电荷与库仑相互作用

Essential question / 核心问题

怎样从“电荷的符号、守恒和可移动性”，一步步建立“两个点电荷的库仑力”，再推广到任意多个点电荷的合力？

这节课建立静电学的最小逻辑链：

\[\boxed{ \text{电荷是什么} \longrightarrow \text{电荷怎样转移但总量守恒} \longrightarrow \text{二体库仑力} \longrightarrow \text{多体矢量叠加} }\]

后续的 electric field / 电场、Gauss's law / 高斯定律 与 electric potential / 电势，都只是用新的表述方式组织这条链；本课暂不使用它们来替代库仑力计算。

Learning objectives / 学习目标

完成本课后，你应能：

1. 用正、负、零净电荷解释吸引、排斥与电中性，并区分“中性”与“内部没有电荷”。
2. 对封闭系统建立电荷账本，用 \(Q_{\rm tot}=\text{constant}\) 检查摩擦、接触、感应、成对产生与湮灭过程。
3. 使用精确的基本电荷 \(e\) 判断普通物体净电荷的量子化，并说明夸克分数电荷不等于可自由取任意电荷。
4. 从微观载流子角度区分 conductor / 导体与 insulator / 绝缘体，并描述摩擦、接触和感应三种起电机制。
5. 对明确标出的 source charge / 源电荷与 field-point charge / 受力电荷，写出位移矢量并使用库仑定律。
6. 用分量法、对称性与数量级检查完成多点电荷的力叠加。
7. 识别点电荷模型、静电近似、真空介质假设与经典模型的边界。

Notation, constants, and model contract / 记号、常数与模型约定

本课只使用 SI units / 国际单位制。

Knowledge 1 — Positive and negative charge / 正电荷与负电荷

ID: P04-U01-L01-K01

1.1 电荷是一种可加的标量性质

Electric charge / 电荷是物质的一种基本属性。它是 scalar / 标量：电荷有正负号，但这个正负号不是空间方向。系统的净电荷是代数和：

\[Q_{\rm net}=\sum_i q_i.\]

正负号的物理含义通过相互作用定义：

• 同号电荷互相排斥（like charges repel）；
• 异号电荷互相吸引（unlike charges attract）。

“正”与“负”的命名是历史约定；把所有符号同时反转不会改变可观测的吸引和排斥规律。OpenStax 对两类电荷与原子净电荷的入门定义给出了同样的实验基础。³

Figure 1. 同号排斥、异号吸引；箭头表示各电荷受到的力，而不是电荷符号本身的“方向”。

1.2 原子账本：中性不等于“没有电荷”

对由质子、电子组成的普通物体，若只关注净电荷：

\[Q=(N_p-N_e)e.\]

• \(N_p=N_e\Rightarrow Q=0\)：neutral / 电中性；
• \(N_p>N_e\Rightarrow Q>0\)：电子不足；
• \(N_p<N_e\Rightarrow Q<0\)：电子过剩。

Figure 2. 同样含有正、负微观电荷的原子或离子，可因数量差而呈现零、正或负净电荷。示意轨道不代表真实量子轨道。

1.3 “中性物体会不会受电力？”

净电荷为零只说明全系统正、负电荷的代数和为零；在远场它会消去 monopole / 单极项，却不保证每个局部位置都中性，也不保证偶极或更高阶结构消失。外来带电体能使中性物体内部的正负电荷发生微小分离（polarization / 极化）；较近一侧的异号吸引通常强于较远一侧的同号排斥，所以中性物体仍可能被吸引。这个现象将在 K03 建模。

Knowledge 2 — Conservation and quantization of charge / 电荷守恒与量子化

ID: P04-U01-L01-K02

2.1 电荷守恒：先画系统边界，再记账

对 electric charge isolated system / 关于电荷封闭的系统，

\[\boxed{Q_{\rm tot,before}=Q_{\rm tot,after}}\]

电荷可以在物体之间转移，也能以正负相抵的方式成对产生或湮灭，但封闭系统的代数总电荷不变。MIT 8.02 的库仑定律章节把守恒与量子化列为静电学的两条基本性质；Feynman 也强调电荷守恒具有比“带电粒子数不变”更普遍的意义。⁴⁵

