热容与相变

Learning objectives / 学习目标

完成本课后，你应当能够：

1. 严格区分温度、内能与热量，并画出系统边界判断 \(Q\) 的符号。
2. 使用热容、比热容与摩尔热容，说明过程约束与温度依赖。
3. 建立理想量热器的能量守恒方程，判断是否会越过相变温度。
4. 分段计算包含升温、熔化、汽化等步骤的能量传递。
5. 说明一级相变中的潜热、两相共存，以及焓、熵或密度等性质可能出现的有限跳变。
6. 读取 \(p\)–\(T\) 相图，识别共存线、三相点、临界点和超临界区。
7. 用 Clapeyron 关系定性解释熔化线斜率，尤其是水的反常负斜率。

Prerequisites / 先修知识

• Thermal Equilibrium and Temperature 中的温度、热平衡与绝对温标；
• 能量守恒、系统边界、一次方程和分段函数图像；
• 斜率、面积与简单微分的物理意义。

Scope and conventions / 范围与约定

全篇使用 SI，所研究对象明确称为“系统”。因温差进入系统的能量记 \(Q>0\)，离开系统记 \(Q<0\)。只有在不计功、动能、重力势能及其他能量通道时才写 \(\Delta U=Q\)；完整第一定律留到 Unit 3.3。量热计算默认容器绝热、最终达到共同平衡温度，除非题目显式计入量热器或环境。

Notation and modeling contract / 符号与建模契约

本课中 \(c\) 若无下标表示给定过程下的有效比热容，不暗示它与温度或压强无关；相变平台仅指指定压强下的准静态一级相变。

0. Before starting: state quantities and process quantities

Knowledge 1 — Heat, internal energy, and temperature distinction / 热量、内能与温度的区分

Knowledge ID: P03-U01-L02-K01

1.1 Temperature is not energy content

温度决定两个系统热接触时净能量传递的方向；它不是系统总能量。小杯沸水可以比湖水温度高，却远不如湖水的内能大。

内能（internal energy） \(U\) 是系统微观平动、转动、振动、相互作用等能量的总和，不包括把整个系统作为质点的宏观动能和外部势能。它是状态函数；从同一初态到同一末态，\(\Delta U\) 与路径无关。

1.2 Heat is energy in transit

热量（heat） 是仅因系统边界两侧存在温度差而传递的能量。传递结束后，这部分能量成为系统内能或转化为其他能量；系统不会“含有热量”。¹

采用“系统对外做功 \(W_{\rm by}>0\)”约定，完整能量账为

\[\Delta U=Q-W_{\rm by}.\]

采用“外界对系统做功 \(W_{\rm on}>0\)”则为 \(\Delta U=Q+W_{\rm on}\)。两种都正确，但不能混用。

1.3 Three ways to raise temperature

温度升高不证明一定有 \(Q>0\)：

• 通过热接触加热：\(Q>0\)；
• 绝热压缩：可有 \(Q=0\)、\(W_{\rm on}>0\)；
• 摩擦或电阻耗散：输入的功在系统内转化为内能。

1.4 Worked Example 1 — insulated stirring

绝热容器内的液体被搅拌器做功 \(3.20\ \mathrm{kJ}\)，容器不动、无其他能量变化。求液体内能的变化。

已知条件： 搅拌器对液体做功 \(W_{\rm on}=3.20\ \mathrm{kJ}\)；容器绝热，所以 \(Q=0\)；宏观动能、重力势能与容器体积均不变。

研究对象： 容器内全部液体。

系统边界 / 参考系： 系统边界沿液体外缘；搅拌轴穿过边界传入机械功，但边界不传热。在容器静止的实验室参考系中，系统整体无平动。

坐标与正方向： 空间坐标 N/A。能量符号约定为“进入液体为正”，故 \(W_{\rm on}>0\)。

模型及理由： 对封闭系统应用第一定律，并忽略 \(\Delta K\)、\(\Delta U_g\) 与边界体积功；题目已声明绝热且无其他能量变化。

方程建立：

\[\Delta U=Q+W_{\rm on}.\]

