Learning objectives / 学习目标
能由声压求强度与 dB；正确叠加独立声源；区分 frequency、pitch、spectrum、timbre；解释等响曲线与 A-weighting 的用途和边界；从周期信号求 Fourier 线谱，并判断窗长、频率分辨率与谱泄漏。
Prerequisites / 先修知识
- 声压、阻抗、强度。
- 对数、均方根、Fourier series 与采样的基本概念。
Scope and conventions / 范围与约定
- 空气中参考声压 \(p_{\mathrm{ref}}=20\ \mathrm{\mu Pa}\)；参考强度常取 \(I_0=10^{-12}\ \mathrm{W\,m^{-2}}\)。
- 除非声明，dB 数值是声压级 \(L_p\)；必须注明 weighting、时间平均与测点。
- 心理声学响应随频率、持续时间、背景和个体变化；本课不把“响度”当成声强的同义词。
- 频谱采用 \(x(t)=a_0+\sum_{n\ge1}[a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)]\)。
Notation / modeling contract
| 符号 | 含义 | 单位 |
|---|---|---|
| \(I\) | 平均声强 | \(\mathrm{W\,m^{-2}}\) |
| \(L_I,L_p\) | 声强级、声压级 | dB |
| \(f_0,nf_0\) | 基频、谐波频率 | Hz |
| \(a_n,b_n\) | Fourier 系数 | 与信号相同 |
| \(\Delta f\) | 频率栅格间隔 | Hz |
1. Intensity, intensity level, and decibels / 强度、声强级与分贝
Knowledge ID: P02-U05-L02-K01
声强是单位面积平均功率；在单向无损平面波中 \(I=p_{\mathrm{rms}}^2/Z\)。声级是由无量纲比值定义的对数量；dB 是表达该对数量的单位（非 SI 单位），必须同时声明所比较的量与参考值：
\[L_I=10\log_{10}\left(\frac{I}{I_0}\right),\qquad L_p=20\log_{10}\left(\frac{p_{\mathrm{rms}}}{p_{\mathrm{ref}}}\right).\]
第二个式子的 20 来自 \(I\propto p_{\mathrm{rms}}^2\)；只有参考阻抗相容时两种级才近似数值相等。
独立、不相干声源要先加均方声压或强度：
\[L_{\mathrm{tot}}=10\log_{10}\left(\sum_i10^{L_i/10}\right).\]
2. Frequency, pitch, spectrum, and timbre / 频率、音高、频谱与音色
Knowledge ID: P02-U05-L02-K02
frequency 是每秒周期数；pitch 是听觉对周期性/音高的组织。二者高度相关但不等同：缺失基频、强度和语境都可改变音高判断。spectrum 描述各频率分量；timbre 是在音高和响度近似相同时仍区分声源的属性，受频谱包络、起音/衰减、噪声与调制共同决定。
“纯音”近似单一频率；现实乐音有有限持续时间，谱线会展宽。只看稳态幅度谱不能完整重建音色，还需相位与时间包络。
3. Human hearing and equal-loudness response / 人耳听觉与等响响应
Knowledge ID: P02-U05-L02-K03
耳廓和耳道收集声压，中耳作机械阻抗变换，耳蜗基底膜把频率映射到位置。人耳敏感度随频率强烈变化；equal-loudness contour 给出不同频率产生相同主观响度所需的 SPL。
A-weighting 是仪器滤波近似，用于某些噪声评价，不是耳朵的完整模型；报告必须写 dBA 而非裸 dB。NIOSH 的职业噪声限值是风险管理标准，也不是“听觉安全的绝对边界”。
4. Fourier spectra of musical sounds / 乐音的傅里叶频谱
Knowledge ID: P02-U05-L02-K04
周期信号的系数为
\[a_n=\frac{2}{T_0}\int_0^{T_0}x(t)\cos(n\omega_0t)\,dt,\qquad b_n=\frac{2}{T_0}\int_0^{T_0}x(t)\sin(n\omega_0t)\,dt.\]
振幅 \(A_n=\sqrt{a_n^2+b_n^2}\)，相位由 \(a_n,b_n\) 共同确定。有限窗 \(T_w\) 的 DFT 栅格间隔 \(\Delta f=1/T_w\)；非整数周期截窗会产生 spectral leakage。