Figure 3. 转移会改变每个子系统的电荷，却不改变虚线边界内的总电荷。箭头方向表示电子从 \(B\) 到 \(A\)。

2.2 更局域的表述（UG1+ preview）

若用 charge density / 电荷密度 \(\rho\) 与 current density / 电流密度 \(\mathbf J\) 描述连续介质，局域守恒写成 continuity equation / 连续性方程：

\[\frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot\mathbf J=0.\]

它表达的是：某小体积内电荷减少的速率，等于电荷流出边界的净速率。本课只把它作为“全局电荷账本”的连续版本，不展开矢量微积分推导。

2.3 量子化：普通物体的净电荷按 \(e\) 跳变

基本电荷量是

\[\boxed{e=1.602\,176\,634\times10^{-19}\ {\rm C}\quad\text{(exact)}}.\]

普通宏观物体通过获得或失去完整电子而起电时，

\[\boxed{Q=Ne,\qquad N\in\mathbb Z.}\]

宏观上 \(e\) 极小，离散台阶看起来几乎连续；微观上每一步不可任意细分。

Figure 4. 对普通电子转移过程，\(Q/e\) 只能落在整数台阶；横向不是连续时间刻度，只表示依次发生的转移事件。

2.4 夸克 caveat：分数电荷与禁闭

“\(Q=Ne\)”需要说明对象和尺度。Standard Model / 标准模型中的夸克带有分数电荷：up-type quark 为 \(+2e/3\)，down-type quark 为 \(-e/3\)。但夸克因 strong-interaction confinement / 强相互作用禁闭，不能作为孤立的自由粒子被取出；可单独观测的 hadron / 强子组合电荷仍为 \(e\) 的整数倍。Particle Data Group 的夸克表列出了这些分数电荷，其夸克综述也明确说明夸克被禁闭在强子内。⁶

Figure 5. 质子的三个价夸克给出总电荷 (+e)。方框是组合示意，不是质子内部真实几何结构。

Worked example 1 — 一块带负电薄膜多了多少电子？

一块绝缘薄膜的净电荷为 \(Q=-3.20\ {\rm nC}\)。若电荷来自额外电子，求电子数。

Solution / 解：

\[N=\frac{|Q|}{e} =\frac{3.20\times10^{-9}}{1.602\,176\,634\times10^{-19}} =1.997\,2829\times10^{10}.\]

测量值只有三位有效数字，所以

\[\boxed{N\approx2.00\times10^{10}\ \text{extra electrons}.}\]

负号只告诉我们是电子过剩；粒子数本身取正值。精确整数不能从仅给三位有效数字的 \(Q\) 中恢复。

Knowledge 3 — Conductors, insulators, and charge transfer / 导体、绝缘体与电荷转移

ID: P04-U01-L01-K03

3.1 区别在于载流子能否在所考察尺度上移动

• Conductor / 导体： 至少有一类 charge carrier / 载流子能在材料内跨越宏观距离移动。金属中主要是 conduction electrons / 传导电子。
• Insulator / 绝缘体： 电荷主要束缚在原子或分子附近，不能在实验时间内自由穿过物体；但局部微小位移仍可造成极化。

OpenStax 的导体—绝缘体模型强调金属的部分电子可在整体内移动，而绝缘体中的电荷更局域；它也用这一差异解释接触起电、极化与感应起电。⁷

Figure 6. 导体载流子可长程重排；绝缘体中的束缚电荷仍可产生微小局部位移。红色“+”是离子背景的简化符号。

3.2 摩擦起电：摩擦帮助接触，电荷并非被创造

在本课常用的电子转移模型中，两种材料反复接触、分离时，电子会因不同的表面能与化学状态而偏向其中一方；摩擦增大有效接触面积，但不“制造”正负电荷。真实的 triboelectrification / 摩擦起电还可能伴随离子转移或微量材料转移，因此电子模型是适用于许多日常固体的第一近似，而不是唯一微观机制。

Figure 7. 电子由 \(A\) 转移到 \(B\) 的一种可能情形；哪种材料最终为负必须由材料组合和条件决定，不能仅凭“摩擦”猜测。

3.3 接触起电：总电荷守恒，但分配需要几何与电学信息

带电导体相接后，载流子移动直到达到静电平衡。只有在“两个导体完全相同、彼此远离其他物体”的对称条件下，最终电荷才相等：

\[Q'_1=Q'_2=\frac{Q_1+Q_2}{2}.\]

