波的能量与动量 · Energy and Momentum in Waves

Learning objectives / 学习目标

完成本课后，你应当能够：

从动能与弹性势能写出弦波的瞬时能量密度和功率通量，并验证局部守恒。
区分总功率与强度，推导无吸收球面波的 inverse-square law。
分别定义弦机械阻抗、声特性阻抗和电磁本征阻抗，说明它们不是同一单位下的单一物理量。
在约定清楚的 lossless normal-incidence 模型中计算振幅与功率的反射、透射系数并核对 $\mathcal R+\mathcal T=1$ 。
说明波的动量通量取决于具体波理论，并在真空电磁波的明确情形中计算辐射压。

Prerequisites / 先修知识

Lesson 2.3.1：相位、波速和局部质点速度。
Lesson 2.3.2：弦方程、球面扩散与边界条件。
功、能、功率、动量、压强和时间平均。
$\langle\sin^2\theta\rangle=\langle\cos^2\theta\rangle=1/2$ 。

Scope and conventions / 范围与约定

首先研究小振幅、线性、无耗散弦波；正功率定义为沿 $$+x$$ 穿过截面。
$$u$$ 表示单位长度能量密度时写 $u_\ell$ ，单位体积能量密度写 $$u_V$$ ，避免混淆。
$$P$$ 是功率（W）， $$I=P/A$$ 是强度（ $\mathrm{W\,m^{-2}}$ ）。
界面公式限于一维或法向入射、线性、稳态单频、实数正特性阻抗、界面无储能/耗散；若阻抗为复数，必须用实部和复幅值重新计算通量。
机械弦的振幅系数以位移定义；声学的振幅系数若出现则明确以压力定义。二者反射系数符号相反并非物理矛盾。
动量与辐射压的定量主例限于真空电磁平面波、法向入射；不把 $$p=E/c$$ 或 $$I/c$$ 直接移植到弦波与介质内电磁波。

Notation and modeling contract / 符号与建模契约

Symbol	Meaning	SI unit
$u_\ell$	弦的单位长度瞬时能量	$\mathrm{J\,m^{-1}}$
$$u_V$$	单位体积能量	$\mathrm{J\,m^{-3}}$
$$P(x,t)$$	穿过位置 $$x$$ 的瞬时功率	$\mathrm W$
$$I$$	时间平均功率每面积	$\mathrm{W\,m^{-2}}$
$$Z_s$$	弦行波机械阻抗 $T_s/v=\mu v$	$\mathrm{kg\,s^{-1}}$
$$Z_a$$	声特性阻抗 $\rho c_s$	$\mathrm{Pa\,s\,m^{-1}}$
$Z_{\rm EM}$	电磁本征阻抗 $$E/H$$	$\Omega$
$$r,t$$	指定场振幅的反射、透射系数	dimensionless
$\mathcal R,\mathcal T$	反射、透射功率比	dimensionless
$p_{\rm rad}$	辐射压	$\mathrm{Pa}$
$$c$$	真空光速	$\mathrm{m\,s^{-1}}$

Knowledge 1 — Energy density and energy transport / 能量密度与能量传输

Knowledge ID: P02-U03-L03-K01

1.1 Energy on a taut string

长度 $$dx$$ 的弦元横向速度为 $\partial_t y$ ，质量为 $\mu dx$ 。单位长度动能为

$u_K=\frac12\mu\left(\frac{\partial y}{\partial t}\right)^2.$

小斜率下伸长引起的单位长度弹性势能为

$u_U=\frac12T_s\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^2.$

所以

$\boxed{ u_\ell=u_K+u_U =\frac12\mu y_t^2+\frac12T_s y_x^2 }.$

这里 $$y_t$$ 、 $$y_x$$ 是偏导的简写。能量二次依赖振幅；位移可以正负，能量密度不能因此变负。

Energy and Momentum in Waves — 1.1 Energy on a taut string（图 1） — 图 11.1 Energy on a taut string