声源–滤波器观点很有用：弦/声带产生谐波系列，共鸣腔的频率响应形成谱包络和 formants。谱峰不必都是声源本征频率。
Worked Examples / 完整例题
Example 1 — 由声压求 SPL 与强度
已知： 空气中 \(p_{\mathrm{rms}}=0.200\ \mathrm{Pa}\)、\(Z=412\ \mathrm{Pa\,s\,m^{-1}}\)。对象/边界： 单向远场平面波。参考系： 静止空气；面积法向沿传播方向。模型理由： 可用 \(I=p_{\mathrm{rms}}^2/Z\)。
\[L_p=20\log_{10}\frac{0.200}{20\times10^{-6}}=80.0\ \mathrm{dB}, \qquad I=9.71\times10^{-5}\ \mathrm{W\,m^{-2}}.\]
三位有效数字；压力比无量纲，强度单位正确。以 \(I_0\) 计算约 \(79.9\ \mathrm{dB}\)，差异来自所用 \(Z\) 与参考量约定。
Example 2 — 两台相同、不相干机器
已知： 每台在测点产生 \(76.0\ \mathrm{dB}\)；相位随机。对象/边界： 同一测点均方声压叠加。参考系/方向： 测点固定，声级无矢量方向。模型理由： 随机相位使交叉项时间平均为零，故独立声源加强度。
\[L_{\mathrm{tot}}=10\log_{10}\left(2\times10^{7.6}\right) =76.0+10\log_{10}2=79.0\ \mathrm{dB}.\]
三位有效数字为 \(79.0\ \mathrm{dB}\)；对数的真数无量纲。结果不是 \(152\ \mathrm{dB}\)，加一倍功率只加 \(3.01\ \mathrm{dB}\)；若两源相干，答案还依相位和位置。
Example 3 — 缺失基频
已知： 谱线为 \(400,600,800,1000\ \mathrm{Hz}\)。对象/边界： 周期性复合音，不指定空间传播方向。参考系： 记录设备时钟。模型理由： 周期信号的谐波频率应是某 \(f_0\) 的整数倍。最大公因频率为 \(200\ \mathrm{Hz}\)，故可感知约 \(200\ \mathrm{Hz}\) 的 missing fundamental pitch。单位/有效数字： 频率单位为 Hz，按给定分辨率报告 \(200\ \mathrm{Hz}\)。方向/量纲检查： 频率为标量且各线分别是 \(2,3,4,5\) 次谐波。合理性/边界： 实际音高还受包络、听者和持续时间影响。
Example 4 — 频谱分辨率设计
已知： 要分开 \(440\ \mathrm{Hz}\) 与 \(444\ \mathrm{Hz}\)，采样率 \(48.0\ \mathrm{kHz}\)。对象/边界： 矩形窗 DFT；只讨论栅格间隔。时间正向： 记录开始为 \(t=0\)。模型理由： 有限窗的 Fourier 栅格由 \(\Delta f=1/T_w\le4\ \mathrm{Hz}\) 决定。
\[T_w\ge0.250\ \mathrm s,\qquad N=f_sT_w\ge(48000)(0.250)=12000.\]
至少 12000 点；单位和有效数字一致。实际分辨还受窗主瓣宽度、噪声与泄漏影响，不能把 bin spacing 等同于可分辨率的全部。
Lesson synthesis / 建模流程
先标明测量量、参考量、weighting 与平均方式；功率量用 \(10\log\)、幅度量用 \(20\log\)；比较音色时同时看频率、幅相、包络和瞬态；任何听觉结论都注明频率与个体依赖。
Formula-and-decision table
| 任务 | 公式/方法 | 条件 |
|---|---|---|
| 声压级 | \(L_p=20\log_{10}(p_{\mathrm{rms}}/p_{\mathrm{ref}})\) | 写明 reference/weighting |
| 独立源合成 | \(10\log_{10}\sum10^{L_i/10}\) | 不相干、同一测点 |
| Fourier 系数 | 周期积分 | 稳态周期信号 |
| DFT 栅格 | \(\Delta f=1/T_w\) | 不等于完整分辨能力 |
| 响度比较 | equal-loudness data | 心理声学、非单一公式 |
Model boundaries / 模型边界
- dB 必须关联参考值；dBA、dBC、unweighted 不可混写。
- \(I=p_{\mathrm{rms}}^2/Z\) 只适用于单向平面行波；混响场通常需专门测量。
- 等响曲线是统计听觉数据，不是每个人的精确阈值。
- Fourier 幅度谱不含完整时序；短音的 pitch/timbre 不能只靠稳态线谱。