对大小或形状不同的导体，不能简单平均；相等的是平衡条件下的 electric potential / 电势，而电势的系统处理属于 Unit 4.3，本课不预先使用。

Figure 8. 两个相同导体球接触后均分总电荷；这不是任意两个导体都适用的规则。

Worked example 2 — 相同金属球接触时转移多少电子？

相同孤立金属球 \(A,B\) 初始分别为 \(+6.00\ {\rm nC}\) 与 \(-2.00\ {\rm nC}\)。接触后分开。

总电荷为 \(+4.00\ {\rm nC}\)，故每球最终为 \(+2.00\ {\rm nC}\)。球 \(B\) 从 \(-2.00\ {\rm nC}\) 变为 \(+2.00\ {\rm nC}\)，说明它失去的电子总电荷量为 \(4.00\ {\rm nC}\)：

\[N=\frac{4.00\times10^{-9}}{e} =2.4966\times10^{10} \approx\boxed{2.50\times10^{10}\ \text{electrons}}.\]

电子由 \(B\) 流向 \(A\)。注意：净电荷变化 \(+4.00\ {\rm nC}\) 对应“负电荷离开”。

3.4 感应起电：重排 + 接地 + 断开顺序

以负棒靠近中性导体球为例：

1. Polarize / 极化： 电子被排向远端，球仍保持净电荷零。
2. Ground / 接地： 负棒仍在时接地，部分电子流向大地。
3. Disconnect ground / 先断地： 阻止电子在移走棒时返回。
4. Remove rod / 后移棒： 剩余正净电荷在球面重新分布。

若先移走棒再断地，电子会从大地流回，球可能恢复中性。顺序是物理过程的一部分。

Figure 9. 负棒感应使导体球最终带正电。图中电子数仅示意相对变化，不代表真实数量。

3.5 极化为何能吸引中性物体？

设外部正电荷 \(+Q\) 使中性分子近端出现 \(-q\)、远端出现 \(+q\)。若近端距离 \(r\)，两端间距 \(d>0\)，则沿连线方向的合力大小趋势为

\[F_{\rm toward}=k_eQq\left(\frac1{r^2}-\frac1{(r+d)^2}\right)>0.\]

这是一个两点电荷玩具模型：它捕捉“近端异号吸引更强”的机制，但真实极化强度由材料响应决定。

Figure 10. 近侧异号力大于远侧同号力，因而产生指向外部电荷的净吸引。

Knowledge 4 — Coulomb's law / 库仑定律

ID: P04-U01-L01-K04

4.1 从源电荷到受力点：先定义位移，再写力

令 source charge / 源电荷 \(q_s\) 位于 \(\mathbf r_s\)，target charge / 受力电荷 \(q_t\) 位于 \(\mathbf r_t\)。必须明确采用

\[\boxed{\mathbf r_{st}\equiv\mathbf r_t-\mathbf r_s}\]

作为“从源指向受力点”的位移，并定义

\[r_{st}=|\mathbf r_{st}|, \qquad \hat{\mathbf r}_{st}=\frac{\mathbf r_{st}}{r_{st}}.\]

于是源 \(q_s\) 对目标 \(q_t\) 的 electrostatic force / 静电力为

\[\boxed{ \mathbf F_{s\to t} =k_e\frac{q_sq_t}{r_{st}^{\,2}}\hat{\mathbf r}_{st} =k_e q_sq_t\frac{\mathbf r_t-\mathbf r_s}{|\mathbf r_t-\mathbf r_s|^3} } \tag{1}\]

这一定义把方向和符号一次性编码进去：

• \(q_sq_t>0\)：\(\mathbf F_{s\to t}\) 与 \(\mathbf r_{st}\) 同向，目标远离源——排斥；
• \(q_sq_t<0\)：\(\mathbf F_{s\to t}\) 与 \(\mathbf r_{st}\) 反向，目标指向源——吸引。

OpenStax 与 MIT 8.02 都以“源到目标”的相对位置矢量写出库仑定律，并强调它是沿两电荷连线的 vector force / 矢量力。⁸⁴

Figure 11. 位移始终从源 \(s\) 指向目标 \(t\)；电荷乘积的正负决定力沿或逆着该位移。两根力箭头代表两种互斥情形，不会同时出现。

4.2 大小、量纲与平方反比

库仑力大小为

\[\boxed{F=k_e\frac{|q_sq_t|}{r^2}}.\]

