Learning objectives / 学习目标
完成本课后，你应当能够：
- 区分 pulse、periodic wave、wave profile 与 medium element，并写出刚性平移的行波函数。
- 从 \(y(x,t)\) 读取 \(A\)、\(\lambda\)、\(T\)、\(f\)、\(k\)、\(\omega\)、\(v_{\rm ph}\) 与初相位。
- 用 constant-phase condition 判断传播方向，用偏导数判断指定位置质点的速度与加速度。
- 用位移方向相对于传播方向分类 transverse 与 longitudinal waves，而不把示意图轨迹误当成质点轨迹。
- 从“弹性恢复能力 / 惯性”结构理解弦、流体和细杆中的波速，并检查单位与模型边界。
Prerequisites / 先修知识
- 谐振子模型中的周期、角频率和相位。
- 函数平移：\(F(x-a)\) 向 \(+x\) 方向平移 \(a\)。
- 三角恒等式、弧度制、链式法则和偏导数记号。
- 密度、张力、体积模量和杨氏模量的基本含义。
Scope and conventions / 范围与约定
- 参考系固定在均匀、静止的介质上；\(+x\) 为波的正传播方向候选。
- \(y(x,t)\) 表示在平衡位置标签为 \(x\) 的介质元的横向位移；它不是介质元在平面内的运动轨迹。
- 先研究线性、小振幅、无耗散、无色散波；色散留到 Lesson 2.4.3。
- \(v_{\rm ph}\) 是相位或波形速度；\(u_y=\partial y/\partial t\) 是介质元横向速度。两者量纲相同，但不是同一物理量。
