阻尼振动

学习目标 / Learning objectives

完成本课后，你应能：

从受力图建立 $m\ddot x+b\dot x+kx=0$ ，并说明线性阻尼只是低速、局部模型。
用特征根或阻尼比 $\zeta$ 分类欠阻尼、临界阻尼和过阻尼，写出满足任意初值的解。
区分振幅寿命、能量寿命、logarithmic decrement 与品质因数 $$Q$$ ，指出近似公式的条件。
从 $\dot E=-b\dot x^2$ 检查能量单调性，并独立复算 ringdown 数据。
把二阶方程写成相平面系统，用 eigenvalues、divergence 与轨线形状解释三种阻尼区间。

先修知识 / Prerequisites

需要谐振子模型中的 $\omega_0=\sqrt{k/m}$ 、能量与相量表示。
需要会解常系数二阶齐次微分方程，并理解复共轭根。
需要相空间与稳定性的 fixed point、eigenvalue 与 phase portrait 语言；本课只用线性二维系统。

范围、约定与建模契约 / Scope, conventions, and modeling contract

研究对象是质量 $$m$$ 的单自由度物体； $$x=0$$ 是加入重力等恒力后重新定义的稳定平衡位置， $$+x$$ 向右。
回复力为 $$-kx$$ ，阻尼力为 $-b\dot x$ ，其中 $$m>0$$ 、 $$k>0$$ 、 $b\ge0$ 。全文使用 SI。
定义

$\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}, \qquad \beta=\frac{b}{2m}, \qquad \zeta=\frac{\beta}{\omega_0}=\frac{b}{2\sqrt{mk}}.$

本课把 $\omega_0$ 称为无阻尼固有角频率，把欠阻尼自由振动频率记为 $\omega_d$ ；不得把两者与下一课的驱动角频率混为一谈。
线性黏性阻尼适用于阻力在工作速度范围内近似正比于速度的情形。Coulomb friction、二次阻力、材料滞回和振幅相关阻尼不服从本课的指数 ringdown。
“临界阻尼最快”严格指：在线性二阶模型、给定静态参数并要求不振荡响应时，临界阻尼给出最快的渐近平衡；它不是对任意初值、任意误差指标都无条件最短的口号。

Damped Oscillations — 范围、约定与建模契约 / Scope, conventions, and modeling contract（图 1） — 图 1范围、约定与建模契约 / Scope, conventions, and modeling contract

图 1：回复力和阻尼力都指向左，但原因不同：前者由位移决定，后者由瞬时速度决定。

符号表 / Notation

符号	定义	SI 单位
$$m$$	有效惯性	kg
$$k$$	线性劲度	$\mathrm{N\,m^{-1}}$
$$b$$	线性黏性阻尼系数	$\mathrm{kg\,s^{-1}}$
$\omega_0$	无阻尼固有角频率	$\mathrm{rad\,s^{-1}}$
$\beta=b/(2m)$	振幅包络衰减率	$\mathrm{s^{-1}}$
$\zeta=\beta/\omega_0$	阻尼比	1
$\omega_d$	欠阻尼自由振动角频率	$\mathrm{rad\,s^{-1}}$
$\tau_A,\tau_E$	振幅、能量的 e-folding time	s
$$Q$$	品质因数；弱阻尼时衡量每周期相对损耗	1
$\delta_{\log}$	相邻同向峰值的 logarithmic decrement	1

