机械振子

Learning objectives / 学习目标

完成本课后，你应当能够：

1. 为水平与竖直弹簧振子选择正确平衡点，建立受力方程并解释重力为何移动平衡而不改变理想频率。
2. 从单摆的精确非线性方程推导小角 SHM，量化 \(\sin\theta\simeq\theta\) 的误差与适用范围。
3. 由转动定律推导复摆与扭摆周期，正确使用支点转动惯量和质心距离。
4. 从共同位移或共同力条件推导串、并联等效劲度，而不是凭电路类比背结论。
5. 对一般单自由度系统在稳定平衡附近展开势能，识别广义惯性 \(M_{\mathrm{eff}}\)、曲率 \(\kappa\) 与 \(\omega_0=\sqrt{\kappa/M_{\mathrm{eff}}}\)。
6. 对全部模型执行单位、方向、极限与小参数检查。

Prerequisites / 先修知识

• Lesson 2.1.1 的平衡、回复力、能量与初相位。
• Newton 第二定律与转动形式 \(\sum\tau=I\alpha\)。
• 转动惯量、平行轴定理与小量 Taylor 展开。
• 弧度制：只有以 rad 表示时，\(\sin\theta\simeq\theta\) 才可直接使用。

Scope and conventions / 范围与约定

• 默认实验室为惯性参考系，\(g=9.80\ \mathrm{m\,s^{-2}}\)；数值题若另给 \(g\) 则从题。
• 弹簧无质量且在线性弹性限度内；连接件无质量、无间隙；串联中间节点无质量。
• 摆的支点固定、无摩擦；绳质量可忽略且不可伸长；复摆为刚体；扭丝满足线性回复力矩。
• 水平坐标向右为正；竖直弹簧段会明确声明向下为正；摆角 \(\theta\) 从竖直向下的稳定平衡方向量起，逆时针为正。
• 本课求自由、无阻尼固有运动；阻尼和驱动从下一课开始。

Notation and modeling contract / 符号与建模契约

Knowledge 1 — Horizontal and vertical spring–mass systems / 水平与竖直弹簧振子

Knowledge ID: P02-U01-L02-K01

1.1 水平弹簧：先列所有力，再做轴向投影

质量 \(m\) 在水平无摩擦面上，竖直方向 \(N-mg=0\)；若 \(x\) 从弹簧自然长度对应的平衡点量起，水平方向

\[F_x=-kx.\]

因此

\[m\ddot x=-kx, \qquad \boxed{\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}},\quad T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}}.\]

若质量块夹在左右两根弹簧之间，向右位移 \(x\) 会使左弹簧拉回、右弹簧推回：

\[F_x=-(k_1+k_2)x,\]

这是一种共同位移的“并联型”几何，而不是普通串联。

图 1：夹在两弹簧间的质量向右偏移时，两根弹簧的水平作用都指向左，故劲度相加。

1.2 竖直弹簧：重力移动平衡点

令向下为正，\(s\) 是从弹簧自然长度量起的总伸长。受力方程

\[m\ddot s=mg-ks.\]

静平衡伸长 \(s_0\) 满足

\[mg-ks_0=0, \qquad s_0=\frac{mg}{k}.\]

令 \(q=s-s_0\) 为从下移后的平衡点量起的位移，则

\[m\ddot q=mg-k(s_0+q)=-kq.\]

所以

\[\boxed{\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}}\]

与水平情形相同。重力没有消失；它被用于确定 \(s_0\)。若弹簧可能松弛、接触限位或 \(g\) 随位置显著变化，此结论不再直接成立。

图 2：竖直系统的自然长度位置与动力学平衡位置不同；\(q\) 必须从后者量起。

图 3：重力给势能增加线性项，使抛物线平移；曲率仍是 \(k\)，因而理想频率不变。

Knowledge 2 — Simple pendulum and the small-angle approximation / 单摆与小角近似

Knowledge ID: P02-U01-L02-K02

2.1 精确方程先于近似

简单摆由长度 \(L\) 的无质量不可伸长绳和质点 \(m\) 构成。\(\theta\) 从竖直向下量起，逆时针为正。张力沿径向，对支点力矩为零；重力切向分量给

\[\tau_O=-mgL\sin\theta.\]

质点关于支点的转动惯量 \(I_O=mL^2\)，故

\[mL^2\ddot\theta=-mgL\sin\theta,\]

\[\boxed{\ddot\theta+\frac{g}{L}\sin\theta=0}.\]