- 本课中 \(T_s\) 专指弦的张力，\(T\) 专指周期；避免一符多义。
Notation and modeling contract / 符号与建模契约
| Symbol | Meaning | SI unit |
|---|---|---|
| \(x\) | 介质元的平衡位置标签 | \(\mathrm m\) |
| \(y(x,t)\) | 横向位移场 | \(\mathrm m\) |
| \(A\) | 位移振幅 | \(\mathrm m\) |
| \(\lambda\) | 波长 | \(\mathrm m\) |
| \(T\) | 周期 | \(\mathrm s\) |
| \(f\) | 频率，\(f=1/T\) | \(\mathrm{Hz}\) |
| \(k\) | 波数大小，\(k=2\pi/\lambda\) | \(\mathrm{rad\,m^{-1}}\) |
| \(\omega\) | 角频率，\(\omega=2\pi f\) | \(\mathrm{rad\,s^{-1}}\) |
| \(\phi\) | 初相位或相位常量 | \(\mathrm{rad}\) |
| \(v_{\rm ph}\) | 相速度，非色散时也是波形速度 | \(\mathrm{m\,s^{-1}}\) |
| \(u_y\) | 介质元横向速度 \(\partial_t y\) | \(\mathrm{m\,s^{-1}}\) |
| \(T_s\) | 弦的恒定张力 | \(\mathrm N\) |
| \(\mu\) | 弦的线密度 | \(\mathrm{kg\,m^{-1}}\) |
| \(B\) | 流体体积模量 | \(\mathrm{Pa}\) |
| \(Y\) | 细杆杨氏模量 | \(\mathrm{Pa}\) |
| \(\rho\) | 体密度 | \(\mathrm{kg\,m^{-3}}\) |
Knowledge 1 — Pulses, periodic waves, and traveling-wave functions / 脉冲、周期波与行波函数
Knowledge ID: P02-U03-L01-K01
1.1 What travels?
**机械波（mechanical wave）**是介质中的扰动传播；局部介质元围绕平衡位置运动，能量和信息可跨越介质传递，但介质通常不随波形整体迁移。一个孤立扰动称 pulse；重复的扰动称 periodic wave。
若初始波形为 \(F(x)\)，在均匀、无色散介质中以恒速 \(v>0\) 刚性平移：
\[\boxed{y(x,t)=F(x-vt)}\]
向 \(-x\) 传播则为
\[\boxed{y(x,t)=G(x+vt)}.\]
符号判断来自固定波形特征：令 \(x-vt=C\)，则 \(x=C+vt\) 随时间增大，所以它向右；不要靠“括号里是负号所以向左”记忆。
1.2 Snapshot versus history
- \(y(x,t_0)\)：固定时间，沿弦拍下的 snapshot。
- \(y(x_0,t)\)：固定介质元的 history；记录它上下如何振动。
- \(x\) 在场描述中标记平衡位置，不是同一质点随时间变化的横坐标。
Worked Example 1 — Translating a Gaussian pulse
已知： \(y(x,0)=0.0300\exp[-(x/0.200\ \mathrm m)^2]\ \mathrm m\)，脉冲在静止弦上以 \(v=4.00\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 向右传播。求 \(t=0.150\ \mathrm s\) 的函数和峰值位置。
研究对象与参考系： 介质位移场；弦的实验室参考系，\(+x\) 向右。
模型： 均匀、线性、无色散弦，故波形刚性平移。
\[y(x,t)=0.0300\exp\left[-\left(\frac{x-vt}{0.200\ \mathrm m}\right)^2\right]\mathrm m.\]
代入 \(t=0.150\ \mathrm s\)：
\[\boxed{y(x,0.150\ \mathrm s)=0.0300\exp\left[-\left(\frac{x-0.600\ \mathrm m}{0.200\ \mathrm m}\right)^2\right]\mathrm m}.\]
指数最大要求 \(x-vt=0\)，所以 \(x_{\rm peak}=0.600\ \mathrm m\)。括号中比值无量纲，振幅仍为 \(0.0300\ \mathrm m\)；极限 \(t\to0\) 恢复初始函数。波峰移动 \(0.600\ \mathrm m\)，不意味着某一段弦横向移动了该距离。
Knowledge 2 — Amplitude, wavelength, period, frequency, and wave number / 振幅、波长、周期、频率与波数
Knowledge ID: P02-U03-L01-K02
