弦、膜与弹性介质

Learning objectives / 学习目标

由力平衡建立弦和细杆 PDE；分离变量求一维与矩形膜模态；区分 P/S 弹性波的偏振和速度；把边界条件写为自伴本征问题，验证正交性、量纲、节点和简并。

Prerequisites / 先修知识

• 波动方程、驻波与共振。
• 偏导、二阶常微分方程、内积与基础线性代数。

Scope and conventions / 范围与约定

• 小位移、小应变、线性弹性；材料均匀、无阻尼。
• 弦张力 \(T\) 视为常数且斜率 \(\lvert y_x\rvert\ll1\)；膜用单位长度张力 \(\mathcal T\)。
• 细杆纵波采用侧面自由、波长远大于横向尺寸的 \(c=\sqrt{E/\rho}\)。
• 块体各向同性固体用 Lamé/体积–剪切模量；不讨论各向异性晶体。

Notation / modeling contract

1. Normal modes of strings and rods / 弦与杆的简正模

Knowledge ID: P02-U06-L01-K01

弦微元横向受力平衡给

\[\mu\frac{\partial^2y}{\partial t^2} =T\frac{\partial^2y}{\partial x^2},\qquad c_s=\sqrt{\frac T\mu}.\]

固定端 \(y(0,t)=y(L,t)=0\)。令 \(y=X(x)Q(t)\)，分离得 \(X''+k^2X=0\)、\(\ddot Q+\omega^2Q=0\)：

\[k_n=\frac{n\pi}{L},\qquad \omega_n=c_sk_n,\qquad \phi_n(x)=\sin\frac{n\pi x}{L}.\]

细杆轴向位移 \(u(x,t)\) 满足 \(\rho u_{tt}=Eu_{xx}\)。自由端要求轴向应力 \(E u_x=0\)，固定端要求 \(u=0\)；改变边界会把整数谱改为半整数谱。

2. Two-dimensional membrane modes / 二维膜振动模

Knowledge ID: P02-U06-L01-K02

均匀张紧膜的横向位移：

\[\sigma w_{tt}=\mathcal T(w_{xx}+w_{yy}),\qquad c_m=\sqrt{\frac{\mathcal T}{\sigma}}.\]

固定矩形 \(0<x<a,0<y<b\)：

\[\phi_{mn}=\sin\frac{m\pi x}{a}\sin\frac{n\pi y}{b}, \qquad \omega_{mn}=\pi c_m\sqrt{\left(\frac ma\right)^2+\left(\frac nb\right)^2}.\]

若 \(a=b\)，\((m,n)\) 与 \((n,m)\) 简并；任意线性组合仍是同一频率本征模。微小不对称会劈裂简并。

圆膜需在极坐标中求解，径向函数为 Bessel 函数，固定边缘要求 \(J_m(k a)=0\)；频率由 Bessel 零点而非整数直接给出。

3. Longitudinal and shear elastic waves / 纵向与剪切弹性波

Knowledge ID: P02-U06-L01-K03

各向同性线性固体的 Navier–Cauchy 方程可写为

\[\rho\mathbf u_{tt} =(K+\tfrac13G)\nabla(\nabla\cdot\mathbf u)+G\nabla^2\mathbf u.\]

对平面波分解为与 \(\mathbf k\) 平行的 longitudinal/P 部分和垂直的 transverse/S 部分：

\[c_P=\sqrt{\frac{K+4G/3}{\rho}},\qquad c_S=\sqrt{\frac G\rho}.\]

流体静态剪切模量 \(G=0\)，因此不支持体内 S 波；但可支持由重力/表面张力提供回复的表面波。

4. Boundary-value eigenfrequency problems / 边值本征频率问题

Knowledge ID: P02-U06-L01-K04

分离变量把 PDE 化为

\[\mathcal L\phi_n=\omega_n^2\,w(\mathbf r)\phi_n,\]

配合边界条件。对自伴算符和合适边界，不同本征值的模态按权函数正交：

\[\int_\Omega w(\mathbf r)\phi_m\phi_n\,dV=0\qquad(m\ne n).\]

初态可展开 \(\phi_n\)，各 generalized coordinate 独立振荡。边界条件不是计算末尾的装饰，而是离散频谱的来源。

Worked Examples / 完整例题

Example 1 — 弦的第三模态

已知： \(L=0.800\ \mathrm m\)、\(T=120\ \mathrm N\)、\(\mu=5.00\times10^{-3}\ \mathrm{kg\,m^{-1}}\)。对象/边界： 两端固定理想弦。坐标： \(x=0\) 到 \(L\)。模型理由： 小斜率、恒张力。

\[c_s=\sqrt{120/(5.00\times10^{-3})}=154.9\ \mathrm{m\,s^{-1}}, \qquad f_3=\frac{3c_s}{2L}=290\ \mathrm{Hz}.\]