Knowledge 1 — Linear damping model / 线性阻尼模型

Knowledge ID: P02-U02-L01-K01

1.1 从受力定律到方程

对“质量块”这个系统写矢量定律，再投影到 $$x$$ 轴：

$\sum \mathbf F=m\mathbf a, \qquad -kx-b\dot x=m\ddot x.$

整理并除以 $$m$$ ：

$\boxed{\ddot x+2\beta\dot x+\omega_0^2x=0}.$

阻尼项量纲为 $[b\dot x]=\mathrm{kg\,m\,s^{-2}}$ ，确实是力。阻力功率为

$P_b=(-b\dot x)\dot x=-b\dot x^2\le0.$

于是机械能

$E=\frac12m\dot x^2+\frac12kx^2$

满足一个对所有阻尼区间都成立的精确账本：

$\boxed{\frac{dE}{dt}=-b\dot x^2\le0}.$

Damped Oscillations — 1.1 从受力定律到方程（图 2） — 图 21.1 从受力定律到方程

图 2：线性阻尼的本构图是一条穿过原点、斜率为 $$-b$$ 的直线；若实验曲线弯曲，本模型已越界。

1.2 模型边界

流体中小 Reynolds number、较低速度时，线性项常是首阶近似；高速钝体更常出现 $F_d\propto-v\lvert v\rvert$ 。
干摩擦近似 $F_f=-\mu_kN\operatorname{sgn}v$ ，其振幅通常近似线性下降而非指数下降。
结构材料的 hysteretic damping 可使损耗更接近“每周期固定比例”，不一定能用常数 $$b$$ 在宽频带内描述。
被耗散的机械能进入内能、声或周围流体；“机械能减少”不违反总能量守恒。

Worked Example 1 — 由受力参数建立能量账本

一质量 $m=0.500\ \mathrm{kg}$ 的滑块连接 $k=18.0\ \mathrm{N\,m^{-1}}$ 弹簧，在低速黏性介质中 $b=1.20\ \mathrm{kg\,s^{-1}}$ 。某瞬间 $x=0.0800\ \mathrm m$ 、 $v=-0.300\ \mathrm{m\,s^{-1}}$ 。

研究对象与参考系： 滑块；实验室惯性系， $$+x$$ 向右，平衡点为原点。
模型理由： 题目给定低速线性黏性阻力，采用 $-b\dot x$ 。

$\omega_0=\sqrt{\frac{18.0}{0.500}}=6.00\ \mathrm{rad\,s^{-1}}, \qquad \beta=\frac{1.20}{2(0.500)}=1.20\ \mathrm{s^{-1}}.$

瞬时加速度由矢量定律投影得到

$a=\frac{-kx-bv}{m} =\frac{-(18.0)(0.0800)-(1.20)(-0.300)}{0.500} =-2.16\ \mathrm{m\,s^{-2}}.$

负号表示加速度向左。机械能损失率

$\frac{dE}{dt}=-bv^2=-(1.20)(0.300)^2=-0.108\ \mathrm W.$

检查： $$b v^2$$ 的单位为 $\mathrm{kg\,m^2\,s^{-3}}=\mathrm W$ ；尽管阻尼力此刻向右，速度向左，所以阻尼功率仍为负。结果说明“力的正负”不能替代“功率的正负”。

Knowledge 2 — Underdamped, critically damped, and overdamped regimes / 欠阻尼、临界阻尼与过阻尼

Knowledge ID: P02-U02-L01-K02

2.1 特征根统一分类

令 $x=e^{rt}$ ，得

$r^2+2\beta r+\omega_0^2=0, \qquad r_{\pm}=-\beta\pm\sqrt{\beta^2-\omega_0^2}.$

因此：

区间	根	自由响应	相平面 fixed point
$0\le\zeta<1$	$-\beta\pm i\omega_d$	衰减振荡	stable spiral； $$b=0$$ 时退化为 center
$\zeta=1$	重根 $-\omega_0$	最快非振荡渐近响应	degenerate stable node
$\zeta>1$	两个负实根	两指数之和	stable node

其中

$\boxed{\omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}}$

只在欠阻尼区间作为实频率存在。

Damped Oscillations — 2.1 特征根统一分类（图 3） — 图 32.1 特征根统一分类

图 3：所有 $$b>0$$ 的根都在左半平面；分类改变的是“如何趋近”，不是平衡点是否稳定。

2.2 三类实解与初值

欠阻尼：

$x(t)=e^{-\beta t}\left(C\cos\omega_dt+D\sin\omega_dt\right) =A_0e^{-\beta t}\cos(\omega_dt-\phi).$

若 $$x(0)=x_0$$ 、 $\dot x(0)=v_0$ ，则

$C=x_0, \qquad D=\frac{v_0+\beta x_0}{\omega_d}.$

临界阻尼：

$x(t)=(C+Dt)e^{-\omega_0t}, \qquad C=x_0, \quad D=v_0+\omega_0x_0.$

过阻尼：

$x(t)=C_+e^{r_+t}+C_-e^{r_-t},$

其中 $r_+>-\omega_0>r_-$ ；长时间通常由较慢的 $e^{r_+t}$ 尾部控制。阻尼无限增大时 $r_+\simeq-\omega_0^2/(2\beta)=-k/b$ ，反而越来越慢。

