Learning objectives / 学习目标
推导一维经典声学 Doppler 公式；用明确的接近速度约定处理正负号和风；检查静止、低速和奇异极限；由波面几何推导 Mach cone；把脉冲回波、测速和医学 Doppler 的双程频移联系起来。
Prerequisites / 先修知识
- 声速相对于介质。
- 波长、频率、相对速度与圆形波面的几何。
Scope and conventions / 范围与约定
- 首先在均匀静止介质系讨论一维共线运动，声速为 \(c\)。
- 定义 \(u_o>0\) 表示观察者向声源接近，\(u_s>0\) 表示声源向观察者接近；这是“接近速度”标量，不是同一坐标轴上的两个分量。
- 要求 \(\lvert u_o\rvert<c\)；简单亚声速源公式要求 \(\lvert u_s\rvert<c\)。
- 匀速风时先把源、观察者速度转换为相对空气的分量；不能只代地面相对速度。
Notation / modeling contract
| 符号 | 含义 | 单位 |
|---|---|---|
| \(f_s,f_o\) | 发射、接收频率 | Hz |
| \(u_s,u_o\) | 向彼此接近为正的源/观察者介质相对速率 | \(\mathrm{m\,s^{-1}}\) |
| \(V,M\) | 物体相对介质速度、Mach 数 \(V/c\) | \(\mathrm{m\,s^{-1}}\), 1 |
| \(\mu\) | Mach cone 半角 | rad 或 degree |
| \(v_r\) | 回波目标朝探头的径向速度（本课取接近为正） | \(\mathrm{m\,s^{-1}}\) |
1. Moving source and moving observer / 运动声源与运动观察者
Knowledge ID: P02-U05-L03-K01
静止源每周期发出一波面，\(\lambda=c/f_s\)。源向观察者移动时，相邻波面间距变为 \((c-u_s)/f_s\)；观察者向波面迎面移动时，到达率再乘 \(c+u_o\)：
\[f_o=f_s\frac{c+u_o}{c-u_s}.\]
源运动与观察者运动不对称，因为介质选出一个物理参考系：源运动改变波长，观察者运动改变穿越波面的速率。
2. Sign conventions and limiting cases / 符号约定与极限情形
Knowledge ID: P02-U05-L03-K02
最安全的步骤是：画源到观察者的视线；写清“接近为正”；分别判断分子与分母。接近应使频率增大，远离应减小。
检查：
\[u_s=u_o=0\Rightarrow f_o=f_s, \qquad \frac{\Delta f}{f_s}\approx\frac{u_o+u_s}{c} \quad(\lvert u\rvert\ll c).\]
\(u_s\to c^{-}\) 使线性公式发散，这不是无限频率的真实预言，而是波面堆积、非线性和激波出现的警报。
若空气以地面速度 \(w\) 沿 \(+x\) 流动，先用 \(v_{\mathrm{air\,rel}}=v_{\mathrm{ground}}-w\)。对共线传播，均匀风并不允许只把 \(c\) 替成 \(c+w\) 后继续使用地速而不重做相对介质速度。
3. Mach number, shock waves, and sonic booms / 马赫数、激波与音爆
Knowledge ID: P02-U05-L03-K03
\[M=\frac{V}{c}.\]
\(M<1\) 时扰动可传播到物体前方；\(M=1\) 时波面在前缘堆积；\(M>1\) 时过去发出的球面波包络形成 Mach cone。
从发射时间 \(\tau\) 后物体走 \(V\tau\)、声波半径 \(c\tau\) 的直角三角形：
\[\sin\mu=\frac{c}{V}=\frac1M.\]
sonic boom 是激波压力跳变扫过观察者，不是“恰好突破音障那一刻的一声爆炸”。真实激波厚度、强度和衰减需要可压缩流体力学。
4. Doppler measurement and imaging applications / 多普勒测量与成像应用
Knowledge ID: P02-U05-L03-K04
脉冲回波测距用飞行时间 \(d=ct/2\)；Doppler 测速用频移。单基地发射–反射–接收经历两次 Doppler 变换；低速、目标沿波束接近时
\[\Delta f\approx\frac{2f_0v_r}{c}.\]
若速度与波束夹角为 \(\theta\)，只测径向分量：
\[\Delta f\approx\frac{2f_0v\cos\theta}{c}.\]
医学 Doppler ultrasound 可估计血流；成像强度与安全指标、组织声速假设、angle correction 和 aliasing 都影响解释。FDA 强调由受训人员在合适医学目的下使用，不能把近似速度公式当作诊断本身。