量纲检查：

\[\left[{\rm N\,m^2\,C^{-2}}\right] \frac{[{\rm C}]^2}{[{\rm m}]^2} =[{\rm N}].\]

若电荷量不变，距离从 \(r\) 变为 \(\alpha r\)，

\[\frac{F'}F=\frac{1}{\alpha^2}.\]

距离变为 2 倍，力变为 \(1/4\)；距离变为 \(1/3\)，力变为 9 倍。这是比例关系，不要求先知道 \(k_e\)。

Figure 12. 固定两电荷时的无量纲平方反比曲线。\(r\to0\) 的发散提示点电荷经典模型最终会失效，而不是自然界真的允许无限能量。

Figure 13. 同一平方反比关系的 log–log 图；直线斜率 \(-2\) 是实验数据识别 inverse-square law / 平方反比律的常用特征。

4.3 牛顿第三定律成对出现

交换源与目标：

\[\mathbf r_{ts}=\mathbf r_s-\mathbf r_t=-\mathbf r_{st}.\]

因此

\[\boxed{\mathbf F_{s\to t}=-\mathbf F_{t\to s}.}\]

无论两个电荷的大小是否相等，成对库仑力都等大反向；“大电荷对小电荷施加更大的力”是错误的。不同加速度来自不同质量，而不是第三定律失效。

Figure 14. 即使电荷量不同，两个相互作用物体受到的力仍等大反向。箭头长度相等。

4.4 Model boundaries / 模型边界

对 non-overlapping spherically symmetric charge distributions / 不重叠的球对称电荷分布，其外部作用可等效于中心点电荷；这个结论将在 Unit 4.2 用 Gauss's law 严格建立，这里只作为前瞻，不当作本课推导工具。

Worked example 3 — 两点电荷的大小与方向

\(q_s=+3.00\ {\rm nC}\) 位于 \(x=0\)，\(q_t=-5.00\ {\rm nC}\) 位于 \(x=+0.120\ {\rm m}\)。求源对目标的力。

\[\mathbf r_{st}=(0.120\ {\rm m})\hat{\mathbf x}, \qquad q_sq_t<0.\]

大小：

\[F=(8.987\,551\,786\times10^9) \frac{(3.00\times10^{-9})(5.00\times10^{-9})}{(0.120)^2} =9.3620\times10^{-6}\ {\rm N}.\]

异号相吸，目标在源的右侧，所以受力向左：

\[\boxed{\mathbf F_{s\to t}=-(9.36\ \mu{\rm N})\hat{\mathbf x}.}\]

Worked example 4 — 氢原子尺度的经典力估算

把质子与电子暂时视为相距 Bohr radius \(a_0=5.291\,772\,105\,44(82)\times10^{-11}\ {\rm m}\) 的经典点电荷，则⁹

\[F=k_e\frac{e^2}{a_0^2} =8.2387\times10^{-8}\ {\rm N}.\]

方向为吸引。这是有用的 force-scale estimate / 力尺度估算，但不能把电子解释为沿经典圆轨道绕核运行；真实氢原子是量子束缚态。

Knowledge 5 — Superposition of electric forces / 电力的叠加

ID: P04-U01-L01-K05

5.1 多体问题仍由二体库仑力组成

若目标电荷 \(q_t\) 位于 \(\mathbf r_t\)，其余源电荷 \(q_i\) 位于 \(\mathbf r_i\)，classical electrostatic superposition / 经典静电叠加原理给出

\[\boxed{ \mathbf F_{\rm net,t} =\sum_{i\ne t}\mathbf F_{i\to t} =\sum_{i\ne t} k_e q_iq_t \frac{\mathbf r_t-\mathbf r_i}{|\mathbf r_t-\mathbf r_i|^3} } \tag{2}\]

每一项都只计算“源 (i) 对同一目标 (t)”的力；其他电荷不会遮蔽这一个 pairwise interaction / 二体作用。Feynman 的静电学章节把库仑定律与 superposition principle / 叠加原理并列为计算任意电荷组态的基础。¹⁰