Damped Oscillations — 2.2 三类实解与初值（图 4） — 图 42.2 三类实解与初值

图 4：相同正位移、示意性初值下，过阻尼没有振荡却可能拖着最慢的长尾；曲线为 schematic。

Worked Example 2 — 分类并由初值写出完整响应

给定 $m=2.00\ \mathrm{kg}$ 、 $k=50.0\ \mathrm{N\,m^{-1}}$ 、 $b=12.0\ \mathrm{kg\,s^{-1}}$ ，初值 $x_0=0.100\ \mathrm m$ 、 $$v_0=0$$ 。

系统与坐标： 单质量块；实验室惯性系， $$+x$$ 从平衡点指向初始位移。
模型： 常参数线性自由阻尼振子。

$\omega_0=\sqrt{50.0/2.00}=5.00\ \mathrm{rad\,s^{-1}}, \qquad \beta=\frac{12.0}{4.00}=3.00\ \mathrm{s^{-1}}.$

$\zeta=0.600<1$ ，故欠阻尼，且

$\omega_d=\sqrt{5.00^2-3.00^2}=4.00\ \mathrm{rad\,s^{-1}}.$

由初值系数

$C=0.100\ \mathrm m, \qquad D=\frac{0+3.00(0.100)}{4.00}=0.0750\ \mathrm m.$

最终

$\boxed{x(t)=e^{-3.00t}\left(0.100\cos4.00t+0.0750\sin4.00t\right)\ \mathrm m}.$

检查： 代入 $$t=0$$ 得 $$x_0$$ ；求导后 $\dot x(0)=-3C+4D=0$ 。所有指数的自变量无量纲。衰减时间约 $0.333\ \mathrm s$ ，因此虽有 $\omega_d=4.00\ \mathrm{rad\,s^{-1}}$ ，可见周期数并不多。

Knowledge 3 — Decay time, quality factor, and energy loss / 衰减时间、品质因数与能量损耗

Knowledge ID: P02-U02-L01-K03

3.1 两个不同的 e-folding time

欠阻尼位移包络为 $A(t)=A_0e^{-\beta t}$ ，所以

$\boxed{\tau_A=\frac1\beta=\frac{2m}{b}}.$

在同相位峰值或弱阻尼的周期平均意义下 $E\propto A^2$ ，故

$\boxed{E_{\rm env}(t)=E_0e^{-2\beta t}}, \qquad \boxed{\tau_E=\frac1{2\beta}=\frac{m}{b}}.$

精确机械能 $$E(t)$$ 始终满足 $\dot E=-b\dot x^2\le0$ ，因而绝不会在周期内回升；但把它除以简单参考因子 $e^{-2\beta t}$ 后，所得相位相关前因子一般仍随周期变化。所以上式是同相位峰值的精确指数规律，也是弱阻尼下的周期平均包络，而不是任意相位处的逐时精确等式。

Damped Oscillations — 3.1 两个不同的 e-folding time（图 5） — 图 53.1 两个不同的 e-folding time

图 5：振幅包络经过 $\tau_A$ 降到 $$1/e$$ ；它不是另一条物理轨迹。

Damped Oscillations — 3.1 两个不同的 e-folding time（图 6） — 图 63.1 两个不同的 e-folding time

图 6：能量 e-folding time 只有振幅 e-folding time 的一半。

3.2 Logarithmic decrement 与 $$Q$$

相隔一个欠阻尼周期 $T_d=2\pi/\omega_d$ 的同向峰值满足

$\delta_{\log} =\ln\frac{A_n}{A_{n+1}} =\beta T_d =\frac{2\pi\beta}{\omega_d}.$

对弱阻尼 $\beta\ll\omega_0$ ，品质因数可写为

$\boxed{Q=\frac{\omega_0}{2\beta}=\frac{m\omega_0}{b}},$

并有

$Q\simeq\frac{\pi}{\delta_{\log}}, \qquad \frac{\Delta E}{E}\simeq\frac{2\pi}{Q}$