这是非线性方程，有限振幅周期并非严格与振幅无关。

图 4：张力无切向分量；重力的切向分量在 \(\theta>0\) 时沿减小 \(\theta\) 的方向。

2.2 小角线性化及误差

当 \(\lvert\theta\rvert\ll1\) rad，

\[\sin\theta=\theta-\frac{\theta^3}{6}+O(\theta^5).\]

忽略三次及更高项：

\[\ddot\theta+\frac{g}{L}\theta=0,\]

\[\boxed{\omega_0=\sqrt{\frac{g}{L}},\qquad T_0=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}}.\]

在角振幅 \(\theta_0\) 处，回复项的相对误差可用

\[\epsilon_{\sin}=\frac{\theta_0-\sin\theta_0}{\theta_0} \simeq\frac{\theta_0^2}{6}\]

量化。OpenStax 将 \(\lvert\theta\rvert<15^\circ\) 作为“约 \(1\%\)”的课堂经验范围；按上式定义，正好 \(15^\circ=\pi/12\) 时 \(\epsilon_{\sin}=1.14\%\)，而 \(\epsilon_{\sin}<1\%\) 约要求 \(\lvert\theta\rvert<0.245\ \mathrm{rad}\approx14.0^\circ\)。实验若要求 \(0.1\%\) 精度，就必须采用更小振幅或有限振幅修正。周期首阶修正为

\[T\simeq T_0\left(1+\frac{\theta_0^2}{16}\right),\]

这里 \(\theta_0\) 必须用 rad。

图 5：\(\sin\theta\) 与直线 \(\theta\) 只在原点邻域接近；角度增大时线性模型系统性高估回复项。

Knowledge 3 — Physical and torsional pendulums / 复摆与扭摆

Knowledge ID: P02-U01-L02-K03

3.1 复摆（physical pendulum）

任意刚体绕固定水平轴 \(O\) 摆动，质心距支点 \(d\)，关于支点的转动惯量为 \(I_O\)。重力矩

\[\tau_O=-mgd\sin\theta.\]

精确方程为

\[I_O\ddot\theta+mgd\sin\theta=0.\]

小角下

\[\boxed{\omega_0=\sqrt{\frac{mgd}{I_O}}, \qquad T_0=2\pi\sqrt{\frac{I_O}{mgd}}}.\]

必须使用关于实际支点的 \(I_O\)。若已知质心转动惯量 \(I_{\mathrm{CM}}\)，用平行轴定理

\[I_O=I_{\mathrm{CM}}+md^2.\]

等效单摆长度为

\[L_{\mathrm{eq}}=\frac{I_O}{md},\]

因为 \(T_0=2\pi\sqrt{L_{\mathrm{eq}}/g}\)。

图 6：复摆的质心沿圆弧运动；重力作用点与关于支点的转动惯量共同决定周期。

3.2 扭摆（torsional pendulum）

刚体绕竖直轴转动，扭丝在弹性范围内给回复力矩

\[\tau_z=-\kappa_t\theta.\]

转动定律给

\[I\ddot\theta+\kappa_t\theta=0,\]

\[\boxed{\omega_0=\sqrt{\frac{\kappa_t}{I}}, \qquad T=2\pi\sqrt{\frac{I}{\kappa_t}}}.\]

这里 \(\kappa_t\) 是力矩/弧度，不是平动弹簧的 \(k\)。若角度大到扭矩不再线性，或丝具有显著内耗，公式需修正。

图 7：扭丝提供与角位移反向的线性回复力矩；惯性参数是 \(I\) 而不是总质量本身。

Knowledge 4 — Effective spring constants in series and parallel / 串并联弹簧等效劲度系数

Knowledge ID: P02-U01-L02-K04

4.1 串联：共同力、位移相加

两根无质量弹簧串联，中间连接点无质量，准静态或集中参数模式下每根承受相同力大小 \(F\)：

\[x_1=\frac{F}{k_1}, \qquad x_2=\frac{F}{k_2}.\]

总伸长 \(x=x_1+x_2=F/k_{\mathrm{eff}}\)，故

\[\boxed{\frac1{k_{\mathrm{eff}}}=\frac1{k_1}+\frac1{k_2}}.\]

