电荷分布的能量

Essential question / 核心问题

把一个电荷组态从“相距无穷远的零能状态”准静态组装起来需要多少功；这份能量应如何在电荷对、连续分布与电场空间之间等价记账？

Learning objectives / 学习目标

完成本课后，你应能：

1. 由逐个组装过程推导 \(U=\sum_{i<j}k_eq_iq_j/r_{ij}\)，解释 \(1/2\) 因子的来源。
2. 在满足边界条件时证明 \(U=\frac12\int\rho V\,d\tau=\frac{\varepsilon_0}{2}\int E^2d\tau\)。
3. 区分 mutual interaction energy / 相互作用能、self-energy / 自能与“单个响应电荷在外势中的能量”。
4. 计算均匀带电球与球壳的经典自能，并识别点电荷极限的 \(1/a\) 发散。
5. 用 \(F_s=-\partial U/\partial s\)、\(\tau=-\partial U/\partial\theta\) 求广义力，并声明保持不变的约束量。
6. 用量纲、配对计数、正负号、极限与能量守恒审计结果。

Prerequisites / 先修知识

• Electric Potential：\(V=k_e\int dq/R\) 与 \(\mathbf E=-\nabla V\)。
• Gauss's Law and Symmetry：球对称电场。
• 分部积分、散度定理、一元和体积分。

Scope, conventions, and notation contract / 范围、约定与记号合同

默认 SI、真空、经典静电、源电荷静止、\(V(\infty)=0\) 且场足够快衰减。除非另有说明，\(U\) 表示整个选定电荷系统相对于无穷远分离态的组装能。

Knowledge 1 — Potential energy of systems of point charges / 点电荷系统的势能

Knowledge ID: P04-U03-L02-K01

1.1 逐个组装：第一颗免费，后来者与已有电荷作用

从所有电荷相距无穷远开始，固定已放置电荷并准静态搬运下一颗。放入第 \(j\) 颗的外功为

\[\Delta U_j=q_jV_{\rm previous}(\mathbf r_j) =\sum_{i<j}k_e\frac{q_iq_j}{r_{ij}}.\]

相加得

\[\boxed{U=\sum_{i<j}k_e\frac{q_iq_j}{r_{ij}}}.\]

每一无序电荷对只计一次，因此组装次序虽改变中间步骤，却不改变总能。OpenStax §7.1 与 MIT 8.02 Chapter 3 都给出多点电荷的 pairwise sum / 成对求和。¹²

Figure 1. 三电荷系统有三条无序配对边；“最后放入谁”只改变记账顺序，不改变最终三项。

1.2 双重求和与 \(1/2\) 因子

若希望对每个电荷先求“其他电荷产生的势”，可写

\[\boxed{U=\frac12\sum_i q_iV_{\rm other}(\mathbf r_i)} =\frac12\sum_i\sum_{j\ne i}k_e\frac{q_iq_j}{r_{ij}}.\]

双重和同时包含 \((i,j)\) 与 \((j,i)\)，故需乘 \(1/2\)。这不是“电势能本来只有一半”，而是消除重复计数。

Figure 2. 双重和的非对角项关于主对角线成对重复；对角线是被排除的理想点电荷自项。

Worked example 1 — Three charges at a right triangle / 直角三角形三电荷组装能

已知： \(q_1=+2.00\ \mathrm{nC}\) 在 \((0,0)\)，\(q_2=-3.00\ \mathrm{nC}\) 在 \((0.0400,0)\ \mathrm m\)，\(q_3=+1.00\ \mathrm{nC}\) 在 \((0,0.0300)\ \mathrm m\)。

系统与参考： 三个点电荷整体，真空，\(U=0\) 取于三者相距无穷远。三边为 \(r_{12}=0.0400\ \mathrm m\)、\(r_{13}=0.0300\ \mathrm m\)、\(r_{23}=0.0500\ \mathrm m\)。

\[U=k_e\left(\frac{q_1q_2}{r_{12}}+\frac{q_1q_3}{r_{13}}+\frac{q_2q_3}{r_{23}}\right).\]

\[U=(8.9876\times10^9) \left[-1.50\times10^{-16}+6.667\times10^{-17}-6.00\times10^{-17}\right]\mathrm{C^2/m}.\]

\[\boxed{U=-1.29\times10^{-6}\ \mathrm J=-1.29\ \mu\mathrm J}.\]