图 1：橙色标记位于斜率大小较大的区域，提示 $u_U\propto y_x^2$ ；红箭头是曲率所决定的恢复加速度 $$a_y$$ ，不是速度或能流箭头。

1.2 Power through a fixed point

右侧弦对左侧弦端的横向力与斜率有关。按“向 $$+x$$ 的能流为正”约定，瞬时功率

$\boxed{P(x,t)=-T_s\frac{\partial y}{\partial x}\frac{\partial y}{\partial t}}.$

将波动方程代入可得局部守恒式

$\boxed{\frac{\partial u_\ell}{\partial t}+\frac{\partial P}{\partial x}=0}.$

对右行正弦波 $y=A\cos(kx-\omega t)$ ：

$P=T_sAk\sin\theta\,A\omega\sin\theta =T_sA^2k\omega\sin^2\theta\ge0,$

$\boxed{\langle P\rangle =\frac12T_sk\omega A^2 =\frac12\mu v\omega^2A^2 =\frac12Z_s\omega^2A^2}.$

Energy and Momentum in Waves — 1.2 Power through a fixed point（图 2） — 图 21.2 Power through a fixed point

Energy and Momentum in Waves — 1.2 Power through a fixed point（图 3） — 图 31.2 Power through a fixed point

Worked Example 1 — Average power on a string

弦的 $T_s=100\ \mathrm N$ 、 $\mu=1.00\times10^{-2}\ \mathrm{kg\,m^{-1}}$ 。右行简谐波振幅 $A=5.00\ \mathrm{mm}$ 、频率 $f=20.0\ \mathrm{Hz}$ 。求 $v,Z_s,\langle P\rangle$ 。

系统边界： 一个固定横截面；比较每周期穿过它的能量。
参考系： 静止弦， $$+x$$ 向右。
模型： 小振幅、无耗散、单频右行波。

$v=\sqrt{\frac{100}{1.00\times10^{-2}}}=100\ \mathrm{m\,s^{-1}},$

$Z_s=\mu v=(1.00\times10^{-2})(100)=1.00\ \mathrm{kg\,s^{-1}},$

$\omega=2\pi f=125.66\ \mathrm{rad\,s^{-1}}.$

$\langle P\rangle =\frac12(1.00)(125.66)^2(5.00\times10^{-3})^2 =0.197\ \mathrm W.$

$\boxed{\langle P\rangle=0.197\ \mathrm W\quad\text{toward }+x}.$

单位： $(\mathrm{kg\,s^{-1}})(\mathrm{s^{-2}})(\mathrm{m^2})=\mathrm{kg\,m^2\,s^{-3}}=\mathrm W$ 。若振幅加倍，功率增至 4 倍。

Knowledge 2 — Intensity and inverse-square spreading / 强度与平方反比扩散

Knowledge ID: P02-U03-L03-K02

2.1 Power is not intensity

强度是垂直于局部传播方向的单位面积平均功率：

$\boxed{I=\frac{d\langle P\rangle}{dA_\perp}}.$

单位为 $\mathrm{W\,m^{-2}}$ 。理想各向同性点源在无吸收介质中，任意半径球面的总功率相同：

$\boxed{I(r)=\frac{P_{\rm src}}{4\pi r^2}}.$

这是一条几何守恒结论，不是所有辐射源的角分布定律。定向天线、偶极子和遮挡环境不能简单视为各向同性。

Energy and Momentum in Waves — 2.1 Power is not intensity（图 4） — 图 42.1 Power is not intensity

2.2 Geometric spreading versus attenuation

若介质还以衰减系数 $\alpha_I$ 吸收强度，一个常见远场模型是

$I(r)=\frac{P_0}{4\pi r^2}e^{-\alpha_I r}.$

$r^{-2}$ 是几何扩散，指数因子才表示功率被介质转化。不同资料可能以振幅衰减系数 $\alpha_A$ 写 $A\propto e^{-\alpha_A r}$ ，则强度系数通常为 $\alpha_I=2\alpha_A$ ；必须声明约定。

