传热

Learning objectives / 学习目标

完成本课后，你应当能够：

1. 从 Fourier 定律得到平壁稳态导热率，并解释负号、温度梯度与导热系数。
2. 区分稳态与瞬态导热，使用热扩散率判断温度场响应快慢。
3. 使用 Newton 冷却定律建模对流，区分自然与强迫对流并说明 \(h\) 的经验性。
4. 用集总热容模型推导指数冷却，检查 Biot 数边界。
5. 区分黑体、灰体、发射率、吸收率与反射；写出适用边界明确的净辐射交换。
6. 写出 Planck 谱、Stefan–Boltzmann 定律和两种 Wien 峰值，避免把 \(B_\lambda\) 与 \(B_\nu\) 的峰互相取倒数。
7. 把导热、对流与线性化辐射写成热阻，分析串联、并联和复合墙。

Prerequisites / 先修知识

• Thermal Equilibrium and Temperature 与 Heat Capacity and Phase Change；
• 能量守恒、系统边界与传递率；
• 导数、梯度、指数函数，以及串并联网络的等效思想。

Scope and conventions / 范围与约定

全篇使用 SI。除特别说明，介质连续、材料参数可视为常数；一维平壁模型忽略边缘效应。\(\dot Q>0\) 常被约定为从热端到冷端的标量传热率，而矢量 Fourier 定律中的负号直接编码热流逆温度梯度。对流系数 \(h\) 是给定几何与流动状态下的经验参数；辐射交换式必须同时声明表面和环境假设。

Notation and modeling contract / 符号与建模契约

温度四次方定律只可使用绝对温度 K；\(B_\lambda\) 与 \(B_\nu\) 是不同自变量下的谱密度，二者峰值不能简单互取倒数。

0. Three mechanisms, one energy balance

同一装置通常同时存在三种机制；“分类”是为了构建每一项，不是为了强行只选一种。¹²

Knowledge 1 — Conduction and thermal conductivity / 热传导与导热系数

Knowledge ID: P03-U01-L03-K01

1.1 Fourier's law

在各向同性介质中，

\[\boxed{\mathbf q''=-k\nabla T}.\]

\(k\) 是导热系数（thermal conductivity），单位 \(\mathrm{W\,m^{-1}K^{-1}}\)。负号表示热流沿温度降低方向；\(k\) 大表示在同一梯度下导热更强。

一维平壁中，

\[\dot Q_x=-kA\frac{dT}{dx}.\]

这是一条本构关系，不是单独的能量守恒式。它要求连续介质与局域热平衡近似合理。

1.2 Steady one-dimensional slab

若 \(k\) 恒定、无体积发热且已达稳态，能量守恒要求 \(\dot Q_x\) 与 \(x\) 无关，于是

\[\frac{d^2T}{dx^2}=0.\]

边界 \(T(0)=T_h\)、\(T(L)=T_c\) 给出

\[T(x)=T_h-\frac{T_h-T_c}{L}x,\]

\[\boxed{\dot Q=kA\frac{T_h-T_c}{L}}.\]

线性温度分布不是所有导热问题的普遍结论。\(k(T)\)、曲面几何、内部发热或多维边界都会产生曲线。

1.3 Transient conduction and thermal diffusivity

对常物性、无体积发热的静止介质，局域能量守恒与 Fourier 定律合并为

\[\rho c\frac{\partial T}{\partial t}=k\nabla^2T.\]

定义热扩散率

\[\boxed{\alpha_{\rm th}=\frac{k}{\rho c}}, \qquad [\alpha_{\rm th}]=\mathrm{m^2\,s^{-1}}.\]

长度尺度 \(L\) 上的扩散时间量级

\[t_{\rm diff}\sim\frac{L^2}{\alpha_{\rm th}}.\]

\(k\) 衡量导热能力；\(\alpha_{\rm th}\) 比较导热与体积储能 \(\rho c\)，两者不能混为一谈。

1.4 Worked Example 1 — insulation slab

保温板 \(k=0.0400\ \mathrm{W\,m^{-1}K^{-1}}\)，面积 \(A=10.0\ \mathrm{m^2}\)，厚度 \(L=0.200\ \mathrm m\)，两面温差 \(25.0\ \mathrm K\)。求稳态一维导热率。

