Learning objectives / 学习目标
完成本课后，你应当能够：
- 从弦微元的牛顿第二定律推导 \(\partial_t^2y=v^2\partial_x^2y\)，并逐项说明近似。
- 验证 \(F(x-vt)\)、\(G(x+vt)\) 及其叠加满足一维波动方程。
- 区分 initial conditions 与 boundary conditions，并用 d'Alembert formula 处理无限弦初值问题。
- 把一维方程推广为 \(\partial_t^2\psi=v^2\nabla^2\psi\)，用 wavefront 与 wave vector 描述三维传播。
- 从几何面积增长推导球面与柱面波的远场振幅和强度标度，并明确其源区与耗散边界。
Prerequisites / 先修知识
- Lesson 2.3.1：\(F(x\mp vt)\)、相位和介质元运动。
- 牛顿第二定律、线密度、张力与小角近似。
- 二阶偏导、链式法则和 Laplacian 的基本含义。
- 线性常微分方程中的“方程 + 初/边值”决定解的思想。
Scope and conventions / 范围与约定
- 弦沿 \(x\) 轴，平衡横位移为零，正 \(y\) 向上；弦张力大小 \(T_s\) 近似恒定。
- 研究均匀、线性、无耗散、无色散介质；源项存在时另写在方程右端，本课主体为齐次方程。
- \(x\) 是介质元平衡标签，\(y(x,t)\) 是横向位移场。
- 三维标量波用 \(\psi(\mathbf r,t)\)；矢量场还要满足额外约束，不能仅靠标量波动方程给全解。
- “球面/柱面扩散”指远离有限源且无吸收时的几何扩散，不是额外能量损耗。
Notation and modeling contract / 符号与建模契约
| Symbol | Meaning | SI unit |
|---|---|---|
| \(y(x,t)\) | 弦的横向位移 | \(\mathrm m\) |
| \(T_s\) | 弦的张力大小 | \(\mathrm N\) |
| \(\mu\) | 线密度 | \(\mathrm{kg\,m^{-1}}\) |
| \(v\) | 方程的波速参数 | \(\mathrm{m\,s^{-1}}\) |
| \(f(x)\) | 初始位移 \(y(x,0)\) | 与场同单位 |
| \(g(x)\) | 初始速度 \(\partial_t y(x,0)\) | 场单位每秒 |
| \(\psi(\mathbf r,t)\) | 三维标量波场 | 依物理场而定 |
| \(\nabla^2\) | Laplacian | \(\mathrm{m^{-2}}\) 乘所作用场 |
| \(\mathbf k\) | 波矢，指向相位增加方向 | \(\mathrm{rad\,m^{-1}}\) |
| \(r\) | 到点源的径向距离 | \(\mathrm m\) |
| \(\varrho\) | 到线源轴的柱坐标径向距离 | \(\mathrm m\) |
Knowledge 1 — Deriving the one-dimensional wave equation / 一维波动方程的推导
Knowledge ID: P02-U03-L02-K01
1.1 A short string element
取平衡长度 \(\Delta x\) 的弦微元，左右切线角分别为 \(\theta_L,\theta_R\)。张力方向沿局部切线。竖直合力为
\[F_y=T_s\sin\theta_R-T_s\sin\theta_L.\]
小斜率 \(\lvert\partial_x y\rvert\ll1\) 时，\(\sin\theta\simeq\tan\theta=\partial_x y\)，于是
\[F_y\simeq T_s\left[ \left.\frac{\partial y}{\partial x}\right|_{x+\Delta x} -\left.\frac{\partial y}{\partial x}\right|_x \right] \simeq T_s\frac{\partial^2y}{\partial x^2}\Delta x.\]
微元质量为 \(\mu\Delta x\)。牛顿第二定律给
\[\mu\Delta x\frac{\partial^2y}{\partial t^2} =T_s\frac{\partial^2y}{\partial x^2}\Delta x.\]
约去 \(\Delta x\)：
