非线性动力学与混沌

Learning objectives / 学习目标

完成本课后，你应当能够：

1. 求 autonomous flow 的 fixed points，并用 Jacobian eigenvalues 作线性稳定性分类。
2. 说明线性化对 nonhyperbolic fixed point 为什么可能失效，并区分 Lyapunov stable 与 asymptotically stable。
3. 绘制 pendulum phase portrait，识别 center、saddle、libration、rotation 与 separatrix。
4. 识别 saddle-node、transcritical、pitchfork 与 Hopf bifurcation 的基本特征。
5. 从 harmonic balance 得到 Duffing response 的首阶振幅方程并解释弯曲与跳跃。
6. 定义 finite-time 与 asymptotic Lyapunov exponent，避免把 deterministic chaos 等同于随机噪声。
7. 构造 Poincaré section 和 return map，区分 periodic、quasiperiodic 与 chaotic signatures。

0. Dynamical-systems language / 动力系统语言

连续 autonomous system 写成

\[\boxed{ \dot{\mathbf x}=\mathbf F(\mathbf x;\mu) },\]

离散 map 写成

\[\boxed{ \mathbf x_{n+1}=\mathbf f(\mathbf x_n;\mu) }.\]

\(\mu\) 是 control parameter。时间连续流的 Jacobian eigenvalues 记为 \(\lambda_j\)；离散 map 的线性乘子记为 \(\Lambda_j\)，以免混淆稳定条件。

Knowledge 1 — Fixed points and stability / 不动点与稳定性

Knowledge ID: P01-U09-L04-K01

1.1 One-dimensional flows

对

\[\dot x=f(x),\]

不动点满足 \(f(x_*)=0\)。令 \(x=x_*+\xi\)：

\[\dot\xi=f'(x_*)\xi+O(\xi^2).\]

若 \(f'(x_*)\ne0\)，

\[\xi(t)\simeq\xi(0)e^{f'(x_*)t}.\]

因此

\[\boxed{ f'(x_*)<0\Rightarrow\text{asymptotically stable}, \qquad f'(x_*)>0\Rightarrow\text{unstable} }.\]

若 \(f'(x_*)=0\)，线性项不给答案，必须看更高阶项或构造 Lyapunov function。

1.2 Higher-dimensional Jacobian

在 \(\mathbf x_*\) 附近，

\[\dot{\boldsymbol\xi} =\mathbf A\boldsymbol\xi+O(\lVert\boldsymbol\xi\rVert^2), \qquad A_{ij} =\left. \frac{\partial F_i}{\partial x_j} \right|_{\mathbf x_*}.\]

若 fixed point 是 hyperbolic，即所有 eigenvalues 都满足 \(\operatorname{Re}\lambda_j\ne0\)：

• 全部 \(\operatorname{Re}\lambda_j<0\)：sink / asymptotically stable；
• 全部 \(\operatorname{Re}\lambda_j>0\)：source / unstable；
• 有正有负：saddle / unstable；
• 复共轭对的实部决定 spiral inward 或 outward。

纯虚 eigenvalues、零 eigenvalue 或 map multiplier 位于单位圆上时是 nonhyperbolic；非线性项可改变结论。

1.3 Lyapunov stability is not attraction

• Lyapunov stable: 对任意允许误差范围，都能选足够小的初始扰动，使轨迹永远留在该范围内。
• Asymptotically stable: Lyapunov stable，且邻近轨迹还满足 \(\mathbf x(t)\to\mathbf x_*\)。
• Hamiltonian oscillator 的 center 可 Lyapunov stable，却不会吸引邻近相轨线；Liouville theorem 禁止有限体积收缩成点。

Worked Example 1 — Supercritical pitchfork stability

考虑有量纲模型

\[\dot x=\mu x-\beta x^3, \qquad \beta>0.\]

fixed points：

\[x_0=0, \qquad x_\pm=\pm\sqrt{\frac{\mu}{\beta}} \quad(\mu>0).\]