Worked Examples / 完整例题
Example 1 — 接近的救护车
已知： \(f_s=700\ \mathrm{Hz}\)、\(c=343\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)、源以 \(u_s=25.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 接近静止观察者。对象/边界： 空气中的亚声速点源，观察者在前方。介质系/正号： 接近为正。模型理由： 共线、均匀静止空气。
\[f_o=700\frac{343}{343-25.0}=755\ \mathrm{Hz}.\]
三位有效数字；比值无量纲。接近使频率升高，且 \(u_s/c=0.073\) 足够小；观察者听到的是波面到达率提高。
Example 2 — 源和观察者都接近
已知： \(f_s=500\ \mathrm{Hz}\)，\(u_s=20.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)，\(u_o=10.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)，\(c=340\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)。系统/边界： 源、空气、观察者，共线且均亚声速；空气系。正号： 二者接近均正。模型理由： 均匀静止介质中的经典一维 Doppler 适用。
\[f_o=500\frac{340+10.0}{340-20.0}=546.875\ \mathrm{Hz}\approx547\ \mathrm{Hz}.\]
三位有效数字为 \(547\ \mathrm{Hz}\)。低速近似给 \(500[1+30/340]=544\ \mathrm{Hz}\)，误差约 \(0.5\%\)；频率比无量纲，接近升频且静止极限正确。
Example 3 — Mach cone
已知： 飞机相对空气 \(V=510\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)，\(c=340\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)。对象/边界： 稳态超声速源的远场几何。介质系/正向： 静止空气；飞行方向为轴。模型理由： 常速点扰动在均匀介质中的球面波包络形成 Mach cone。
\[M=1.50,\qquad \mu=\sin^{-1}(1/1.50)=41.8^\circ.\]
\(0<\mu<90^\circ\)；\(M\) 越大 cone 越窄。此几何不直接给 boom 强度。
Example 4 — Doppler 血流分量
已知： \(f_0=5.00\ \mathrm{MHz}\)、组织声速 \(c=1540\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)、测得接近方向 \(\Delta f=2.00\ \mathrm{kHz}\)、\(\theta=60.0^\circ\)。对象/边界： 低速散射体、单次出射加回波。参考系/正向： 探头静止；接近为正。模型理由： 窄带且 \(v\ll c\)，可用双程一阶 Doppler 与径向投影。
\[v=\frac{\Delta f\,c}{2f_0\cos\theta} =\frac{(2000)(1540)}{2(5.00\times10^6)(0.500)} =0.616\ \mathrm{m\,s^{-1}}.\]
三位有效数字，单位为速度；\(\theta\to90^\circ\) 时反演病态，说明角度误差会显著放大。
Lesson synthesis / 建模流程
先选介质系并画视线；把速度改写成相对介质的接近分量；源项放分母、观察者项放分子；用“接近升频”和静止极限检查。若 \(M\ge1\)，转向波面包络与激波模型；回波测速记住双程和 \(\cos\theta\)。
Formula-and-decision table
| 场景 | 关系 | 条件 |
|---|---|---|
| 源/观察者共线 | \(f_o=f_s(c+u_o)/(c-u_s)\) | 介质系、亚声速 |
| 低速 | \(\Delta f/f_s\approx(u_o+u_s)/c\) | \(\lvert u\rvert\ll c\) |
| Mach cone | \(\sin\mu=1/M\) | \(M>1\)、均匀介质 |
| 单基地回波 | \(\Delta f\approx2f_0v\cos\theta/c\) | 低速、窄带 |
| 匀速风 | 先算相对空气速度 | 不可只用地面相对速度 |
Model boundaries / 模型边界
- 声学 Doppler 依介质系；电磁波 relativistic Doppler 不是同一公式。