一般化为 \(1/k_{\mathrm{eff}}=\sum_i1/k_i\)。任一很软的弹簧会主导总顺应性。

图 8：串联的关键约束是共同力与总伸长相加；中间节点若有质量，动态时两力不必相等。

4.2 并联：共同位移、力相加

若两弹簧端点由刚性横杆连接，它们具有同一伸长 \(x\)，总回复力为

\[F=-(k_1x+k_2x)=-(k_1+k_2)x.\]

因此

\[\boxed{k_{\mathrm{eff}}=k_1+k_2}.\]

一般化为 \(k_{\mathrm{eff}}=\sum_i k_i\)。该推导假定各弹簧自然长度和预载安排使所选平衡构型相容；若横杆可转动，还需处理不同位移与力矩平衡。

图 9：并联端点共同移动相同距离，各弹簧回复力在质量上相加。

Knowledge 5 — Oscillation about stable equilibrium / 稳定平衡附近的振动

Knowledge ID: P02-U01-L02-K05

用一般坐标 \(Q\) 描述单自由度系统，平衡点为 \(Q_0\)。若动能在邻域内可写成

\[K\simeq\frac12M_{\mathrm{eff}}\dot q^2, \qquad q=Q-Q_0,\]

势能光滑且

\[U'(Q_0)=0, \qquad \kappa=U''(Q_0)>0,\]

则

\[U(Q)\simeq U(Q_0)+\frac12\kappa q^2.\]

Lagrange 方程或广义 Newton 方程给

\[M_{\mathrm{eff}}\ddot q+\kappa q=0,\]

\[\boxed{\omega_0=\sqrt{\frac{\kappa}{M_{\mathrm{eff}}}}}.\]

这一个式子统一了：

• 平动弹簧：\(q=x\)、\(M_{\mathrm{eff}}=m\)、\(\kappa=k\)；
• 小角单摆：\(q=\theta\)、\(M_{\mathrm{eff}}=mL^2\)、\(\kappa=mgL\)；
• 复摆：\(q=\theta\)、\(M_{\mathrm{eff}}=I_O\)、\(\kappa=mgd\)；
• 扭摆：\(q=\theta\)、\(M_{\mathrm{eff}}=I\)、\(\kappa=\kappa_t\)。

图 10：一般势阱在稳定极小值附近由同曲率的抛物线逼近；振幅越大，高阶项越重要。

图 11：在相同广义惯性下，势阱曲率越大，局部振动越快；图示只比较局部二次曲率。

适用判据

若最低被忽略项为 \(\lambda q^3/3!\)，可用

\[\epsilon\sim\left\lvert\frac{\lambda A}{3\kappa}\right\rvert\]

估计势能高阶项相对二次项的大小；具体系数取决于展开形式。若 \(\kappa=0\)，最低非零项通常不再给振幅无关频率。多自由度情形则需质量矩阵与 Hessian 的本征值问题，留到 Lesson 2.2.3。

Worked Examples / 完整例题

Worked Example 1 — 两侧弹簧夹持的水平振子

已知条件： \(m=0.500\ \mathrm{kg}\)，左、右弹簧分别为 \(k_1=120\ \mathrm{N\,m^{-1}}\)、\(k_2=80.0\ \mathrm{N\,m^{-1}}\)；质量块从平衡点向右拉 \(x_0=0.0400\ \mathrm{m}\) 后静止释放。
研究对象与参考系： 质量块；实验室惯性系，向右为正。
系统边界： 动力学只取块；能量检查取块与两弹簧。
模型： 两弹簧质量忽略、线性、水平面无摩擦；共同位移使回复力相加。

向右位移时

\[F_x=-k_1x-k_2x=-(k_1+k_2)x.\]

所以

\[k_{\mathrm{eff}}=200\ \mathrm{N\,m^{-1}},\]

\[\omega_0=\sqrt{\frac{200}{0.500}}=20.0\ \mathrm{rad\,s^{-1}}, \qquad T=\frac{2\pi}{20.0}=0.314\ \mathrm{s}.\]

因从右端静止释放，

\[x(t)=(0.0400\ \mathrm{m})\cos(20.0t).\]

初始净力

\[F_x(0)=-(200)(0.0400)=-8.00\ \mathrm{N}.\]

能量

\[E=\frac12k_{\mathrm{eff}}A^2=0.160\ \mathrm{J}.\]