因为

\[f'(x)=\mu-3\beta x^2,\]

所以 \(x_0\) 在 \(\mu<0\) 稳定、\(\mu>0\) 不稳定；\(x_\pm\) 在出现后满足 \(f'(x_\pm)=-2\mu<0\)，稳定。

若 \(\mu=4.00\ \mathrm{s^{-1}}\)、\(\beta=1.00\ \mathrm{m^{-2}\,s^{-1}}\)：

\[x_\pm=\pm2.00\ \mathrm m, \qquad f'(x_\pm)=-8.00\ \mathrm{s^{-1}}.\]

局部扰动按 \(e^{-8.00t}\) 衰减，e-folding time 为 \(0.125\ \mathrm s\)。

Knowledge 2 — Phase portraits and separatrices / 相图与分界轨道

Knowledge ID: P01-U09-L04-K02

2.1 Phase portrait

phase portrait 是状态空间中许多初值的轨线集合。对光滑 autonomous ODE，若解唯一，两条轨线不能在同一状态点相交；否则同一个初值会有两个未来。

2.2 Nonlinear pendulum

无阻尼摆：

\[\dot\theta=\omega, \qquad \dot\omega=-\omega_0^2\sin\theta, \qquad \omega_0=\sqrt{\frac{g}{\ell}}.\]

每单位 \(m\ell^2\) 的守恒能量为

\[\boxed{ \mathcal H =\frac12\omega^2+\omega_0^2(1-\cos\theta) }.\]

fixed points：

\[(\theta,\omega)=(2k\pi,0) \quad\text{centers},\]

\[(\theta,\omega)=((2k+1)\pi,0) \quad\text{saddles}.\]

2.3 Separatrix

通过 saddle 的 stable/unstable manifolds 形成 separatrix。对摆，

\[\boxed{ \mathcal H_{\rm sep}=2\omega_0^2 }.\]

• \(\mathcal H<\mathcal H_{\rm sep}\)：libration，轨线围绕 center 闭合；
• \(\mathcal H>\mathcal H_{\rm sep}\)：rotation，\(\theta\) 连续增加或减少；
• \(\mathcal H=\mathcal H_{\rm sep}\)：渐近接近倒立位置，理想模型中到达 saddle 需无限时间。

Worked Example 2 — Minimum bottom speed on the separatrix

在最低点 \(\theta=0\)，separatrix condition 给

\[\frac12\omega^2=2\omega_0^2.\]

因此

\[\boxed{ \lvert\omega_{\rm bottom}\rvert=2\sqrt{\frac{g}{\ell}}, \qquad v_{\rm bottom}=2\sqrt{g\ell} }.\]

对 \(\ell=0.500\ \mathrm m\)：

\[\lvert\omega_{\rm bottom}\rvert =8.86\ \mathrm{rad\,s^{-1}}, \qquad v_{\rm bottom}=4.43\ \mathrm{m\,s^{-1}}.\]

这是假设质点由刚性轻杆连接；若是只能拉不能推的细绳，还要检查绳张力非负，模型边界不同。

Knowledge 3 — Bifurcations and nonlinear resonance / 分岔与非线性共振

Knowledge ID: P01-U09-L04-K03

3.1 Bifurcation as a qualitative change

当 \(\mu\) 穿过临界值，fixed points、limit cycles 或其稳定性发生定性改变，称为 bifurcation。常见 normal forms：¹²

这些 normal forms 是局部模型；真实系统需满足相应非退化条件与对称性。pitchfork 在破坏反演对称性的微扰下通常会 unfold。

3.2 Duffing oscillator and harmonic balance

考虑受迫 Duffing equation：

\[\boxed{ \ddot x+2\gamma\dot x+\omega_0^2x+\alpha_Dx^3 =f\cos\omega t },\]

其中 \(f=F_0/m\)。设稳态主谐波

\[x(t)\simeq A\cos(\omega t-\delta),\]

并用

\[\cos^3u=\frac34\cos u+\frac14\cos3u\]