2.1 Sinusoidal traveling wave
向 \(+x\) 传播的简谐行波可写成
\[\boxed{y(x,t)=A\cos(kx-\omega t+\phi)}.\]
同相点在空间相隔 \(\lambda\)，所以 \(k\lambda=2\pi\)；同一介质元重复一次需 \(T\)，所以 \(\omega T=2\pi\)：
\[k=\frac{2\pi}{\lambda}, \qquad \omega=\frac{2\pi}{T}=2\pi f, \qquad v_{\rm ph}=\frac{\omega}{k}=\lambda f.\]
2.2 What amplitude does—and does not—mean
\(A\) 是所选场量离平衡值的最大偏离。位移波的 \(A\) 单位是米，压力波的振幅单位是帕，电场波则是伏每米。振幅并非波速；在线性介质中改变 \(A\) 通常不改变 \(v_{\rm ph}\)，但能量常随 \(A^2\) 改变。
Worked Example 2 — Reading a wave function
给定
\[y(x,t)=(4.00\ \mathrm{cm})\cos\left[(5.00\ \mathrm{rad\,m^{-1}})x-(20.0\ \mathrm{rad\,s^{-1}})t+\frac{\pi}{6}\right].\]
研究对象： 弦的横向位移；实验室系，\(+x\) 向右。
模型理由： 单一 \(kx-\omega t\) 相位，故为向右简谐行波。
\[A=0.0400\ \mathrm m, \qquad \lambda=\frac{2\pi}{5.00}=1.26\ \mathrm m,\]
\[f=\frac{20.0}{2\pi}=3.18\ \mathrm{Hz}, \qquad T=0.314\ \mathrm s,\]
\[\boxed{v_{\rm ph}=\frac{20.0}{5.00}=4.00\ \mathrm{m\,s^{-1}}\quad(+x)}.\]
单位检查：\((\mathrm{rad\,s^{-1}})/(\mathrm{rad\,m^{-1}})=\mathrm{m\,s^{-1}}\)。初相位只移动图形的参考位置，不改变 \(A,\lambda,f\) 或波速。
Knowledge 3 — Phase and phase difference / 相位与相位差
Knowledge ID: P02-U03-L01-K03
3.1 Phase as a label of oscillation state
相位
\[\theta(x,t)=kx-\omega t+\phi\]
同时编码位置和时刻。两事件 \((x_1,t_1)\)、\((x_2,t_2)\) 的相位差为
\[\boxed{\Delta\theta=k(x_2-x_1)-\omega(t_2-t_1)}.\]
相位只在模 \(2\pi\) 意义下确定。同相要求 \(\Delta\theta=2\pi n\)；反相要求 \(\Delta\theta=(2n+1)\pi\)。
令 \(\theta=C\)：
\[\frac{dx}{dt}=\frac{\omega}{k}>0,\]
所以 \(kx-\omega t\) 向右；\(kx+\omega t\) 则向左。
3.2 Particle velocity is a different derivative
固定 \(x\) 对时间求偏导：
\[u_y(x,t)=\frac{\partial y}{\partial t} =A\omega\sin(kx-\omega t+\phi).\]
波形的空间斜率为
\[\frac{\partial y}{\partial x}=-Ak\sin(kx-\omega t+\phi),\]
因此向右行波满足
\[\boxed{\frac{\partial y}{\partial t}=-v_{\rm ph}\frac{\partial y}{\partial x}}.\]
在下降坡 \(\partial_x y<0\) 上，介质元瞬时向上；波峰处斜率为零，介质元瞬时速度也为零，但波峰仍向右移动。
Worked Example 3 — Phase lag and local motion
沿 \(+x\) 传播的波 \(y=A\cos(kx-\omega t)\)，\(\lambda=0.800\ \mathrm m\)，\(f=5.00\ \mathrm{Hz}\)。比较同一时刻相距 \(\Delta x=0.300\ \mathrm m\) 的两点，并判断当某点相位为 \(\theta=\pi/3\) 时质点运动方向。
参考系与坐标： 静止介质，\(+x\) 向右；比较点 2 位于点 1 右侧。
模型： 非色散简谐横波。
\[k=\frac{2\pi}{0.800\ \mathrm m}=7.85\ \mathrm{rad\,m^{-1}},\]
\[\Delta\theta=k\Delta x=(7.85)(0.300)=2.36\ \mathrm{rad}=0.750\pi.\]