\[\boxed{ \frac{\partial^2y}{\partial t^2} =v^2\frac{\partial^2y}{\partial x^2}, \qquad v=\sqrt{\frac{T_s}{\mu}} }.\]
水平分量近似抵消，反映 \(T_s\) 近似恒定；如果斜率大、张力变化显著或弦有弯曲刚度，方程需修正。
1.2 Curvature drives acceleration
方程说明局部时间凹凸由空间曲率决定：\(\partial_x^2y>0\) 的“谷形”区域有向上加速度，\(\partial_x^2y<0\) 的“峰形”区域有向下加速度。这不是说曲率本身是力；恢复力来自张力的方向差。
Worked Example 1 — Derivation plus numerical speed
均匀弦 \(T_s=90.0\ \mathrm N\)、\(\mu=2.50\times10^{-3}\ \mathrm{kg\,m^{-1}}\)。在小斜率模型中求波速，并说明若空间曲率为 \(\partial_x^2y=-0.800\ \mathrm{m^{-1}}\)，局部横加速度为何值。
系统： 一小段柔性弦；实验室系，\(+y\) 向上。
模型理由： 均匀、恒张力、小振幅，故使用刚推导的 PDE。
\[v=\sqrt{\frac{90.0}{2.50\times10^{-3}}} =189.7\ \mathrm{m\,s^{-1}} \simeq190\ \mathrm{m\,s^{-1}}.\]
\[\frac{\partial^2y}{\partial t^2} =v^2\frac{\partial^2y}{\partial x^2} =(3.60\times10^4\ \mathrm{m^2\,s^{-2}})(-0.800\ \mathrm{m^{-1}}) =-2.88\times10^4\ \mathrm{m\,s^{-2}}.\]
负号表示向下。数值很大并不自动错误：短尺度曲率可对应大加速度；但若由此迅速产生大斜率，线性模型的适用时间会受限。
Knowledge 2 — Left- and right-traveling solutions / 左行与右行解
Knowledge ID: P02-U03-L02-K02
2.1 Chain-rule verification
令 \(\xi=x-vt\)，\(y=F(\xi)\)：
\[\frac{\partial^2y}{\partial x^2}=F''(\xi), \qquad \frac{\partial^2y}{\partial t^2}=v^2F''(\xi).\]
所以任何二次可微的 \(F(x-vt)\) 都满足波动方程；同理 \(G(x+vt)\) 也满足。线性性给出 d'Alembert 一般形式：
\[\boxed{y(x,t)=F(x-vt)+G(x+vt)}.\]
第一项向右，第二项向左。具体 \(F,G\) 由初值和边界决定，而不是方程本身随意指定。
2.2 Characteristics and finite propagation speed
信息沿 characteristic lines
\[x-vt=C_+, \qquad x+vt=C_-\]
传播。在 \(x\)–\(t\) 图中，事件 \((x,t)\) 只受初始线上区间 \([x-vt,x+vt]\) 的数据影响。这种有限依赖域是波动方程与扩散方程的重要区别。
Worked Example 2 — Verify a non-sinusoidal solution
考虑
\[y(x,t)=A\exp[-\alpha(x-vt)^2]+B\cos[k(x+vt)],\]
其中 \(\alpha>0\)。验证它满足波动方程并说明两部分方向。
已知与单位： \(A,B\) 是位移振幅，\(\alpha\) 的单位为 \(\mathrm{m^{-2}}\)，\(k\) 为 \(\mathrm{rad\,m^{-1}}\)，\(v\) 为 \(\mathrm{m\,s^{-1}}\)；因此两个函数自变量都无量纲。
研究对象、参考系与坐标： 无限均匀弦的横位移场；实验室系，\(+x\) 向右。
使用模型及理由： 线性一维齐次波动方程，允许任意两个解叠加。
第一项令 \(\xi=x-vt\)，第二项令 \(\eta=x+vt\)。对任意 \(F(\xi)\) 有 \(\partial_t^2F=v^2F''=v^2\partial_x^2F\)；对任意 \(G(\eta)\) 同样成立。由线性叠加，和也成立。