Worked Example 2 — Spherical intensity and amplitude ratio

各向同性声源平均声功率 $P=30.0\ \mathrm W$ ，忽略吸收。求 $r_1=5.00\ \mathrm m$ 、 $r_2=20.0\ \mathrm m$ 的强度及压力振幅比（假设同一介质中 $I\propto p_0^2$ ）。

系统： 以源为中心的两个球面；源与球面间无吸收。
模型： 点源远场、各向同性。

$I_1=\frac{30.0}{4\pi(5.00)^2}=9.55\times10^{-2}\ \mathrm{W\,m^{-2}},$

$I_2=\frac{30.0}{4\pi(20.0)^2}=5.97\times10^{-3}\ \mathrm{W\,m^{-2}}.$

$\frac{I_2}{I_1}=\left(\frac{5.00}{20.0}\right)^2=\frac1{16}, \qquad \boxed{\frac{p_{0,2}}{p_{0,1}}=\sqrt{\frac{I_2}{I_1}}=\frac14}.$

通过两个球面的功率都回到 $I(4\pi r^2)=30.0\ \mathrm W$ ，守恒检查通过。

Knowledge 3 — Impedance and power transmission / 阻抗与功率传输

Knowledge ID: P02-U03-L03-K03

3.1 Impedance is a wave-specific effort/flow ratio

阻抗把某种“努力量”与相应“流量”联系起来，但具体定义与单位依波型而变。下表的 $$Z>0$$ 均指 characteristic-impedance magnitude，场量等号按向 $$+x$$ 的纯行波约定；反向传播时带符号的力/速度或压力/速度之比可反号：

System	Characteristic impedance	Plane-wave power relation
transverse string	$Z_s=T_s/v=\mu v=\sqrt{T_s\mu}$	$\langle P\rangle=\tfrac12Z_s\omega^2A^2$ for peak displacement $$A$$
acoustics	$Z_a=\lvert p'/u\rvert=\rho c_s$ ；向 $$+x$$ 时 $$p'=Z_au$$ ，向 $$-x$$ 时 $$p'=-Z_au$$	$I=p_{\rm rms}^2/Z_a=p_0^2/(2Z_a)$
electromagnetism	$Z_{\rm EM}=E/H$	$I=E_{\rm rms}^2/Z_{\rm EM}$

三者的符号、单位和“振幅”都不同。它们共享的核心思想是：在一个纯行波中，两个共轭场量的比值由介质决定，功率通量由它们的乘积决定。

Energy and Momentum in Waves — 3.1 Impedance is a wave-specific effort/flow ratio（图 5） — 图 53.1 Impedance is a wave-specific effort/flow ratio

3.2 Matching maximizes transmission

无损法向界面若 $$Z_1=Z_2$$ ，满足边界连续性时不需反射即可同时匹配场与共轭流量，故 $\mathcal R=0$ 、 $\mathcal T=1$ 。阻抗失配越强，反射功率越大。若负载含耗散或反应性， $$Z$$ 可为复数，最大功率条件和驻波需使用 complex impedance。

Knowledge 4 — Reflection and transmission at an interface / 界面处的反射与透射

Knowledge ID: P02-U03-L03-K04

4.1 String displacement convention

界面位于 $$x=0$$ 。以弦横位移峰值定义

$r_y=\frac{A_r}{A_i}, \qquad t_y=\frac{A_t}{A_i}.$

位移连续与横向力连续给

$A_i+A_r=A_t, \qquad Z_1(A_i-A_r)=Z_2A_t.$

因此

$\boxed{ r_y=\frac{Z_1-Z_2}{Z_1+Z_2}, \qquad t_y=\frac{2Z_1}{Z_1+Z_2} }.$

功率系数为

$\boxed{ \mathcal R=\lvert r_y\rvert^2, \qquad \mathcal T=\frac{Z_2}{Z_1}\lvert t_y\rvert^2 =\frac{4Z_1Z_2}{(Z_1+Z_2)^2} }.$