逐步计算：

\[Q=0,\qquad W_{\rm on}=+3.20\ \mathrm{kJ},\]

\[\boxed{\Delta U=+3.20\ \mathrm{kJ}}.\]

SI 与有效数字： \(3.20\ \mathrm{kJ}=3.20\times10^3\ \mathrm J\)；加法两项均为能量，量纲一致。原数据为三位有效数字，结果保留三位。

方向 / 量纲检查： 搅拌器向系统输入能量，故 \(\Delta U\) 应为正；若算出负值将违背所选符号约定。

极限或合理性检查： 若搅拌器不做功且仍绝热，则 \(W_{\rm on}=Q=0\)，公式给出 \(\Delta U=0\)。若存在向外散热，实际 \(\Delta U\) 将小于 \(3.20\ \mathrm{kJ}\)。

物理解释： 液体升温并不意味着它吸收了 \(3.20\ \mathrm{kJ}\) 的“热量”；这里跨越系统边界的能量通道是功，进入系统后才成为内能增加。

Knowledge 2 — Specific and molar heat capacity / 比热容与摩尔热容

Knowledge ID: P03-U01-L02-K02

2.1 Three related capacities

对相邻平衡态之间、维持指定过程条件 \(X\) 的准静态路径，热容定义为

\[C_X\equiv\left(\frac{\delta Q}{dT}\right)_X, \qquad [C_X]=\mathrm{J\,K^{-1}}.\]

比热容与摩尔热容分别为

\[c_X=\frac{C_X}{m}, \qquad C_{m,X}=\frac{C_X}{n},\]

单位为 \(\mathrm{J\,kg^{-1}K^{-1}}\) 与 \(\mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}\)。这里 \(\delta Q\) 提醒热量不是状态函数；气体尤其必须注明定容 \(C_V\) 或定压 \(C_p\)。对仅有 \(pV\) 功的简单可压缩闭合系统，

\[\boxed{ C_V=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V, \qquad C_p=\left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_p, \qquad H=U+pV }.\]

这些等式依赖所写约束和功模式，不能把一个未注明过程的“热容”当成普适材料常数。²

2.2 Constant-capacity approximation

若全过程维持同一约束 \(X\)、无相变或其他额外能量通道，且 \(c_X\) 在温区内近似常数，

\[\boxed{Q=mc\Delta T=nC_m\Delta T}.\]

一般情形应积分：

\[Q=m\int_{T_1}^{T_2}c_X(T)\,dT.\]

2.3 Capacity depends on material, phase, and temperature

图只表达“\(c\) 可能随 \(T\) 变”，不是某种材料的拟合曲线。接近相变、低温或高温时，把表格中的单一 \(c\) 当作常数尤其危险。

2.4 Worked Example 2 — electric heater

\(m=2.00\ \mathrm{kg}\) 的铝块取 \(c=900\ \mathrm{J\,kg^{-1}K^{-1}}\)，由 \(20.0^\circ\mathrm C\) 加热到 \(70.0^\circ\mathrm C\)。用 \(500\ \mathrm W\) 加热器，求忽略损失时的理想加热时间。

已知条件： \(m=2.00\ \mathrm{kg}\)、\(c=900\ \mathrm{J\,kg^{-1}K^{-1}}\)、\(t_i=20.0^\circ\mathrm C\)、\(t_f=70.0^\circ\mathrm C\)、\(P=500\ \mathrm W\)。

研究对象： 整块铝。

系统边界 / 参考系： 系统边界包围铝块；加热器以恒定功率向内输入能量。实验室参考系中铝块静止，忽略加热器、支架和环境的储能或散热。

坐标与正方向： 空间坐标 N/A；把进入铝块的能量和温升定义为正。

模型及理由： 铝在 \(20\)–\(70^\circ\mathrm C\) 内保持单一固相，取 \(c\) 为常数；温差有限且题目给出代表性 \(c\)，故用 \(Q=mc\Delta T\)。理想加热器满足 \(Q=Pt\)。

方程建立：

\[\Delta T=t_f-t_i=50.0\ \mathrm K, \qquad Q=mc\Delta T, \qquad t=\frac{Q}{P}.\]