Figure 15. 对正目标电荷：正源排斥、负源吸引。虚线只是几何连线，彩色箭头才是作用在目标上的力。

5.2 稳健的六步工作流

1. Choose the target / 选目标： 圈出唯一受力电荷 \(q_t\)。
2. Define coordinates / 定坐标： 标出所有 \(\mathbf r_i,\mathbf r_t\)，统一换算成 \({\rm m}\) 和 \({\rm C}\)。
3. Draw pair directions / 画每项方向： 对每个源独立判断同斥异吸。
4. Compute components / 算分量： 用式 (2)，或先算大小再投影。
5. Sum components / 分量求和： \(F_x=\sum_iF_{ix}\)，\(F_y=\sum_iF_{iy}\)。
6. Reconstruct and audit / 合成并审计：

\[F_{\rm net}=\sqrt{F_x^2+F_y^2}, \qquad \theta=\operatorname{atan2}(F_y,F_x).\]

检查方向象限、单位、对称性、极限和最大项的数量级。

Figure 16. Head-to-tail / 首尾相接的矢量合成与分量合成完全等价；不能把 \(F_1+F_2\) 当作大小直接相加，除非同向。

Worked example 5 — 二维三电荷叠加

目标 \(q_t=+2.00\ {\rm nC}\) 在原点。源 \(q_1=+3.00\ {\rm nC}\) 位于 \((-4.00\ {\rm cm},0)\)，源 \(q_2=-4.00\ {\rm nC}\) 位于 \((0,+3.00\ {\rm cm})\)。求目标所受合力。

方向先行： \(q_1\) 与目标同号，目标被向右排斥；\(q_2\) 与目标异号，目标被向上吸引。

\[\mathbf F_{1\to t} =k_e\frac{(3.00\times10^{-9})(2.00\times10^{-9})}{(0.0400)^2}\hat{\mathbf x} =(3.3703\times10^{-5}\ {\rm N})\hat{\mathbf x},\]

\[\mathbf F_{2\to t} =k_e\frac{(4.00\times10^{-9})(2.00\times10^{-9})}{(0.0300)^2}\hat{\mathbf y} =(7.9889\times10^{-5}\ {\rm N})\hat{\mathbf y}.\]

所以

\[\boxed{ \mathbf F_{\rm net} =(3.37\times10^{-5}\hat{\mathbf x} +7.99\times10^{-5}\hat{\mathbf y})\ {\rm N} }\]

以及

\[F_{\rm net}=8.6708\times10^{-5}\ {\rm N} \approx\boxed{86.7\ \mu{\rm N}},\]

\[\theta=\operatorname{atan2}(7.9889,3.3703) =\boxed{67.1^\circ\ \text{above }+x}.\]

Sanity checks / 合理性检查：合力位于第一象限；\(F_2>F_1\)，所以方向更靠近 \(+y\)；合力大小介于较大分量 \(79.9\ \mu{\rm N}\) 与两分量标量和 \(113.6\ \mu{\rm N}\) 之间。

Figure 17. Worked example 5 的几何与力分量；图中位置比例与给定厘米数一致，力箭头按分量比例近似绘制。

5.3 Symmetry before arithmetic / 先用对称性，再计算

若两个相同源电荷关于目标对称，它们在某一方向的分量会严格抵消。对称性不是“凭感觉合力为零”：只有所有分量都一一配对抵消时，净力才为零。

Figure 18. 中点目标受到的两力等大反向。若任一电荷量或距离改变，抵消一般不再成立。

5.4 Internal-force cancellation / 内力抵消的层级

对本课的静止点电荷系统，每一对力满足 \(\mathbf F_{i\to j}=-\mathbf F_{j\to i}\)，所以把系统内所有粒子所受静电内力相加会成对抵消。这与“每个粒子的净力为零”不同：单个粒子仍可能加速。

Lesson synthesis / 本课综合

Five-knowledge dependency map / 五知识点依赖图

Figure 19. 本课逻辑不是五个孤立定义：符号、守恒与迁移建立对象；库仑定律建立二体作用；叠加建立多体问题。

Minimal equation sheet / 最小公式表

\[\begin{aligned} Q_{\rm net}&=\sum_iq_i,\\[2pt] Q_{\rm tot,before}&=Q_{\rm tot,after},\\[2pt] Q&=Ne \quad\text{(ordinary charge transfer)},\\[2pt] k_e&\equiv\frac1{4\pi\varepsilon_0},\\[2pt] \mathbf r_{st}&=\mathbf r_t-\mathbf r_s,\\[2pt] \mathbf F_{s\to t}&=k_eq_sq_t\frac{\mathbf r_t-\mathbf r_s}{|\mathbf r_t-\mathbf r_s|^3},\\[2pt] \mathbf F_{\rm net,t}&=\sum_{i\ne t}\mathbf F_{i\to t}. \end{aligned}\]

