Learning objectives / 学习目标
从连续性与动量方程推导一维声波方程；比较气、液、固体中的声速模型；在位移、质点速度、声压和强度之间换算；用声阻抗计算正入射反射与透射，并以能量守恒验算。
Prerequisites / 先修知识
Scope and conventions / 范围与约定
- 介质静止、均匀、各向同性；先研究一维、小振幅、无黏、绝热声波。
- \(x\) 向右；\(p=p_0+p'\)、\(\rho=\rho_0+\rho'\)，且 \(\lvert p'\rvert\ll p_0\)、\(\lvert\rho'\rvert\ll\rho_0\)。
- \(u=\partial\xi/\partial t\) 是介质质点速度，不是波速 \(c\)；采用 SI。
- 界面部分限于平面波、法向入射、实数特性阻抗；斜入射和耗散介质暂不讨论。
Notation / modeling contract
| 符号 | 含义 | SI 单位 |
|---|---|---|
| \(p',\rho'\) | 声压、密度扰动 | Pa, \(\mathrm{kg\,m^{-3}}\) |
| \(\xi,u\) | 质点位移、质点速度 | m, \(\mathrm{m\,s^{-1}}\) |
| \(B_s,E,G,K\) | 绝热体积模量、Young 模量、剪切模量、体积模量 | Pa |
| \(c\) | 相对于介质的声速 | \(\mathrm{m\,s^{-1}}\) |
| \(Z=\rho c\) | 平面行波特性声阻抗 | \(\mathrm{Pa\,s\,m^{-1}}\) |
1. Sound as a longitudinal pressure wave / 声音是纵向压强波
Knowledge ID: P02-U05-L01-K01
声波是介质中的机械扰动：流体质点沿传播方向前后振动，形成交替的 compression 与 rarefaction。质点不随波长距离迁移；传播的是相位、能量和信息。
线性化质量守恒和 Newton 第二定律：
\[\frac{\partial\rho'}{\partial t}+\rho_0\frac{\partial u}{\partial x}=0, \qquad \rho_0\frac{\partial u}{\partial t}=-\frac{\partial p'}{\partial x}.\]
绝热小扰动满足 \(p'=c^2\rho'\)。消去 \(\rho'\) 或 \(u\)：
\[\frac{\partial^2p'}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2p'}{\partial x^2}.\]
2. Speed of sound in gases, liquids, and solids / 气液固体中的声速
Knowledge ID: P02-U05-L01-K02
声速体现“回复刚度/惯性”的平方根：
\[c=\sqrt{\frac{B_s}{\rho_0}}.\]
理想气体的声压变化近似绝热，\(B_s=\gamma p_0\)：
\[c_{\mathrm{gas}}=\sqrt{\frac{\gamma p_0}{\rho_0}} =\sqrt{\gamma R_{\mathrm{sp}}T}.\]
液体用绝热体积模量；细长自由杆的一维纵波近似为 \(c_{\mathrm{rod}}=\sqrt{E/\rho}\)。无限三维各向同性固体的 P 波为 \(c_P=\sqrt{(K+4G/3)/\rho}\)，不可混用。
温度、成分、压力依赖必须与状态方程一起判断；理想气体在固定 \(T\) 下 \(p_0/\rho_0\) 不变，所以 \(c\) 近似不随压力变化。
3. Pressure amplitude and particle displacement / 压强振幅与质点位移
Knowledge ID: P02-U05-L01-K03
位移造成局部压缩：
\[p'=-B_s\frac{\partial\xi}{\partial x} =-\rho_0c^2\frac{\partial\xi}{\partial x}.\]
若向右行波 \(\xi=\hat\xi\cos(kx-\omega t)\)，则
\[u=\omega\hat\xi\sin(kx-\omega t),\qquad p'=\rho_0c\omega\hat\xi\sin(kx-\omega t)=Zu.\]
同一向右平面行波中 \(p'\) 与 \(u\) 同相；\(p'\) 与 \(\xi\) 相差四分之一周期。向左行波则 \(p'=-Zu\)。
瞬时能流密度 \(J=p'u\)；周期平均强度
\[I=\langle p'u\rangle=\frac{p_{\mathrm{rms}}^2}{Z} =Zu_{\mathrm{rms}}^2=\frac{\hat p^{\,2}}{2Z}.\]
4. Acoustic impedance and interface behavior / 声阻抗与界面行为
Knowledge ID: P02-U05-L01-K04
平面行波声阻抗 \(Z=p'/u=\rho c\)。法向入射到无损界面，总声压和法向质点速度连续。