检查： 加大任一弹簧劲度都会缩短周期；\(F_x<0\) 与向右位移相反。\(k_1+k_2\) 的单位仍为 \(\mathrm{N\,m^{-1}}\)。

Worked Example 2 — 竖直弹簧的静平衡与动态位置

已知条件： \(m=0.400\ \mathrm{kg}\)、\(k=98.0\ \mathrm{N\,m^{-1}}\)、\(g=9.80\ \mathrm{m\,s^{-2}}\)。以向下为正。质量挂上并静止后，再从新平衡点向下拉 \(A=0.0300\ \mathrm{m}\)，由静止释放。
研究对象： 质量；弹簧始终受拉且在线性范围。
目标： 求静伸长、周期及 \(t=0.100\ \mathrm{s}\) 时相对自然长度的总伸长和速度。

静平衡伸长

\[s_0=\frac{mg}{k}=\frac{(0.400)(9.80)}{98.0}=0.0400\ \mathrm{m}.\]

从平衡点定义 \(q=s-s_0\)：

\[\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}=15.7\ \mathrm{rad\,s^{-1}}, \qquad T=0.401\ \mathrm{s}.\]

\[q(t)=A\cos\omega_0t.\]

在 \(t=0.100\ \mathrm{s}\)，\(\omega_0t=1.565\ \mathrm{rad}\)：

\[q\simeq1.66\times10^{-4}\ \mathrm{m},\]

\[s=s_0+q=0.0402\ \mathrm{m},\]

\[v=\dot q=-A\omega_0\sin\omega_0t=-0.470\ \mathrm{m\,s^{-1}}.\]

检查： 约四分之一周期后质量接近平衡点并向上运动；因为坐标向下，\(v<0\) 正确。重力决定 \(s_0\)，但 \(T\) 中不显含 \(g\)。

Worked Example 3 — 单摆的小角精度与最大速率

已知条件： \(L=0.800\ \mathrm{m}\)，角振幅 \(\theta_0=10.0^\circ=0.1745\ \mathrm{rad}\)，从静止释放；\(g=9.80\ \mathrm{m\,s^{-2}}\)。
参考系与坐标： 固定支点实验室系，\(\theta\) 从向下竖直方向量起。
模型： 点质量、无质量绳、无阻尼；先检查小角误差。

回复项误差

\[\epsilon_{\sin}=\frac{\theta_0-\sin\theta_0}{\theta_0} =5.07\times10^{-3}=0.507\%.\]

若约 \(1\%\) 精度可接受，小角模型合理。于是

\[\omega_0=\sqrt{\frac{9.80}{0.800}}=3.50\ \mathrm{rad\,s^{-1}},\]

\[T_0=2\pi\sqrt{\frac{0.800}{9.80}}=1.80\ \mathrm{s}.\]

过最低点的最大切向速率为

\[v_{\max}=L\omega_0\theta_0 =(0.800)(3.50)(0.1745) =0.489\ \mathrm{m\,s^{-1}}.\]

有限振幅首阶修正

\[T\simeq T_0\left(1+\frac{\theta_0^2}{16}\right) =1.80\ \mathrm{s},\]

保留更多位数为约 \(1.799\ \mathrm{s}\)，比线性值约长 \(0.19\%\)。检查： 真实摆的回复项比 \(mg\theta\) 略小，因此真实周期略长，符号合理；质量正确消去。

Worked Example 4 — 均匀细杆复摆

已知条件： 均匀细杆总长 \(L=1.20\ \mathrm{m}\)、质量 \(M=3.00\ \mathrm{kg}\)，绕一端的水平轴小角摆动；\(g=9.80\ \mathrm{m\,s^{-2}}\)。
研究对象与轴： 整根刚体，转轴为实际端点 \(O\)；忽略支点摩擦。
模型： 刚体复摆，小角近似。

质心距支点 \(d=L/2\)，端点转动惯量

\[I_O=\frac13ML^2.\]

所以

\[\omega_0=\sqrt{\frac{Mgd}{I_O}} =\sqrt{\frac{Mg(L/2)}{ML^2/3}} =\sqrt{\frac{3g}{2L}} =3.50\ \mathrm{rad\,s^{-1}}.\]

\[T=\frac{2\pi}{\omega_0}=1.80\ \mathrm{s}.\]

等效单摆长度

\[L_{\mathrm{eq}}=\frac{I_O}{Md}=\frac{2L}{3}=0.800\ \mathrm{m}.\]

检查： 质量消去，但质量分布通过 \(I_O\) 保留；\(L_{\mathrm{eq}}<L\) 且大于质心距离 \(L/2\)。用 \(I_{\mathrm{CM}}=ML^2/12\) 直接代入会错误缩短周期。

