\omega^2q^2.\]

Hamilton equations：

\[\dot q=\frac{p}{m}, \qquad \dot p=-m\omega^2q.\]

消去 \(p\) 得 \(\ddot q+\omega^2q=0\)。固定能量曲线为

\[\frac{q^2}{A^2} +\frac{p^2}{(m\omega A)^2}=1.\]

取 \(m=0.200\ \mathrm{kg}\)、\(k=m\omega^2=5.00\ \mathrm{N\,m^{-1}}\)、\(A=0.100\ \mathrm m\)：

\[\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}=5.00\ \mathrm{rad\,s^{-1}}, \qquad T=\frac{2\pi}{\omega}=1.257\ \mathrm s,\]

\[E=\frac12kA^2=2.50\times10^{-2}\ \mathrm J, \qquad p_{\max}=m\omega A=0.100\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}.\]

Knowledge 3 — Phase space and Liouville's theorem / 相空间与刘维尔定理

Knowledge ID: P01-U09-L03-K03

3.1 Hamiltonian flow

\(n\) 自由度系统的 phase space 是 \(2n\) 维。Hamilton equations 可写成

\[\boxed{ \dot{\mathbf z} =\mathbf J\nabla_{\mathbf z}H }.\]

若 \(H\) 足够光滑且初值问题唯一，相空间轨线不能在同一时刻相交；一个相空间点已经包含完整的初始位置和动量。

3.2 Liouville theorem from zero divergence

Hamiltonian vector field 的相空间散度是²

\[\begin{aligned} \nabla_{\mathbf z}\cdot\dot{\mathbf z} &= \sum_i \left( \frac{\partial\dot q_i}{\partial q_i} +\frac{\partial\dot p_i}{\partial p_i} \right)\\ &= \sum_i \left( \frac{\partial^2H}{\partial q_i\partial p_i} -\frac{\partial^2H}{\partial p_i\partial q_i} \right) =0. \end{aligned}\]

这里使用了 \(H\in C^2\) 使混合偏导可交换。故随流运动的相空间区域 \(\Omega(t)\) 满足

\[\boxed{ \frac{d}{dt} \int_{\Omega(t)} d^nq\,d^np=0 }.\]

即使 \(H\) 显含时间，这个瞬时散度抵消仍成立。

3.3 Phase-space density

对 ensemble density \(\rho(\mathbf q,\mathbf p,t)\)，连续性方程是

\[\frac{\partial\rho}{\partial t} +\sum_i \left[ \frac{\partial}{\partial q_i}(\rho\dot q_i) +\frac{\partial}{\partial p_i}(\rho\dot p_i) \right]=0.\]

利用零散度：

\[\boxed{ \frac{d\rho}{dt} =\frac{\partial\rho}{\partial t}+\{\rho,H\}=0 }.\]

这表示沿每一条 Hamiltonian trajectory，fine-grained density 保持不变；coarse-grained density 仍可能因细丝化而看似趋于均匀。

Worked Example 3 — Free-particle shear

\[H=\frac{p^2}{2m} \quad\Longrightarrow\quad q(t)=q_0+\frac{p_0}{m}t, \qquad p(t)=p_0.\]

流映射 Jacobian 为

\[\frac{\partial(q,p)}{\partial(q_0,p_0)} = \begin{pmatrix} 1&t/m\\ 0&1 \end{pmatrix}, \qquad \det=1.\]

若初始矩形的 \(\Delta q_0=0.200\ \mathrm m\)、\(\Delta p_0=0.100\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}\)，则

\[\Delta\Gamma =\Delta q_0\Delta p_0 =2.00\times10^{-2}\ \mathrm{J\,s}\]

在任意 \(t\) 保持不变；矩形只会剪切成平行四边形。

Knowledge 4 — Poisson brackets and generators / 泊松括号与生成元

Knowledge ID: P01-U09-L03-K04

4.1 Sign convention

本笔记锁定

\[\boxed{ \{A,B\} \equiv \sum_i \left( \frac{\partial A}{\partial q_i} \frac{\partial B}{\partial p_i} - \frac{\partial A}{\partial p_i} \frac{\partial B}{\partial q_i} \right) }.\]

于是

\[\{q_i,q_j\}=0, \qquad \{p_i,p_j\}=0, \qquad \boxed{\{q_i,p_j\}=\delta_{ij}}.\]

换用相反的整体符号也是可能的教材 convention，但 Hamilton equations、生成元公式和基本 brackets 必须整体一致，不能混用。

4.2 Evolution and algebra

任意 \(A(\mathbf q,\mathbf p,t)\) 沿轨迹满足

\[\boxed{ \frac{dA}{dt} =\{A,H\}+\frac{\partial A}{\partial t} }.\]

