量子气体与辐射

Learning objectives / 学习目标

1. 从 photon mode density 与 \(\mu_\gamma=0\) 写出 Planck spectral energy density，并区分 \(u_\nu\)、\(u_\lambda\) 与 radiance。
2. 用 acoustic phonon 的线性色散和 Debye cutoff 推导低温 \(C_V\propto T^3\) 与高温 Dulong–Petit 极限。
3. 从填充 Fermi sphere 导出 \(k_F\)、\(\varepsilon_F\)、\(T_F\)、zero-temperature pressure 与低温热容标度。
4. 由 excited-state saturation 推导理想均匀三维 Bose gas 的 \(T_c\) 与 condensate fraction。
5. 比较 photon、phonon、electron 与 conserved massive boson 的粒子数约束和 chemical potential。
6. 用量纲、极限、mode counting、polarization/spin degeneracy 与有限尺寸检查结果。

Prerequisites / 先修知识

• BE/FD distribution、fugacity 与 chemical-potential domain。
• 低温热容和 Debye \(T^3\) 接口。
• 三维 \(k\)-space counting、球体体积、积分与 \(\zeta(3/2)\) 的函数值。
• 电磁波 \(\omega=ck\)、acoustic wave \(\omega\approx v_s k\)（\(v_s\) 为 effective sound speed）与自由粒子 \(\varepsilon=\hbar^2k^2/(2m)\)。

Scope and conventions / 范围与约定

• Photon 与 phonon 都视为 equilibrium noninteracting bosonic modes，粒子数不守恒，故 \(\mu=0\)；zero-point energy 不进入本课的 thermal occupation 与 heat capacity。
• 黑体是处于 thermal equilibrium 的 cavity radiation；\(u_\omega\) 是单位体积、单位 angular-frequency 的能量，不等于从表面出射的 spectral radiance。
• Debye model 使用三维各向同性连续介质、三条 acoustic branches 的 effective sound speed 与 cutoff \(\omega_D\)，使总 mode 数为 \(3N\)。
• Electron gas 是 nonrelativistic、spin-\(1/2\)、无相互作用均匀气体；默认 spin degeneracy \(g_s=2\)。金属晶格和 Coulomb interactions 的影响只作为边界讨论。
• BEC 主公式针对 homogeneous 3D ideal gas、thermodynamic limit、ground energy 取零；harmonic trap 会改变 \(T_c\) 与 condensate-fraction exponent。

Notation and modeling contract / 符号与建模契约

Knowledge 1 — Photon gas and Planck spectrum / 光子气体与普朗克谱

Knowledge ID: P03-U07-L02-K01

1.1 Cavity modes、two polarizations 与 Bose occupation

在体积 \(V\) 的大 cavity 中，电磁 modes 的 angular-frequency density（含两种 transverse polarizations）为

\[\frac{D_\gamma(\omega)}{V}=\frac{\omega^2}{\pi^2c^3}.\]

Photon number 不由平衡约束固定，\(\mu_\gamma=0\)；每个 mode 的 thermal mean energy 是

\[\bar E_\omega=\hbar\omega\bar n_\omega =\frac{\hbar\omega}{e^{\hbar\omega/(k_BT)}-1}.\]

两者相乘得到 Planck spectrum：

\[\boxed{ u_\omega(T)=\frac{\hbar\omega^3}{\pi^2c^3} \frac{1}{e^{\hbar\omega/(k_BT)}-1} }.\]

图 1：Cavity boundary quantizes wavevectors；每个 \(\mathbf k\) 有两个 transverse photon polarizations。曲线不按比例。

1.2 变量替换会改变谱峰位置

以 wavelength 表示的 blackbody spectral radiance 为

\[B_\lambda(T)=\frac{2hc^2}{\lambda^5} \frac{1}{e^{hc/(\lambda k_BT)}-1}.\]

\(u_\nu d\nu=u_\lambda\lvert d\lambda\rvert\)，因此 \(u_\nu\) 与 \(u_\lambda\) 的 maxima 不由 \(\nu=c/\lambda\) 直接互换。对 \(B_\lambda\)，Wien law 是

\[\lambda_{max}T=b, \qquad b=2.897771955\ldots\times10^{-3}\ \mathrm{m\,K}.\]

积分全谱得到

\[u=aT^4, \qquad p_\gamma=\frac{u}{3}, \qquad j^\star=\sigma T^4, \qquad a=\frac{4\sigma}{c}.\]