检查： 两个异号吸引项的总量超过同号排斥项，故 \(U<0\) 合理；三项量纲均为 \(k_eq^2/r=\mathrm J\)。三位有效数字。

Figure 3. 点电荷对的相互作用能随距离按 \(1/r\) 变化；远离时从正、负两侧趋近所选零点。

Knowledge 2 — Energy density of the electric field / 电场能量密度

Knowledge ID: P04-U03-L02-K02

2.1 连续分布的组装能

将离散小块电荷取连续极限，双重计数逻辑不变：

\[\boxed{U=\frac12\int \rho(\mathbf r)V(\mathbf r)\,d\tau}.\]

若还存在 surface / line charge，应相应加入 \(\frac12\int\sigma V\,da\) 或 \(\frac12\int\lambda V\,d\ell\)。积分中的 \(V\) 是最终总分布产生的势；\(1/2\) 仍用于每对电荷只计一次。Feynman Vol. II Ch. 8 从成对积分得到同一表达式。³

Figure 4. 连续组装时每个新电荷元只与已在位电荷作用；最终写成 \(\rho V/2\) 自动编码这一步骤。

2.2 由电荷空间改写到场空间

在真空中 \(\rho=\varepsilon_0\nabla\cdot\mathbf E\) 且 \(\mathbf E=-\nabla V\)：

\[U=\frac{\varepsilon_0}{2}\int V(\nabla\cdot\mathbf E)\,d\tau.\]

利用 \(\nabla\cdot(V\mathbf E)=V\nabla\cdot\mathbf E+\mathbf E\cdot\nabla V\)，

\[U=\frac{\varepsilon_0}{2}\oint V\mathbf E\cdot d\mathbf a +\frac{\varepsilon_0}{2}\int E^2\,d\tau.\]

对局域孤立系统，取边界到无穷远且表面项消失：

\[\boxed{U=\int u_E\,d\tau,\qquad u_E=\frac12\varepsilon_0E^2}.\]

因此真空静电场的局域能量密度非负。此等价式依赖积分区域和边界项；有限区域不能随意丢掉通量项。

Figure 5. 场能表达把总能量分配到电场存在的空间，而不只“放在电荷上”；均匀箭头表示等大的场。

2.3 单位与介质 caveat

\[[u_E]=[\varepsilon_0E^2] =\frac{\mathrm{C}}{\mathrm{V\,m}}\frac{\mathrm{V^2}}{\mathrm{m^2}} =\frac{\mathrm J}{\mathrm{m^3}}.\]

在线性、无色散介质中常见 \(u=\frac12\mathbf E\cdot\mathbf D\)，但有损耗、色散、非线性或迟滞时，材料内部能量账本更复杂；本课的 \(\varepsilon_0E^2/2\) 只声明为真空静电结果。

Knowledge 3 — Self-energy and its classical limitations / 自能及其经典局限

Knowledge ID: P04-U03-L02-K03

3.1 有限球壳与均匀实心球

半径 \(a\) 的导体球壳总电荷 \(Q\)，表面电势为 \(V=k_eQ/a\)。从 \(0\) 逐步充电：

\[U_{\rm shell}=\int_0^Q\frac{k_eq}{a}\,dq =\boxed{\frac{k_eQ^2}{2a}}.\]

均匀体电荷球可由同心薄壳逐层组装。半径 \(r\) 时已有 \(Q_r=Q(r^3/a^3)\)，新增 \(dQ=3Qr^2dr/a^3\)：

\[dU=\frac{k_eQ_r}{r}\,dQ,\]

\[\boxed{U_{\rm solid}=\frac{3}{5}\frac{k_eQ^2}{a}}.\]

Feynman Ch. 8 给出这一逐层组装推导，Rochester PHY 217 Lecture 9 将其与 interaction energy、point-charge divergence 并列讨论。³⁴

