热平衡与温度

Learning objectives / 学习目标

完成本课后，你应当能够：

1. 用“无净热传递”定义热平衡，并用第零定律说明温度计为什么可行。
2. 区分经验温标、热力学温度与 ITS-90 实用温标，正确转换 K、°C 与 °F。
3. 说明 2019 年后 kelvin 由精确的 Boltzmann 常数定义；水三相点不再定义 kelvin。
4. 建立测温属性与温度之间的校准关系，评价灵敏度、量程、线性、响应时间与扰动。
5. 从线膨胀推导面积与体膨胀，计算自由膨胀、热应力及液体表观膨胀。
6. 识别小温差、各向同性、系数近似恒定等模型边界。

Prerequisites / 先修知识

• 能量传递与机械平衡的基本概念；
• 一次函数、图像斜率、初等代数与简单导数；
• 能用系统边界区分“系统本身的状态”与“跨边界的过程”。

Scope and conventions / 范围与约定

全篇使用 SI。温度本身用 \(T\)（K），Celsius 温度用 \(t\)（\(^\circ\mathrm C\)），温差写 \(\Delta T\)。因为 \(1\ \mathrm K\) 与 \(1\ ^\circ\mathrm C\) 的间隔相等，温差数值可以相同，但绝对温度不能混用 K 与 \(^\circ\mathrm C\)。除特别说明，物体均足够接近内部热平衡，可由单一温度描述；非平衡统计温度、极低温实现学与相对论温度不在本课范围。

Notation and modeling contract / 符号与建模契约

标量温度不携带方向；\(\Delta T\) 的正负由末态减初态定义。膨胀公式默认小应变、材料均匀且系数在所考察温区近似恒定。

0. Before starting: four different statements

温度是状态量（state variable）；热量 \(Q\) 是跨过系统边界的过程量（process quantity）。后者将在下一课系统展开。

Knowledge 1 — Thermal equilibrium and the zeroth law / 热平衡与热力学第零定律

Knowledge ID: P03-U01-L01-K01

1.1 Thermal contact and thermal equilibrium

若两个系统之间的边界允许由温差驱动的能量传递，该边界称为透热壁（diathermal wall）；理想地阻止这种传递的边界称为绝热壁（adiabatic wall）。

把 A 与 B 置于热接触后，若所有可观测宏观量不再随时间作系统性变化，并且两者之间没有净热传递，则称

\[\boxed{A\sim_{\rm th}B}\]

即 A 与 B 处于热平衡。微观能量交换仍可能双向发生；“平衡”要求的是统计平均的净交换为零，不是粒子停止运动。¹

1.2 The zeroth law is a transitivity principle

热力学第零定律（zeroth law）：

若 A 与 C 分别处于热平衡，且 B 与 C 也处于热平衡，则 A 与 B 处于热平衡。

符号化为

\[A\sim_{\rm th}C,\qquad B\sim_{\rm th}C \quad\Longrightarrow\quad A\sim_{\rm th}B.\]

把热平衡视为具有自反性、对称性和传递性的等价关系时，它把平衡态划分为一组组等温类；再用可排序的标量温度 \(T\) 标记这些类，使

\[A\sim_{\rm th}B \quad\Longleftrightarrow\quad T_A=T_B.\]

C 就是温度计。它不需要让 A 和 B 直接接触，却能给它们可比较的读数。

1.3 Equilibrium is conditional, not instantaneous

物体达到热平衡需要有限时间。一个简单的集总模型给出

\[T_A(t)-T_B(t)\propto e^{-t/\tau},\]

其中 \(\tau\) 是由热容与热耦合共同决定的时间尺度。若物体内部温度梯度很大，就不能用单一 \(T_A(t)\) 描述；那是传热课中的分布参数问题。

Knowledge 2 — Empirical and absolute temperature scales / 经验温标与绝对温标

Knowledge ID: P03-U01-L01-K02

2.1 An empirical scale is a calibrated ordering

选定一个随冷热程度单调变化的测温属性 \(X\)，再规定函数

\[t=f(X).\]