逐步计算：

\[Q=mc\Delta T=(2.00)(900)(50.0)=9.00\times10^4\ \mathrm J.\]

\[t=\frac{9.00\times10^4\ \mathrm J}{500\ \mathrm{J\,s^{-1}}} =180\ \mathrm s.\]

SI 与有效数字： \(\mathrm{kg}\cdot\mathrm{J\,kg^{-1}K^{-1}}\cdot\mathrm K=\mathrm J\)，且 \(\mathrm J/(\mathrm{J\,s^{-1}})=\mathrm s\)。按给定数据报告三位有效数字，即 \(1.80\times10^2\ \mathrm s\)。

方向 / 量纲检查： \(t_f>t_i\)，所以 \(Q>0\)；恒正功率输入给出正时间。

极限或合理性检查： 若功率加倍，\(t\) 应减半；若 \(\Delta T\to0\)，则 \(t\to0\)。\(500\ \mathrm W\) 在 \(180\ \mathrm s\) 内提供 \(90.0\ \mathrm{kJ}\)，与所需能量吻合。

物理解释： \(180\ \mathrm s\) 是所有输入功率都进入铝块时的下限。真实时间更长，因为容器也吸能且存在向环境的传热。

Knowledge 3 — Calorimetry and thermal mixing / 量热与热混合

Knowledge ID: P03-U01-L02-K03

3.1 The calorimetry balance

理想量热器把参与混合的物体作为近似隔离的总系统：

\[\boxed{\sum_i Q_i=0}.\]

对不相变且 \(c_i\) 恒定的各物体，

\[\sum_i m_ic_i(T_f-T_i)=0.\]

于是

\[\boxed{ T_f=\frac{\sum_i C_iT_i}{\sum_i C_i} }, \qquad C_i=m_ic_i.\]

它是按热容加权的平均值，因而在所有初温的最小值与最大值之间。

3.2 Heat direction and the weighted mean

热容更大的一方把 \(T_f\) 拉得更靠近自己的初温。

3.3 Real calorimeters

实际分析至少检查：

• 量热杯、温度计、搅拌器是否吸收能量；
• 混合期间与环境的传热是否可忽略；
• 是否发生蒸发、溶解、化学反应或相变；
• 热平衡读数是否在动态漂移；
• 比热容是否可视为常数。

量热器常数 \(C_{\rm cal}\) 可直接加入：

\[Q_{\rm cal}=C_{\rm cal}(T_f-T_{{\rm cal},i}).\]

3.4 Worked Example 3 — metal, water, and calorimeter

\(0.200\ \mathrm{kg}\) 铜块在 \(150.0^\circ\mathrm C\)，投入 \(0.400\ \mathrm{kg}\)、\(20.0^\circ\mathrm C\) 的水中。量热器初温也是 \(20.0^\circ\mathrm C\)，\(C_{\rm cal}=150\ \mathrm{J\,K^{-1}}\)。取 \(c_{\rm Cu}=385\)、\(c_w=4186\ \mathrm{J\,kg^{-1}K^{-1}}\)。

已知条件： \(m_{\rm Cu}=0.200\ \mathrm{kg}\)、\(t_{{\rm Cu},i}=150.0^\circ\mathrm C\)、\(c_{\rm Cu}=385\ \mathrm{J\,kg^{-1}K^{-1}}\)；\(m_w=0.400\ \mathrm{kg}\)、\(t_{w,i}=20.0^\circ\mathrm C\)、\(c_w=4186\ \mathrm{J\,kg^{-1}K^{-1}}\)；量热器 \(C_{\rm cal}=150\ \mathrm{J\,K^{-1}}\) 且初温 \(20.0^\circ\mathrm C\)。

研究对象： 铜块、水和量热器组成的总系统。

系统边界 / 参考系： 总边界包围三者，混合期间近似绝热；实验室参考系中无整体机械能变化。系统内部的热传递可相互抵消，外界交换取零。

坐标与正方向： 空间坐标 N/A。对每一子系统规定 \(Q_i>0\) 表示该子系统吸能，因此热铜块的 \(Q_{\rm Cu}<0\)，水与量热器的 \(Q>0\)。