Worked Example 5 — 串、并联后的频率比较

已知条件： \(k_1=120\ \mathrm{N\,m^{-1}}\)、\(k_2=180\ \mathrm{N\,m^{-1}}\)，连接同一 \(m=0.500\ \mathrm{kg}\)；分别组成理想串联与理想并联。
系统： 弹簧质量及连接件质量忽略，运动是一维共同低频模态。
目标： 求两种 \(k_{\mathrm{eff}}\)、\(\omega_0\) 并比较。

串联：

\[k_s=\frac{k_1k_2}{k_1+k_2} =72.0\ \mathrm{N\,m^{-1}},\]

\[\omega_s=\sqrt{\frac{k_s}{m}}=12.0\ \mathrm{rad\,s^{-1}}.\]

并联：

\[k_p=k_1+k_2=300\ \mathrm{N\,m^{-1}},\]

\[\omega_p=\sqrt{\frac{k_p}{m}}=24.5\ \mathrm{rad\,s^{-1}}.\]

\[\frac{\omega_p}{\omega_s}=2.04.\]

检查： 串联等效劲度 \(72.0\) 小于任一单根；并联 \(300\) 大于任一单根，符合极限直觉。频率比是劲度比的平方根而非劲度比本身。

Lesson synthesis / 课程综合

所有装置都可按同一流程处理：

1. 选自由度和正方向，找实际平衡构型；
2. 选择动力学对象或刚体，画受力图/力矩图；
3. 先写精确方程，再声明线性化的小参数；
4. 把方程整理为 \(M_{\mathrm{eff}}\ddot q+\kappa q=0\)；
5. 读出 \(\omega_0=\sqrt{\kappa/M_{\mathrm{eff}}}\)；
6. 用极限、单位和能量曲率检查；
7. 若出现多个独立坐标、耗散或外驱动，不能继续压缩成单一理想振子。

Formula-and-decision table / 公式—决策表

Model boundaries / 模型边界

• 理想弹簧只在弹性线性范围内服从 Hooke 定律；屈服、间隙、预紧松脱会产生分段或非线性力。
• 弹簧质量不可忽略时，有效惯性不再只是末端质量；更高频时必须把弹簧当连续介质。
• 竖直公式假定 \(g\) 在振幅尺度内恒定，弹簧始终保持有效连接。
• 单摆小角近似的控制量是以 rad 表示的 \(\theta_0\)；精度要求决定“多小”，而非机械采用 \(15^\circ\)。
• 复摆要求刚体；柔性变形会引入额外模态。支点移动会带来参数激励或强迫项。
• 扭摆要求 \(\tau=-\kappa_t\theta\)；扭丝蠕变和内耗会改变周期并产生阻尼。
• 串并联等效关系是拓扑与约束的结果；带质量节点、杠杆、滑轮或可转横杆需重新建模。
• 一般稳定平衡若 \(U''(Q_0)=0\) 或 Hessian 有零特征值，二次近似不足；若有多个坐标，进入简正模问题。

Misconception clinic / 误区诊所

1. “竖直弹簧比水平弹簧多一个 \(g\)，所以周期含 \(g\)。” \(g\) 先决定静平衡伸长；从新平衡点量动态位移后，恒力抵消。
2. “单摆的回复力是 \(-mg\theta\)。” 精确切向力是 \(-mg\sin\theta\)；前者仅是小角近似且 \(\theta\) 用 rad。
3. “摆球最低点张力等于 \(mg\)。” 运动时还需向心加速度，通常 \(\mathcal T-mg=mv^2/L\)。
4. “复摆周期只由质心距离决定。” 质量分布通过 \(I_O\) 同等重要。
5. “扭摆的 \(k\) 单位也是 N/m。” 扭转常量是力矩/角度，使用 \(\mathrm{N\,m\,rad^{-1}}\)。
6. “串联劲度相加。” 串联共同力、伸长相加，因此顺应性 \(1/k\) 相加；并联才是劲度相加。
7. “两个弹簧画在两边就是串联。” 分类取决于约束；两侧夹持同一质量时常是共同位移、力相加。
8. “稳定平衡必然给 SHM。” 还需势能光滑、二次曲率非零、小振幅及单自由度。