Figure 6. 均匀实心球的层层组装：球对称保证半径 \(r\) 的新薄壳处，已有内部电荷等效集中于中心。

Worked example 2 — Self-energy of a uniformly charged sphere / 均匀带电球自能

已知： 绝缘实心球半径 \(a=0.100\ \mathrm m\)，总电荷 \(Q=2.00\ \mu\mathrm C\) 均匀分布。求经典自能。

系统与模型： 球内连续体电荷；真空；相对于无限分散态；忽略材料应力与量子效应。

\[U=\frac35\frac{k_eQ^2}{a} =\frac35\frac{(8.9876\times10^9)(2.00\times10^{-6})^2}{0.100}.\]

\[\boxed{U=0.216\ \mathrm J}.\]

检查： \(U>0\)，因为把同号电荷压缩到有限体积需正外功；\(Q\to0\) 时 \(U\propto Q^2\to0\)，\(a\) 增大时 \(U\propto1/a\) 降低。三位有效数字。

3.2 点电荷极限为何发散

固定 \(Q\) 令球半径 \(a\to0\)：

\[U\propto\frac{Q^2}{a}\longrightarrow\infty.\]

也可从场能看出：点电荷 \(E=k_eQ/r^2\)，在短程 \(r=a\) 截断后，

\[U(a)=\frac{\varepsilon_0}{2}\int_a^\infty E^2(4\pi r^2)dr =\frac{k_eQ^2}{2a}.\]

发散来自 \(r\to0\)，不是远场。它说明“零尺寸、连续经典场、把全部静电场能计入粒子质量”三者不能同时无条件使用；不能把 cutoff 当成实验测得的电子半径。

Figure 7. 经典自能随短程 cutoff 呈 \(1/a\) 发散；曲线只表示尺度关系，不代表量子电子的真实结构。

Worked example 3 — Finite shell cutoff / 有限球壳截断的能量尺度

把电荷 \(Q=e\) 均匀放在半径 \(a=1.00\ \mathrm{fm}\) 的薄球壳上。求经典静电自能并以 MeV 表示。

\[U=\frac{k_ee^2}{2a} =\frac{(8.9876\times10^9)(1.60218\times10^{-19})^2}{2(1.00\times10^{-15})} =1.1535\times10^{-13}\ \mathrm J.\]

用 \(1\ \mathrm{eV}=1.60218\times10^{-19}\ \mathrm J\)：

\[\boxed{U=0.720\ \mathrm{MeV}}.\]

检查与解释： 值为正且随 \(a\) 减小而增大。这个数只是指定经典球壳模型的能量尺度；在 \(\mathrm{fm}\) 尺度，量子与相对论物理不可忽略，不能据此宣称电子是半径 \(1\ \mathrm{fm}\) 的壳。

Knowledge 4 — Force and energy methods / 受力法与能量法

Knowledge ID: P04-U03-L02-K04

4.1 广义力是固定约束下能量的负导数

若系统几何由坐标 \(s\) 描述，微小准静态位移满足

\[dU=-F_s\,ds,\]

故

\[\boxed{F_s=-\left(\frac{\partial U}{\partial s}\right)_{\text{stated constraints}}}.\]

转动坐标同理：

\[\boxed{\tau_\theta=-\frac{\partial U}{\partial\theta}}.\]

能量法只给 conservative generalized force / 保守广义力；若有摩擦、辐射、外部电源持续交换能量，必须把这些能量流纳入系统边界。Feynman Ch. 8 用 virtual work / 虚功法处理带电导体的力。³

Figure 8. 能量曲线斜率的负值给广义力；局部最低点两侧力都指回平衡位置，表示稳定平衡。

4.2 外势中的单电荷与偶极

单个响应电荷在由其他源产生的外势中：

\[U(\mathbf r)=qV_{\rm ext}(\mathbf r), \qquad \mathbf F=-\nabla U=q\mathbf E_{\rm ext}.\]

永久偶极 \(\mathbf p\) 在均匀外场中：

\[U(\theta)=-\mathbf p\cdot\mathbf E=-pE\cos\theta,\]

\[\tau_\theta=-\frac{dU}{d\theta}=-pE\sin\theta.\]