已知条件： \(k=0.0400\ \mathrm{W\,m^{-1}K^{-1}}\)、\(A=10.0\ \mathrm{m^2}\)、\(L=0.200\ \mathrm m\)、\(T_h-T_c=25.0\ \mathrm K\)。

研究对象： 厚度为 \(L\) 的平面保温板。

系统边界 / 参考系： 边界包围保温板，热面与冷面是能量穿越控制面的两个端面；在板静止的实验室参考系中讨论稳态温度场。

坐标与正方向： 令 \(+x\) 从热面指向冷面，并规定 \(\dot Q>0\) 表示能量沿 \(+x\) 方向穿过面积 \(A\)。

模型及理由： 采用稳态、一维、常 \(k\) 的平壁 Fourier 模型；忽略边缘效应、体热源与接触热阻。题目只给两面温差且几何宽大，故使用线性温度梯度。

方程建立：

\[q_x''=-k\frac{dT}{dx}, \qquad \dot Q=q_x''A=kA\frac{T_h-T_c}{L}.\]

逐步计算：

\[\dot Q=(0.0400)(10.0)\frac{25.0}{0.200} =5.00\times10^1\ \mathrm W.\]

SI 与有效数字：

\[\left(\mathrm{W\,m^{-1}K^{-1}}\right) \left(\mathrm{m^2}\right) \frac{\mathrm K}{\mathrm m}=\mathrm W.\]

四个输入至少有三位有效数字，故结果为 \(50.0\ \mathrm W\)，不是 \(500\ \mathrm W\)。

方向 / 量纲检查： \(T\) 沿 \(+x\) 减小，所以 \(dT/dx<0\)；Fourier 负号给出 \(q_x''>0\)，即热从热面流向冷面。

极限或合理性检查： 若 \(L\) 加倍，\(\dot Q\) 减半；若 \(T_h=T_c\)，则 \(\dot Q=0\)。这些极限符合导热直觉。

物理解释： 保温板通过其全截面持续传递 \(50.0\ \mathrm{J}\) 每秒。较小的 \(k\) 与较大的 \(L\) 都能降低热泄漏。

1.5 Conduction model boundaries

• 对流体也可有导热，但若发生整体运动，能量输运不再只有 Fourier 项。
• 微纳尺度或极低温下，平均自由程可能与尺度相当，局域 Fourier 定律需修正。
• 界面常有接触热阻；把两个固体紧贴不等于温度连续且无跳变。
• 稳态意味着温度场不随时间变，不意味着没有热流。

Knowledge 2 — Convection and fluid transport / 对流与流体输运

Knowledge ID: P03-U01-L03-K02

2.1 What convection includes

对流是壁面附近的分子导热与流体整体运动共同造成的能量输运。常用 Newton 冷却定律把复杂边界层折算为

\[\boxed{\dot Q_{\rm conv}=hA(T_s-T_\infty)}.\]

\(h\) 是对流换热系数，单位 \(\mathrm{W\,m^{-2}K^{-1}}\)。它不是只由“材料名称”决定的常数，而依赖流速、几何、姿态、粗糙度、流态和流体物性。³

2.2 Natural and forced convection

• 自然对流（natural convection）： 温度引起密度差，重力产生浮力并驱动流动。
• 强迫对流（forced convection）： 风机、泵或外部运动驱动流动。

“热空气上升”更准确地说是：受热流体通常密度下降，在重力场与周围流体的压强分布中获得净浮力；在微重力中自然对流会显著减弱。

2.3 Lumped-capacitance cooling

若物体内部导热远快于表面对流，可把物体温度近似为均匀 \(T(t)\)：

\[\rho cV\frac{dT}{dt}=-hA(T-T_\infty).\]

因此

\[\boxed{ \frac{T(t)-T_\infty}{T_i-T_\infty} =e^{-t/\tau} }, \qquad \boxed{\tau=\frac{\rho cV}{hA}=\frac{mc}{hA}}.\]

常用 Biot 数检查内部温差：

\[\mathrm{Bi}=\frac{hL_c}{k_s}, \qquad L_c=\frac VA.\]