这就建立了经验温标（empirical temperature scale）。若只用两个固定点并假设线性，

\[t=t_1+(t_2-t_1)\frac{X-X_1}{X_2-X_1}.\]

不同的 \(X\) 可能在固定点之间给出略有差别的读数；经验温标不是自动等于热力学温标。

2.2 Celsius, Fahrenheit, and kelvin

现行 SI 中，Celsius 温度由 kelvin 温度定义：

\[\boxed{t/^\circ\mathrm C=T/\mathrm K-273.15}.\]

Fahrenheit 与 Celsius 的精确线性换算为

\[\boxed{t_F=\frac95t_C+32}, \qquad \boxed{t_C=\frac59(t_F-32)}.\]

2.3 Absolute temperature and the 2019 kelvin

热力学温度的零点是绝对零度。2019 年 5 月 20 日起，kelvin 的大小通过给 Boltzmann 常数固定精确值来定义：

\[\boxed{k_B=1.380\,649\times10^{-23}\ \mathrm{J\,K^{-1}}\quad\text{exact}}.\]

因此 \(k_BT\) 把温度尺度与能量尺度连接起来。现在水三相点不再定义 kelvin；它仍是高度可复现的校准状态，并在 ITS-90 上赋值 \(273.16\ \mathrm K\)。²³⁴

2.4 Constant-volume gas thermometer: an operational bridge

稀薄气体在定容下近似满足 \(p\propto T\)。对多种低密度气体，把 \(p\)–\(t_C\) 直线外推到 \(p=0\)，截距趋向 \(-273.15^\circ\mathrm C\)。这不是“真的把经典气体冷到零压”，而是低密度极限的外推；真实气体会先凝结，量子效应也会在低温出现。

2.5 Worked Example 1 — scale conversion

某烘箱读数为 \(425^\circ\mathrm F\)。求 Celsius 与 kelvin 温度。

已知条件： \(t_F=425^\circ\mathrm F\)；原读数分辨率为 \(1^\circ\mathrm F\)。

研究对象： 烘箱处于该读数时的温度状态。

系统边界 / 参考系： 只做同一温度状态在不同标度间的换算，不讨论烘箱与环境之间的能量交换；空间参考系不参与计算。

坐标与正方向： N/A。温标换算是仿射映射，不是空间矢量；只约定更高读数代表更高温度。

模型及理由： 使用 Fahrenheit、Celsius 与 kelvin 的定义关系。温标零点不同，因此先处理偏置再处理刻度比例。

方程建立：

\[\frac{t_C}{^\circ\mathrm C} =\frac59\left(\frac{t_F}{^\circ\mathrm F}-32\right), \qquad \frac{T}{\mathrm K} =\frac{t_C}{^\circ\mathrm C}+273.15.\]

比值 \(t_C/^\circ\mathrm C\)、\(t_F/^\circ\mathrm F\) 与 \(T/\mathrm K\) 都是对应温标的数值，因此等式两边无量纲一致。

逐步计算：

\[t_C=\frac59(425-32)=218.3^\circ\mathrm C,\]

\[T=218.3+273.15=491.5\ \mathrm K.\]

SI 与有效数字： kelvin 是 SI 热力学温度单位。\(1^\circ\mathrm F\) 对应 \(5/9^\circ\mathrm C\approx0.6^\circ\mathrm C\)，因此报告到 \(0.1^\circ\mathrm C\) 或 \(0.1\ \mathrm K\) 已足够，得到 \(218.3^\circ\mathrm C\) 与 \(491.5\ \mathrm K\)。

方向 / 量纲检查： \(425^\circ\mathrm F\) 明显高于水的标准沸点 \(212^\circ\mathrm F\)，故 \(t_C>100^\circ\mathrm C\) 合理；kelvin 数值必须为正，且 Celsius 与 kelvin 的温差数值相同。

极限或合理性检查： 代入 \(32^\circ\mathrm F\) 会得到 \(0^\circ\mathrm C\)，代入 \(212^\circ\mathrm F\) 会得到 \(100^\circ\mathrm C\)，验证线性关系及偏置无误。