舍去三次谐波。比较同相与正交分量：

\[\boxed{ f^2 =A^2 \left[ \left( \omega_0^2-\omega^2+\frac34\alpha_DA^2 \right)^2 +(2\gamma\omega)^2 \right] },\]

为避免普通 \(\arctan\) 丢失象限信息，应把相位支固定为 \(0\le\delta\le\pi\)，并写成

\[\boxed{ \delta=operatorname{atan2} \left( 2\gamma\omega, \omega_0^2-\omega^2+\frac34\alpha_DA^2 \right) }.\]

只有在另行判断分母符号与象限后，才可把它缩写成相应的 \(\tan\delta\) 关系。

• \(\alpha_D>0\)：hardening，resonance 向高频弯；
• \(\alpha_D<0\)：softening，向低频弯；
• 足够强驱动时振幅方程可有多个解，出现 hysteresis 与 jump；不是每条代数支路都稳定。

Worked Example 3 — Amplitude-dependent frequency shift

对无阻尼、弱非线性、自由 Duffing oscillator，

\[\omega(A) \simeq \omega_0+\frac{3\alpha_DA^2}{8\omega_0}.\]

取

\[\omega_0=10.0\ \mathrm{rad\,s^{-1}}, \quad \alpha_D=200\ \mathrm{m^{-2}\,s^{-2}}, \quad A=0.0500\ \mathrm m.\]

则

\[\Delta\omega =\frac{3(200)(0.0500)^2}{8(10.0)} =1.875\times10^{-2}\ \mathrm{rad\,s^{-1}}.\]

所以 \(\omega\simeq10.019\ \mathrm{rad\,s^{-1}}\)。小参数

\[\frac{\alpha_DA^2}{\omega_0^2}=5.00\times10^{-3}\]

确实很小，与弱非线性展开一致。

Knowledge 4 — Deterministic chaos and Lyapunov exponents / 确定性混沌与李雅普诺夫指数

Knowledge ID: P01-U09-L04-K04

4.1 Sensitive dependence from the tangent dynamics

对参考轨迹 \(\mathbf x(t)\)，邻近扰动满足一阶 variational equation：

\[\boxed{ \dot{\boldsymbol\xi} =\mathbf D\mathbf F[\mathbf x(t)] \boldsymbol\xi }.\]

令 \(\boldsymbol\Phi^t\) 为流映射，\(\mathbf D\boldsymbol\Phi^t(\mathbf x_0)\) 为其切向映射。最大渐近 Lyapunov exponent 可用最大奇异值写成³

\[\boxed{ \lambda_{\max}(\mathbf x_0) =\limsup_{t\to\infty} \frac1t \ln \sigma_{\max} \!\left[ \mathbf D\boldsymbol\Phi^t(\mathbf x_0) \right] }.\]

给定某个非零初始扰动方向 \(\boldsymbol\xi_0\)，相应方向指数则是

\[\lambda(\mathbf x_0,\boldsymbol\xi_0) =\limsup_{t\to\infty} \frac1t \ln \frac{\lVert\mathbf D\boldsymbol\Phi^t(\mathbf x_0)\boldsymbol\xi_0\rVert} {\lVert\boldsymbol\xi_0\rVert} \le\lambda_{\max}.\]

在通常的正则性条件下，generic direction 配合周期性归一化会选出最大指数；但若 \(\boldsymbol\xi_0\) 恰落在较小指数的不变子空间中，上式不能冒充 \(\lambda_{\max}\)。

有限观测时间 \(T\) 给出

\[\boxed{ \lambda_T =\frac1T \ln \frac{\lVert\boldsymbol\xi(T)\rVert} {\lVert\boldsymbol\xi(0)\rVert} }.\]

\(\lambda_T\) 会随初值、方向和时间窗波动；只有适当极限及数值收敛分析后，才能把它解释为 asymptotic exponent。

4.2 Operational meaning and limits

对 bounded invariant set，最大渐近 exponent 为正是 deterministic chaos 的核心操作判据之一。常见对比：

若初始不确定度为 \(\delta_0\)、容许误差为 \(\Delta\)，粗略 predictability horizon 为

\[t_{\rm pred} \simeq \frac1{\lambda_{\max}} \ln\frac{\Delta}{\delta_0}.\]