图 2：两条曲线使用同一纵轴尺度；升温使 wavelength spectrum 的峰向短波移动，并使较热黑体在每个固定 wavelength 上的 \(B_\lambda\) 都更大，全谱面积按 \(T^4\) 增长。

图 3：在同一无量纲尺度上，Rayleigh–Jeans 曲线对一切 \(x>0\) 都位于 Planck 曲线上方，仅在 \(x\to0\) 时共享 \(x^2\) 渐近式；向高频外推导致 ultraviolet catastrophe。

Worked Example 1 — 类太阳黑体的峰值与总出射度

已知： 将表面视为 \(T=5800\ \mathrm K\) 的 ideal blackbody，求 \(B_\lambda\) 峰值 wavelength 与全谱 radiant exitance \(j^\star\)。
系统与模型： 平衡黑体表面；忽略真实 stellar atmosphere 的 absorption lines 与 limb darkening。
常数： \(b=2.897771955\times10^{-3}\ \mathrm{m\,K}\)，\(\sigma=5.670374419\times10^{-8}\ \mathrm{W\,m^{-2}K^{-4}}\)。

\[\lambda_{max}=\frac{b}{T} =\frac{2.897771955\times10^{-3}}{5800} =4.996\times10^{-7}\ \mathrm m.\]

\[j^\star=\sigma T^4 =(5.670374419\times10^{-8})(5800)^4 =6.42\times10^7\ \mathrm{W\,m^{-2}}.\]

因此

\[\boxed{\lambda_{max}=500\ \mathrm{nm},\qquad j^\star=6.42\times10^7\ \mathrm{W\,m^{-2}}.}\]

检查： \(b/T\) 给 meter，\(\sigma T^4\) 给 power per area；峰位在 visible range，数量级合理。此 \(\lambda_{max}\) 是 wavelength spectrum 的峰，不能直接倒数成为 frequency-spectrum 的峰。

Knowledge 2 — Phonon gas and solid heat capacity / 声子气体与固体热容

Knowledge ID: P03-U07-L02-K02

2.1 Debye cutoff 保存 \(3N\) 个振动自由度

长波 acoustic modes 近似满足 \(\omega=v_s k\)。Debye model 用 effective isotropic velocity 与 spherical cutoff，使三支 acoustic branches 的总 mode 数为 \(3N\)：

\[D_D(\omega)=\frac{9N\omega^2}{\omega_D^3}, \qquad 0\le\omega\le\omega_D,\]

\[\int_0^{\omega_D}D_D(\omega)d\omega=3N, \qquad \Theta_D=\frac{\hbar\omega_D}{k_B}.\]

图 4：Debye density of states 的 cutoff 是 mode-counting device；它不是说真实 dispersion 在 \(\omega_D\) 处垂直终止。

2.2 Bose integral 连接 \(T^3\) 与 Dulong–Petit limits

去掉与 \(T\) 无关的 zero-point energy，thermal internal energy 为

\[U_{th}=9Nk_BT\left(\frac{T}{\Theta_D}\right)^3 \int_0^{\Theta_D/T}\frac{x^3}{e^x-1}dx.\]

低温 \(T\ll\Theta_D\) 时上限可延到无穷，得到

\[\boxed{C_V\approx\frac{12\pi^4}{5}Nk_B \left(\frac{T}{\Theta_D}\right)^3.}\]

高温 \(T\gg\Theta_D\) 时每个 normal mode 接近 classical equipartition，\(C_V\to3Nk_B\)。

图 5：Debye model 同时包含低温 quantum freeze-out 与高温 \(3Nk_B\) 极限；过渡曲线不按比例。

Worked Example 2 — Debye 低温摩尔热容

已知： 一摩尔晶体 \(\Theta_D=300\ \mathrm K\)，求 \(T=10.0\ \mathrm K\) 的 Debye low-temperature \(C_V\)。
系统与模型： 三维 acoustic Debye solid；\(T/\Theta_D=1/30\ll1\)，故低温渐近式适用。
方程与计算： 对一摩尔用 \(Nk_B=R\)。

\[C_{V,m}=\frac{12\pi^4}{5}R\left(\frac{10.0}{300}\right)^3 =0.07199\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}.\]

\[\boxed{C_{V,m}=7.20\times10^{-2}\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}.}\]