物理解释： 三个数值描述同一热状态，而非三个不同温度。辐射定律或理想气体公式必须使用 \(491.5\ \mathrm K\)，不能把 \(218.3\) 当作绝对温度代入。

Knowledge 3 — Thermometers and thermometric properties / 温度计与测温属性

Knowledge ID: P03-U01-L01-K03

3.1 Measurement is comparison plus calibration

可用作温度计的属性包括液柱体积、电阻、热电势、气体压强、声速与辐射谱。它们必须满足：

• 在目标量程内与 \(T\) 有稳定、最好单调的关系；
• 可重复校准，且漂移与滞后可控；
• 传感器与被测物达到足够接近的热平衡；
• 传感器热容和接触方式不会显著改变被测温度。

3.2 Linear calibration and its residual

两点线性校准写成

\[T_{\rm lin}(X)=T_1+\frac{T_2-T_1}{X_2-X_1}(X-X_1).\]

真实关系若含曲率，

\[T(X)=a+bX+cX^2+\cdots,\]

两固定点处误差可以为零，中间仍存在非线性残差（nonlinearity residual）。

局部灵敏度为

\[S_X=\frac{dX}{dT}.\]

读出分辨率 \(\delta X\) 对应的理想温度分辨率近似为

\[\delta T\approx\frac{\delta X}{\lvert S_X\rvert}.\]

3.3 Dynamic response and loading

把小传感器近似为温度均匀的集总热容，置于恒温环境 \(T_\infty\) 中：

\[C_{\rm th}\frac{dT_s}{dt}=G(T_\infty-T_s),\]

解为

\[\boxed{T_s(t)=T_\infty+[T_s(0)-T_\infty]e^{-t/\tau}}, \qquad \tau=\frac{C_{\rm th}}{G}.\]

一个时间常数后完成最终变化的 \(63.2\%\)，约 \(5\tau\) 后达到 \(99.3\%\)。若被测物本身很小，传感器的热容会把其温度拉向传感器初温，这叫loading error。

3.4 Contact and non-contact thermometry

3.5 Worked Example 2 — resistance thermometer

某电阻温度计在 \(0.00^\circ\mathrm C\) 与 \(100.00^\circ\mathrm C\) 时分别读出 \(100.00\ \Omega\) 与 \(138.50\ \Omega\)。若假定线性，求读数 \(119.25\ \Omega\) 对应的温度。

已知条件： \((t_1,R_1)=(0.00^\circ\mathrm C,100.00\ \Omega)\)、\((t_2,R_2)=(100.00^\circ\mathrm C,138.50\ \Omega)\)，待测电阻 \(R=119.25\ \Omega\)。

研究对象： 与被测物达到热平衡后的电阻温度计感温元件。

系统边界 / 参考系： 把感温电阻及其两点校准关系作为测量系统；忽略导线电阻、自热、接触温差与响应滞后。空间参考系不参与计算。

坐标与正方向： N/A。把电阻随温度增大的方向规定为正；本校准区间内 \(R_2>R_1\)，因此映射单调。

模型及理由： 题目明确要求在 \(0\)–\(100^\circ\mathrm C\) 内采用线性插值，故以两校准点唯一确定直线。该模型只在校准区间及仪器线性误差允许时成立。

方程建立： 一般的两点线性插值为

\[t=t_1+(t_2-t_1)\frac{R-R_1}{R_2-R_1}.\]

逐步计算： 待测电阻恰位于两校准电阻的中点：

\[\frac{R-R_1}{R_2-R_1} =\frac{119.25-100.00}{138.50-100.00} =0.5000.\]

因此

\[t_C=0.00^\circ\mathrm C +(100.00^\circ\mathrm C-0.00^\circ\mathrm C) \frac{119.25-100.00}{138.50-100.00} =50.00^\circ\mathrm C.\]

SI 与有效数字： 电阻比无量纲，结果单位继承为 \(^\circ\mathrm C\)。输入均给至 \(0.01\)，在线性模型下报告 \(50.00^\circ\mathrm C\) 与给定精度一致。

方向 / 量纲检查： \(R_1<R<R_2\)，所以必有 \(t_1<t<t_2\)；算得 \(50.00^\circ\mathrm C\) 满足这一顺序。式中只能出现相同单位的电阻差之比。

