非线性波

Learning objectives / 学习目标

识别 PDE 中的非线性项和控制参数；用 characteristics 求振幅相关传播与首个 shock time；验证标准 KdV solitary-wave 解；用守恒律与黏性确定 shock speed/thickness；执行线性稳定性分析并区分初始增长、非线性饱和与真正长期 pattern。

Prerequisites / 先修知识

• 色散与群速度。
• 浅水与表面波。
• 偏微分方程、Taylor 展开、Fourier 模式 \(e^{ikx+\sigma t}\)。

Scope and conventions / 范围与约定

• 本课用归一化的一维标量方程展示普适机制；系数和变量量纲依具体系统重新缩放。
• Burgers 守恒律写为 \(u_t+(u^2/2)_x=\nu u_{xx}\)；KdV 写为 \(u_t+6uu_x+u_{xxx}=0\)。
• \(x\) 向右、\(t>0\)；shock 左右极限分别 \(u_L,u_R\)。
• “solitary wave”是局域行波；“soliton”还要求碰撞后恢复形状与相位偏移等可积结构，不能混称。

Notation / modeling contract

1. Nonlinearity and amplitude-dependent propagation / 非线性与振幅相关传播

Knowledge ID: P02-U06-L03-K01

线性算符满足叠加；含 \(uu_x\)、\(u^2\) 或边界随 \(u\) 变化时，两个解的和一般不再是解。最简单的 quasilinear advection：

\[u_t+c(u)u_x=0.\]

沿 characteristic

\[\frac{dx}{dt}=c(u),\qquad \frac{du}{dt}=0.\]

因此不同振幅以不同速度行进，波形会压缩或展开。

对 inviscid Burgers \(u_t+uu_x=0\)，初态 \(u_0(\xi)\) 的特征为

\[x=\xi+u_0(\xi)t,\qquad u=u_0(\xi).\]

映射失去单值的最早时间

\[t_s=-\frac1{\min_\xi u_0'(\xi)}\]

（只有最小斜率为负时为正有限值）。

交叉后的经典解多值，表示模型需要弱解和额外物理（耗散或色散）。

2. Solitary waves and solitons / 孤立波与孤子

Knowledge ID: P02-U06-L03-K02

非线性倾向陡化，色散让不同 \(k\) 分量分离；恰当平衡可形成稳定局域脉冲。标准 KdV：

\[u_t+6uu_x+u_{xxx}=0.\]

令 \(u(x,t)=U(\zeta)\)、\(\zeta=x-ct\)，并取 \(U,U',U''\to0\) 于无穷远。两次积分之一给

\[U''=cU-3U^2.\]

其 solitary-wave 解

\[u(x,t)=\frac c2\operatorname{sech}^2 \left[\frac{\sqrt c}{2}(x-ct-x_0)\right],\qquad c>0.\]

振幅 \(c/2\) 越大，速度 \(c\) 越快、宽度尺度 \(2/\sqrt c\) 越窄。此关系依 KdV 归一化，不能直接把 \(c\) 当任意介质的 SI 波速。

integrable KdV solitons 碰撞后远离时恢复形状，只留下位置/相位偏移；一般 solitary wave 在碰撞中可辐射能量，因此不能仅凭“孤立”称 soliton。

3. Shock steepening and dissipation / 激波陡化与耗散

Knowledge ID: P02-U06-L03-K03

守恒律

\[u_t+f(u)_x=0\]

允许 discontinuous weak solution。跨 shock 积分得 Rankine–Hugoniot：

\[s=\frac{f(u_L)-f(u_R)}{u_L-u_R}.\]

对 \(f=u^2/2\)：

\[s=\frac{u_L+u_R}{2}.\]

黏性 Burgers

\[u_t+uu_x=\nu u_{xx}\]

用扩散平滑梯度，使 shock thickness 的数量级 \(\delta\sim\nu/\Delta u\)（精确常数依厚度定义）。\(u_L>u_R\) 是压缩 shock；\(u_L<u_R\) 的物理解是 rarefaction fan，不是反向 shock。

真实激波把有序运动转为热并产生熵；无黏极限必须用 entropy condition 选择物理解。

4. Pattern formation and wave instability / 图样形成与波不稳定性

Knowledge ID: P02-U06-L03-K04

取均匀基态 \(u_0\)，加入小扰动 \(\epsilon\hat u e^{ikx+\sigma t}\)，将控制方程保留 \(O(\epsilon)\)，得到 dispersion/growth relation \(\sigma(k)\)。若某 \(k\) 有

\[\operatorname{Re}\sigma(k)>0,\]

该基态线性不稳定；增长最快 \(k_*\) 常选择初始图样尺度 \(2\pi/k_*\)。

线性理论只预测早期增长。振幅增大后非线性耦合会饱和、合并、混沌或破坏图样。以 Swift–Hohenberg 型模型为例，有限波数不稳定与 cubic saturation 可产生条纹。

pattern formation 不等同于普通 standing wave：前者来自基态不稳定和非线性饱和，后者可在线性稳定系统中由边界叠加形成。

Worked Examples / 完整例题

Example 1 — shock formation time

已知： inviscid Burgers 初态 \(u_0(x)=U\sin(kx)\)，\(U=2.00\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)、\(k=0.500\ \mathrm{m^{-1}}\)。对象/边界： 无限/周期一维域。参考系/正向： \(+x\)；\(t=0\) 给初态。模型理由： 无黏、无色散特征传播。

\[u_0'=Uk\cos(kx),\qquad \min u_0'=-Uk=-1.00\ \mathrm{s^{-1}}, \qquad t_s=1.00\ \mathrm s.\]