\[r_p=\frac{p_r}{p_i}=\frac{Z_2-Z_1}{Z_2+Z_1},\qquad t_p=\frac{p_t}{p_i}=\frac{2Z_2}{Z_1+Z_2}.\]
\[R=\lvert r_p\rvert^2,\qquad T=\frac{Z_1}{Z_2}\lvert t_p\rvert^2 =\frac{4Z_1Z_2}{(Z_1+Z_2)^2},\qquad R+T=1.\]
匹配 \(Z_1=Z_2\) 时无反射。\(t_p\) 可大于 1，不代表输出能量大于输入；能流还含阻抗因子。
Worked Examples / 完整例题
Example 1 — 室温空气声速
已知： \(T=293.15\ \mathrm K\)，\(\gamma=1.40\)，\(R_{\mathrm{sp}}=287\ \mathrm{J\,kg^{-1}K^{-1}}\)。对象/边界： 静止理想气体小绝热扰动。参考系/正向： 介质系，传播方向为正。模型理由： 声周期短于热交换时间。
\[c=\sqrt{\gamma R_{\mathrm{sp}}T} =\sqrt{(1.40)(287)(293.15)}=343.2\ \mathrm{m\,s^{-1}}.\]
三位有效数字为 \(343\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)。根号内单位为 \(\mathrm{m^2s^{-2}}\)；升温使 \(c\) 增大。结果是波相对空气的速度，不是质点速度。
Example 2 — 水中回声测深
已知： \(c=1500\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)，往返时间 \(0.240\ \mathrm s\)。对象/边界： 船下脉冲与海底反射，忽略折射。参考系/正向： 海面系，向下为正。模型理由： 去、回路径各一次。
\[d=\frac{ct}{2}=\frac{(1500)(0.240)}2=180\ \mathrm m.\]
三位有效数字；量纲为长度。忘记 \(1/2\) 会把往返距离误作深度；结果是沿声线路径的平均深度。
Example 3 — 位移振幅对应的声压
已知： \(\rho_0=1.20\ \mathrm{kg\,m^{-3}}\)、\(c=343\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)、\(f=500\ \mathrm{Hz}\)、\(\hat\xi=2.00\ \mathrm{\mu m}\)。对象/边界： 无损向右平面正弦波。坐标： \(+x\) 向右。模型理由： 线性声学。
\[\hat p=\rho_0c(2\pi f)\hat\xi=2.59\ \mathrm{Pa}, \qquad I=\frac{(\hat p/\sqrt2)^2}{\rho_0c}=8.12\times10^{-3}\ \mathrm{W\,m^{-2}}.\]
三位有效数字；\(\rho c\omega\xi\) 的量纲为 Pa。微米级位移可对应可测声压，介质无净迁移。
Example 4 — 空气到水的阻抗失配
已知： \(Z_a=(1.20)(343)=4.12\times10^2\ \mathrm{Pa\,s\,m^{-1}}\)，\(Z_w=(1000)(1480)=1.48\times10^6\ \mathrm{Pa\,s\,m^{-1}}\)。对象/边界： 空气平面波法向入射水面；两侧无损。坐标： 指向水为正。模型理由： 压力与法向速度连续。
\[r_p=0.99944,\qquad T=\frac{4Z_aZ_w}{(Z_a+Z_w)^2}=1.11\times10^{-3},\qquad R=0.99889.\]
\(R+T=1.00000\)，系数无量纲。约 \(99.9\%\) 能量反射，说明空气耦合超声为何需要匹配层。
Lesson synthesis / 建模流程
先声明介质和几何，再选正确弹性模量求 \(c\)；用 \(p'=-B_s\partial_x\xi\) 或 \(p'=\pm Zu\) 连接微观运动与声压；界面题写压力、法向速度连续，最后以 \(R+T=1\) 检查。
Formula-and-decision table
| 问题 | 关系 | 使用条件/限制 |
|---|---|---|
| 流体声速 | \(c=\sqrt{B_s/\rho}\) | 小振幅、绝热、均匀 |
| 理想气体 | \(c=\sqrt{\gamma R_{\mathrm{sp}}T}\) | 理想气体；相对介质 |
| 细杆纵波 | \(c=\sqrt{E/\rho}\) | 波长远大于横向尺寸 |
| 位移到声压 | \(p'=-\rho c^2\partial_x\xi\) | 线性声学 |
| 行波强度 | \(I=p_{\mathrm{rms}}^2/Z\) | 单向无损平面波 |
| 界面反射 | \(r_p=(Z_2-Z_1)/(Z_2+Z_1)\) | 法向入射、实阻抗 |
Model boundaries / 模型边界
- 大振幅会产生谐波、激波；见 Nonlinear Waves。