检查： 结果远小于 \(3R=24.94\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}\)，与低温 freeze-out 一致；温度若加倍，在同一渐近区 \(C_V\) 增加约八倍。真实 optical branches 在更高温才显著。

Knowledge 3 — Degenerate electron gas / 简并电子气体

Knowledge ID: P03-U07-L02-K03

3.1 \(T=0\) 的 Fermi sphere 是 Pauli pressure 的起点

对 spin-\(1/2\) electrons，\(k\)-space 每态体积为 \((2\pi)^3/V\)，spin degeneracy 为二。填满半径 \(k_F\) 的 sphere 给

\[n=\frac{k_F^3}{3\pi^2}, \qquad k_F=(3\pi^2n)^{1/3}.\]

\[\varepsilon_F=\frac{\hbar^2k_F^2}{2m_e}, \qquad T_F=\frac{\varepsilon_F}{k_B}.\]

在 \(T=0\)，

\[\frac{U}{N}=\frac{3}{5}\varepsilon_F, \qquad P_0=\frac{2}{5}n\varepsilon_F.\]

即使 thermal motion 趋零，Pauli filling 仍产生 nonzero pressure；这不是粒子碰撞的经典压强。

图 6：\(T=0\) 时占据所有 \(\lvert\mathbf k\rvert\le k_F\) states；图是三维 Fermi sphere 的二维截面。

3.2 只有 Fermi surface 附近能被低温激发

当 \(T\ll T_F\)，Sommerfeld expansion 给 leading heat capacity

\[C_V\approx\frac{\pi^2}{2}Nk_B\frac{T}{T_F}.\]

它远小于 classical value，因为深处 filled states 找不到可进入的空态。\(\mu(T)\) 也略低于 \(\varepsilon_F\)：

\[\mu(T)\approx\varepsilon_F \left[1-\frac{\pi^2}{12}\left(\frac{T}{T_F}\right)^2\right].\]

图 7：Low-temperature electron heat capacity scales with the thin active shell fraction \(\sim T/T_F\)。

Worked Example 3 — 金属电子的 Fermi scales 与简并压强

已知： conduction-electron density \(n=8.50\times10^{28}\ \mathrm{m^{-3}}\)，electron mass \(m_e=9.1093837\times10^{-31}\ \mathrm{kg}\)。求 \(\varepsilon_F\)、\(T_F\) 与 ideal \(P_0\)。
系统与模型： 均匀、nonrelativistic、spin-\(1/2\) ideal electron gas；忽略 band effective mass 与 Coulomb corrections。
计算：

\[\varepsilon_F=\frac{\hbar^2}{2m_e}(3\pi^2n)^{2/3} =1.129\times10^{-18}\ \mathrm J =7.05\ \mathrm{eV}.\]

\[T_F=\frac{\varepsilon_F}{k_B}=8.18\times10^4\ \mathrm K,\]

\[P_0=\frac{2}{5}n\varepsilon_F =3.84\times10^{10}\ \mathrm{Pa}.\]

因此

\[\boxed{\varepsilon_F=7.05\ \mathrm{eV},\quad T_F=8.18\times10^4\ \mathrm K,\quad P_0=38.4\ \mathrm{GPa}.}\]

检查： room temperature 与 \(T_F\) 之比约 \(3.7\times10^{-3}\)，所以电子高度简并；\(P_0\) 为正且数量级巨大。固体不因该压力爆开，是因为 ions、band structure 与 electrostatic forces 共同建立机械平衡。

Knowledge 4 — Bose–Einstein condensation / 玻色—爱因斯坦凝聚

Knowledge ID: P03-U07-L02-K04

4.1 Excited states 的容量在三维有限

均匀三维 ideal massive bosons 取 \(\varepsilon_0=0\)。当 \(\mu\to0^-\)，excited-state density 达最大值

\[n_{ex,max}=\frac{\zeta(3/2)}{\lambda_{th}^3}.\]

固定总 density \(n\)，若降温后 \(n>n_{ex,max}\)，多出的粒子不能再由调高 \(\mu\) 塞进 excited continuum，只能进入 ground state。这给出

\[\boxed{ T_c=\frac{2\pi\hbar^2}{mk_B} \left[\frac{n}{\zeta(3/2)}\right]^{2/3} }.\]

图 8：Below \(T_c\)，excited cloud 的容量按 \(T^{3/2}\) 缩小，剩余粒子形成 macroscopic ground-state population。