Practice and retrieval / 练习与提取

1. K01： 水平质量 \(m=0.800\ \mathrm{kg}\) 接 \(k=125\ \mathrm{N\,m^{-1}}\) 弹簧。求 \(\omega_0\) 与 \(T\)。
2. K01： 竖直弹簧 \(k=196\ \mathrm{N\,m^{-1}}\) 挂 \(0.600\ \mathrm{kg}\)，\(g=9.80\ \mathrm{m\,s^{-2}}\)。求静伸长；若从平衡点下拉 \(2.00\ \mathrm{cm}\) 释放，写 \(q(t)\)。
3. K02： 从力矩方程推导单摆精确方程，并指出张力为何不出现。
4. K02： 在 \(5.0^\circ\) 与 \(30.0^\circ\) 比较 \(\epsilon_{\sin}=(\theta-\sin\theta)/\theta\)，哪个更适合 \(1\%\) 精度的小角模型？
5. K03： 一个复摆 \(I_O=0.240\ \mathrm{kg\,m^2}\)、\(m=1.50\ \mathrm{kg}\)、\(d=0.100\ \mathrm{m}\)。求小角周期。
6. K03： 扭摆 \(I=2.00\times10^{-3}\ \mathrm{kg\,m^2}\)、\(\kappa_t=0.0800\ \mathrm{N\,m\,rad^{-1}}\)。求 \(\omega_0,T\)。
7. K04： \(30.0\) 与 \(60.0\ \mathrm{N\,m^{-1}}\) 两弹簧串联，求 \(k_{\mathrm{eff}}\)，并验证结果小于较软弹簧。
8. K04： 上题两弹簧并联支撑 \(0.500\ \mathrm{kg}\)，求频率 \(f\)。
9. K05： \(U(q)=U_0+(9.00\ \mathrm{J\,m^{-2}})q^2+(2.00\ \mathrm{J\,m^{-4}})q^4\)、\(m=0.250\ \mathrm{kg}\)。求局部 \(\omega_0\)。
10. K05 边界： 对 \(U(q)=aq^4\)、\(a>0\)，平衡是否稳定？为什么线性谐振子频率公式却不给有用结果？
11. 综合： 一根均匀圆盘绕距中心 \(d\) 的平行轴小角摆动。写出周期表达式，其中 \(I_{\mathrm{CM}}=MR^2/2\)。
12. 综合判断： 两根弹簧串联但中间挂有不可忽略质量。说明为什么单一 \(k_{\mathrm{eff}}\) 不能描述所有自由振动。

Exit ticket

1. 对一个从未见过的单自由度机械装置，写出从实验势能曲线 \(U(Q)\) 预测小振动频率所需的三个量与两个适用性检查。
2. 分别用一句“共同量 + 相加量”解释串联和并联弹簧公式。

References and source notes / 参考资料与来源说明

1. OpenStax University Physics Volume 1, 15.1 Simple Harmonic Motion — 水平/竖直弹簧、平衡位移与 \(x,v,a\) 关系。
2. OpenStax University Physics Volume 1, 15.4 Pendulums — 单摆精确方程、小角近似、复摆和扭摆周期。
3. MIT OpenCourseWare 8.03SC, Lecture 1: Periodic Oscillations and Harmonic Oscillators — 受力建模、一般势能 Taylor 展开及线性范围判据。
4. MIT Open Learning Library 8.01.4x, Introduction to Small Oscillations — 稳定平衡、势能曲率与小振动近似。
5. Idaho State University, Springs in Series and Parallel — 串联顺应性相加与并联劲度相加的实验结构。
6. University of Texas at Austin, Series and Parallel Springs — 串并联约束与演示核验。
7. Caltech Physics 106ab, Lecture Notes on Classical Mechanics, Chapter 3 — 广义坐标、稳定平衡附近的二次 Lagrangian 与有效惯性。

以上直接来源均于 2026-08-23 实际打开核对。OpenStax 的“低于 \(15^\circ\)”是约 \(1\%\) 的课堂经验范围；正文另行计算并明确给出正好 \(15^\circ\) 时为 \(1.14\%\)，不把经验阈值当作精确不等式。所有图均依据本文方程原创绘制。

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复习与拓展

• 下一课给这些振子加入线性阻尼，比较欠阻尼、临界阻尼和过阻尼。
• Lesson 2.2.3 将处理中间节点有质量时的多个自由度、质量矩阵和简正模。
• 弹簧有分布质量的连续极限会通向 Unit 2.3 的波动方程。
• 实验复习可分别测 \(T(m)\)、\(T(L)\)、\(T(I)\)，用平方关系检验模型，而不是只拟合一条正弦曲线。