其中 $\Delta E>0$ 表示一周期损失的能量大小。后两个关系要求每周期损失较小；当 $$Q$$ 不大时，应回到指数比值

$\frac{E_{n+1}}{E_n}=e^{-2\beta T_d}=e^{-2\delta_{\log}}.$

Damped Oscillations — 3.2 Logarithmic decrement 与 $Q$（图 7） — 图 73.2 Logarithmic decrement 与 $Q$

图 7： $$Q$$ 大意味着每弧度损失的储能小；图中比例仅作 schematic。

Worked Example 3 — 从 ringdown 峰值反推阻尼与 $$Q$$

某欠阻尼振子无阻尼固有角频率 $\omega_0=20.0\ \mathrm{rad\,s^{-1}}$ 。相隔 $$N=8$$ 个周期的同向峰值从 $12.0\ \mathrm{mm}$ 降至 $4.80\ \mathrm{mm}$ ，测得 $T_d=0.316\ \mathrm s$ ；质量 $m=0.750\ \mathrm{kg}$ 。

系统与测量约定： 同一实验室坐标下比较同向位移峰值；峰值间隔正好为 8 个实际阻尼周期。
模型： 常 $$b$$ 的欠阻尼线性 ringdown。

每周期 logarithmic decrement 为

$\delta_{\log}=\frac1N\ln\frac{A_0}{A_N} =\frac18\ln\frac{12.0}{4.80} =0.1145.$

于是

$\beta=\frac{\delta_{\log}}{T_d} =\frac{0.1145}{0.316} =0.362\ \mathrm{s^{-1}},$

$b=2m\beta=2(0.750)(0.362)=0.543\ \mathrm{kg\,s^{-1}}.$

按定义

$Q=\frac{\omega_0}{2\beta} =\frac{20.0}{2(0.362)}=27.6.$

弱阻尼近似给 $\pi/\delta_{\log}=27.4$ ，相差不到 $1\%$ 。
独立检查： $\omega_d=2\pi/T_d=19.9\ \mathrm{rad\,s^{-1}}$ ，并且 $\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}=20.0\ \mathrm{rad\,s^{-1}}$ （三位有效数字），相容。振幅寿命 $2.76\ \mathrm s$ ，能量寿命 $1.38\ \mathrm s$ ，两者不可互换。

Knowledge 4 — Phase-space description of damping / 阻尼的相空间描述

Knowledge ID: P02-U02-L01-K04

4.1 一阶系统与 eigenvalues

取状态向量 $\mathbf y=(x,v)^{\mathsf T}$ ：

$\dot{\mathbf y} =\begin{pmatrix} 0&1\\ -\omega_0^2&-2\beta \end{pmatrix}\mathbf y \equiv\mathbf A\mathbf y.$

$\mathbf A$ 的 trace 为 $-2\beta$ 、determinant 为 $\omega_0^2$ ；其 eigenvalues 正是 $r_\pm$ 。因此时域中的“振荡或不振荡”与相图中的 spiral 或 node 是同一判别式的两种语言。

Damped Oscillations — 4.1 一阶系统与 eigenvalues（图 8） — 图 84.1 一阶系统与 eigenvalues

图 8：欠阻尼轨线绕原点旋入；临界与过阻尼沿 node 的特征方向进入。三图坐标为 schematic。

4.2 相面积收缩与能量几何

相流 divergence 为

$\nabla\cdot(\dot x,\dot v) =\frac{\partial\dot x}{\partial x} +\frac{\partial\dot v}{\partial v} =-2\beta.$