4.3 Logistic map

采用 conventional logistic map

\[\boxed{ x_{n+1}=f_r(x_n)=rx_n(1-x_n), \qquad 0\le r\le4, \qquad x_0\in[0,1]\Longrightarrow x_n\in[0,1] }.\]

一维 map 的 finite-time exponent 是

\[\boxed{ \lambda_N =\frac1N \sum_{n=0}^{N-1} \ln\lvert f_r'(x_n)\rvert =\frac1N \sum_{n=0}^{N-1} \ln\lvert r(1-2x_n)\rvert }.\]

Worked Example 4 — Fixed-point stability and a chaotic exponent

nonzero fixed point 是

\[x_*=1-\frac1r,\]

其 multiplier

\[\Lambda=f_r'(x_*)=2-r.\]

• \(r=2.80\)：\(\Lambda=-0.80\)，fixed point stable；
• \(r=3.20\)：\(\Lambda=-1.20\)，fixed point unstable，系统进入 stable period-2 regime。

对 \(r=4\)，几乎所有非特殊初值的理论 exponent 是

\[\lambda=\ln2=0.693147\ldots \quad\text{per iteration}.\]

从 \(x_0=0.123456789\) 出发，丢弃 1000 次 transient 后对 10000 次迭代求和，独立复算得

\[\lambda_{10000}=0.69320 \quad\text{per iteration},\]

与 \(\ln2\) 的差约 \(5.4\times10^{-5}\)。有限精度 logistic iteration 最终可能落入计算机的周期轨道，因此这只是有限窗数值核对，不是严格极限证明。

Knowledge 5 — Poincaré sections and routes to chaos / 庞加莱截面与通往混沌的道路

Knowledge ID: P01-U09-L04-K05

5.1 Reducing a flow to a return map

在 \(d\) 维 flow 中选一个 transversal surface

\[\Sigma:\ h(\mathbf x)=0,\]

并只记录同一穿越方向，例如

\[\dot h=\nabla h\cdot\mathbf F>0.\]

连续轨迹与 \(\Sigma\) 的交点形成序列⁴

\[\boxed{ \mathbf X_{n+1}=\mathcal P(\mathbf X_n) },\]

\(\mathcal P\) 称 Poincaré return map。截面通常把维数降低 1；若还固定 autonomous Hamiltonian 的能量，两个自由度系统的三维能量壳可得到二维截面。

对周期受迫系统，也常每隔 drive period \(T_d\) 取样：

\[t_n=t_0+nT_d.\]

这叫 stroboscopic section；若取样周期与驱动周期不一致，图样会产生人为漂移。

5.2 Reading a section

• periodic orbit：一个点或有限个点；
• quasiperiodic motion：通常落在闭合 invariant curve 上；
• chaotic motion：不规则点集。耗散系统可形成 fractal strange attractor；保守系统常出现 chaotic sea 与 regular islands 共存。

5.3 Routes to chaos

常见路线包括：⁵

1. Period doubling: 周期 \(1\to2\to4\to8\to\cdots\)；
2. Intermittency: 长时间近规则段被不规则 burst 打断；
3. Quasiperiodicity: 多个不可公度频率经 torus breakdown 进入混沌。

对 conventional logistic map，前两个倍周期阈值为

\[r_1=3, \qquad r_2=1+\sqrt6=3.449489\ldots,\]

并在

\[r_\infty\simeq3.569946\]

附近积聚。若 \(r_n\) 是 successive thresholds，

\[\boxed{ \delta =\lim_{n\to\infty} \frac{r_n-r_{n-1}}{r_{n+1}-r_n} =4.669201\ldots }.\]

Feigenbaum universality 需要 map 峰值附近具有合适的 quadratic maximum 等条件；它不是所有通往 chaos 的普适常数。