对实数正阻抗， $\mathcal R+\mathcal T=1$ 。注意振幅可因反相而为负，功率比不能为负。

Energy and Momentum in Waves — 4.1 String displacement convention（图 6） — 图 64.1 String displacement convention

4.2 Pressure convention has the opposite reflected sign

对流体声学，以压力峰值定义的法向入射系数是

$\boxed{ r_p=\frac{Z_2-Z_1}{Z_1+Z_2}, \qquad t_p=\frac{2Z_2}{Z_1+Z_2} }.$

它与弦位移的 $$r_y$$ 相差负号，因为反向传播时“压力/质点速度”的符号关系反转，而弦位移/横力关系采用另一约定。声压功率系数仍为

$\mathcal R=\lvert r_p\rvert^2, \qquad \mathcal T=\frac{Z_1}{Z_2}\lvert t_p\rvert^2 =\frac{4Z_1Z_2}{(Z_1+Z_2)^2}.$

Energy and Momentum in Waves — 4.2 Pressure convention has the opposite reflected sign（图 7） — 图 74.2 Pressure convention has the opposite reflected sign

Energy and Momentum in Waves — 4.2 Pressure convention has the opposite reflected sign（图 8） — 图 84.2 Pressure convention has the opposite reflected sign

Worked Example 3 — String interface: amplitudes and powers

一列弦位移波从 $Z_1=2.00\ \mathrm{kg\,s^{-1}}$ 的区域入射到 $Z_2=8.00\ \mathrm{kg\,s^{-1}}$ 的区域。界面无质量、无耗散。求位移 $$r_y,t_y$$ 及功率 $\mathcal R,\mathcal T$ 。

系统边界： 包含界面小结点；稳态法向一维入射。
模型： 线性、实阻抗、相同角频率；振幅明确指弦横位移。

$r_y=\frac{2.00-8.00}{2.00+8.00}=-0.600,$

$t_y=\frac{2(2.00)}{2.00+8.00}=0.400.$

负的 $$r_y$$ 表示反射位移倒相；透射位移振幅只有入射的 $$0.400$$ ，但不能据此说透射功率为 $$0.160$$ ，因为阻抗改变。

$\mathcal R=(-0.600)^2=0.360,$

$\mathcal T=\frac{8.00}{2.00}(0.400)^2=0.640.$

$\boxed{\mathcal R=36.0\%,\qquad\mathcal T=64.0\%}.$

守恒： $$0.360+0.640=1.000$$ 。极限 $Z_2\to\infty$ 给 $r_y\to-1$ ，对应固定端式倒相反射，方向与图景一致。

Knowledge 5 — Momentum transport and radiation pressure / 动量传输与辐射压

Knowledge ID: P02-U03-L03-K05

5.1 Momentum flux is theory-dependent

波携带能量并不意味着所有波都满足同一个“动量 $$=$$ 能量/波速”公式：

真空电磁波：场动量密度 $\mathbf g=\mathbf S/c^2$ ，单向辐射的动量通量为 $$I/c$$ 。
声波：平均 radiation stress 是二阶量，受边界、吸收、流体平均流和热黏性效应影响。
弦波：横向位移场的线性理论直接给出能流；纵向真实动量、canonical momentum 与 pseudomomentum 必须区分。
介质内电磁动量存在 Abraham–Minkowski 等表述问题；本课不把真空公式泛化到介质。

5.2 Vacuum electromagnetic radiation pressure

真空平面电磁波法向照射：

$\boxed{ p_{\rm rad}=\frac{I}{c} \quad\text{perfect absorption} }$

因为单位面积单位时间吸收能量 $$I$$ ，相应吸收动量为 $$I/c$$ 。完美镜面反射使法向动量从 $$+p$$ 变为 $$-p$$ ，变化量加倍：

$\boxed{ p_{\rm rad}=\frac{2I}{c} \quad\text{perfect normal reflection} }.$

Energy and Momentum in Waves — 5.2 Vacuum electromagnetic radiation pressure（图 9） — 图 95.2 Vacuum electromagnetic radiation pressure