因此一个微小初值集合的相面积 $\mathcal A$ 满足 Liouville–Jacobi 公式

$\boxed{\mathcal A(t)=\mathcal A(0)e^{-2\beta t}}.$

这与能量包络指数相同，但物理量不同：一个是状态集合的几何面积，一个是单条轨迹的机械能尺度。

Damped Oscillations — 4.2 相面积收缩与能量几何（图 9） — 图 94.2 相面积收缩与能量几何

图 9：阻尼相流把一团初值压缩；这正是耗散系统区别于 Hamiltonian phase-area preservation 的几何信号。

机械能等值线

$\frac12mv^2+\frac12kx^2=E$

在 $$(x,v)$$ 平面是椭圆。阻尼轨线不断穿过更小的能量椭圆，因为

$\nabla E\cdot(\dot x,\dot v)=-bv^2.$

在转折点 $$v=0$$ 的瞬间 $\dot E=0$ ，但只要随后运动，能量继续下降；这不表示阻尼“暂时消失”。

Damped Oscillations — 4.2 相面积收缩与能量几何（图 10） — 图 104.2 相面积收缩与能量几何

图 10：欠阻尼轨线向内穿越能量椭圆；箭头方向与 $\dot E\le0$ 一致。

Worked Example 4 — 用相流计算初值面积与能量变化

沿用 $m=2.00\ \mathrm{kg}$ 、 $k=50.0\ \mathrm{N\,m^{-1}}$ 、 $b=12.0\ \mathrm{kg\,s^{-1}}$ ，取一小团初值在 $$t=0$$ 的相面积为 $\mathcal A_0=4.00\times10^{-4}\ \mathrm{m^2\,s^{-1}}$ 。求 $t=0.500\ \mathrm s$ 的相面积；并在状态 $x=0.0300\ \mathrm m$ 、 $v=0.200\ \mathrm{m\,s^{-1}}$ 求能量损失率。

状态空间： 坐标为 $$(x,v)$$ ，不是 $$(x,p)$$ ；面积单位因而是 $\mathrm{m^2\,s^{-1}}$ 。
模型： 常参数线性阻尼，故 divergence 为常数。

由 $\beta=b/(2m)=3.00\ \mathrm{s^{-1}}$ ，

$\mathcal A(0.500) =\mathcal A_0e^{-2\beta t} =(4.00\times10^{-4})e^{-3.00} =1.99\times10^{-5}\ \mathrm{m^2\,s^{-1}}.$

能量损失率只依赖速度：

$\frac{dE}{dt}=-bv^2 =-(12.0)(0.200)^2 =-0.480\ \mathrm W.$

检查： 面积比例 $e^{-3}=0.0498$ 无量纲且小于 1； $$x$$ 不进入瞬时损失率，但会决定随后加速度和速度。若改用 canonical $$(x,p)$$ ，面积整体多一个常数 $$m$$ ，相同比例仍成立。

全课整合 / Lesson synthesis

一条可靠的阻尼振动建模链是：

图 11：从本构假设到能量与相图复核；若 ringdown 非指数，应回到阻尼模型，而不是硬套一个“有效 $$b$$ ”。

公式与决策表 / Formula-and-decision table

任务	公式	使用条件与限制
建立自由阻尼方程	$m\ddot x+b\dot x+kx=0$	单自由度、线性回复力、线性黏性阻尼
分类	$\zeta=b/(2\sqrt{mk})$	$\zeta<1$ 欠阻尼， $$=1$$ 临界， $$1$$ 过阻尼
欠阻尼频率	$\omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}$	仅 $\beta<\omega_0$
任意时刻能量变化	$\dot E=-b\dot x^2$	三种阻尼区间均精确
振幅寿命	$\tau_A=1/\beta$	欠阻尼指数包络
能量寿命	$\tau_E=1/(2\beta)$	同相位峰值或周期平均包络
峰值衰减	$\delta_{\log}=N^{-1}\ln(A_n/A_{n+N})$	同向峰值、常 $$b$$
品质因数	$Q=\omega_0/(2\beta)$	线性模型； $Q\simeq\pi/\delta_{\log}$ 另需弱阻尼
相面积	$\mathcal A(t)=\mathcal A_0e^{-2\beta t}$	线性相流；坐标约定固定

模型边界 / Model boundaries

$F_d=-b\dot x$ 是局部经验线性化，不是所有摩擦的普遍定律。
$E_0e^{-2\beta t}$ 是能量包络或同相位峰值规律；任意时刻的精确式是 $\dot E=-b\dot x^2$ 。
$Q\simeq\pi/\delta_{\log}$ 与 $\Delta E/E\simeq2\pi/Q$ 要求 $Q\gg1$ ；低 $$Q$$ 应用指数比值。
临界阻尼的“最快”受线性、常参数、非振荡约束；主动控制、非线性阻尼或不同评价指标可改变最优方案。
线性模型预测任意小振幅都继续指数衰减；实际仪器会遇到噪声底、静摩擦和量化阈值。