因此不显含时间的 \(A\) 守恒当且仅当 \(\{A,H\}=0\)。Poisson bracket 具有：

\[\{A,B\}=-\{B,A\},\]

\[\{A,BC\}=\{A,B\}C+B\{A,C\},\]

\[\{A,\{B,C\}\} +\{B,\{C,A\}\} +\{C,\{A,B\}\}=0.\]

最后一式是 Jacobi identity，使 observables 在 bracket 下形成 Lie algebra。

4.3 Generators

由函数 \(G(\mathbf q,\mathbf p,t)\) 生成的无穷小 canonical transformation 定义为

\[\boxed{ \delta A=\varepsilon\{A,G\} }.\]

特别地，

\[\delta q_i=\varepsilon\frac{\partial G}{\partial p_i}, \qquad \delta p_i=-\varepsilon\frac{\partial G}{\partial q_i}.\]

• \(G=\mathbf a\cdot\mathbf p\) 生成空间平移；
• \(G=\boldsymbol\alpha\cdot\mathbf L\) 生成旋转；
• \(G=H\) 且 \(\varepsilon=dt\) 生成时间演化。

Worked Example 4 — Angular momentum algebra

在 Cartesian canonical variables 中

\[L_i=\varepsilon_{ijk}x_jp_k.\]

直接计算：

\[\boxed{ \{L_i,L_j\} =\varepsilon_{ijk}L_k }.\]

若 Hamiltonian rotationally invariant，例如

\[H=\frac{\mathbf p^2}{2m}+V(r),\]

则

\[\{L_i,H\}=0,\]

所以三个 \(L_i\) 都守恒。注意它们彼此不对易；\(\mathbf L^2\) 与任一分量则满足 \(\{\mathbf L^2,L_i\}=0\)。

Knowledge 5 — Canonical transformations and Hamilton–Jacobi theory / 正则变换与哈密顿—雅可比理论

Knowledge ID: P01-U09-L03-K05

5.1 What makes a transformation canonical?

变换

\[(\mathbf q,\mathbf p) \longrightarrow (\mathbf Q,\mathbf P)\]

若保持 Hamilton equations 的形式，就称 canonical。等价检验包括：

\[\{Q_i,Q_j\}=0, \qquad \{P_i,P_j\}=0, \qquad \{Q_i,P_j\}=\delta_{ij},\]

或对 Jacobian \(\mathbf M=\partial(\mathbf Q,\mathbf P)/\partial(\mathbf q,\mathbf p)\)，

\[\boxed{ \mathbf M^{\mathsf T}\mathbf J\mathbf M=\mathbf J }.\]

这比“Jacobian determinant 等于 1”更强。二维单自由度时，保持取向的有向面积保持（\(\det\mathbf M=+1\)）与 canonical 条件等价；若只说绝对面积不变，\(\det\mathbf M=-1\) 的反辛变换也会被误收。多自由度中仅保持总 \(2n\) 维体积仍不足够。

5.2 Generating function \(F_2(q,P,t)\)

若旧、新相空间作用量只差端点项，可取

\[p_i\,dq_i-H\,dt =-Q_i\,dP_i-K\,dt+dF_2(\mathbf q,\mathbf P,t).\]

比较系数：

\[\boxed{ p_i=\frac{\partial F_2}{\partial q_i}, \qquad Q_i=\frac{\partial F_2}{\partial P_i}, \qquad K=H+\frac{\partial F_2}{\partial t} }.\]

其他类型 generating functions 由 Legendre transforms 得到，符号随所选独立变量变化；不能把 \(F_1(q,Q,t)\) 与 \(F_2(q,P,t)\) 的导数规则混用。

5.3 Hamilton–Jacobi equation

寻找一个 time-dependent canonical transformation，使新 Hamiltonian³

\[K=0.\]

把 \(F_2\) 记作 Hamilton principal function \(S(\mathbf q,\boldsymbol\alpha,t)\)，其中新动量 \(P_i=\alpha_i\) 为常数。于是

\[\boxed{ H \left( \mathbf q, \frac{\partial S}{\partial\mathbf q}, t \right) +\frac{\partial S}{\partial t}=0 }.\]

并且

\[p_i=\frac{\partial S}{\partial q_i}, \qquad \beta_i=\frac{\partial S}{\partial\alpha_i},\]

其中 \((\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta)\) 是 \(2n\) 个积分常数。H–J theory 把常微分方程问题转成一阶非线性 PDE；它揭示 canonical structure，但不保证每个实际问题都更容易求解。

Worked Example 5 — Hamilton–Jacobi solution for a free particle

对

\[H=\frac{p^2}{2m},\]