模型及理由： 三者最终达到共同温度 \(t_f\)，无相变，且各热容在温区内取常数。隔离总系统满足 \(\sum_i Q_i=0\)。

方程建立：

\[Q_{\rm Cu}+Q_w+Q_{\rm cal}=0,\]

\[m_{\rm Cu}c_{\rm Cu}(t_f-t_{{\rm Cu},i}) +m_wc_w(t_f-t_{w,i}) +C_{\rm cal}(t_f-t_{{\rm cal},i})=0.\]

逐步计算： 各热容为

\[m_{\rm Cu}c_{\rm Cu}=77.0\ \mathrm{J\,K^{-1}}, \quad m_wc_w=1674.4\ \mathrm{J\,K^{-1}}, \quad C_{\rm cal}=150\ \mathrm{J\,K^{-1}}.\]

\[(0.200)(385)(t_f-150.0) +(0.400)(4186)(t_f-20.0) +150(t_f-20.0)=0.\]

解得

\[\boxed{t_f=25.3^\circ\mathrm C}.\]

SI 与有效数字： 每一项都是 \(\mathrm{J\,K^{-1}}\times\mathrm K=\mathrm J\)。输入热容精度约为三位有效数字，故结果写成 \(25.3^\circ\mathrm C\)。

方向 / 量纲检查： \(20.0<t_f<150.0^\circ\mathrm C\)，所以铜放能而水和量热器吸能，符号与物理过程一致。

极限或合理性检查： 若忽略量热器，计算得 \(t_f\approx25.7^\circ\mathrm C\)，高于含量热器的结果；增加冷端热容应把终温进一步拉向 \(20.0^\circ\mathrm C\)。

物理解释： 水的热容远大于铜块，所以最终温度只比水的初温高约 \(5.3^\circ\mathrm C\)。量热器不是“背景”，它也是吸收能量的系统组成部分。

Knowledge 4 — Latent heat and first-order phase change / 潜热与一级相变

Knowledge ID: P03-U01-L02-K04

4.1 Energy can change phase without changing temperature

在给定压强下，纯物质处于平衡的一阶相变时，两相可在同一温度共存。单位质量相变所需能量是比潜热（specific latent heat）：

\[\boxed{Q=mL}.\]

常用 \(L_f\) 表示熔化潜热，\(L_v\) 表示汽化潜热。相反过程的 \(Q\) 符号相反；\(L\) 通常列正的大小。³

平台宽度表示潜热，不表示“没有能量进入”。在实际有限加热速率、混合物、压力变化或温度梯度下，平台可能倾斜或展宽。

4.2 Why the temperature plateaus

单相升温时，输入能量显著改变热运动分布；两相共存时，增加的能量主要改变相的比例和分子排列。用恒压焓 \(H\) 表示，两个纯相在同一转变温度的焓有有限差值

\[\boxed{\Delta H_{\rm phase}=mL}.\]

在摩尔形式下，平衡转变温度 \(T_{\rm tr}\) 处

\[L_m=T_{\rm tr}\Delta S_m.\]

这里的“跳变”比较的是两个纯相极限。在 \(T_{\rm tr},p\) 固定的两相共存区，若相 2 的质量分数为 \(\chi\)，混合物焓可连续取

\[H_{\rm mix}=(1-\chi)H_1+\chi H_2, \qquad 0\le\chi\le1;\]

因此中间不是禁区，而是相分数逐渐改变的共存态。\(L_m=T_{\rm tr}\Delta S_m\) 是 UG1 的前瞻关系：潜热反映两相熵的差异。

4.3 A reliable piecewise workflow

1. 标出初态与目标态。
2. 找所有会跨过的相变温度。
3. 单相区使用 \(m\int c(T)\,dT\)。
4. 相变区使用 \(mL\)。
5. 给每段按系统吸能或放能赋号，再求和。