易错概念诊所 / Misconception clinic

误解	修正与原因
“阻尼一定改变回复力。”	$$-kx$$ 与 $-b\dot x$ 是不同项；前者储能，后者耗散。
“欠阻尼频率就是 $\omega_0$ 。”	$\omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}<\omega_0$ ；只在弱阻尼时近似相等。
“过阻尼比临界阻尼回得更快。”	过阻尼出现慢根 $$r_+$$ ； $$b$$ 很大时松弛率约 $$k/b$$ ，反而变慢。
“振幅和能量具有同一寿命。”	能量与振幅平方成正比，故 $\tau_E=\tau_A/2$ 。
“转折点 $\dot E=0$ 表示没有阻尼。”	当下 $$v=0$$ ，阻尼功率瞬时为零；随后 $v\ne0$ 又继续耗散。
“相图螺旋说明真实物体沿螺旋运动。”	螺旋位于抽象 $$(x,v)$$ 状态空间，不是物理空间轨迹。
“完全无阻尼仍是 stable spiral。”	$$b=0$$ 时 eigenvalues 纯虚，相图是闭合 center，不收缩。

练习与检索 / Practice and retrieval

K01 概念： 为什么线性阻尼力在 $$v=0$$ 时为零，却仍能使一次完整振动的能量减少？
K01 建模： 写出竖直弹簧振子相对新平衡位置的阻尼方程，并说明重力为什么不再显式出现。
K02 分类： $m=1.00\ \mathrm{kg}$ 、 $k=16.0\ \mathrm{N\,m^{-1}}$ 时，分别判断 $b=4.00,8.00,12.0\ \mathrm{kg\,s^{-1}}$ 的区间。
K02 初值： 对临界阻尼系统 $\omega_0=3.00\ \mathrm{s^{-1}}$ 、 $x_0=0.200\ \mathrm m$ 、 $v_0=-0.100\ \mathrm{m\,s^{-1}}$ ，写出 $$x(t)$$ 。
K02 极限： 证明强过阻尼时慢根 $r_+\simeq-k/b$ 。
K03 图像： 某振幅包络在 $5.00\ \mathrm s$ 后降至初值的 $20.0\%$ ，求 $\beta$ 、 $\tau_A$ 与 $\tau_E$ 。
K03 数据： 相邻同向峰值为 $8.00\ \mathrm{mm}$ 与 $7.20\ \mathrm{mm}$ ，求 $\delta_{\log}$ ；若弱阻尼，估算 $$Q$$ 。
K03 能量： 若振幅一周期保留 $95.0\%$ ，能量一周期保留多少？损失百分比多少？
K04 相图： 对 $\omega_0=5.00\ \mathrm{s^{-1}}$ 、 $\beta=1.00\ \mathrm{s^{-1}}$ 求 eigenvalues，并说明相图类型。
K04 面积： $\beta=0.400\ \mathrm{s^{-1}}$ 时，初值相面积经过 $3.00\ \mathrm s$ 保留多少比例？
边界判断： 实验发现峰值每周期减少固定的 $0.50\ \mathrm{mm}$ ，而不是固定比例。为什么常 $$b$$ 模型可疑？
综合： 一个振子 $m=0.250\ \mathrm{kg}$ 、 $k=9.00\ \mathrm{N\,m^{-1}}$ ，要求临界阻尼。求 $$b_c$$ ；若实际 $b=2.40\ \mathrm{kg\,s^{-1}}$ ，判断区间并给出两个根。