三位有效数字；斜率单位 \(\mathrm{s^{-1}}\)。若 \(U\to0\)，\(t_s\to\infty\)，回到近线性长期传播。

Example 2 — 验证 KdV soliton 参数

已知： 归一化 KdV 取 \(c=4.00\)、\(x_0=0\)。对象/边界： 全实线、无穷远衰减。坐标/正向： \(\zeta=x-4t\)，右行为正。模型理由： 标准 KdV 的非线性–色散平衡允许衰减 traveling-wave 解。

\[u=2.00\,\operatorname{sech}^2(x-4t).\]

峰值为 \(2.00=c/2\)，尺度参数 \(\sqrt c/2=1\)，速度为 \(4.00\)。代入行波 ODE \(U''=cU-3U^2\) 可逐项相等；这不是 SI 数值，除非给出反归一化尺度。

Example 3 — Burgers shock speed and thickness

已知： \(u_L=3.00\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)、\(u_R=1.00\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)、\(\nu=0.0200\ \mathrm{m^2\,s^{-1}}\)。对象/边界： 黏性 Burgers traveling shock。参考系/正向： 实验室系，右为正。模型理由： 守恒 flux \(u^2/2\) 决定跳跃速度，黏性扩散决定有限厚度。

\[s=\frac{3.00+1.00}{2}=2.00\ \mathrm{m\,s^{-1}},\qquad \delta\sim\frac{\nu}{u_L-u_R}=0.0100\ \mathrm m.\]

三位有效数字；\(\nu/\Delta u\) 为长度。\(u_L>u_R\) 满足压缩；厚度只给数量级，定义不同可差常数因子。

Example 4 — 最快增长图样

已知： \(\sigma(k)=a-b(k-k_0)^2\)，\(a=0.0400\ \mathrm{s^{-1}}\)、\(b=0.0100\ \mathrm{m^2s^{-1}}\)、\(k_0=2.00\ \mathrm{m^{-1}}\)。对象/边界： 大周期域中均匀基态的小扰动，允许近连续 \(k\)。坐标/方向： \(k>0\) 沿 \(+x\)。模型理由： 仅在线性早期，最大 \(\operatorname{Re}\sigma\) 选择最先增长的尺度。

最大值在 \(k_*=k_0\)，故

\[\lambda_*=\frac{2\pi}{k_*}=3.14\ \mathrm m,\qquad \tau_*=\frac1{\sigma(k_*)}=25.0\ \mathrm s.\]

三位有效数字；\(b(k-k_0)^2\) 单位为 \(\mathrm{s^{-1}}\)。这只给初始选择，长期振幅需非线性项。

Lesson synthesis / 建模流程

无量纲化后比较 nonlinear、dispersive、dissipative 与 growth timescales；先用 characteristics 找陡化；色散占优尝试 traveling localized wave，耗散占优用 weak solution/entropy；基态问题先线性化求 \(\sigma(k)\)，再用非线性求饱和，绝不把早期指数增长外推到无穷。

Formula-and-decision table

Model boundaries / 模型边界

• 标量方程省略多场耦合、横向效应与边界；系数不能跨系统照搬。
• KdV 要求弱非线性、弱色散和单向长波尺度。
• Burgers 黏性 shock 与真实气体激波的热力学结构并不完全相同。
• 线性不稳定不保证最终周期图样；有限域、噪声和非线性决定长期态。

Misconception clinic / 误区诊所

1. 非线性不是“振幅大”本身，而是控制关系不满足叠加；振幅大常使非线性项不可忽略。
2. solitary wave 不自动是 soliton。
3. characteristics 交叉不是流体粒子真的互穿，而是经典解失效。
4. \(\operatorname{Re}\sigma>0\) 只说明基态早期不稳定，不说明振幅无限增长。

Practice and retrieval / 练习与提取

1. [K01] \(c(u)=c_0+\alpha u\)、\(\alpha>0\) 时哪部分更快？

2. [K01] \(u_0'=0\) everywhere 的 Burgers 解会形成 shock 吗？

3. [K01] \(u_0=A\cos kx\) 的 \(t_s\)。

4. [K02] 标准 KdV soliton 速度加至 4 倍，峰值和宽度尺度？

5. [K02] 为什么局域脉冲存在需要非线性–色散平衡？

6. [K03] \(u_L=5,u_R=1\) 的 Burgers shock speed。

7. [K03] \(\nu\) 加倍、\(\Delta u\) 不变，shock width？

8. [K03] \(u_L<u_R\) 应选什么解？

9. [K04] \(\sigma(k)\) 最大在 \(k=0\) 与有限 \(k_*\) 的图样意义差别。

10. [K04] 为什么必须加入非线性饱和？

Exit ticket

看到波前越来越陡，你会用哪三个诊断量判断最终是 dispersive pulse、viscous shock 还是 breaking/模型失效？

References and source notes

1. MIT OpenCourseWare 18.354J, Nonlinear Dynamics II Lecture Notes, accessed 2026-08-24.
2. MIT OpenCourseWare 18.086, Burgers Equation and KdV Lecture Transcript, accessed 2026-08-24.
3. MIT Mathematics 18.311, Principles of Applied Mathematics Course Materials, accessed 2026-08-24.
4. NASA Technical Reports Server, Third Conference on Sonic Boom Research, NASA-SP-255, accessed 2026-08-24.
5. MIT OpenCourseWare 18.354J, Linear Stability Analysis and Pattern Formation, accessed 2026-08-24.

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复习与拓展

• PART III 将用热力学和输运解释真实耗散与 entropy production。
• 可扩展到 nonlinear Schrödinger modulational instability、KP equation 和 dispersive shock waves。