Energy and Momentum in Waves — 5.2 Vacuum electromagnetic radiation pressure（图 10） — 图 105.2 Vacuum electromagnetic radiation pressure

Energy and Momentum in Waves — 5.2 Vacuum electromagnetic radiation pressure（图 11） — 图 115.2 Vacuum electromagnetic radiation pressure

Worked Example 4 — Laser pressure and force

连续激光功率 $P_L=2.00\ \mathrm W$ ，均匀照射面积 $A=1.00\ \mathrm{cm^2}=1.00\times10^{-4}\ \mathrm{m^2}$ ，法向入射。分别求完美吸收面与完美反射面的平均压强和力。取 $c=2.998\times10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}}$ 。

系统边界： 光束与受照表面的动量交换；实验室系，法线沿光传播。
模型： 真空平面波、均匀光斑、无边缘发散、理想吸收或镜面反射。

$I=\frac{P_L}{A} =\frac{2.00}{1.00\times10^{-4}} =2.00\times10^4\ \mathrm{W\,m^{-2}}.$

吸收面：

$p_{\rm abs}=\frac{I}{c} =6.67\times10^{-5}\ \mathrm{Pa},$

$F_{\rm abs}=p_{\rm abs}A =6.67\times10^{-9}\ \mathrm N.$

反射面：

$\boxed{p_{\rm refl}=1.33\times10^{-4}\ \mathrm{Pa}, \qquad F_{\rm refl}=1.33\times10^{-8}\ \mathrm N}.$

量纲： $(\mathrm{W\,m^{-2}})/(\mathrm{m\,s^{-1}})=\mathrm{J\,m^{-3}}=\mathrm{Pa}$ 。反射力恰为吸收力两倍，符合动量反向的极限检查。

Lesson synthesis / 全课整合

能量守恒在局部写成“能量密度变化 + 通量散度 $$=0$$ ”。强度把功率分配到面积；阻抗把纯行波中的共轭场量联结；界面连续性再把入射通量拆成反射与透射。动量通量必须回到具体场理论；真空电磁波给出最清楚的 $$I/c$$ 与 $$2I/c$$ 辐射压极限。

可执行界面流程：

声明波型与振幅变量：位移、压力还是电场。
写界面两条连续条件，而不是先背 $$r,t$$ 。
求振幅系数后，用对应阻抗权重换成功率系数。
检查 $\mathcal R,\mathcal T\ge0$ 与无损时 $\mathcal R+\mathcal T=1$ 。
动量问题写系统边界和入射/出射动量流，说明吸收、反射与透射。

Formula-and-decision table / 公式与决策表

Task	Formula	Required convention/boundary
string energy density	$u_\ell=\tfrac12\mu y_t^2+\tfrac12T_sy_x^2$	小斜率柔性弦
string power	$$P=-T_sy_xy_t$$	$$+x$$ 能流为正
sinusoidal string average	$\langle P\rangle=\tfrac12Z_s\omega^2A^2$	$$A$$ 为峰值位移
intensity	$I=d\langle P\rangle/dA_\perp$	面积垂直于局部能流
isotropic point source	$I=P/(4\pi r^2)$	无吸收、远场、各向同性
string displacement reflection	$$r_y=(Z_1-Z_2)/(Z_1+Z_2)$$	一维无损界面
acoustic pressure reflection	$$r_p=(Z_2-Z_1)/(Z_1+Z_2)$$	法向入射、压力振幅
lossless power transmission	$\mathcal T=4Z_1Z_2/(Z_1+Z_2)^2$	实数正 characteristic impedances
EM absorbing pressure	$p_{\rm rad}=I/c$	真空、法向、完美吸收
EM reflecting pressure	$p_{\rm rad}=2I/c$	真空、法向、完美镜面反射