点 2 的相位比点 1 大 \(0.750\pi\)；“领先/滞后”必须随采用的 \(kx-\omega t\) 约定说明，不能只报口号。质点速度
\[u_y=A\omega\sin\theta.\]
当 \(\theta=\pi/3\)，\(\sin\theta>0\)，故 \(u_y>0\)，质点向上。波速为
\[v_{\rm ph}=\lambda f=4.00\ \mathrm{m\,s^{-1}},\]
仍向右；局部质点向上与波向右不矛盾。
Knowledge 4 — Transverse and longitudinal waves / 横波与纵波
Knowledge ID: P02-U03-L01-K04
4.1 Classification by displacement direction
- Transverse wave： 介质位移方向垂直于传播方向，例如理想拉紧弦的小振幅横波。
- Longitudinal wave： 介质位移方向平行于传播方向，例如流体声波的压缩与稀疏。
分类对象是局部场的运动方向，不是纸上曲线的朝向。电磁波虽无机械介质元，但 \(\mathbf E\)、\(\mathbf B\) 横于传播方向，因此称横波。
4.2 Displacement, pressure, and density are not in phase
若纵向位移为 \(\xi(x,t)\)，小变形下密度或压力扰动与压缩率有关：
\[\delta\rho\propto-\frac{\partial\xi}{\partial x}, \qquad p'\propto-\frac{\partial\xi}{\partial x}.\]
所以位移腹不一定是压力腹；在正弦波中，空间导数带来四分之一波长的相位差。用“上下画的正弦曲线”表示声压，并不意味着空气上下运动。
Knowledge 5 — Wave speed from medium properties / 由介质性质决定的波速
Knowledge ID: P02-U03-L01-K05
5.1 Elasticity divided by inertia
很多小振幅机械波的速度具有共同结构：
\[\boxed{v\sim\sqrt{\frac{\text{elastic stiffness}}{\text{inertial density}}}}.\]
具体场与几何不同，分子和适用条件也不同：
| Medium and mode | Speed | Conditions |
|---|---|---|
| taut flexible string | \(v=\sqrt{T_s/\mu}\) | 小斜率、恒张力、弯曲刚度可忽略 |
| inviscid fluid compression | \(v=\sqrt{B/\rho}\) | 小振幅、绝热或指定热力过程 |
| slender rod longitudinal wave | \(v=\sqrt{Y/\rho}\) | 一维长波、横向应力条件合适 |
这些式子不是任意固体或任意频率下的万能公式。三维固体有纵波与两类横波，速度涉及不同弹性常数。
5.2 Why frequency usually does not set the speed here
在理想非色散模型中，介质性质先决定 \(v\)，驱动频率再通过
\[\lambda=\frac{v}{f}\]
决定波长。提高频率使波长变短，却不自动使波传播更快。真实介质若具有色散、黏性、弯曲刚度或微观尺度，\(v\) 才可能随频率变化。
Worked Example 4 — String speed and the source frequency
一根弦张力 \(T_s=120\ \mathrm N\)，线密度 \(\mu=3.00\times10^{-3}\ \mathrm{kg\,m^{-1}}\)。振源频率为 \(f=50.0\ \mathrm{Hz}\)。求波速与波长；若频率加倍而张力和线密度不变，再求波速与波长。
系统与参考系： 均匀拉紧弦；实验室系。
模型： 小振幅、柔性弦、恒张力、忽略耗散和弯曲刚度。
\[v=\sqrt{\frac{T_s}{\mu}} =\sqrt{\frac{120\ \mathrm N}{3.00\times10^{-3}\ \mathrm{kg\,m^{-1}}}} =200\ \mathrm{m\,s^{-1}}.\]
\[\lambda=\frac{v}{f} =\frac{200\ \mathrm{m\,s^{-1}}}{50.0\ \mathrm{s^{-1}}} =4.00\ \mathrm m.\]
频率加倍为 \(100\ \mathrm{Hz}\) 时，介质参数不变，故
\[\boxed{v'=200\ \mathrm{m\,s^{-1}},\qquad \lambda'=2.00\ \mathrm m}.\]
量纲：\(\mathrm N/(kg\,m^{-1})=m^2\,s^{-2}\)。若观测到波速随频率显著改变，说明理想无色散弦模型不足，而不是 \(v=f\lambda\) 被破坏。
Lesson synthesis / 全课整合
可执行流程：