4.4 Worked Example 4 — ice added to warm water

\(0.100\ \mathrm{kg}\) 冰在 \(-10.0^\circ\mathrm C\)，加入 \(0.500\ \mathrm{kg}\)、\(30.0^\circ\mathrm C\) 的水中；容器绝热。取

\[c_{\rm ice}=2090,\quad c_w=4186\ \mathrm{J\,kg^{-1}K^{-1}}, \qquad L_f=3.334\times10^5\ \mathrm{J\,kg^{-1}}.\]

已知条件： \(m_i=0.100\ \mathrm{kg}\)、\(t_{i,i}=-10.0^\circ\mathrm C\)、\(m_w=0.500\ \mathrm{kg}\)、\(t_{w,i}=30.0^\circ\mathrm C\)，以及上列 \(c_{\rm ice}\)、\(c_w\)、\(L_f\)。

研究对象： 初始冰与初始液态水组成的总系统。

系统边界 / 参考系： 绝热容器包围两部分，忽略容器热容、蒸发和机械能变化；在实验室参考系中只追踪内部能量重新分配。

坐标与正方向： 空间坐标 N/A。规定进入初始冰的能量为正；初始热水放出的能量用正的“可供给量”比较，最终能量平衡仍满足总吸能加总为零。

模型及理由： 冰先按 \(mc_{\rm ice}\Delta T\) 升至 \(0^\circ\mathrm C\)，再按 \(mL_f\) 熔化；只有先判断热水能否完成这两段，才能决定最终支路。相变完成后，全部液态水以 \(c_w\) 共同升温。

方程建立： 先比较

\[Q_{\rm hot,max}=m_wc_w(30.0-0),\]

与

\[Q_{\rm ice\to water}=m_ic_{\rm ice}[0-(-10.0)]+m_iL_f.\]

若前者大于后者，冰全部熔化，剩余能量满足

\[Q_{\rm rem}=(m_i+m_w)c_w(t_f-0).\]

逐步计算： 水若冷到 \(0^\circ\mathrm C\) 可放出

\[Q_{\rm hot,max}=(0.500)(4186)(30.0)=62.79\ \mathrm{kJ}.\]

冰升到 \(0^\circ\mathrm C\) 并全部熔化需要

\[Q_{\rm ice\to water} =(0.100)(2090)(10.0)+(0.100)(3.334\times10^5) =35.43\ \mathrm{kJ}.\]

因为

\[62.79\ \mathrm{kJ}>35.43\ \mathrm{kJ},\]

能量足够全部熔化。剩余 \(27.36\ \mathrm{kJ}\) 加热总共 \(0.600\ \mathrm{kg}\) 的水：

\[t_f=\frac{27.36\times10^3}{(0.600)(4186)} =10.9^\circ\mathrm C.\]

SI 与有效数字： 每一段均为 \(\mathrm{kg}\cdot\mathrm{J\,kg^{-1}K^{-1}}\cdot\mathrm K\) 或 \(\mathrm{kg}\cdot\mathrm{J\,kg^{-1}}\)，单位均为 J。根据输入数据，终温报告三位有效数字 \(10.9^\circ\mathrm C\)。

方向 / 量纲检查： 初始水放能、冰吸能；最终 \(0<t_f<30.0^\circ\mathrm C\)，与完成熔化后仍有剩余能量的判断一致。

极限或合理性检查： 若 \(Q_{\rm hot,max}<Q_{\rm ice\to water}\)，就不能使用末段升温式，最终应为 \(0^\circ\mathrm C\) 的冰水共存并计算残余冰。若 \(m_i\to0\)，则 \(t_f\to30.0^\circ\mathrm C\)。

物理解释： 本题关键不是先求加权平均，而是先用 \(62.79>35.43\ \mathrm{kJ}\) 判定相变能否完成；完成后才允许把 \(0.600\ \mathrm{kg}\) 视为同一液相。

4.5 Worked Example 5 — water to steam

在标准大气压近似下，把 \(0.250\ \mathrm{kg}\) 水从 \(20.0^\circ\mathrm C\) 变为 \(100^\circ\mathrm C\) 饱和水蒸气。取 \(L_v=2.256\times10^6\ \mathrm{J\,kg^{-1}}\)，求所需能量。