极限或合理性检查： 若 \(R=R_1\)，公式返回 \(t_1\)；若 \(R=R_2\)，返回 \(t_2\)。本题的中点电阻返回中点温度，是最直接的对称性检查。

物理解释： \(50.00^\circ\mathrm C\) 是在所选线性校准模型下的温度估计；若真实 \(R(T)\) 有二次项，两点校准不能消除中点误差，精确显示位数不等于真实准确度。

Knowledge 4 — Thermal expansion of solids and liquids / 固体与液体热膨胀

Knowledge ID: P03-U01-L01-K04

4.1 Linear expansion

各向同性固体的一条长度满足

\[\alpha(T)\equiv\frac1L \left(\frac{\partial L}{\partial T}\right)_{\sigma_{\rm ext}},\]

即在指定外应力（通常取无额外机械约束、近似零外应力）的自由膨胀条件下定义；受约束构件不能直接把这一定义式当作实际伸长。

若 \(\alpha\) 在温区内近似恒定，

\[\boxed{\Delta L=\alpha L_0\Delta T}, \qquad L\approx L_0(1+\alpha\Delta T).\]

更一般地，

\[\ln\frac{L_2}{L_1}=\int_{T_1}^{T_2}\alpha(T)\,dT.\]

4.2 Area and volume expansion

对各向同性固体，令原立方体边长为 \(L\)：

\[V=L^3 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dV}{V}=3\frac{dL}{L}.\]

因此小形变下

\[\boxed{\beta=3\alpha}, \qquad \boxed{\Delta V=\beta V_0\Delta T}.\]

面积系数相应为 \(2\alpha\)。这些关系不适用于各向异性晶体的所有方向；那时膨胀系数是张量。

4.3 Constraint creates thermal stress

自由热应变为

\[\varepsilon_{\rm th}=\alpha\Delta T.\]

若一维杆被刚性支座完全阻止伸长，总应变为零，线弹性近似给出应力大小

\[\boxed{\lvert\sigma_{\rm th}\rvert=Y\alpha\lvert\Delta T\rvert}.\]

升温且被限制时通常产生压应力；降温且被限制时产生拉应力。公式要求材料仍在线弹性范围，支座近似刚性，温度均匀。

4.4 Liquids: real versus apparent volume expansion

液体没有独立于容器形状的“线膨胀”，通常定义体膨胀系数

\[\beta_\ell=\frac1V\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p.\]

若液体装在会膨胀的容器中，观察到的液面变化对应表观体膨胀系数

\[\boxed{\beta_{\rm app}\approx\beta_\ell-\beta_c},\]

其中 \(\beta_c\) 是容器内腔的体膨胀系数。绝不能把液面上升直接等同于液体的真实膨胀。

4.5 Water anomaly

常压液态水在约 \(4^\circ\mathrm C\) 附近密度最大。把水从 \(0^\circ\mathrm C\) 加热到约 \(4^\circ\mathrm C\) 时，它反而收缩；因此该区间的有效 \(\beta\) 为负。这是“多数物质升温膨胀”的重要例外，不应使用恒定正 \(\beta\) 跨越该区间。IAPWS 给出常压水密度的精密关联式。⁵

4.6 Worked Example 3 — rail expansion

一根 \(L_0=30.0\ \mathrm m\) 的钢轨，\(\alpha=11.7\times10^{-6}\ \mathrm{K^{-1}}\)，温度升高 \(55.0\ \mathrm K\)。求自由伸长量。

已知条件： \(L_0=30.0\ \mathrm m\)、\(\alpha=11.7\times10^{-6}\ \mathrm{K^{-1}}\)、\(\Delta T=+55.0\ \mathrm K\)。

研究对象： 一根可自由伸缩的均匀钢轨。

系统边界 / 参考系： 取整根钢轨为系统，在地面实验室参考系中比较加热前后长度；端部无约束，故不产生热应力。

坐标与正方向： 沿钢轨建立 \(+x\) 轴，正伸长定义为 \(\Delta L=L-L_0>0\)。

模型及理由： 温升均匀，\(\alpha\) 在该温区近似常数，且 \(\alpha\Delta T\ll1\)，所以使用一阶线膨胀模型 \(\Delta L=\alpha L_0\Delta T\)。

