Learning objectives / 学习目标
解释 gravity/capillary 回复机制；使用完整有限深度色散关系并推导浅、深水极限；计算相速度和群速度；用 Brunt–Väisälä frequency 描述内波；用频率守恒、波矢与 ray 观点判断折射和 caustic，并说明射线振幅发散的失效。
Prerequisites / 先修知识
- 色散、相速度、群速度。
- 流体静力学、线性化、双曲函数极限与二维向量。
Scope and conventions / 范围与约定
- 不可压、无黏、无旋、小振幅表面波；静水深 \(h\)，\(z=0\) 为静止自由面，\(z\) 向上。
- 波数 \(k=2\pi/\lambda>0\)；\(\omega>0\)。液体密度 \(\rho\)、表面张力 \(\gamma\)。
- 内波采用 Boussinesq、稳定连续分层、无旋转；\(k_h\) 为水平波数，\(m\) 为竖直波数。
- 折射用 angle from the normal；沿静止边界频率守恒。
Notation / modeling contract
| 符号 | 含义 | SI 单位 |
|---|---|---|
| \(h,k,\omega\) | 水深、波数、角频率 | m, \(\mathrm{m^{-1}}\), \(\mathrm{s^{-1}}\) |
| \(\gamma,\rho,g\) | 表面张力、密度、重力场强 | \(\mathrm{N\,m^{-1}}\), \(\mathrm{kg\,m^{-3}}\), \(\mathrm{m\,s^{-2}}\) |
| \(v_p,v_g\) | 相速度、群速度 | \(\mathrm{m\,s^{-1}}\) |
| \(N\) | Brunt–Väisälä frequency | \(\mathrm{s^{-1}}\) |
| \(\mathbf k,\mathbf v_g\) | 波矢、群速度 | \(\mathrm{m^{-1}}\), \(\mathrm{m\,s^{-1}}\) |
1. Gravity waves and capillary waves / 重力波与毛细波
Knowledge ID: P02-U06-L02-K01
表面抬高后，重力倾向压平长波；曲率引起的 Laplace pressure 使表面张力强烈回复短波。线性有限深度色散关系：
\[\omega^2=\left(gk+\frac{\gamma}{\rho}k^3\right)\tanh(kh).\]
深水 crossover 由 \(gk=(\gamma/\rho)k^3\)：
\[k_c=\sqrt{\frac{\rho g}{\gamma}},\qquad \lambda_c=2\pi\sqrt{\frac{\gamma}{\rho g}}.\]
对水–空气近似 \(\gamma=0.072\ \mathrm{N\,m^{-1}}\)，crossover wavelength 为厘米量级；污染、温度会改变 \(\gamma\)。
2. Shallow- and deep-water dispersion / 浅水与深水色散
Knowledge ID: P02-U06-L02-K02
“浅/深”相对波长定义：\(kh\ll1\) 为浅水，\(kh\gg1\) 为深水，不是以人能否站立判断。
忽略表面张力：
\[\omega^2=gk\tanh(kh).\]
浅水 \(\tanh(kh)\approx kh\)：
\[\omega\approx k\sqrt{gh},\qquad v_p=v_g=\sqrt{gh}.\]
深水 \(\tanh(kh)\approx1\)：
\[\omega=\sqrt{gk},\qquad v_p=\sqrt{\frac gk},\qquad v_g=\frac12v_p.\]
深水 capillary 极限 \(\omega=\sqrt{\gamma/\rho}\,k^{3/2}\)，因此 \(v_g=\tfrac32v_p\)：群速度可大于相速度，并不违反因果性。
3. Internal waves in stratified fluids / 分层流体中的内波
Knowledge ID: P02-U06-L02-K03
稳定分层中，流体团被竖直移位后因浮力差返回。取背景密度 \(\bar\rho(z)\) 随高度下降：
\[N^2=-\frac g{\rho_0}\frac{d\bar\rho}{dz}>0.\]
无旋转 Boussinesq 内重力波色散：
\[\omega^2=N^2\frac{k_h^2}{k_h^2+m^2}, \qquad 0<\omega<N.\]
相位和能量方向很反直觉：在二维非旋转情形，\(\mathbf v_g=\nabla_{\mathbf k}\omega\) 与 \(\mathbf k\) 垂直，所以 phase propagation 与 energy propagation 可近似正交。
\(N^2<0\) 时不是振荡内波而是静力不稳定；旋转会引入 Coriolis frequency 并改变允许频带。
4. Wave refraction, focusing, and caustics / 波的折射、聚焦与焦散
Knowledge ID: P02-U06-L02-K04
介质静止且边界时间不变时 \(\omega\) 守恒；沿平直界面的切向波数连续。非色散局部近似中，若 \(\theta\) 从法线量：
\[\frac{\sin\theta_1}{c_1}=\frac{\sin\theta_2}{c_2}.\]