第一项保持 \(\xi\) 不变时 \(x=\xi+vt\)，向右；第二项保持 \(\eta\) 不变时 \(x=\eta-vt\)，向左。极限 \(B\to0\) 留下单个右行脉冲，\(A\to0\) 留下单个左行周期波，方向检查一致。这是符号推导题，有效数字不适用；单位、方向与极限均已检查。这个验证不需要波形是正弦，但要求函数足够光滑；尖角可用弱解或分段方法处理。
Knowledge 3 — Initial and boundary conditions / 初始条件与边界条件
Knowledge ID: P02-U03-L02-K03
3.1 Two initial fields for a second-order time equation
在无限弦上给定
\[y(x,0)=f(x), \qquad \left.\frac{\partial y}{\partial t}\right|_{t=0}=g(x),\]
d'Alembert formula 为
\[\boxed{ y(x,t)=\frac12[f(x-vt)+f(x+vt)] +\frac{1}{2v}\int_{x-vt}^{x+vt}g(s)\,ds }.\]
若 \(g=0\)，初始位移分成两个半振幅脉冲，分别向左右传播；总能量如何分配还需结合能量密度，而不能只看振幅线性相加。
3.2 Boundary conditions are physical constraints
对 \(0\le x\le L\)，常见边界为：
- 固定端（Dirichlet）：\(y(0,t)=0\)；
- 自由端（Neumann）：\(\partial_x y(0,t)=0\)，表示末端横向张力分量近似为零；
- 驱动端：\(y(0,t)=h(t)\)；
- 辐射/无反射近似：例如右边界 \(\partial_t y+v\partial_x y=0\) 只允许向右波离开。
初值必须与边界兼容，例如固定端要求 \(f(0)=0\) 且适当光滑时 \(g(0)=0\)。
Worked Example 3 — A triangular displacement released from rest
无限弦初始位移
\[f(x)= \begin{cases} A(1-\lvert x\rvert/a),&\lvert x\rvert\le a,\\ 0,&\lvert x\rvert>a, \end{cases}\]
且 \(g(x)=0\)。求 \(t>0\) 的解并给出两个脉冲完全分离的条件。
系统与参考系： 无限均匀弦，原点在初始三角峰；\(+x\) 向右。
模型： 线性无色散弦；尖角按分段解理解。
由 d'Alembert formula：
\[\boxed{y(x,t)=\frac12f(x-vt)+\frac12f(x+vt)}.\]
右行脉冲支撑区为 \(vt-a\le x\le vt+a\)，左行脉冲为 \(-vt-a\le x\le-vt+a\)。两区不重叠要求
\[-vt+a<vt-a \quad\Rightarrow\quad t>\frac{a}{v}.\]
每个峰值为 \(A/2\)。在 \(t=0\) 两项重叠恢复 \(f(x)\)，满足初位移；两项时间导数相反，故初速度为零。这两个检查比仅“套公式”更能验证解。
Knowledge 4 — Three-dimensional waves and wavefronts / 三维波与波前
Knowledge ID: P02-U03-L02-K04
4.1 Scalar three-dimensional wave equation
均匀各向同性介质中的标量波可写
\[\boxed{ \frac{\partial^2\psi}{\partial t^2} =v^2\nabla^2\psi }, \qquad \nabla^2=\frac{\partial^2}{\partial x^2} +\frac{\partial^2}{\partial y^2} +\frac{\partial^2}{\partial z^2}.\]
平面波
\[\psi(\mathbf r,t)=A\cos(\mathbf k\cdot\mathbf r-\omega t+\phi)\]
在 \(\omega=v\lVert\mathbf k\rVert\) 时满足方程。Wavefront 是同一时刻相位相同的曲面；平面波的 wavefront 是垂直于 \(\mathbf k\) 的平面。
4.2 Rays are normals, not material paths
在均匀各向同性、短波近似中，ray 沿 wavefront 法线，指出局部相位传播方向。ray 是描述能量流或相位传播的几何线，不是介质质点轨迹。非均匀介质中 wavefront 可弯曲，ray 也随之弯曲。
Knowledge 5 — Spherical and cylindrical spreading / 球面与柱面扩散