Worked Example 5 — Interpreting a driven-pendulum section

对

\[\ddot\theta+2\gamma\dot\theta+\omega_0^2\sin\theta =f\cos\Omega t,\]

每隔

\[T_d=\frac{2\pi}{\Omega}\]

记录 \((\theta\bmod2\pi,\dot\theta)\)：

• 一个点表示与 drive 同周期的稳定响应；
• 两个交替点表示 period-2 response；
• 闭曲线表示 quasiperiodic response；
• 收敛后的不规则 fractal set 加上正的 converged \(\lambda_{\max}\) 支持 chaotic attractor 判断。

若 \(\Omega=3.00\ \mathrm{rad\,s^{-1}}\)，则

\[T_d=\frac{2\pi}{3.00}\ \mathrm s \simeq2.094\ \mathrm s.\]

实际采样始终使用

\[t_n=t_0+n\left(\frac{2\pi}{3.00}\right)\mathrm s;\]

\(2.094\ \mathrm s\) 只作显示近似，不能在长序列中反复累加这个舍入值。还必须固定同一个 \(t_0\bmod T_d\)，否则无法定义单一 return map。

6. Lesson synthesis / 全课整合

6.1 Analysis workflow

6.2 Model boundaries that must travel with the conclusion

7. Misconception clinic / 易错概念诊所

8. Practice and retrieval / 练习与检索

A. Conceptual questions

1. 为什么 \(f'(x_*)=0\) 时不能用一维线性稳定性公式下结论？
2. Hamiltonian center 为什么不能吸引一个有限面积的邻域？
3. pendulum separatrix 在相图中分隔哪两类运动？
4. pitchfork bifurcation 为什么通常需要对称性保护？
5. \(\lambda_T>0\) 与 \(\lambda_{\max}>0\) 的逻辑差别是什么？
6. 为什么 Poincaré section 只记录一个穿越方向？
7. smooth autonomous two-dimensional flow 为什么不能拥有 strange attractor，而 two-dimensional map 可以表现 chaos？

B. Derivation and quantitative questions

8. 对 \(\dot x=\mu-x^2\) 求 fixed points 与稳定性，并画 bifurcation branches。
9. 对 pendulum separatrix 推导 \(\omega(\theta)=\pm2\omega_0\cos(\theta/2)\)，取 \(-\pi\le\theta\le\pi\)。
10. 对 logistic map 证明 nonzero fixed point 在 \(1<r<3\) 稳定。
11. 初始误差 \(\delta_0=10^{-9}\)、容许误差 \(\Delta=10^{-2}\)、\(\lambda_{\max}=0.40\ \mathrm{s^{-1}}\)。估算 predictability horizon。
12. Duffing oscillator 取 \(\alpha_D<0\)，说明 resonance curve 弯向哪一侧。
13. period-4 orbit 在 stroboscopic Poincaré section 中应出现几个点？
14. 若 map 的一周期 multiplier 为 \(-1.2\)，该 fixed point 是否稳定？最可能发生哪类局部分岔？

Exit ticket

用一页草图完成：

1. 一个 center 与一个 saddle 的相图；
2. 一条 separatrix；
3. 一个 pitchfork diagram；
4. 两条初值接近而指数分离的轨迹；
5. periodic、quasiperiodic、chaotic 三类 Poincaré signatures。

9. References and source notes / 参考资料与使用说明

9.1 Source-to-content map

9.2 Bibliographic notes

1. Stewart, I. and MIT 8.09 course staff. Chaos and Non-Linear Dynamics. 用作 advanced undergraduate analytical-mechanics 主干。
2. Rothman, D. H. and MIT 12.006J course staff. Nonlinear Dynamics: Chaos lecture notes. 用于对 bifurcations、Poincaré sections、Lyapunov exponents 和 period doubling 作逐项独立核对。
3. 所有相图、函数图与分岔图均依据正文方程原创绘制，没有复制来源图像。