浅水长波 \(c=\sqrt{gh}\)，进入更浅水域减速并向法线偏折；海岸线近似等深线时，波峰趋向与岸线平行。
射线管收缩会聚使能流密度增大；射线族的包络称 caustic。几何声学在 caustic 预言振幅发散，实际有限波长的 diffraction 把它平滑为有限峰。
Worked Examples / 完整例题
Example 1 — gravity–capillary crossover
已知： 水 \(\rho=1000\ \mathrm{kg\,m^{-3}}\)、\(\gamma=0.0720\ \mathrm{N\,m^{-1}}\)、\(g=9.81\ \mathrm{m\,s^{-2}}\)。对象/边界： 深水小振幅自由表面。参考系/方向： 静水系，\(k>0\) 沿传播方向。模型理由： 深水线性色散式中重力项与毛细项相等时定义 crossover。
\[k_c=\sqrt{\frac{1000(9.81)}{0.0720}}=369\ \mathrm{m^{-1}}, \qquad \lambda_c=\frac{2\pi}{k_c}=17.0\ \mathrm{mm}.\]
三位有效数字；\(k_c\) 单位 \(\mathrm{m^{-1}}\)。波长远小于 \(17.0\ \mathrm{mm}\)（等价于 \(k\gg k_c\)）时 capillary 项主导；波长远大于此值时重力项主导。实际表面污染会改变 \(\gamma\)。
Example 2 — 浅水波速
已知： \(h=4.00\ \mathrm m\)、\(\lambda=100\ \mathrm m\)。对象/边界： 平底静水中的重力表面波。参考系/正向： 静水系，沿波传播为正。模型理由/判据： \(kh=2\pi h/\lambda=0.251<1\)；浅水首项在此把完整色散式的相速度高估约 \(1.1\%\)，可作为有量化误差的近似。
\[v_p\approx v_g=\sqrt{gh}=\sqrt{(9.81)(4.00)}=6.26\ \mathrm{m\,s^{-1}}.\]
三位有效数字；若要更精确应使用 \(\tanh(kh)\)。浅水极限无一阶色散，波包近似不展宽。
Example 3 — 深水相/群速度
已知： \(\lambda=25.0\ \mathrm m\)，水深远大于 \(\lambda/2\)。对象/边界： 平底深水重力波。参考系/正向： 静水系，波传播方向。模型理由： \(kh\gg1\) 且波长远大于毛细 crossover，可忽略底边界与表面张力。
\[k=\frac{2\pi}{25.0}=0.251\ \mathrm{m^{-1}},\quad v_p=\sqrt{\frac{9.81}{0.251}}=6.25\ \mathrm{m\,s^{-1}},\quad v_g=3.13\ \mathrm{m\,s^{-1}}.\]
三位有效数字；\(v_g=v_p/2\)。波峰穿过包络，能量以较慢群速度前进。
Example 4 — 内波传播角
已知： \(N=0.0200\ \mathrm{s^{-1}}\)，\(\omega=0.0120\ \mathrm{s^{-1}}\)。对象/边界： 无旋转、均匀 \(N\) 的二维 Boussinesq 内波。坐标/正向： 水平 \(x\)、竖直向上 \(z\)。模型理由： 稳定分层、小振幅且无旋转，可用 \(\omega/N=k_h/\sqrt{k_h^2+m^2}\)。
令 \(\alpha\) 为 \(\mathbf k\) 与竖直方向的夹角，则 \(\sin\alpha=k_h/\lvert\mathbf k\rvert=\omega/N=0.600\)，所以
\[\alpha=36.9^\circ.\]
三位有效数字；\(\omega<N\) 满足传播条件。若再取 \(k_h>0,m>0\)，群速度与 \(\mathbf k\) 垂直并指向右下，故能量射线为水平向右下 \(36.9^\circ\)；改变 \(m\) 的符号会翻转竖直能流，方向必须连同波矢符号报告。
Lesson synthesis / 建模流程
先确定回复机制（\(g\)、\(\gamma\) 或 buoyancy）和惯性深度；写完整色散关系，再用无量纲 \(kh\) 而非直觉选极限；求 \(v_p=\omega/k\)、\(v_g=d\omega/dk\)；空间变化慢时用 \(\omega\) 与切向 \(k\) 守恒追踪射线，靠近 caustic 时回到波动解。
Formula-and-decision table
| 场景 | 关系 | 条件 |
|---|---|---|
| 表面波 | \(\omega^2=(gk+\gamma k^3/\rho)\tanh kh\) | 线性、无黏、不可压 |
| 浅水重力 | \(v_p=v_g=\sqrt{gh}\) | \(kh\ll1\) |
| 深水重力 | \(v_p=\sqrt{g/k},v_g=v_p/2\) | \(kh\gg1\) |
| 深水毛细 | \(\omega\propto k^{3/2},v_g=3v_p/2\) | capillary 主导 |
| 内重力波 | \(\omega^2=N^2k_h^2/(k_h^2+m^2)\) | Boussinesq、无旋转 |
| 折射 | \(\sin\theta/c\) 连续 | 非色散局部近似、从法线量角 |
Model boundaries / 模型边界
- 有限振幅水波会 Stokes 修正、破碎并产生谐波。
- 黏性对很短毛细波重要；表面活性物质改变 \(\gamma\) 与阻尼。
- 浅水极限在更高阶仍有弱色散；近岸还可能非线性增强。
- caustic 的射线发散是几何近似失效，不是无限能量。