What comes next / 后续接口

• Lesson 4.1.2 将把“单位正测试电荷所受力”抽象成 electric field / 电场。
• Unit 4.2 将用 Gauss's law / 高斯定律高效处理高对称电荷分布。
• Unit 4.3 将用 electric potential / 电势把某些矢量问题转化为标量能量问题。

这些是 forward previews / 前瞻，不是本课求解库仑力时的替代公式。

Misconception clinic / 易错观念诊所

Practice / 练习

A. Concepts and representations / 概念与表征

1. 一个中性金属球被正棒吸引。这个观察能否证明球原先带负净电荷？说明理由。
2. 负棒靠近中性导体球，球接地。若要使球最终带正电，应先移走棒还是先断开接地？
3. 源电荷 \(q_s<0\)，目标电荷 \(q_t<0\)，且 \(\mathbf r_{st}\) 指向 \(+x\)。判断 \(\mathbf F_{s\to t}\) 的方向。
4. 两点电荷不变，间距由 \(r\) 变为 \(3r/2\)。求 \(F'/F\)。

B. Quantitative problems / 定量题

5. 某物体获得 \(7.50\times10^{12}\) 个电子。求其净电荷变化。
6. \(q_s=-2.00\ {\rm nC}\) 位于 \(x=-0.150\ {\rm m}\)，\(q_t=+6.00\ {\rm nC}\) 位于 \(x=+0.050\ {\rm m}\)。求 \(\mathbf F_{s\to t}\)。
7. 目标 \(+2.00\ {\rm nC}\) 在原点；左侧 \(x=-3.00\ {\rm cm}\) 有 \(+4.00\ {\rm nC}\)，右侧 \(x=+6.00\ {\rm cm}\) 有 \(-1.00\ {\rm nC}\)。求目标的合力。
8. 三个相同 \(+1.00\ {\rm nC}\) 点电荷位于边长 \(0.100\ {\rm m}\) 的等边三角形顶点。求顶端电荷所受合力大小和方向。
9. 重做 Worked example 5，但把 \(q_2\) 从 \(-4.00\ {\rm nC}\) 改为 \(+4.00\ {\rm nC}\)。只需说明合力分量、大小和方向象限。
10. 学生写道：

\[F_{\rm net}=k_e\frac{q_1q_t}{r_1^2}+k_e\frac{q_2q_t}{r_2^2}.\]

指出这个表达式在二维问题中缺少什么，并写出可靠的矢量版本。

Source-to-content map / 来源—内容映射

本笔记所有 TikZ 图均为本课原创示意图，未复制任何教材图。来源用于核对定义、定律、常数与模型边界。

References / 参考资料

1. OpenStax University Physics Volume 2, §5.1 — Electric Charge
2. OpenStax University Physics Volume 2, §5.2 — Conductors, Insulators, and Charging by Induction
3. OpenStax University Physics Volume 2, §5.3 — Coulomb's Law
4. MIT OpenCourseWare 8.02, Chapter 2 — Coulomb's Law
5. The Feynman Lectures on Physics, Vol. I, Chapter 4 — Conservation of Energy (charge-conservation discussion)
6. The Feynman Lectures on Physics, Vol. II, Chapter 4 — Electrostatics
7. NIST 2022 CODATA — elementary charge
8. NIST 2022 CODATA — vacuum electric permittivity search result
9. NIST — CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants: 2022
10. Particle Data Group 2025 — Quark summary table
11. Particle Data Group 2025 — Quark Masses review (confinement statement)

复习与拓展

• 能否在不看公式时说清 \(\mathbf r_{st}\) 从哪里指向哪里？
• 能否对每种起电方式先画系统边界，再解释电子流向？
• 能否区分 \(q\) 的正负号与力矢量的空间方向？
• 能否在多电荷问题中只对同一目标画力，并逐项写出 source index？
• 能否指出库仑点电荷模型在哪些尺度或材料条件下失效？