方程建立：

\[L=L_0(1+\alpha\Delta T), \qquad \Delta L=\alpha L_0\Delta T.\]

逐步计算：

\[\Delta L=(11.7\times10^{-6})(30.0)(55.0) =1.93\times10^{-2}\ \mathrm m =1.93\ \mathrm{cm}.\]

SI 与有效数字： \(\mathrm{K^{-1}}\cdot\mathrm m\cdot\mathrm K=\mathrm m\)；三个输入均为三位有效数字，故报告 \(1.93\times10^{-2}\ \mathrm m\)。

方向 / 量纲检查： \(\alpha>0\) 且 \(\Delta T>0\)，所以 \(\Delta L>0\)，即末端沿 \(+x\) 方向移动；正负号与“升温伸长”一致。

极限或合理性检查： \(\alpha\Delta T=6.44\times10^{-4}\ll1\)，一阶近似合理；当 \(\alpha\to0\) 或 \(\Delta T\to0\) 时，\(\Delta L\to0\)。

物理解释： 约 \(1.93\ \mathrm{cm}\) 是整段 \(30.0\ \mathrm m\) 钢轨的自由长度变化。伸缩缝设计必须考虑可连续伸长的总长度，而不是只看单位长度。

4.7 Worked Example 4 — apparent liquid expansion

\(1.000\ \mathrm L\) 液体装满玻璃容器。取 \(\beta_\ell=1.10\times10^{-3}\ \mathrm{K^{-1}}\)、\(\beta_c=27.0\times10^{-6}\ \mathrm{K^{-1}}\)，升温 \(40.0\ \mathrm K\)。求溢出体积。

已知条件： \(V_0=1.000\ \mathrm L=1.000\times10^{-3}\ \mathrm{m^3}\)、\(\beta_\ell=1.10\times10^{-3}\ \mathrm{K^{-1}}\)、\(\beta_c=27.0\times10^{-6}\ \mathrm{K^{-1}}\)、\(\Delta T=+40.0\ \mathrm K\)。

研究对象： 液体与限定其体积的玻璃容器空腔。

系统边界 / 参考系： 把初始装满的液体和容器作为组合系统；比较液体真实增容与容器空腔增容，忽略蒸发、泄漏及温度梯度。空间参考系不影响体积差。

坐标与正方向： N/A。把流出容器的体积定义为正的 \(\Delta V_{\rm spill}\)。

模型及理由： 两种材料均匀升温、体膨胀系数近似常数，且 \(\beta\Delta T\ll1\)，故分别用 \(\Delta V=\beta V_0\Delta T\)；表观溢出量是液体增容减空腔增容。

方程建立：

\[\Delta V_\ell=\beta_\ell V_0\Delta T, \qquad \Delta V_c=\beta_c V_0\Delta T,\]

\[\Delta V_{\rm spill}=\Delta V_\ell-\Delta V_c =V_0(\beta_\ell-\beta_c)\Delta T.\]

逐步计算：

\[\Delta V_\ell =(1.000\ \mathrm L)(1.10\times10^{-3})(40.0) =44.0\ \mathrm{mL},\]

\[\Delta V_c =(1.000\ \mathrm L)(27.0\times10^{-6})(40.0) =1.08\ \mathrm{mL},\]

\[\Delta V_{\rm spill} =V_0(\beta_\ell-\beta_c)\Delta T =42.9\ \mathrm{mL}.\]

SI 与有效数字： 体积膨胀式的单位为 \(\mathrm{m^3}\)；这里转为 \(\mathrm{mL}\) 便于解释。受 \(40.0\ \mathrm K\) 和系数精度限制，报告三位有效数字 \(42.9\ \mathrm{mL}\)。

方向 / 量纲检查： 因 \(\beta_\ell>\beta_c\) 且 \(\Delta T>0\)，差值为正，确有液体溢出；若差值为负，则会在容器上方形成空隙而不是“负溢出”。