经验上 \(\mathrm{Bi}\lesssim0.1\) 时集总近似通常较好；它是判据，不是数学定理。

2.4 Worked Example 2 — cooling an aluminum part

铝件 \(m=0.250\ \mathrm{kg}\)、\(c=900\ \mathrm{J\,kg^{-1}K^{-1}}\)、\(A=0.0200\ \mathrm{m^2}\)，在 \(h=25.0\ \mathrm{W\,m^{-2}K^{-1}}\)、\(t_\infty=25.0^\circ\mathrm C\) 的气流中由 \(150^\circ\mathrm C\) 冷却。假设 \(\mathrm{Bi}<0.1\)：

已知条件： \(m=0.250\ \mathrm{kg}\)、\(c=900\ \mathrm{J\,kg^{-1}K^{-1}}\)、\(A=0.0200\ \mathrm{m^2}\)、\(h=25.0\ \mathrm{W\,m^{-2}K^{-1}}\)、\(T_i=423.15\ \mathrm K\)（\(150^\circ\mathrm C\)）、\(T_\infty=298.15\ \mathrm K\)（\(25.0^\circ\mathrm C\)）、\(T_{\rm target}=323.15\ \mathrm K\)（\(50.0^\circ\mathrm C\)），并给定 \(\mathrm{Bi}<0.1\)。

研究对象： 整个铝件。

系统边界 / 参考系： 系统边界沿铝件表面；能量经表面对流流向恒温气流。在实验室参考系中铝件静止，忽略辐射、支撑导热及物性变化。

坐标与正方向： 无需空间坐标，因为集总模型把物体视为单一温度；规定从铝件流向环境的 \(\dot Q_{\rm out}>0\)。

模型及理由： 给定 \(\mathrm{Bi}<0.1\)，物体内部导热阻力相对表面对流阻力小，可采用集总热容模型。题目未给 \(k\) 和特征长度，因而不能独立复算 \(\mathrm{Bi}\)；它是本例明确采用的模型假设。

方程建立： 能量率平衡为

\[mc\frac{dT}{dt}=-hA(T-T_\infty),\]

解为

\[\frac{T-T_\infty}{T_i-T_\infty}=e^{-t/\tau}, \qquad \tau=\frac{mc}{hA}.\]

逐步计算：

\[\tau=\frac{(0.250)(900)}{(25.0)(0.0200)} =450\ \mathrm s.\]

达到 \(50.0^\circ\mathrm C\) 时

\[\frac{50.0-25.0}{150-25.0}=0.200=e^{-t/450},\]

\[\boxed{t=724\ \mathrm s=12.1\ \mathrm{min}}.\]

SI 与有效数字： \(mc\) 的单位为 \(\mathrm{J\,K^{-1}}\)，\(hA\) 为 \(\mathrm{W\,K^{-1}}=\mathrm{J\,s^{-1}K^{-1}}\)，故 \(\tau\) 与 \(t\) 的单位为 s。结果按输入精度报告 \(724\ \mathrm s\) 或 \(12.1\ \mathrm{min}\)。

方向 / 量纲检查： 初始 \(T>T_\infty\)，所以 \(dT/dt<0\)；无量纲温差比 \(0.200\) 位于 \(0\) 与 \(1\) 之间，对应正时间。

极限或合理性检查： \(t/\tau=-\ln0.200=1.609\)，所以时间应约为 \(1.6\tau\)，与 \(724/450=1.61\) 一致。若 \(hA\) 加倍，时间常数减半。

物理解释： 温差按指数规律衰减，而不是匀速降温。若实际 \(\mathrm{Bi}\) 不小，表面会先冷却，单一 \(T(t)\) 模型失效。

Knowledge 3 — Thermal radiation and emissivity / 热辐射与发射率

Knowledge ID: P03-U01-L03-K03

3.1 Thermal radiation needs no material medium

任何 \(T>0\) 的物体都会因带电粒子的热运动发出电磁辐射，同时也吸收、反射并可能透射入射辐射。真空中导热和对流不存在，但辐射仍能传递能量。

黑体（blackbody） 是理想模型：吸收所有入射辐射，并在给定温度下达到最大热辐射发射。真实表面用发射率描述。

3.2 Spectral, directional, and total emissivity

一般发射率可依赖波长、方向和温度：

\[0\le\varepsilon_\lambda(\lambda,\Omega,T)\le1.\]