- 先说清被画的是位移、压力、电场还是别的场量。
- 固定 \(t\) 看 snapshot，固定 \(x\) 看质点 history。
- 令相位常量判断传播方向；用 \(\partial_t\) 判断局部运动。
- 由介质的恢复参数与惯性参数求 \(v\)，再用 \(v=\lambda f\) 联结时空周期。
- 检查小振幅、线性、均匀和无色散假设。
Formula-and-decision table / 公式与决策表
| Need | Relation | Use only when |
|---|---|---|
| right-moving profile | \(F(x-vt)\) | 恒速、无色散刚性平移 |
| left-moving profile | \(G(x+vt)\) | 同上 |
| sinusoidal right wave | \(A\cos(kx-\omega t+\phi)\) | 单频、线性波 |
| spatial period | \(k=2\pi/\lambda\) | \(k\) 为波数大小 |
| temporal period | \(\omega=2\pi f=2\pi/T\) | 弧度制 |
| phase velocity | \(v_{\rm ph}=\omega/k=\lambda f\) | 单色波；色散时不是群速度 |
| local transverse velocity | \(u_y=\partial_t y\) | \(y\) 是位移场 |
| string speed | \(\sqrt{T_s/\mu}\) | 柔性、小斜率、恒张力 |
| fluid compression speed | \(\sqrt{B/\rho}\) | 小振幅且热力过程已指定 |
| rod longitudinal speed | \(\sqrt{Y/\rho}\) | 细杆一维近似 |
Model boundaries / 模型边界
- 大振幅弦使几何非线性和张力变化不可忽略，波速可依赖振幅。
- 真实弦的弯曲刚度、内部耗散和离散结构可造成色散。
- 流体声速中的 \(B\) 必须与过程一致；快速声学过程通常接近绝热而非等温。
- 水面波同时含横向和纵向质点运动，不宜简单归为纯横波。
- 相速度可以描述相位图样，不必等于能量或信息速度；本课无色散模型中它们才重合。
Misconception clinic / 易错概念诊所
| Misconception | Correction |
|---|---|
| “波向右，所以质点也向右。” | 波形传播与局部质点运动是不同导数；横弦质点主要上下运动。 |
| “\(F(x-vt)\) 中有负号，所以向左。” | 固定 \(x-vt=C\) 得 \(x=C+vt\)，故向右。 |
| “峰顶质点速度最大。” | 向右正弦位移波的峰顶 \(\partial_t y=0\)；质点横向速度在过平衡位置时最大。 |
| “提高频率一定提高波速。” | 理想非色散介质的速度由介质参数决定，频率改变波长。 |
| “所有画成正弦曲线的波都是横波。” | 声压常画成正弦图，但空气位移沿传播方向，是纵波。 |
| “相位差只能由距离决定。” | 一般 \(\Delta\theta=k\Delta x-\omega\Delta t\)，同时依赖时空事件。 |
| “\(k\) 的单位是每米，不需要弧度。” | 弧度无量纲但标注 \(\mathrm{rad\,m^{-1}}\) 能清楚表达相位梯度。 |
Practice and retrieval / 练习与检索
- K01 概念： 为什么 \(y(x,t)\) 的正弦曲线不是弦上一小段质点的轨迹？
- K01 函数： 初始脉冲 \(F(x)=A/(1+x^2/a^2)\) 以速度 \(v\) 向左，写 \(y(x,t)\)。
- K02 读取： 对 \(y=0.020\sin(4x+12t)\)（SI），求 \(A,k,\omega,\lambda,f,v\) 和传播方向。
- K02 图像： 同一介质中频率由 \(20\ \mathrm{Hz}\) 增至 \(50\ \mathrm{Hz}\)，若 \(v=100\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 不变，求两波长。
- K03 相位： 同一时刻相距 \(\lambda/6\) 的两点相位差是多少？
- K03 方向： 证明 \(y=A\cos(kx+\omega t)\) 的定相位点向 \(-x\) 移动。
- K03 局部运动： 向右行波某点的空间斜率为正，该介质元此刻向上还是向下？
- K04 分类： 说明空气声压图虽画成上下起伏却为何不表示横波。
- K05 计算： \(T_s=80.0\ \mathrm N\)、\(\mu=5.00\times10^{-3}\ \mathrm{kg\,m^{-1}}\)，求弦上波速。
- K05 比例： 张力变为原来的 4 倍、线密度不变，波速和同频波长各变为几倍？
- 综合： \(y=0.010\cos(10x-40t)\)，求 \(x=0.100\ \mathrm m,t=0\) 处 \(y,u_y\)，并判断传播方向。