- 地球旋转使内波频带成为 Coriolis 与 \(N\) 之间。
Misconception clinic / 误区诊所
- “浅水”是 \(kh\ll1\)，不是绝对深度小。
- 深水波的水粒子不随波向前长距离漂移；线性轨道近闭合。
- 内波可以在水体内部传播，不等于表面波。
- 射线交叉处不代表能量无穷；必须用有限波长 diffraction。
Practice and retrieval / 练习与提取
- [K01] \(k\ll k_c\) 时哪个回复项主导？
Answer 1
重力项 \(gk\)，因为相对 capillary 项的比随 \(k^{-2}\) 增大。
- [K01] \(\gamma\) 加倍，\(k_c\) 如何变？
Answer 2
\(k_c\propto\gamma^{-1/2}\)，变为 \(1/\sqrt2\)。
- [K02] \(h=1\ \mathrm m,\lambda=100\ \mathrm m\) 是否浅水？
Answer 3
\(kh=2\pi/100=0.0628\ll1\)，是。
- [K02] 深水 gravity wave 的能量传播速度与峰速度关系？
Answer 4
窄带无耗散下能量随群速度，\(v_g=v_p/2\)。
- [K02] 深水 capillary wave 为何 \(v_g>v_p\)？
Answer 5
\(\omega\propto k^{3/2}\)，导数给 \(v_g=(3/2)\omega/k\)。
- [K03] \(N^2<0\) 代表什么？
Answer 6
分层静力不稳定，竖直扰动指数增长而非作稳定内波振荡。
- [K03] 若 \(\omega>N\)，无旋转内重力波可传播吗？
Answer 7
不可；色散关系右侧最大为 \(N^2\)，竖向波数转为 evanescent。
- [K04] 浅水波从深区进浅区如何偏折？
Answer 8
速度降低，射线向界面法线偏折；对等深线近岸常趋向垂直岸线。
- [K04] caustic 附近为何 ray amplitude 失效？
Answer 9
射线 Jacobian 趋零使几何幅度形式发散，有限波长干涉必须保留。
- [综合] 判断 \(\lambda=2\ \mathrm{cm}\) 水波是否可忽略表面张力。
Answer 10
其尺度接近水的约 \(1.7\ \mathrm{cm}\) crossover，不能事先忽略，应保留两项比较。
Exit ticket
写出从完整表面波色散式得到浅水无色散结果的两步极限，并指出若波长继续缩短哪个被忽略项会重新重要。
Exit answer
用 \(kh\ll1\) 得 \(\tanh kh\approx kh\)，再令 \(\gamma k^3/\rho\ll gk\)，得 \(\omega^2\approx ghk^2\)；缩短波长后 capillary 项 \(\gamma k^3/\rho\) 变重要。
References and source notes
- MIT OpenCourseWare 18.357, Lecture 19: Water Waves, accessed 2026-08-24.
- MIT OpenCourseWare 12.333, Atmospheric and Ocean Circulations Lecture Notes, accessed 2026-08-24.
- NOAA, Supplemental Online Materials: The Impacts of Climate Change on Surfing Resources, accessed 2026-08-24.
- Woods Hole Oceanographic Institution, The Waves Within the Waves, accessed 2026-08-24.
- MIT OpenCourseWare 18.306, Lecture 17: Eikonal, Focusing, and Caustics, accessed 2026-08-24.
Source-to-content map
| Source | Used for | Knowledge ID / Section | Boundary/convention |
|---|---|---|---|
| MIT 18.357 L19 | gravity–capillary dispersion and limits | K01, K02 | inviscid linear free surface |
| MIT 12.333 | shallow/deep and internal waves | K02, K03 | geophysical approximations |
| NOAA supplemental material | 近岸 shoaling/refraction 物理语境 | K04 | 缓变水深的定性背景，不承担 caustic 推导 |
| WHOI Oceanus | internal-wave physical picture | K03 | ocean observations/context |
| MIT 18.306 L17 | 射线聚焦、caustic 包络与几何近似失效 | K04 | eikonal/短波极限；caustic 邻域须回到有限波长解 |
复习与拓展
- 下一课说明浅水长波在有限振幅下如何陡化、形成 solitary wave 或 shock。
- 可扩展到旋转 Poincaré waves、wave action 与 WKB ray tracing。