灰体（gray body） 近似把相关波段内的 \(\varepsilon_\lambda\) 视为常数 \(\varepsilon\)。它不是说表面肉眼看起来是灰色。

在热平衡并匹配波长与方向的条件下，Kirchhoff 定律给出

\[\varepsilon_\lambda=\alpha_{\lambda,\rm abs},\]

其中 \(\alpha_{\lambda,\rm abs}\) 是谱吸收率，不是热扩散率或热膨胀系数。

3.3 Net radiation to a large isothermal enclosure

对面积 \(A\) 的小灰体表面，若它被巨大等温黑体式环境完全包围、视因数近似 1、介质不参与辐射且各表面近似漫射，可写

\[\boxed{ \dot Q_{\rm rad,net} =\varepsilon\sigma A \left(T_s^4-T_{\rm sur}^4\right) }.\]

所有温度必须用 K。若 \(T_s<T_{\rm sur}\)，该式为负，表示物体净吸收辐射。

3.4 Worked Example 3 — net radiative cooling

表面 \(A=1.00\ \mathrm{m^2}\)、\(\varepsilon=0.900\)、\(T_s=310\ \mathrm K\)，置于 \(T_{\rm sur}=295\ \mathrm K\) 的大等温环境中。取

\[\sigma=5.670\,374\,419\times10^{-8}\ \mathrm{W\,m^{-2}K^{-4}}.\]

已知条件： \(A=1.00\ \mathrm{m^2}\)、\(\varepsilon=0.900\)、\(T_s=310\ \mathrm K\)、\(T_{\rm sur}=295\ \mathrm K\)，以及上列 \(\sigma\)。

研究对象： 温度为 \(T_s\) 的灰体表面。

系统边界 / 参考系： 边界沿该表面；它被大而等温的黑体式环境完全包围，视因数取 \(1\)，中间介质不参与辐射。实验室参考系足够，因为两者无相对论性运动。

坐标与正方向： 空间坐标 N/A；规定从表面流向环境的净辐射功率 \(\dot Q_{\rm rad,net}>0\)。

模型及理由： 表面近似漫射灰体、\(\varepsilon\) 与波长无关，环境可视为大等温黑体，因此可把表面发射与环境反向辐照合并为净交换式。

方程建立：

\[\dot Q_{\rm rad,net} =\varepsilon\sigma A(T_s^4-T_{\rm sur}^4).\]

逐步计算：

\[\dot Q_{\rm rad,net} =(0.900)\sigma(1.00)(310^4-295^4) =84.8\ \mathrm W.\]

SI 与有效数字： \(\sigma A\Delta(T^4)\) 的单位为 \(\mathrm{W\,m^{-2}K^{-4}}\cdot\mathrm{m^2}\cdot\mathrm{K^4}=\mathrm W\)。温度和面积为三位有效数字，故报告 \(84.8\ \mathrm W\)。

方向 / 量纲检查： \(310>295\ \mathrm K\)，因此括号为正，表面净放出辐射能；若调换两温度，符号反转表示净吸收。

极限或合理性检查： 当 \(T_s=T_{\rm sur}\) 时净功率严格为零；当 \(\varepsilon\to0\) 时灰体模型也给零。小温差线性化 \(4\varepsilon\sigma AT_m^3\Delta T\) 给出相同数量级。

物理解释： \(84.8\ \mathrm W\) 是净散热率。若只算 \(\varepsilon\sigma AT_s^4\)，得到的是表面总发射功率，漏掉环境反向辐照，不能代表净能量损失。

Knowledge 4 — Stefan–Boltzmann and Wien laws / 斯特藩—玻尔兹曼与维恩定律

Knowledge ID: P03-U01-L03-K04

4.1 Planck spectrum is the parent law

黑体谱辐亮度按波长与按频率分别为

\[B_\lambda(T) =\frac{2hc^2}{\lambda^5} \frac{1}{\exp\left(hc/(\lambda k_BT)\right)-1},\]

\[B_\nu(T) =\frac{2h\nu^3}{c^2} \frac{1}{\exp\left(h\nu/(k_BT)\right)-1}.\]