- 边界： 实验发现不同频率的弦波速度不同，列出两个可能使理想公式失效的物理因素。
Answers / 参考答案
1. \(x\) 标记不同介质元的平衡位置，曲线是同一时刻全体位移的 snapshot；单个理想横弦质点的 \(x\) 不随波峰前进。
2. 向左用 \(x+vt\)：\(y(x,t)=A/[1+(x+vt)^2/a^2]\)。
3. \(A=0.020\ \mathrm m\)，\(k=4.00\ \mathrm{rad\,m^{-1}}\)，\(\omega=12.0\ \mathrm{rad\,s^{-1}}\)，\(\lambda=2\pi/4=1.57\ \mathrm m\)，\(f=12/(2\pi)=1.91\ \mathrm{Hz}\)，\(v=3.00\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)，因 \(kx+\omega t\) 向左。
4. \(\lambda_1=100/20=5.00\ \mathrm m\)，\(\lambda_2=100/50=2.00\ \mathrm m\)。
5. \(\Delta\theta=k\Delta x=(2\pi/\lambda)(\lambda/6)=\pi/3\)，方向顺序决定正负。
6. \(kx+\omega t=C\) 给 \(x=C/k-(\omega/k)t\)，故 \(dx/dt=-\omega/k\)。
7. 对向右波 \(\partial_t y=-v\partial_x y\)；斜率为正则 \(u_y<0\)，质点向下。
8. 图的纵轴是压力扰动的数值，不是空间中的位移方向；空气质点沿传播方向压缩和稀疏。
9.
\[v=\sqrt{80.0/(5.00\times10^{-3})}=126\ \mathrm{m\,s^{-1}}.\]
10. \(v\propto\sqrt{T_s}\)，故速度变 2 倍；同频时 \(\lambda=v/f\) 也变 2 倍。
11. 相位为 \(1.00\ \mathrm{rad}\)：
\[y=0.010\cos1.00=5.40\times10^{-3}\ \mathrm m,\]
\[u_y=A\omega\sin1.00=0.337\ \mathrm{m\,s^{-1}}.\]
\(kx-\omega t\) 表示向 \(+x\)。
12. 例如弯曲刚度、内部耗散、非均匀线密度、离散结构或大振幅引起张力变化；任列两个并说明即可。
Exit ticket / 退出检验
一列理想横波写成 \(y=A\cos(kx-\omega t)\)。不使用口诀，分别用定相位法和链式法则说明：波峰向哪边、下降坡上的质点向哪边；随后写出弦速公式及它的两个核心近似。
References and source notes / 参考资料与使用说明
Source-to-content map
| Source | Used for | Knowledge ID / Section | Model boundary or convention |
|---|---|---|---|
| OpenStax University Physics Vol. 1, 16.1 Traveling Waves | pulse、periodic wave、横纵波和介质元图景 | K01, K04 | 机械波依赖介质；电磁波例外 |
| OpenStax University Physics Vol. 1, 16.2 Mathematics of Waves | \(F(x\mp vt)\)、正弦行波、\(k,\omega,v\) | K01–K03 | 非色散恒速平移；符号约定在正文统一 |
| OpenStax University Physics Vol. 1, 16.3 Wave Speed on a Stretched String | \(v=\sqrt{T_s/\mu}\) 与弹性/惯性结构 | K05 | 柔性小振幅弦、恒张力 |
| MIT OCW 8.03SC, Lecture 10: Traveling Waves | traveling-wave phase、传播方向和局部运动 | K01–K03 | undergraduate linear-wave convention |
| MIT OCW RES.8-009, Lecture 8: Traveling Waves and Boundary Interactions | wave equation solutions and medium-dependent speed | K01, K05 | 小振幅线性波；本课仅取传播描述部分 |
Source notes
- 实际核对日期：2026-08-23。所有 URL 均打开到具体章节或讲义。
- 正文依照统一的 \(kx-\omega t\) 向右约定重写；图均由正文方程原创绘制，未复制来源插图。
- OpenStax 用 \(v_w\) 表示波速；本课统一写 \(v_{\rm ph}\)，并把局部质点速度写成 \(u_y\)。