4.2 Condensate fraction 与超流不能画等号

对上述 homogeneous ideal 3D model，

\[\boxed{ \frac{N_0}{N}=1-\left(\frac{T}{T_c}\right)^{3/2}, \qquad T<T_c. }\]

有限 trap 中不存在严格 thermodynamic singularity，harmonic trap 的 ideal-gas exponent 变为 \(3\)。Interactions 会 shift \(T_c\)、deplete condensate 并生成 collective modes；BEC 是单粒子态的 macroscopic occupation，superfluidity 还要求相位刚度与 excitation criterion，二者相关但不等价。

图 9：理想均匀三维 Bose gas 的 condensate fraction；有限尺寸会把 sharp corner rounded。

图 10：统计分布必须与 dispersion、density of states 和 conservation constraint 合并，才能产生具体 thermodynamics。

Worked Example 4 — \(^{87}\mathrm{Rb}\) 理想气体的 BEC scale

已知： \(^{87}\mathrm{Rb}\) mass \(m=1.44316\times10^{-25}\ \mathrm{kg}\)，均匀 density \(n=1.00\times10^{20}\ \mathrm{m^{-3}}\)。求 ideal-gas \(T_c\)；再求 \(T=0.500T_c\) 时的 \(N_0/N\)。
系统与模型： homogeneous 3D noninteracting Bose gas in thermodynamic limit；ground energy 取零。
计算： \(\zeta(3/2)=2.612375\)。

\[T_c=\frac{2\pi\hbar^2}{mk_B} \left(\frac{n}{2.612375}\right)^{2/3} =3.98\times10^{-7}\ \mathrm K.\]

\[\frac{N_0}{N}=1-(0.500)^{3/2}=0.646.\]

因此

\[\boxed{T_c=398\ \mathrm{nK},\qquad N_0/N=64.6\%.}\]

检查： \(\hbar^2/(mk_B)\) 的单位为 \(\mathrm{K\,m^2}\)，density factor 为 \(\mathrm{m^{-2}}\)；乘积是 K。稀释 density 会按 \(n^{2/3}\) 降低 \(T_c\)。真实 trapped interacting cloud 的数值与 exponent 均会修正。

Lesson synthesis / 全课整合

Photon 与 phonon 共享 \(\mu=0\) 的 Bose occupation，但 mode density 与 velocity 不同；前者给 \(u\propto T^4\)，后者给 \(C_V\propto T^3\)。Electrons 受 Pauli filling 约束，\(T=0\) 已有 Fermi energy 与 pressure，低温只有 Fermi-surface shell 活跃。Conserved massive bosons 的 \(\mu\) 逼近 ground energy 后，excited states saturation 产生 BEC。由此可见：distribution 只是一半，另一半是 spectrum、density of states 和 constraint。

建模流程： 识别 quasiparticle → 写 dispersion 与 degeneracy → 建立 density of states → 判断 \(N\) 是否守恒并定 \(\mu\) → 用 BE/FD occupation 积分 → 取 low/high-\(T\) limit → 检查 cutoff、dimension、finite size 和 interactions。

Formula-and-decision table / 公式—决策表

Model boundaries / 模型边界

1. Blackbody relations describe equilibrium cavity radiation or ideal emissivity one; real surfaces require frequency-dependent emissivity and radiative-transfer geometry.
2. Planck spectra per \(\omega\)、\(\nu\)、\(\lambda\) have different numerical peaks because spectral density carries a Jacobian.
3. Debye \(T^3\) law assumes 3D linear acoustic dispersion；lower dimensions、anisotropy、disorder 与 optical modes change behavior.
4. Free-electron model neglects lattice band structure and interactions；white-dwarf electrons may require relativistic degeneracy pressure.
5. Ideal-gas BEC in infinite uniform systems is not a complete model for finite trapped alkali gases；interactions and trap density of states matter.
6. Bose condensation is not by itself proof of superfluidity；ideal gas can condense while Landau critical-velocity physics depends on excitation spectrum.