Model boundaries / 模型边界

弦能量式只包含横向小斜率线性项；大振幅时几何和张力能量含高阶修正。
$I\propto r^{-2}$ 需要各向同性点源和无吸收；定向源用每立体角功率。
阻抗是 wave-specific； $Z_s,Z_a,Z_{\rm EM}$ 的单位不同，不能直接数值比较。
简单 $$r,t$$ 假设法向入射、平面界面、单模传播和实阻抗；斜入射、模式转换、复阻抗需更完整理论。
声波与弦波的动量包含介质响应和二阶平均，不能直接套真空光的 $$I/c$$ 。
介质内电磁动量的定义涉及场与物质的整体划分；本课只给真空结果。

Misconception clinic / 易错概念诊所

Misconception	Correction
“振幅两倍，功率两倍。”	线性简谐波平均功率通常与振幅平方成正比，因此变四倍。
“强度就是总功率。”	强度是每单位垂直面积的功率；相同功率可因扩散有不同强度。
“ $$1/r^2$$ 表示能量损失。”	无吸收时总功率守恒，只是分布到更大球面。
“阻抗在所有波中都是同一单位。”	弦、声和电磁的 effort/flow 变量不同，单位也不同。
“透射振幅平方就是透射功率比。”	两侧阻抗不同时必须乘阻抗比；具体方向依振幅变量而定。
“反射振幅为负表示负能量。”	负号表示相位翻转；功率系数取绝对值平方。
“所有波都有压力 $$I/v$$ 。”	动量通量依具体理论； $$I/c$$ 在此严格限于真空电磁波吸收。
“反射总使辐射压变小。”	完美法向反射使动量反向，压强是完美吸收的两倍。

Practice and retrieval / 练习与检索

K01 推导： 由 $u_\ell$ 和波动方程证明 $\partial_tu_\ell+\partial_xP=0$ 。
K01 比例： 同一弦、同一频率下振幅变为 3 倍，平均功率变为多少倍？
K01 计算： $Z_s=0.800\ \mathrm{kg\,s^{-1}}$ 、 $f=10.0\ \mathrm{Hz}$ 、 $A=2.00\ \mathrm{mm}$ ，求平均功率。
K02 几何： 各向同性源在 $3.00\ \mathrm m$ 处 $I=2.00\ \mathrm{W\,m^{-2}}$ ，求 $12.0\ \mathrm m$ 处强度。
K02 边界： 为什么定向天线不能仅用总功率除以 $4\pi r^2$ 得任意方向强度？
K03 定义： 写出 $Z_s,Z_a,Z_{\rm EM}$ 的定义或等价式，并各给单位。
K04 弦： $$Z_1=Z_2$$ 时求 $r_y,t_y,\mathcal R,\mathcal T$ 。
K04 声压： 声波从 $$Z_1$$ 入射 $$Z_2=3Z_1$$ ，求 $r_p,t_p,\mathcal R,\mathcal T$ 。
K04 极限： 弦位移波遇 $Z_2\to0$ 时 $$r_y$$ 趋于多少？它对应自由端式还是固定端式反射？
K05 光压： $I=1.00\times10^3\ \mathrm{W\,m^{-2}}$ 的光被完美吸收，求压强。
K05 动量： 为什么完美镜面反射的法向压强为 $$2I/c$$ ？
综合： 若一个界面计算得到 $\mathcal R=0.49$ 、 $\mathcal T=0.64$ 且声明无损，诊断至少一个可能错误。