已知条件： \(m=0.250\ \mathrm{kg}\)、\(t_i=20.0^\circ\mathrm C\)、沸点近似 \(t_b=100^\circ\mathrm C\)、\(c_w=4186\ \mathrm{J\,kg^{-1}K^{-1}}\)、\(L_v=2.256\times10^6\ \mathrm{J\,kg^{-1}}\)。

研究对象： 这 \(0.250\ \mathrm{kg}\) 纯水，过程末态为同质量的饱和水蒸气。

系统边界 / 参考系： 边界包围水及生成的蒸气，外界通过加热传入能量；压力维持在约 \(1\ \mathrm{atm}\)。实验室参考系中忽略整体动能、势能及容器热容。

坐标与正方向： 空间坐标 N/A。规定传入水系统的能量 \(Q>0\)。

模型及理由： 先在单一液相内用常数 \(c_w\) 加热至该压力下的沸点，再在恒温、定压平衡相变中用 \(mL_v\) 完全汽化；两段串联，能量相加。

方程建立：

\[Q=Q_{\rm sensible}+Q_{\rm latent} =mc_w(t_b-t_i)+mL_v.\]

逐步计算：

\[Q_{\rm sensible}=(0.250)(4186)(80.0) =8.37\times10^4\ \mathrm J,\]

\[Q_{\rm latent}=(0.250)(2.256\times10^6) =5.64\times10^5\ \mathrm J,\]

\[Q=(0.250)(4186)(80.0)+(0.250)(2.256\times10^6) =6.48\times10^5\ \mathrm J.\]

SI 与有效数字： 两段单位均为 J；按质量、温差和给定潜热精度，报告 \(Q=6.48\times10^5\ \mathrm J=648\ \mathrm{kJ}\)。

方向 / 量纲检查： 加热与汽化均需系统吸能，所以两项同为正，不应相减。

极限或合理性检查： 汽化段占比

\[\frac{Q_{\rm latent}}{Q}\approx0.870,\]

即约 \(87\%\)；这解释了为何在沸点处温度不再升高却仍需大量能量。若 \(L_v\to0\)，公式退化为单纯显热项。

物理解释： 总能量中绝大部分用于改变相而非提高温度。实际沸点和 \(L_v\) 都依压强而变，\(100^\circ\mathrm C\) 只是在标准大气压附近的教学近似。

4.6 Model boundaries: metastability and mixtures

• 过冷、过热与成核障碍可使系统暂时越过平衡相变温度。
• 合金、盐水等混合物常在温度区间内相变，不必出现水平平台。
• 潜热随压强和温度而变；表格值只对应指定状态。
• 临界点处液体与气体的差异连续消失，不再有有限汽化潜热。

Knowledge 5 — Phase diagrams and triple/critical points / 相图、三相点与临界点

Knowledge ID: P03-U01-L02-K05

5.1 A phase diagram is an equilibrium map

\(p\)–\(T\) 相图的每个区域表示平衡稳定相；曲线表示两相共存；三条共存线相交于三相点（triple point）；液—气共存线终止于临界点（critical point）。

相图是平衡地图：它不直接告诉你转变速率、成核延迟或材料在快速过程中的亚稳态。

5.2 The Clapeyron slope

任意一条两相共存线满足

\[\boxed{ \frac{dp}{dT} =\frac{L_m}{T\Delta v_m} },\]

其中 \(\Delta v_m=v_{m,2}-v_{m,1}\)。汽化时 \(\Delta v_m>0\)，故液—气曲线通常斜率为正。多数物质熔化后体积增大，熔化线也为正斜率。

水的冰 Ih 熔化时液态水更密，\(\Delta v_m=v_{\rm liquid}-v_{\rm ice}<0\)，因此熔化线在普通压强附近为负斜率。

5.3 Water triple and critical points

IAPWS 推荐普通水的关键值：

\[T_t\approx273.16\ \mathrm K, \qquad p_t=(611.657\pm0.010)\ \mathrm{Pa},\]

\[\boxed{ T_c=647.096\ \mathrm K,\qquad p_c=22.064\ \mathrm{MPa} }.\]