Knowledge ID: P02-U03-L02-K05
5.1 Spherical waves
球对称标量场中，三维 Laplacian 为
\[\nabla^2\psi =\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r} \left(r^2\frac{\partial\psi}{\partial r}\right).\]
令 \(u(r,t)=r\psi(r,t)\)，在 \(r>0\) 可化为
\[\frac{\partial^2u}{\partial t^2} =v^2\frac{\partial^2u}{\partial r^2}.\]
因此无源区球对称解为
\[\boxed{ \psi(r,t)=\frac{F(r-vt)+G(r+vt)}{r} }.\]
纯向外远场 \(\psi\propto1/r\)，若平均强度与振幅平方成正比，则 \(I\propto1/r^2\)，与球面积 \(4\pi r^2\) 增长一致。\(r=0\) 附近的 \(1/r\) 形式不能代替有限源的内部解。
5.2 Cylindrical waves
理想无限线源具有柱对称性。功率穿过长度 \(L_z\) 的柱面，面积为 \(2\pi\varrho L_z\)，无耗散时
\[I(\varrho)\propto\frac1{\varrho}.\]
若局部强度仍与振幅平方成正比，则远场振幅
\[\boxed{A(\varrho)\propto\varrho^{-1/2}}.\]
精确二维 Helmholtz 解用 Hankel functions；\(\varrho^{-1/2}\) 是远场渐近式，不应硬套到线源轴附近。
5.3 Geometry comparison
平面波理想上不发生几何振幅衰减；柱面波比球面波衰减慢。这些标度假定传播方向上无吸收且源功率稳定。
Worked Example 4 — Geometric spreading without absorption
一个各向同性点源在均匀无吸收介质中发出平均功率 \(P=12.0\ \mathrm W\)。求 \(r_1=2.00\ \mathrm m\) 与 \(r_2=8.00\ \mathrm m\) 处的强度比和数值；若场振幅满足 \(I\propto A^2\)，求振幅比。
系统边界： 以源为中心的球面；源与两个球面之间无吸收或散射。
模型： 远场、各向同性点源；球面对称。
\[I(r)=\frac{P}{4\pi r^2}.\]
\[I_1=\frac{12.0}{4\pi(2.00)^2}=0.2387\ \mathrm{W\,m^{-2}} \simeq0.239\ \mathrm{W\,m^{-2}},\]
\[I_2=\frac{12.0}{4\pi(8.00)^2}=1.49\times10^{-2}\ \mathrm{W\,m^{-2}}.\]
\[\frac{I_2}{I_1}=\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2=\frac1{16}, \qquad \boxed{\frac{A_2}{A_1}=\sqrt{\frac{I_2}{I_1}}=\frac14}.\]
通过任一球面的总功率仍是 \(I(4\pi r^2)=P\)，所以强度降低来自几何扩散，而非能量消失。
Lesson synthesis / 全课整合
一维弦的“局部曲率产生恢复加速度”给出 PDE；PDE 的 characteristics 说明扰动以有限速度传播；初值决定向左与向右成分，边界决定反射、驱动或离开；三维中 Laplacian 取代一维二阶空间导数，wavefront 的面积增长进一步控制远场振幅。
可执行建模流程：
- 选定场量、介质、坐标和小参数。
- 对微元写动力学，明确每一步线性化。
- 写 PDE，先做量纲和极限检查。
- 同时给足初始位移与初始速度，并指定物理边界。
- 用 symmetry 选择平面、柱面或球面几何，再判断是否处于远场。
Formula-and-decision table / 公式与决策表
| Task | Formula | Boundary of use |
|---|---|---|
| string PDE | \(\partial_t^2y=(T_s/\mu)\partial_x^2y\) | 小斜率、恒张力、柔性均匀弦 |
| general 1D solution | \(F(x-vt)+G(x+vt)\) | 齐次、均匀、恒 \(v\) 的无限局部区域 |