二者描述同一辐射，但谱密度满足

\[B_\nu =B_\lambda\left\lvert\frac{d\lambda}{d\nu}\right\rvert, \qquad B_\nu\,d\nu=-B_\lambda\,d\lambda, \qquad \nu=\frac c\lambda.\]

\(B_\lambda\) 的 SI 单位为 \(\mathrm{W\,m^{-3}sr^{-1}}\)，\(B_\nu\) 的 SI 单位为 \(\mathrm{W\,m^{-2}sr^{-1}Hz^{-1}}\)；数值大小必须连同“每单位什么变量”一起解释。

Jacobian 因子意味着两种横坐标下的峰不在互为倒数的位置。⁴⁵⁶

曲线为无量纲教学示意；相对峰位和“温度越高、积分面积越大”正确，纵轴没有冒充具体单位。

4.2 Stefan–Boltzmann law

对 \(B_\lambda\) 在所有波长和半球方向积分，得到黑体总出射度

\[\boxed{M_b=\sigma T^4}.\]

真实灰体的总发射功率近似

\[P_{\rm emit}=\varepsilon\sigma AT^4.\]

温度加倍时，在面积不变的黑体模型中发射功率乘以 \(2^4=16\)。

4.3 Wien displacement laws: two different peaks

按波长谱的峰满足

\[\boxed{\lambda_{\max}T=b_\lambda}, \qquad b_\lambda=2.897\,771\,955\times10^{-3}\ \mathrm{m\,K}.\]

按频率谱的峰满足

\[\boxed{\frac{\nu_{\max}}T=b_\nu}, \qquad b_\nu=5.878\,925\,757\times10^{10}\ \mathrm{Hz\,K^{-1}}.\]

因此

\[\boxed{\lambda_{\max}^{(\lambda)}\nu_{\max}^{(\nu)}\ne c}.\]

上标提醒：一个是 \(B_\lambda\) 最大的位置，另一个是 \(B_\nu\) 最大的位置。

4.4 Worked Example 4 — wavelength and frequency peaks

以 \(T=5772\ \mathrm K\) 的近黑体为例：

已知条件： \(T=5772\ \mathrm K\)、\(b_\lambda=2.897771955\times10^{-3}\ \mathrm{m\,K}\)、\(b_\nu=5.878925757\times10^{10}\ \mathrm{Hz\,K^{-1}}\)、\(c=2.99792458\times10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)。

研究对象： 温度为 \(5772\ \mathrm K\) 的理想黑体辐射场；把它作为太阳光球连续谱的近似。

系统边界 / 参考系： 不计算某个表面的总能量收支，只比较同一辐射场在 \(B_\lambda\) 与 \(B_\nu\) 两种谱密度坐标下的峰。在辐射源静止参考系中忽略 Doppler 位移。

坐标与正方向： 对 \(B_\lambda\) 使用向长波增大的 \(+\lambda\) 轴；对 \(B_\nu\) 使用向高频增大的 \(+\nu\) 轴。两者的等宽区间不同。

模型及理由： 采用理想黑体 Planck 谱的两种 Wien 位移常数；\(B_\lambda\) 与 \(B_\nu\) 通过 Jacobian 转换，因此各自极大点不能简单互取倒数。

方程建立：

\[\lambda_{\max}^{(\lambda)}=\frac{b_\lambda}{T}, \qquad \nu_{\max}^{(\nu)}=b_\nu T, \qquad \lambda_{\rm equiv}=\frac{c}{\nu_{\max}^{(\nu)}}.\]

逐步计算： 按波长谱，

\[\lambda_{\max}^{(\lambda)} =\frac{2.897771955\times10^{-3}}{5772} =5.02\times10^{-7}\ \mathrm m =502\ \mathrm{nm}.\]

而按频率谱，

\[\nu_{\max}^{(\nu)} =(5.878925757\times10^{10})(5772) =3.39\times10^{14}\ \mathrm{Hz}.\]

对应的等效波长为

\[\lambda_{\rm equiv} =\frac{2.99792458\times10^8}{3.39\times10^{14}} \approx8.84\times10^{-7}\ \mathrm m =884\ \mathrm{nm}.\]