三位有效数字；量纲和 \(f_n\propto n\) 正确。第三模有两个内部节点，实际刚度会使高模略非谐。

Example 2 — 矩形膜简并

已知： 方膜 \(a=b=0.500\ \mathrm m\)，\(\mathcal T=100\ \mathrm{N\,m^{-1}}\)，\(\sigma=0.250\ \mathrm{kg\,m^{-2}}\)。对象/边界： 四边固定均匀膜。坐标/正向： 边平行 \(x,y\)，横向位移为正。模型理由： 小位移、均匀预张力且忽略弯曲刚度，故用线性膜方程。

\[c_m=\sqrt{100/0.250}=20.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}, \quad f_{12}=f_{21}=\frac{c_m}{2}\sqrt{(1/a)^2+(2/a)^2}=44.7\ \mathrm{Hz}.\]

三位有效数字；交换 \(m,n\) 不变，验证方形对称简并。边长不等时简并消失。

Example 3 — 固体 P/S 波速

已知： \(\rho=2700\ \mathrm{kg\,m^{-3}}\)、\(K=76.0\ \mathrm{GPa}\)、\(G=26.0\ \mathrm{GPa}\)。对象/边界： 均匀各向同性、可视为无限的固体。参考系/方向： 材料静止系，传播方向由 \(\mathbf k\) 定义。模型理由： 小应变线性弹性允许 P/S 偏振分解。

\[c_P=\sqrt{\frac{76.0+4(26.0)/3}{2700}\times10^9}=6403\ \mathrm{m\,s^{-1}}, \quad c_S=\sqrt{\frac{26.0\times10^9}{2700}}=3103\ \mathrm{m\,s^{-1}}.\]

三位有效数字：\(6.40\) 与 \(3.10\ \mathrm{km\,s^{-1}}\)。\(c_P>c_S\) 且单位正确；真实晶体各向异性会改变方向依赖。

Example 4 — 固定–自由杆

已知： 细杆长 \(L=1.20\ \mathrm m\)、\(E=70.0\ \mathrm{GPa}\)、\(\rho=2700\ \mathrm{kg\,m^{-3}}\)。对象/边界： \(x=0\) 固定 \(u=0\)，\(x=L\) 自由 \(u_x=0\)。模型理由： 一维细杆纵波。

取 \(X=A\sin kx\)，自由端给 \(\cos kL=0\)，故 \(k_n=(n+\tfrac12)\pi/L\)。最低频

\[f_0=\frac1{4L}\sqrt{\frac E\rho} =\frac1{4(1.20)}\sqrt{\frac{70.0\times10^9}{2700}} =1061\ \mathrm{Hz}.\]

三位有效数字 \(1.06\ \mathrm{kHz}\)；固定–自由是四分之一波，而非两固定端半波。

Lesson synthesis / 建模流程

先从局部平衡确定 PDE 和波速；再写几何域及物理边界；分离变量得到空间本征问题；用边界量子化 \(k\)；按 \(\omega=ck\) 或相应色散关系求频率；最后检查节点、偏振、正交、简并和极限。

Formula-and-decision table

Model boundaries / 模型边界

• 弦模型忽略弯曲刚度；钢琴弦高频会 inharmonic。
• 膜无弯曲刚度；薄板应使用四阶空间方程。
• 细杆 \(E/\rho\) 模型与无限固体 P 波模型边界不同。
• 阻尼、非均匀参数和复杂边界可破坏简单正交或使本征频率复数。

Misconception clinic / 误区诊所

1. 同一材料只有一个“声速”是错的：P、S、杆波速度不同。
2. 节线是瞬时位移恒为零的位置，不是“材料被切开”。
3. 简并频率可对应多个独立图样。
4. 先猜整数谐波再补边界会出错；固定–自由给半整数 \(kL\)。

Practice and retrieval / 练习与提取

1. [K01] 弦张力加倍，频率倍率。

2. [K01] 两端固定弦第 4 模有几个内部节点？

3. [K01] 自由杆端的物理边界是什么？

4. [K02] 矩形膜 \((2,3)\) 模有几条内部直节点线？

5. [K02] 方膜 \((1,2)\) 与 \((2,1)\) 的关系。

6. [K03] 流体为何无 bulk S wave？

7. [K03] 若 \(G\) 加倍、\(\rho\) 不变，\(c_S\)？

8. [K04] 为何自伴性重要？

9. [K04] 固定端与自由端各限制哪个量？

10. [综合] 薄鼓皮能否用薄板方程？

Exit ticket

给定一个新连续系统，写出求模态所需的四类信息。

References and source notes

1. OpenStax, 16.6 Standing Waves and Resonance, accessed 2026-08-24.
2. MIT OpenCourseWare 2.062J, Wave Propagation Lecture Notes, accessed 2026-08-24.
3. Penn State Graduate Program in Acoustics, Daniel A. Russell, Vibrational Modeshapes of a Rectangular Membrane, accessed 2026-08-24.
4. MIT OpenCourseWare 18.303, Wave Equation Notes, accessed 2026-08-24.

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复习与拓展

• 下一课把边值/色散思想用于自由表面和分层流体。
• 可扩展到有限元模态、各向异性弹性和非厄米耗散模态。