| initial-value solution | d'Alembert formula | 无限线或边界尚未影响的时间窗 |
| fixed boundary | \(y=0\) | ideal clamped end |
| free boundary | \(\partial_ny=0\) | ideal force-free end |
| 3D scalar PDE | \(\partial_t^2\psi=v^2\nabla^2\psi\) | 均匀各向同性标量线性波 |
| outgoing spherical | \(F(r-vt)/r\) | \(r>0\) 无源区、球对称 |
| cylindrical far field | \(A\propto\varrho^{-1/2}\) | 理想线源远场、无吸收 |
Model boundaries / 模型边界
- 弦推导忽略弯曲刚度、耗散、纵向运动与张力变化。
- d'Alembert 形式要求均匀恒速的一维方程；变系数介质一般不能写成简单平移函数。
- 有限弦上必须满足边界，不能把无限弦解无限期直接使用。
- 三维标量方程不自动包含 Maxwell 方程的散度条件、弹性固体的纵横模耦合或流体边界条件。
- \(1/r\) 与 \(1/\sqrt{\varrho}\) 是无源远场标度；近源区、吸收介质和非各向同性辐射需另模。
Misconception clinic / 易错概念诊所
| Misconception | Correction |
|---|---|
| “写出波动方程就得到唯一解。” | 二阶时间 PDE 还需两组初值，并需空间边界条件。 |
| “任何 \(F(x-vt)\) 都是正弦波。” | \(F\) 可为任意足够光滑的脉冲；正弦只是单频特例。 |
| “固定端和自由端都用 \(y=0\)。” | 固定端约束位移；理想自由端约束法向斜率或应力。 |
| “三维波振幅总按 \(1/r\)。” | 平面、柱面、球面几何不同；\(1/r\) 是球对称远场。 |
| “强度降低表示能量被介质吸收。” | 无吸收球面波也因面积增长而 \(I\propto r^{-2}\)。 |
| “ray 是质点运动轨迹。” | ray 是 wavefront 法线或能流方向的几何描述。 |
| “\(1/r\) 解在 \(r=0\) 也成立。” | 点源理想化在那里奇异；实际有限源必须有内部解。 |
Practice and retrieval / 练习与检索
- K01 推导： 为什么弦微元竖直合力与 \(\partial_x^2y\Delta x\) 成正比？
- K01 量纲： 验证 \(T_s/\mu\) 的单位是速度平方。
- K02 验证： 直接用链式法则验证 \(\sin[k(x+vt)]\) 满足波动方程并判断方向。
- K02 叠加： \(F(x-vt)+G(x+vt)\) 中两脉冲相遇后，在理想线性方程中会发生什么？
- K03 初值： 若 \(f=0\)、\(g(x)=g_0\) 仅在 \(\lvert x\rvert<a\) 非零，写 d'Alembert 积分形式。
- K03 边界： 固定端初值需满足什么最低兼容条件？
- K03 辐射边界： 证明右行波满足 \(\partial_t y+v\partial_x y=0\)。
- K04 平面波： 将 \(A\cos(\mathbf k\cdot\mathbf r-\omega t)\) 代入三维方程，求色散关系。
- K04 波前： 写出 \(\mathbf k=(3,4,0)\ \mathrm{rad\,m^{-1}}\) 的 wavefront 方程，并给法向方向。
- K05 球面： 半径加倍时，球面波强度和振幅分别变为多少？
- K05 柱面： 理想线源距离变为 9 倍时，强度与远场振幅分别变为多少？
- 综合边界： 为什么在有明显吸收的介质中，仅测得 \(I\propto r^{-2}\) 不能普遍成立？
Answers / 参考答案
1. 小斜率下两端竖直张力分量为 \(T_s\partial_xy\)；其差是斜率对 \(x\) 的变化，即 \(T_s\partial_x^2y\Delta x\)。
2. \(\mathrm N/(kg\,m^{-1})=(kg\,m\,s^{-2})/(kg\,m^{-1})=m^2\,s^{-2}\)。
3. 令 \(\eta=x+vt\)，则 \(\partial_t^2y=v^2k^2[-\sin(k\eta)]\)，\(v^2\partial_x^2y\) 相同；\(\eta=C\) 给 \(dx/dt=-v\)，向左。
4. 相遇时位移线性相加，离开后各自恢复原形继续传播；没有永久“碰撞”或介质交换。
5.