SI 与有效数字： \((\mathrm{m\,K})/\mathrm K=\mathrm m\)，\((\mathrm{Hz\,K^{-1}})\mathrm K=\mathrm{Hz}\)，\(c/\nu\) 为 m。温度为四位有效数字，但结果以三位有效数字报告：\(502\ \mathrm{nm}\)、\(3.39\times10^{14}\ \mathrm{Hz}\)、\(884\ \mathrm{nm}\)。

方向 / 量纲检查： \(\lambda_{\max}^{(\lambda)}\propto T^{-1}\)，温度升高时波长峰向短波移动；\(\nu_{\max}^{(\nu)}\propto T\)，频率峰向高频移动，方向一致。

极限或合理性检查： 可见光波段约为数百纳米，因此 \(502\ \mathrm{nm}\) 对太阳型温度合理。\(884\ \mathrm{nm}\ne502\ \mathrm{nm}\) 不是算术冲突，而是 \(B_\lambda\,\lvert d\lambda\rvert=B_\nu\,\lvert d\nu\rvert\) 中非线性 Jacobian 改变了峰位。

物理解释： 两个峰最大化的是不同“每单位横坐标”的谱密度，不能用 \(\nu=c/\lambda\) 直接把一个峰映成另一个峰。NASA 用波长峰展示“越热越向短波移动”，NIST 给出两套位移常数。⁴⁵

Knowledge 5 — Thermal resistance networks / 热阻网络

Knowledge ID: P03-U01-L03-K05

5.1 From constitutive law to resistance

若一段稳态传热可以写成

\[\dot Q=\frac{\Delta T}{R_{\rm th}},\]

则 \(R_{\rm th}\) 的单位是 \(\mathrm{K\,W^{-1}}\)。平壁导热和对流膜热阻分别为

\[\boxed{R_{\rm cond}=\frac{L}{kA}}, \qquad \boxed{R_{\rm conv}=\frac1{hA}}.\]

热阻类比电阻非常有用：温度差对应电势差，传热率对应电流，累计传热量 \(Q=\int\dot Q\,dt\) 在积分关系上对应通过的电荷 \(q=\int I\,dt\)。但两者的物理实体不同；尤其不能把热量误当成储存在物体内的守恒“热质”。

5.2 Series and parallel rules

串联路径共享同一稳态 \(\dot Q\)：

\[\boxed{R_{\rm series}=\sum_jR_j}.\]

并联路径共享同一温差，传热率相加：

\[\boxed{ \frac1{R_{\rm parallel}}=\sum_j\frac1{R_j} }.\]

5.3 Composite walls and interface temperatures

对常面积多层平壁，

\[R_{\rm total} =\frac1{h_iA} +\sum_j\frac{L_j}{k_jA} +\frac1{h_oA},\]

\[\boxed{\dot Q=\frac{T_{\infty,i}-T_{\infty,o}}{R_{\rm total}}}.\]

每段温降为 \(\Delta T_j=\dot Q R_j\)。热阻越大的层，温度图上落差越大。

5.4 Linearized radiation resistance

因

\[T_s^4-T_{\rm sur}^4 =(T_s-T_{\rm sur})(T_s+T_{\rm sur})(T_s^2+T_{\rm sur}^2),\]

可定义

\[h_r=\varepsilon\sigma (T_s+T_{\rm sur})(T_s^2+T_{\rm sur}^2),\]

\[R_{\rm rad}=\frac1{h_rA}.\]

这对给定温度对是代数恒等改写；若在迭代中把 \(h_r\) 当常数，需要温区不太宽或持续更新。若对流与辐射都从同一表面到环境，它们是并联能量通道：

\[\dot Q=A(h+h_r)(T_s-T_{\rm env})\]

仅当空气与辐射环境温度可视为同一个 \(T_{\rm env}\) 时才可直接合并。

5.5 Overall heat-transfer coefficient

工程上常写

\[\dot Q=UA\Delta T,\]

其中

\[\frac1{UA}=R_{\rm total}.\]