Answers / 参考答案

1. $\partial_tu_\ell=\mu y_ty_{tt}+T_sy_xy_{xt} =T_sy_ty_{xx}+T_sy_xy_{xt} =\partial_x(T_sy_ty_x)=-\partial_xP.$ 2. $\langle P\rangle\propto A^2$ ，故变 $$3^2=9$$ 倍。
3. $\langle P\rangle=\frac12(0.800)(2\pi\times10.0)^2(2.00\times10^{-3})^2 =6.32\times10^{-3}\ \mathrm W.$ 4. $$I_2/I_1=(3/12)^2=1/16$$ ，故 $I_2=0.125\ \mathrm{W\,m^{-2}}$ 。
5. 定向源的每立体角功率不均匀； $P/(4\pi r^2)$ 只给各向同性平均，不给方向图。
6. 这里给出正值特性阻抗幅度： $Z_s=T_s/v=\mu v$ ，单位 $\mathrm{kg\,s^{-1}}$ ； $Z_a=\lvert p'/u\rvert=\rho c_s$ ，单位 $\mathrm{Pa\,s\,m^{-1}}$ ； $Z_{\rm EM}=\lvert E/H\rvert$ ，单位 $\Omega$ 。传播方向造成的有符号场量关系另行判断。
7. $r_y=0,t_y=1,\mathcal R=0,\mathcal T=1$ 。
8. $r_p=\frac{3-1}{3+1}=0.500, \qquad t_p=\frac{2(3)}{4}=1.50,$ $\mathcal R=0.250, \qquad \mathcal T=\frac{Z_1}{3Z_1}(1.50)^2=0.750.$ 压力透射振幅可大于 1，功率仍守恒。
9. $r_y\to+1$ ，位移不倒相，是自由端式反射。
10. $p=I/c=3.34\times10^{-6}\ \mathrm{Pa}.$ 11. 入射光动量法向分量由 $$+p$$ 变为 $$-p$$ ，波的变化量为 $$-2p$$ ；表面得到 $$+2p$$ 。
12. 两者和为 $$1.13>1$$ ，违反无损被动界面的功率守恒；可能把振幅平方直接当透射功率、漏阻抗权重，或混用了压力与位移系数。

Exit ticket / 退出检验

一列弦位移波从 $$Z_1$$ 入射 $$Z_2$$ 。写出位移 $$r_y,t_y$$ 和功率 $\mathcal R,\mathcal T$ ，说明为什么 $$t_y^2$$ 一般不等于 $\mathcal T$ 。再用动量流解释真空光在完美反射面上的压强为何是 $$2I/c$$ 。

References and source notes / 参考资料与使用说明

Source-to-content map

Source	Used for	Knowledge ID / Section	Model boundary or convention
OpenStax University Physics Vol. 1, 16.4 Energy and Power of a Wave	弦能量、平均功率、强度和球面扩散	K01, K02	小振幅正弦弦波；各向同性无吸收球面
MIT OCW 8.03SC, The Physics of Waves, Chapters 8–9	弦阻抗、界面连续条件、位移振幅系数	K03, K04	一维线性弦；正文明确采用 displacement convention
MIT OCW RES.8-009, Lecture 8: Traveling Waves and Boundary Interactions	反射、透射与边界能量分配	K03, K04	traveling-wave normal interface
MIT OCW 2.062J Wave Propagation, Lecture Notes	string、rod、sound 的一维波与 sound-interface 课程框架	K03, K04	线性连续介质；不同波型阻抗分开定义
OpenStax University Physics Vol. 2, 16.3 Energy Carried by Electromagnetic Waves	Poynting vector、EM intensity 与能量密度	K01, K03, K05	真空平面电磁波
OpenStax University Physics Vol. 2, 16.4 Momentum and Radiation Pressure	$$I/c$$ 、 $$2I/c$$ 与吸收/反射动量交换	K05	真空、法向、完美吸收或反射
NASA Science, Universe Glossary — radiation pressure	辐射压由吸收、反射或发射中的动量交换产生	K05	定性官方定义；定量公式由 OpenStax 核验

Source notes

实际核对日期：2026-08-23。链接均指向具体章节、PDF 或大学官方 lecture-notes index。
MIT 波教材以弦位移定义反射振幅；OpenStax 电磁章节以场强和强度定义。本课没有把两套符号静默混用。
所有界面图、功率账本和辐射压图依据正文方程原创绘制，未复制来源插图。