- \(u_s\to c\) 的发散标志线性稳态模型失效。
- 风、温度梯度会折射声线；长路径不再是一维均匀问题。
- 临床 Doppler 受散射、采样、aliasing、角度和组织声速假设限制。
Misconception clinic / 误区诊所
- 只用源与观察者的相对速度会丢掉介质参考系。
- 源接近与观察者接近不是代数上完全等价。
- sonic boom 会沿 Mach cone 持续扫过，不只发生在“跨过 Mach 1”的瞬间。
- Doppler ultrasound 只直接测波束方向速度分量。
Practice and retrieval / 练习与提取
- [K01] 静止源 \(600\ \mathrm{Hz}\)，观察者以 \(17\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 接近，\(c=340\)。
Answer 1
\(f_o=600(357/340)=630\ \mathrm{Hz}\)。
- [K01] 源以 \(17\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 远离静止观察者。
Answer 2
远离取 \(u_s=-17\)，\(f_o=600(340/357)=571\ \mathrm{Hz}\)。
- [K02] 展开精确式到一阶。
Answer 3
\((1+u_o/c)/(1-u_s/c)\approx1+(u_o+u_s)/c\)。
- [K02] 两者随空气一起同速漂移、彼此静止，是否频移？
Answer 4
无；二者相对空气的运动投影相同且几何保持，需用介质系正确换算。
- [K03] \(M=2\) 的 Mach 角。
Answer 5
\(\mu=\sin^{-1}(1/2)=30^\circ\)。
- [K03] \(M<1\) 能否定义真实 Mach cone？
Answer 6
不能；\(1/M>1\) 无实角，波可传播到源前方。
- [K04] \(f_0=2\ \mathrm{MHz}\)、\(v_r=0.20\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)、\(c=1500\)，求频移。
Answer 7
\(\Delta f=2f_0v_r/c=533\ \mathrm{Hz}\)。
- [K04] 波束与速度垂直时频移？
Answer 8
一阶径向 Doppler 为零，因为 \(\cos90^\circ=0\)。
- [综合] 为什么 source formula 的分母趋零不能信？
Answer 9
波面堆积后出现有限厚度激波、非线性与耗散，独立正弦波峰假设失效。
- [边界] 均匀风中应使用哪类速度？
Answer 10
源和观察者各自相对介质的视线分量，不能只用地速差。
Exit ticket
说明“源以 \(20\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 接近”为什么信息不足，并列出完成计算还需的三个量。
Exit answer
必须说明速度相对何种介质及几何；还需 \(f_s\)、介质声速 \(c\)、观察者相对介质的视线速度（并确认共线/方向）。
References and source notes
- OpenStax, 17.7 The Doppler Effect, accessed 2026-08-24.
- MIT OpenCourseWare 8.033, Lecture 6: Kinematics and Doppler Effect, accessed 2026-08-24.
- NASA Glenn Research Center, Mach Number, accessed 2026-08-24.
- U.S. FDA, Ultrasound Imaging, accessed 2026-08-24.
Source-to-content map
| Source | Used for | Knowledge ID / Section | Boundary/convention |
|---|---|---|---|
| OpenStax 17.7 | 经典源/观察者 Doppler | K01, K02 | 静止均匀介质 |
| MIT 8.033 L6 | 波面/运动学比较 | K01, K02 | 与 relativistic case 区分 |
| NASA Glenn | Mach 数、流动区间、激波 | K03 | 相对局部声速 |
| FDA | Doppler ultrasound 用途与安全语境 | K04 | 诊断依专业解释 |
复习与拓展
- Applied Acoustics 将把 Doppler、声阻抗和频谱用于超声与工程系统。
- Nonlinear Waves 将解释波面陡化和激波厚度。