\(U\) 已把指定结构的多层导热与表面膜阻折算在一起；它不是任意单一材料的导热系数 \(k\)。

5.6 Worked Example 5 — composite wall

面积 \(A=12.0\ \mathrm{m^2}\) 的墙，室内外温差 \(30.0\ \mathrm K\)。单位面积热阻为

已知条件： \(A=12.0\ \mathrm{m^2}\)、\(T_{\rm in}-T_{\rm out}=30.0\ \mathrm K\)；室内膜系数 \(h_i=8.0\ \mathrm{W\,m^{-2}K^{-1}}\)，第一层 \(L_1=0.100\ \mathrm m\)、\(k_1=0.720\ \mathrm{W\,m^{-1}K^{-1}}\)，保温层 \(L_2=0.0800\ \mathrm m\)、\(k_2=0.0400\ \mathrm{W\,m^{-1}K^{-1}}\)，室外膜系数 \(h_o=25.0\ \mathrm{W\,m^{-2}K^{-1}}\)。

研究对象： 室内流体、两层墙体与室外流体之间的一条串联传热路径。

系统边界 / 参考系： 控制体横跨室内膜、两固体层与室外膜；在墙体静止的实验室参考系中取稳态，所有串联元件通过相同热流率。

坐标与正方向： 令 \(+x\) 从室内指向室外，并规定向外的 \(q''\) 与 \(\dot Q\) 为正。

模型及理由： 稳态一维、各层 \(k\) 为常数、面积相同；两表面用给定 \(h\) 表示对流膜阻。忽略接触热阻、热桥、体热源及显式辐射旁路，因此各热阻可串联。

方程建立： 单位面积总热阻为

\[R_A=\frac1{h_i}+\frac{L_1}{k_1}+\frac{L_2}{k_2}+\frac1{h_o},\]

且

\[q''=\frac{T_{\rm in}-T_{\rm out}}{R_A}, \qquad \dot Q=Aq''.\]

逐步计算：

\[R_A= \frac1{8.0} +\frac{0.100}{0.720} +\frac{0.0800}{0.0400} +\frac1{25.0} =2.304\ \mathrm{m^2K\,W^{-1}}.\]

其中四项分别为

\[0.125, \quad 0.1389, \quad 2.000, \quad 0.0400 \ \mathrm{m^2K\,W^{-1}},\]

故热流密度

\[q''=\frac{30.0}{2.304}=13.0\ \mathrm{W\,m^{-2}},\]

\[\boxed{\dot Q=Aq''=156\ \mathrm W}.\]

保温层上的温降为

\[\Delta T_{\rm ins}=q''\frac{L_2}{k_2} =(13.0)(2.000)=26.0\ \mathrm K.\]

SI 与有效数字： \(R_A\) 为 \(\mathrm{m^2K\,W^{-1}}\)，故 \(\mathrm K/R_A=\mathrm{W\,m^{-2}}\)，再乘面积得到 W。按输入精度报告 \(q''=13.0\ \mathrm{W\,m^{-2}}\)、\(\dot Q=156\ \mathrm W\)。

方向 / 量纲检查： 室内温度高于室外，故向外热流为正；串联各段温降均为正，且总和为 \(30.0\ \mathrm K\)。

极限或合理性检查： 若总温差趋零，则 \(q''\to0\)；增加保温层厚度会增大 \(R_A\) 并降低热流。保温层占总热阻约 \(2.000/2.304=86.8\%\)，所以承担 \(26.0/30.0=86.7\%\) 的温降，两者一致。

物理解释： 保温层支配总热阻，故大部分温降落在它上面；继续降低已很小的室外膜阻，对总热流的影响远小于改变保温层。

6. Lesson synthesis / 全课整合

6.1 Rate balance

把物体作为系统，统一写成

\[\frac{dU}{dt} =\sum\dot Q_{\rm in}-\sum\dot Q_{\rm out} +\dot W_{\rm on}.\]

稳态时局部储能项可为零，但各传热率一般不为零；瞬态时热容把净传热率转化为温度变化。

Formula-and-decision table / 公式—决策表

6.2 A seven-step workflow

1. 画系统边界和几何。
2. 标出所有温度、面积、长度和材料。
3. 判断稳态或瞬态。
4. 列出传导、对流、辐射的实际路径。
5. 为每条路径选本构式并检查边界。
6. 写能量守恒；若可线性化，再画热阻网络。
7. 检查方向、单位、极限与数量级。