Hamilton–Jacobi equation是

\[\frac{1}{2m} \left( \frac{\partial S}{\partial q} \right)^2 +\frac{\partial S}{\partial t}=0.\]

取分离解

\[\boxed{ S(q,\alpha,t) =\alpha q-\frac{\alpha^2}{2m}t }.\]

则

\[p=\frac{\partial S}{\partial q}=\alpha, \qquad \beta=\frac{\partial S}{\partial\alpha} =q-\frac{\alpha}{m}t.\]

所以

\[\boxed{ q(t)=\beta+\frac{\alpha}{m}t, \qquad p(t)=\alpha }.\]

若 \(m=2.00\ \mathrm{kg}\)、\(\alpha=6.00\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}\)、\(\beta=1.00\ \mathrm m\)，则

\[q(t)=(1.00\ \mathrm m)+(3.00\ \mathrm{m\,s^{-1}})t, \qquad H=\frac{6.00^2}{2(2.00)}=9.00\ \mathrm J.\]

6. Lesson synthesis / 全课整合

6.1 Structural chain

\[\boxed{ L(\mathbf q,\dot{\mathbf q},t) \xrightarrow[\det W\ne0]{\text{Legendre}} H(\mathbf q,\mathbf p,t) \xrightarrow{\mathbf J\nabla H} \text{phase-space flow} \xrightarrow{\{\cdot,\cdot\}} \text{generators and invariants} }\]

Canonical transformations then search for variables in which this flow is simpler; Hamilton–Jacobi theory seeks the limiting case \(K=0\).

6.2 Core equation sheet

\[p_i=L_{\dot q_i}, \qquad H=\sum_i p_i\dot q_i-L, \qquad \det L_{\dot q_i\dot q_j}\ne0,\]

\[\dot q_i=H_{p_i}, \qquad \dot p_i=-H_{q_i}, \qquad \frac{dH}{dt}=H_t,\]

\[\nabla_{\mathbf z}\cdot\dot{\mathbf z}=0, \qquad \dot A=\{A,H\}+A_t,\]

\[\mathbf M^{\mathsf T}\mathbf J\mathbf M=\mathbf J, \qquad H(\mathbf q,S_{\mathbf q},t)+S_t=0.\]

7. Misconception clinic / 易错概念诊所

8. Practice and retrieval / 练习与检索

A. Conceptual questions

1. \(\det\mathbf W\ne0\) 在 Legendre transform 中承担什么逻辑角色？
2. 为什么 \(H_t=-L_t\) 的两个偏导必须注明固定的变量不同？
3. Hamiltonian flow 为什么不会把一个有限相空间体积压缩为 attractor？
4. 为什么一个 dissipative oscillator 可以在 phase plane 螺旋进原点，而 autonomous Hamiltonian oscillator 不可以？
5. \(\{A,H\}=0\) 在 \(A\) 显含时间时是否足以保证 \(A\) 守恒？
6. 多自由度中为什么 \(\det\mathbf M=1\) 不足以证明变换 canonical？

B. Derivation and quantitative questions

7. 对 \(L=\frac12m\dot q^2+a(q)\dot q-V(q)\)， 求 \(p\) 与 \(H\)，并说明 canonical momentum 与 \(m\dot q\) 的差别。
8. 用 phase-space action \(\int(p_i\dot q_i-H)dt\) 变分推导 Hamilton equations。
9. 对 \(H=p^2/(2m)+mgq\)，解出 \(q(t),p(t)\)。
10. 证明一维缩放 \(Q=\lambda q,\ P=p/\lambda\) 是 canonical，而 \(Q=\lambda q,\ P=\lambda p\) 一般不是。
11. 计算 \(\{q^2,p^2\}\) 与 \(\{qp,H\}\)，其中 \(H=p^2/(2m)+kq^2/2\)。
12. 用 \(S=W(q)-Et\) 把 time-independent H–J equation 化为 \(H(q,dW/dq)=E\)。

Exit ticket

不查笔记，写出并解释：

1. Legendre regularity condition；
2. 两条 Hamilton equations；
3. Liouville zero-divergence identity；
4. 本课 Poisson bracket convention；
5. Hamilton–Jacobi equation。

9. References and source notes / 参考资料与使用说明

9.1 Source-to-content map

9.2 Bibliographic notes

1. Stewart, I. and MIT 8.09 course staff. Advanced Classical Mechanics, Chapters 1 and 4. 用于主公式、符号与正则变换论证。
2. Tong, D. Lectures on Classical Dynamics, Chapter 4: The Hamiltonian Formulation. Cambridge DAMTP；用于独立核对 Liouville、Poisson 与 H–J。
3. 本文图形全部由所列方程原创绘制，没有复制来源插图。