极限或合理性检查： 若 \(\beta_\ell=\beta_c\)，则 \(\Delta V_{\rm spill}=0\)；若容器完全不膨胀，结果应回到 \(44.0\ \mathrm{mL}\)。本题 \(\beta_\ell\Delta T=0.044\ll1\)，一阶模型尚可用。

物理解释： 容器空腔也随温度增大，所以观察到的溢出量 \(42.9\ \mathrm{mL}\) 小于液体自身的真实增容 \(44.0\ \mathrm{mL}\)。

5. Lesson synthesis / 全课整合

5.1 Concept chain

\[\text{thermal contact} \longrightarrow \text{equilibrium relation} \longrightarrow \text{zeroth law} \longrightarrow \text{temperature scale} \longrightarrow \text{calibrated thermometer}.\]

温度改变后，物体尺寸也可能改变：

\[\Delta T \longrightarrow \begin{cases} \Delta L=\alpha L_0\Delta T,\\ \Delta V=\beta V_0\Delta T,\\ \sigma_{\rm th}\ \text{if constrained}. \end{cases}\]

Formula-and-decision table / 公式—决策表

Model boundaries / 模型边界

• 热平衡是宏观统计描述；极小系统会有明显涨落。
• 温度只有在局域平衡足够好时才是清晰的局域状态量。
• 线性温标校准不能自动消除非线性、滞后、自热或接触误差。
• 膨胀系数随温度、相态与晶向变化；大温区应积分。
• \(\beta=3\alpha\) 只适用于各向同性小形变固体。
• 热应力公式不覆盖塑性、蠕变、屈曲、裂纹与非均匀温场。

6. Misconception clinic / 易错概念诊所

7. Practice and retrieval / 练习与检索

A. Conceptual questions

1. A 与 C 热平衡，B 与 C 热平衡。若把 A 与 B 接触，会发生什么宏观净热传递？
2. 为什么温度计必须足够小、等待足够久，但又不能无限小？
3. 说明“水三相点不再定义 kelvin”与“它仍是 ITS-90 固定点”并不矛盾。
4. 为什么带孔圆环均匀受热时孔径增大？
5. 为什么表观液体膨胀可能小于真实膨胀？

B. Quantitative questions

6. 把 \(-40.0^\circ\mathrm C\) 换算为 K 与 °F。
7. 某线性温度计在 \(0^\circ\mathrm C\)、\(100^\circ\mathrm C\) 时读数分别为 12.0 与 87.0。读数 49.5 对应多少 °C？
8. 传感器时间常数为 \(8.0\ \mathrm s\)。温度阶跃后多久完成最终变化的 \(95.0\%\)？
9. 铝杆长 \(2.00\ \mathrm m\)，\(\alpha=23.0\times10^{-6}\ \mathrm{K^{-1}}\)，升温 \(80.0\ \mathrm K\)。求自由伸长。
10. 上题铝杆若被完全限制，取 \(Y=69.0\ \mathrm{GPa}\)，求压应力大小；判断是否应直接把答案当作实际结构应力。
11. \(500\ \mathrm{mL}\) 液体的 \(\beta_\ell=7.5\times10^{-4}\ \mathrm{K^{-1}}\)，容器 \(\beta_c=2.7\times10^{-5}\ \mathrm{K^{-1}}\)，升温 \(30\ \mathrm K\)。求表观体积增加。

Exit ticket

用不超过四句话回答：第零定律、kelvin 定义、温度计校准与液体表观膨胀之间的逻辑关系是什么？

8. References and source notes / 参考资料与使用说明

8.1 Source-to-content map

8.2 Source notes

以上来源均于 2026-08-24 实际打开核对。本课把 OpenStax 用作 HS→UG1 教学主线，把 BIPM/NIST 作为 SI 与测温学的规范来源，把 IAPWS 作为水性质的第一方国际数据来源。所有图均按本课方程原创绘制，不复刻来源插图。

8.3 Reading route

• 温度改变需要多少能量：Heat Capacity and Phase Change。
• 温差如何驱动空间能量输运：Heat Transfer。
• 温度与分子运动的联系：Ideal-Gas Model。