Model boundaries / 模型边界

• 传热系数 \(h\) 通常来自相关式或实验，不是普适常数。
• \(k,c,\rho,\varepsilon\) 可能随温度显著变化。
• 辐射必须使用绝对温度；净交换必须计入反向辐照。
• 视因数、遮挡和参与性介质可控制辐射交换。
• 热阻网络最自然地描述稳态线性问题；瞬态需要加入热容并求微分方程。
• 相变、化学反应与流动携带的焓会增加额外能量项。

7. Misconception clinic / 易错概念诊所

8. Practice and retrieval / 练习与检索

A. Conceptual questions

1. 为什么恒定稳态热流可穿过温度不再随时间变化的墙？
2. \(k\) 大但 \(\rho c\) 也很大时，能否仅由 \(k\) 判断温度响应快？
3. 为什么同一种空气在不同风速下 \(h\) 不同？
4. 说明黑体、灰体和真实选择性表面的区别。
5. 为什么净辐射必须包含 \(T_{\rm sur}\)？
6. 解释 \(502\ \mathrm{nm}\) 的波长谱峰与 \(884\ \mathrm{nm}\) 的频率谱峰等效波长为何可同时正确。

B. Quantitative questions

7. 铜板 \(k=400\ \mathrm{W\,m^{-1}K^{-1}}\)，\(A=0.0100\ \mathrm{m^2}\)，\(L=5.00\ \mathrm{mm}\)，两面温差 \(20.0\ \mathrm K\)。求稳态导热率。
8. 一材料 \(\alpha_{\rm th}=1.0\times10^{-6}\ \mathrm{m^2s^{-1}}\)，估算温度扰动扩散 \(2.0\ \mathrm{cm}\) 的时间。
9. 表面 \(A=0.500\ \mathrm{m^2}\)、\(h=12.0\ \mathrm{W\,m^{-2}K^{-1}}\)，\(T_s-T_\infty=30.0\ \mathrm K\)。求对流率。
10. 集总物体 \(\tau=300\ \mathrm s\)。求温差降到初值 \(10.0\%\) 所需时间。
11. 黑体面积 \(0.200\ \mathrm{m^2}\)、\(T=600\ \mathrm K\)，求总发射功率。
12. 求 \(3000\ \mathrm K\) 黑体的 \(B_\lambda\) 峰值波长。
13. 两层平壁共用面积 \(2.0\ \mathrm{m^2}\)：\(L_1=0.020\ \mathrm m,k_1=0.20\)；\(L_2=0.060\ \mathrm m,k_2=0.040\)，温差 \(40\ \mathrm K\)。忽略膜阻，求 \(\dot Q\)。
14. 两条并联导热路径 \(R_1=3.0\ \mathrm{K\,W^{-1}}\)、\(R_2=6.0\ \mathrm{K\,W^{-1}}\)，温差 \(12\ \mathrm K\)。求总传热率。

Exit ticket

对一只装有热饮、带盖但并非真空的杯子，画出传导、对流、辐射和储能项，并指出至少一个不能直接用常系数处理的地方。

9. References and source notes / 参考资料与使用说明

9.1 Source-to-content map

9.2 Source notes

以上来源于 2026-08-24 核对。OpenStax provides the conceptual spine; MIT 2.051 的具体 Quiz 2 equation sheet 与 Quiz 1 review problems supplies undergraduate engineering equations and model boundaries; DOE supports practical heat-flow and resistance language. NASA supports the qualitative wavelength-spectrum picture, MIT 8.901 supplies the \(B_\lambda\leftrightarrow B_\nu\) Jacobian exercise, and NIST anchors the constants。增量升级基线中的 OSTI 书目记录号 10170075 已保留在本说明中；由于其旧书目 URL 在最终核验时无法打开，已不再列为可点击来源，实际内容与 provenance 均改由已成功打开的同一手册 Energy.gov 官方 PDF 承担。All TikZ diagrams and function plots are original reconstructions from the displayed equations.

9.3 Reading route

• 温度的分子解释：Ideal-Gas Model。
• 平均自由程与输运：Ideal-Gas Model and later kinetic-theory lessons.
• 完整瞬态能量平衡：Thermodynamic Systems and Processes。
• 黑体谱的量子来源：PART VIII quantum physics.