- 黏性、热传导和几何扩散引起衰减；复阻抗下须计吸收。
- 点声源近场不是局部平面波，\(p'\) 与 \(u\) 未必同相。
- 固体还有剪切波；\(\sqrt{E/\rho}\) 仅适用于细杆纵波。
Misconception clinic / 误区诊所
- “空气从音箱一路跑到耳朵。” 空气质点只在平衡位置附近振动。
- “压强峰就是位移峰。” 行波中二者相差四分之一周期。
- “频率决定声速。” 理想非色散介质中频率改变波长而非 \(c\)。
- “压力透射系数大于 1 就增能。” 能流还含阻抗比。
Practice and retrieval / 练习与提取
- [K01] 区分波速与质点速度。
Answer 1
波速描述扰动传播；质点速度是介质微元的局部瞬时速度，通常远小于波速。
- [K01] 由两条线性方程得到 \(p'\) 的波动方程。
Answer 2
对连续性方程求 \(t\) 导、动量方程求 \(x\) 导，再用 \(p'=c^2\rho'\)，得 \(\partial_t^2p'=c^2\partial_x^2p'\)。
- [K02] \(T\) 从 \(300\ \mathrm K\) 升至 \(330\ \mathrm K\)，理想气体声速比？
Answer 3
\(c_2/c_1=\sqrt{330/300}=1.049\)，约增加 \(4.9\%\)。
- [K02] 为何细杆不能直接用 \(\sqrt{B/\rho}\)？
Answer 4
细杆侧面可收缩，有效纵向回复由 \(E\) 描述；三维约束会改变模量组合。
- [K03] \(p_{\mathrm{rms}}=0.50\ \mathrm{Pa}\)、\(Z=420\ \mathrm{Pa\,s\,m^{-1}}\)，求 \(I\)。
Answer 5
\(I=p_{\mathrm{rms}}^2/Z=5.95\times10^{-4}\ \mathrm{W\,m^{-2}}\)。
- [K03] 向左行平面波中 \(p'\) 与 \(u\) 的关系？
Answer 6
\(p'=-Zu\)；速度正方向固定为 \(+x\)，而能流向 \(-x\)。
- [K04] \(Z_1=Z_2\) 时求 \(r_p,R,T\)。
Answer 7
\(r_p=0\)、\(R=0\)、\(T=1\)。
- [K04] \(Z_2=4Z_1\)，求 \(r_p,R\)。
Answer 8
\(r_p=3/5=0.600\)，\(R=0.360\)，反射声压不反相。
- [综合] 同一介质中声压振幅加倍，强度如何变？
Answer 9
\(I\propto\hat p^2\)，所以变为 4 倍，前提是仍在线性平面波范围。
- [边界] 声源近处为何 \(p'/u\) 未必等于 \(\rho c\)？
Answer 10
近场含反应性储能和双向波，压力与速度可不同相，局部阻抗可为复数。
Exit ticket
材料密度增为 4 倍、绝热模量增为 9 倍。声速与阻抗各变多少倍？
Exit answer
\(c\) 变为 \(3/2\) 倍；\(Z=\sqrt{\rho B}\) 变为 \(6\) 倍。界面反射由阻抗失配决定。
References and source notes
- OpenStax, University Physics Volume 1, 17.1 Sound Waves, accessed 2026-08-24.
- OpenStax, 17.2 Speed of Sound, accessed 2026-08-24.
- MIT OpenCourseWare 8.03SC, Lecture 11: Sound Waves, accessed 2026-08-24.
- NASA Glenn Research Center, Speed of Sound, accessed 2026-08-24.
- University of Illinois ECE/TAM 373, Chapter 6 — Reflection and Transmission, accessed 2026-08-24.
Source-to-content map
| Source | Used for | Knowledge ID / Section | Model boundary or convention |
|---|---|---|---|
| OpenStax 17.1 | 压缩/稀疏、压强与位移 | K01, K03 | 小振幅连续介质 |
| OpenStax 17.2 | 不同介质声速 | K02 | 模量须匹配几何 |
| MIT 8.03SC L11 | 压力–位移关系、声波方程 | K01, K03 | 平面简谐波、小扰动 |
| NASA Glenn | 理想气体声速 | K02 | calorically perfect gas 近似 |
| Illinois ECE/TAM 373 Ch. 6 | 特性声阻抗、法向入射反射与透射 | K04 | 无损流体、平面波、质量可忽略的界面 |
复习与拓展
- 下一课把 \(I\) 与 \(p_{\mathrm{rms}}\) 转换为 dB，并引入人耳响应。
- Unit 2.6 将推广到弹性体、自由表面和非线性介质。