\(T_t=273.16\ \mathrm K\) 仍是 ITS-90 的指定值与最佳实用估计，但自 2019 年起不再精确定义 SI kelvin。⁴

图的压强轴是示意性的对数轴，不能用直线长度读取数值。

5.4 What ends at the critical point?

沿液—气共存线接近临界点：

• 液体与蒸气密度差趋于零；
• 表面张力趋于零；
• 液—气界面消失；
• 汽化潜热趋于零。

超过临界点后，从“液态样”连续变到“气态样”无需跨越一级相变线；这并不表示物质“同时是液体和气体”。

6. Lesson synthesis / 全课整合

6.1 Energy-account decision tree

\[\text{choose system} \longrightarrow \text{identify energy channels} \longrightarrow \begin{cases} Q=mc\Delta T,&\text{single phase, constant }c,\\ Q=mL,&\text{equilibrium phase change},\\ \sum_iQ_i=0,&\text{isolated calorimetry}. \end{cases}\]

Formula-and-decision table / 公式—决策表

Model boundaries / 模型边界

• \(Q=mc\Delta T\) is not a universal definition of heat.
• Calorimetry needs a complete inventory of every heat capacity and phase change.
• A horizontal heating-curve plateau assumes nearly uniform equilibrium temperature and fixed pressure.
• Tabulated \(c\) and \(L\) are state-dependent measured properties.
• Phase diagrams map equilibrium states, not kinetic accessibility.
• Close to critical points, fluctuations and property divergences defeat simple constant-property models.

7. Misconception clinic / 易错概念诊所

8. Practice and retrieval / 练习与检索

A. Conceptual questions

1. 绝热压缩气体使其升温。\(Q\)、\(\Delta U\) 的符号可是什么？
2. 为什么热量和内能都用 J，却不是同一种物理量？
3. 量热题为何必须先检查相变，而不能直接用加权平均？
4. 为什么水的普通熔化线斜率为负？
5. 到达临界点时，哪些液—气差异消失？

B. Quantitative questions

6. \(0.750\ \mathrm{kg}\) 水从 \(18.0^\circ\mathrm C\) 加热到 \(65.0^\circ\mathrm C\)，取 \(c=4186\ \mathrm{J\,kg^{-1}K^{-1}}\)。求 \(Q\)。
7. 两物体热容分别为 \(300\) 和 \(700\ \mathrm{J\,K^{-1}}\)，初温 \(80.0^\circ\mathrm C\)、\(20.0^\circ\mathrm C\)。理想隔离混合终温是多少？
8. \(50.0\ \mathrm g\)、\(-15.0^\circ\mathrm C\) 的冰升到 \(0^\circ\mathrm C\) 并完全熔化，需要多少能量？使用本课数值。
9. \(0.100\ \mathrm{kg}\)、\(100^\circ\mathrm C\) 的蒸汽在 \(100^\circ\mathrm C\) 完全凝结，释放多少能量？取 \(L_v=2.256\ \mathrm{MJ\,kg^{-1}}\)。
10. 某物质在 \(400\ \mathrm K\) 熔化，摩尔熔化潜热 \(12.0\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}\)，熔化摩尔体积变化 \(+1.50\times10^{-6}\ \mathrm{m^3\,mol^{-1}}\)。求共存线斜率。
11. 在水相图上，若低于三相点压强加热冰，能否经过稳定液相？说明路径。

Exit ticket

画一条从“系统边界”到“相图”的推理链，至少包含 \(Q\)、\(U\)、\(c\)、\(L\)、三相点和临界点。

9. References and source notes / 参考资料与使用说明

9.1 Source-to-content map

9.2 Source notes

以上来源均于 2026-08-24 实际打开核对。MIT 5.60 不再引用课程首页，而是分别使用 Lecture 1、7、18、19 的具体讲义资源页；数值例题采用教学用代表值，水的精密状态点采用 IAPWS。相图与加热曲线均依据方程和相区关系原创重绘，坐标尺度只在明确标注时定量。

9.3 Reading route

• 传热速率与空间温度分布：Heat Transfer。
• 分子尺度解释热容：Molecular Energy and Distributions。
• 完整的 \(Q\)、\(W\)、\(\Delta U\)：Thermodynamic Systems and Processes。