\[y(x,t)=\frac{1}{2v}\int_{x-vt}^{x+vt}g(s)\,ds,\]
其中 \(g(s)=g_0\) 对 \(\lvert s\rvert<a\)，否则为零；积分等于区间与 \([-a,a]\) 交叠长度乘 \(g_0/(2v)\)。
6. 至少 \(f(0)=0\)；若要求经典光滑解且边界恒定，还需 \(g(0)=0\) 及更高阶兼容。
7. 对 \(F(x-vt)\)，\(\partial_tF=-vF'\)、\(\partial_xF=F'\)，两者相加为零。
8. \(\partial_t^2\psi=-\omega^2\psi\)，\(\nabla^2\psi=-\lVert\mathbf k\rVert^2\psi\)，故 \(\omega=v\lVert\mathbf k\rVert\)。
9. 固定相位 \(3x+4y=C\)；法向平行 \((3,4,0)\)，单位法向为 \((3/5,4/5,0)\)。
10. \(I\propto r^{-2}\) 变 \(1/4\)；\(A\propto r^{-1}\) 变 \(1/2\)。
11. \(I\propto\varrho^{-1}\) 变 \(1/9\)；\(A\propto\varrho^{-1/2}\) 变 \(1/3\)。
12. 吸收使穿过更大曲面的总功率也随距离下降，通常出现额外指数衰减；几何标度必须乘介质损耗因子。
Exit ticket / 退出检验
从弦微元的竖直合力写到一维波动方程，并对“无限弦、初始位移 \(f\)、初始速度为零”写出解。最后用一句话分别说明球面波的 \(1/r\) 振幅与柱面波的 \(1/\sqrt{\varrho}\) 振幅从何而来。
References and source notes / 参考资料与使用说明
Source-to-content map
| Source | Used for | Knowledge ID / Section | Model boundary or convention |
|---|---|---|---|
| OpenStax University Physics Vol. 1, 16.3 Wave Speed on a Stretched String | 弦微元推导、\(v=\sqrt{T_s/\mu}\) | K01 | 小振幅、恒张力柔性弦 |
| MIT OCW 8.03SC, Lecture 9: Wave Equation, Standing Waves, Fourier Series | wave equation、边界与模态接口 | K01, K03 | 线性连续弦 |
| MIT OCW 8.03SC, Lecture 10: Traveling Waves | d'Alembert traveling components 与 characteristics 图景 | K02, K03 | 均匀恒速一维波 |
| MIT OCW 8.03SC, Lecture 16: 2D and 3D Waves, Snell's Law | 2D/3D wavefront 与平面波 | K04 | 均匀介质内局部平面波描述 |
| University of Maryland PHYS273 class notes | 三维 Laplacian、球面解、球面强度标度 | K04, K05 | 球对称无源区；远场几何扩散 |
| MIT OCW RES.8-009, Lecture 8: Traveling Waves and Boundary Interactions | traveling solutions 与物理边界 | K02, K03 | 线性一维介质 |
Source notes
- 实际核对日期：2026-08-23。来源均为具体章节、讲义页或大学官方课程笔记。
- d'Alembert initial-value formula 与柱面远场标度在正文中作独立推导；来源符号统一为 \(v,T_s,\mu,\varrho\)。
- 所有示意图依据正文方程原创绘制；未复制课程图像。