Misconception clinic / 误区诊所
- 两个 \(60\ \mathrm{dB}\) 不是 \(120\ \mathrm{dB}\)；独立等强源为约 \(63\ \mathrm{dB}\)。
- frequency 是物理量，pitch 是感知；二者不能逐字替换。
- A-weighting 不是“人耳真实传递函数”，也不适用于所有任务。
- FFT 峰高依窗函数与归一化；不能脱离约定比较。
Practice and retrieval / 练习与提取
- [K01] 强度增至 100 倍，声强级变多少？
Answer 1
增加 \(10\log_{10}100=20\ \mathrm{dB}\)。
- [K01] 声压 RMS 加倍，\(L_p\) 变化？
Answer 2
增加 \(20\log_{10}2=6.02\ \mathrm{dB}\)。
- [K01] 三个相同的 \(70\ \mathrm{dB}\) 独立源合成。
Answer 3
\(70+10\log_{10}3=74.8\ \mathrm{dB}\)。
- [K02] 音高相同是否保证波形相同？
Answer 4
不保证；谐波幅相、噪声、包络不同会产生不同音色。
- [K02] \(300,450,600\ \mathrm{Hz}\) 的共同基频候选？
Answer 5
\(150\ \mathrm{Hz}\)，分别为 2、3、4 次谐波。
- [K03] 为什么低频纯音常需更高 SPL 才与 1 kHz 一样响？
Answer 6
人耳频率响应非平坦；等响曲线在低频通常要求更高声压级。
- [K03] “85 dBA”缺少哪两类实验语境？
Answer 7
至少还需时间平均/交换率与测点或暴露时长；职业限值不是瞬时阈值。
- [K04] \(T_w=2.0\ \mathrm s\) 的 bin spacing。
Answer 8
\(\Delta f=0.50\ \mathrm{Hz}\)。
- [K04] 非整数周期截窗为何出现旁瓣？
Answer 9
矩形截窗在端点制造不连续；时域乘窗对应频域卷积，使能量扩散。
- [综合] 同一 SPL 的 100 Hz 与 1 kHz 是否同样响？
Answer 10
不一定；须查对应响度级和声级范围，不能只比 SPL。
Exit ticket
一台设备从 \(82\) dBA 降到 \(76\) dBA。若其他条件相同，A-weighted 均方压力/功率代理量变为多少？
Exit answer
下降 \(6\ \mathrm{dB}\)，功率代理比为 \(10^{-6/10}=0.251\)，RMS 压力比为 \(10^{-6/20}=0.501\)。
References and source notes
- OpenStax, 17.3 Sound Intensity, accessed 2026-08-24.
- CDC/NIOSH, Understand Noise Exposure, accessed 2026-08-24.
- UNSW Music Acoustics, Joe Wolfe, Musical Sounds and Musical Signals, accessed 2026-08-24.
- MIT OpenCourseWare 8.03SC, Lecture 14: Fourier Transform and AM Radio, accessed 2026-08-24.
- International Organization for Standardization, ISO 226:2023 — Acoustics — Normal equal-loudness-level contours, accessed 2026-08-24.
Source-to-content map
| Source | Used for | Knowledge ID / Section | Boundary/convention |
|---|---|---|---|
| OpenStax 17.3 | 强度、声级、距离规律 | K01 | 平均功率与参考值 |
| CDC/NIOSH | SLM、dBA、职业暴露语境 | K03 | 风险标准非听觉定律 |
| UNSW Wolfe | pitch、harmonics、timbre、formants | K02, K04 | 音乐信号的源–滤波器观 |
| MIT 8.03SC L14 | Fourier 变换与频谱 | K04 | 变换归一化需声明 |
| ISO 226:2023 | 等响级曲线的定义、适用声场与受试者条件 | K03 | 正前方自由行进平面纯音；正常听力青年群体的标准化数据 |
复习与拓展
- 下一课把频率变化连接到声源、观察者与介质的相对运动。
- Applied Acoustics 将把声级、频谱和听觉指标用于房间与噪声设计。