参考答案 / Answers

1. 转折点只有瞬时 $$v=0$$ ；其余时刻 $$P_b=-bv^2<0$$ ，一周期积分为负。
2. 若 $$x$$ 从新平衡点量起， $m\ddot x+b\dot x+kx=0.$ 恒定 $$mg$$ 已被静态伸长 $k\Delta\ell=mg$ 抵消。
3. $b_c=2\sqrt{mk}=8.00\ \mathrm{kg\,s^{-1}}$ ；依次为欠阻尼、临界阻尼、过阻尼。
4. 临界解为 $x(t)=(C+Dt)e^{-3t}, \quad C=0.200, \quad D=v_0+3C=0.500,$ 所以 $x=(0.200+0.500t)e^{-3t}\ \mathrm m$ 。
5. $r_+=-\beta+\sqrt{\beta^2-\omega_0^2}$ ；用 $\sqrt{1-\epsilon}\simeq1-\epsilon/2$ ，得 $r_+\simeq-\omega_0^2/(2\beta)=-k/b$ 。
6. $e^{-5\beta}=0.200 \Rightarrow \beta=0.322\ \mathrm{s^{-1}}.$ $\tau_A=3.11\ \mathrm s$ ， $\tau_E=1.55\ \mathrm s$ 。
7. $\delta_{\log}=\ln(8.00/7.20)=0.1054$ ， $Q\simeq\pi/\delta_{\log}=29.8$ 。
8. 能量比例为 $$0.950^2=0.9025$$ ，损失 $9.75\%$ 。
9. $r=-1.00\pm i\sqrt{24.0} =(-1.00\pm4.90i)\ \mathrm{s^{-1}},$ 是 stable spiral。
10. $\mathcal A/\mathcal A_0=e^{-2\beta t}=e^{-2.40}=0.0907.$ 11. 常线性阻尼预言指数包络，即相邻峰值为固定比值；固定差值更像 Coulomb friction 或其他非线性损耗。
12. $b_c=2\sqrt{(0.250)(9.00)}=3.00\ \mathrm{kg\,s^{-1}}.$ $$b<b_c$$ ，欠阻尼； $\beta=4.80\ \mathrm{s^{-1}}$ 、 $\omega_0=6.00\ \mathrm{s^{-1}}$ ，故 $r=(-4.80\pm3.60i)\ \mathrm{s^{-1}}$ 。

Exit ticket

只给你一条 $$x(t)$$ ringdown 曲线，你将用哪两个独立检验判断 $F_d=-b\dot x$ 是否合理？
用一句方程和一幅相图解释：为什么 $$b>0$$ 时所有有限初值都趋向平衡，而 $$b=0$$ 时不趋向平衡？

参考资料与来源说明 / References and source notes

OpenStax, University Physics Volume 1, §15.5 Damped Oscillations — 线性阻尼方程、欠阻尼频率与三种区间。
MIT OpenCourseWare 8.03SC, Lecture 2: Damped Free Oscillators — 特征根、临界解和时域图景。
MIT OpenCourseWare 8.03SC, The Physics of Waves, Chapter 2 — 阻尼约定、三类解与复杂指数方法。
MIT OpenCourseWare 18.03, Chapter 13: Natural Frequency and Damping Ratio — 二阶系统阻尼比与特征根分类。
Caltech, The Feynman Lectures on Physics, Vol. I, Ch. 24: Transients — ringdown、储能与耗散功率的独立核对。

所有 TikZ 均按本文方程原创绘制，未复制来源插图。URL 与内容于 2026-08-23 实际核对。MIT 文本把速度项系数写作 $\gamma$ ；本文统一采用 $2\beta=b/m$ ，因此 MIT 的 $\gamma$ 对应本文 $2\beta$ 。

Source-to-content map

Source	Used for	Knowledge ID / Section	Model boundary or convention
OpenStax §15.5	$$-bv$$ 、 $\omega_d$ 、三阻尼区间	K01, K02	小速度线性阻力；OpenStax 的 $$b/(2m)$$ 对应本文 $\beta$
MIT 8.03 Lecture 2	特征根与临界双根	K02	单自由度、常参数线性系统
MIT 8.03 textbook Ch. 2	复指数解、欠阻尼包络、过阻尼长尾	K01–K03	MIT 的速度系数 $\gamma=2\beta$
MIT 18.03 Ch. 13	阻尼比和线性系统分类	K02, K04	数学分类不自行提供物理阻尼本构
Feynman Vol. I Ch. 24	储能、损耗功率、transient	K03	$$Q$$ 的每周期解释以弱损耗最透明

复习与拓展

下一课加入 $F_0\cos\omega t$ ，自由解成为 transient，外力决定的 particular solution 成为 steady state。
Lesson 2.2.2 将把 $$Q$$ 与功率半高全宽连接；不能提前把任意“半振幅宽度”叫作带宽。
Lesson 2.2.3 会把标量 $$m,k$$ 推广为 mass matrix $\mathbf M$ 与 stiffness matrix $\mathbf K$ ；阻尼矩阵若不能被同一模态基对角化，模式会再次耦合。

学习目标 / Learning objectives

先修知识 / Prerequisites

范围、约定与建模契约 / Scope, conventions, and modeling contract

符号表 / Notation