Misconception clinic / 易错概念诊所

1. “Blackbody peak frequency is \(c/\lambda_{max}\)。” 错；\(u_\nu\) 与 \(u_\lambda\) 有 Jacobian，maxima 不能这样转换。
2. “Photon number fixed，所以用某个负 \(\mu\)。” 错；平衡 cavity walls 可创建和消灭 photons，\(\mu_\gamma=0\)。
3. “Debye cutoff 是晶体真实最高频率的精确球形边界。” 错；它是保留 \(3N\) mode count 的有效模型。
4. “低温金属所有电子各贡献 \(k_B\) 热容。” 错；只有 Fermi surface 附近 fraction \(\sim T/T_F\) 可激发。
5. “Degeneracy pressure 来自电子高速撞墙。” 不准确；其根源是 Pauli-constrained ground-state filling。
6. “Condensate fraction 等于 superfluid fraction。” 错；两者在 interacting systems 中是不同 observables。

Practice and retrieval / 练习与检索

1. Photon mode count（K01）

Planck density of states 中为什么有 two-polarization factor？纵向 polarization 是否计入？

2. Radiation pressure（K01）

某 photon gas energy density \(u=4.00\ \mathrm{J\,m^{-3}}\)，求 isotropic pressure。

3. Spectral variables（K01）

说明为什么 \(u_\lambda=u_\nu\lvert d\nu/d\lambda\rvert\)，并写出 Jacobian magnitude。

4. Debye mode normalization（K02）

验证 \(D_D(\omega)=9N\omega^2/\omega_D^3\) 在 cutoff 内共有 \(3N\) modes。

5. Debye scaling（K02）

在 low-\(T\) regime，把温度从 \(5\ \mathrm K\) 升到 \(15\ \mathrm K\)，\(C_V\) 变为多少倍？

6. Fermi wave number（K03）

若 electron density 增加八倍，\(k_F\) 与 \(\varepsilon_F\) 分别变为多少倍？

7. Active electron fraction（K03）

\(T_F=5.00\times10^4\ \mathrm K\) 的金属在 \(T=100\ \mathrm K\) 时，thermally active fraction 的数量级是多少？

8. BEC density scaling（K04）

固定质量，density 增加八倍，ideal uniform \(T_c\) 如何变化？

9. Condensate fraction（K04）

理想均匀 Bose gas 在 \(T=0.800T_c\) 时求 \(N_0/N\)。

10. Model transfer（K01–K04）

为什么不能把 uniform-gas \(N_0/N=1-(T/T_c)^{3/2}\) 直接用于 harmonic trap？

Exit ticket / 课末检验

1. 从“distribution × density of states”分别解释 photon \(u\propto T^4\) 与 phonon \(C_V\propto T^3\) 的共同来源和不同 observable。
2. 给定 particle mass、spin、density、dispersion 与 number-conservation rule，说明如何判断形成 Fermi sea、普通 Bose gas 或 BEC。

References and source notes / 参考资料与来源说明

1. MIT OCW 8.08 Statistical Physics II — The Bose Gas — photons、blackbody radiation、phonons、Bose condensation 与 superfluidity boundary。
2. OpenStax University Physics Volume 3, 6.1 Blackbody Radiation — Planck law、Wien displacement、Stefan law 与 ultraviolet catastrophe。
3. University of Maryland, Gould and Tobochnik, Statistical and Thermal Physics, Ch. 6 — blackbody、ideal Fermi gas、Debye model、ideal Bose gas 与 low-temperature expansion。
4. Nobel Prize in Physics 2001 — Advanced Information: Bose–Einstein Condensation in Alkali Gases — conserved massive bosons、experimental BEC、finite trap 与 interaction caveats。
5. NIST, CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants: 2022 — \(h\)、\(\hbar\)、\(k_B\)、\(\sigma\)、Wien constants、electron mass 与 SI values。
6. NIST, Atomic Weights and Isotopic Compositions for Rubidium — \(^{87}\mathrm{Rb}\) relative atomic mass used to set the BEC worked-example particle mass。

以上链接均于 2026-08-25 实际打开并核对到具体章节或 PDF。正文统一使用 angular-frequency density 与 SI；图示均依据本文方程原创。

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复习与拓展

• 下一课把 BEC 与 ferromagnetism 放进 order-parameter、broken-symmetry 与 critical-scaling 共同语言。
• Solid-state physics 将用真实 phonon dispersion、Brillouin zone 与 electronic bands 修正 Debye/free-electron models。
• Astrophysics 将把 Fermi pressure 推向 relativistic regime，导出 white-dwarf mass scale。
• Quantum optics 与 driven-dissipative physics 将讨论 nonzero effective photon chemical potential 和非 Planck spectra。