这里带符号的 \(\tau_\theta\) 对应 \(\theta\) 增大的正向；其大小为 \(pE\sin\theta\)，方向总使偶极趋向对齐。

Figure 9. 均匀外场中的偶极受到使 \(\theta\) 减小的力矩；图中场不随位置改变，因此理想偶极净力为零。

Worked example 4 — Torque from the energy curve / 由能量曲线求偶极力矩

已知： \(p=3.00\times10^{-8}\ \mathrm{C\,m}\) 的永久偶极在 \(E=2.00\times10^4\ \mathrm{N/C}\) 的匀强场中，与场夹角 \(60.0^\circ\)。求势能（采用 \(U(\pi/2)=0\) 的加法常数约定）和力矩。

系统与坐标： “偶极 + 固定外场源”；\(\theta\) 从 \(\mathbf E\) 转向 \(\mathbf p\) 为正；场源保持 \(E\) 不变。

\[U=-pE\cos\theta =-(3.00\times10^{-8})(2.00\times10^4)\cos60.0^\circ =-3.00\times10^{-4}\ \mathrm J.\]

\[\tau_\theta=-\frac{dU}{d\theta} =-pE\sin\theta =-5.20\times10^{-4}\ \mathrm{N\,m}.\]

\[\boxed{U=-3.00\times10^{-4}\ \mathrm J,\qquad \tau_\theta=-5.20\times10^{-4}\ \mathrm{N\,m}}.\]

检查： 负力矩使正角 \(\theta\) 减小，趋向能量最低的 \(\theta=0\)；在 \(\theta=0,\pi\) 时力矩应为零，式子满足。三位有效数字。

Figure 10. 偶极势能的周期曲线；\(\theta=0\) 为稳定最低点，\(\theta=\pi\) 为不稳定最高点。

Lesson synthesis / 本课综合

对光滑、有限尺寸且能量积分收敛的连续电荷分布，\(\rho V\) 视角与 \(E^2\) 视角是同一静电能量的不同账本；把分布离散成有限小块时，相互作用部分又还原为电荷对之和：

\[\sum_{i<j}\frac{k_eq_iq_j}{r_{ij}} \longleftrightarrow \frac12\int\rho V\,d\tau \longleftrightarrow \frac{\varepsilon_0}{2}\int E^2\,d\tau.\]

对理想点电荷必须另加一句：配对和按定义排除了 \(i=j\) 自项，而全空间场能积分包含发散的点电荷自能；只有先给电荷有限尺寸，或明确减去同一正则化方案下的自能，才能逐项比较其有限 interaction part / 相互作用部分。

选择原则：离散少量电荷用配对和；连续分布若 \(V\) 易得用 \(\rho V/2\)；高对称场若 \(E\) 易得用场能；求机械响应则先建立包括正确约束的总能量再求负导数。

Formula-and-decision table / 公式—决策表

Model boundaries / 模型边界

• \(u_E=\varepsilon_0E^2/2\) 是真空静电密度；介质中的可逆储能取决于 constitutive relation / 本构关系。
• 理想点电荷自能发散；经典 cutoff 仅为模型参数，不是自动得到的粒子尺寸。
• \(U=\frac12\int\rho V\) 要把自相互作用包含在可积的连续分布中；对单个外加试探电荷则没有 \(1/2\)。
• \(F=-\partial U/\partial s\) 的 \(U\) 必须是与约束一致的总能量。固定外源和动态电源会交换功，漏掉它们可能给出错误符号。
• 相对论、辐射反作用、量子真空重整化均超出本课。

Misconception clinic / 易错观念诊所

Practice and retrieval / 练习与提取

1. K01： 四个点电荷系统共有多少个不同配对项？
2. K01： 两个 \(+q\) 相距 \(r\)，第三个 \(-q\) 放在中点。写总势能。
3. K01： 解释为什么组装次序不改变最终 \(U\)。
4. K02： 匀强真空电场 \(E=2.00\times10^3\ \mathrm{N/C}\) 占体积 \(0.150\ \mathrm{m^3}\)，求场能。
5. K02： 从单位证明 \(\varepsilon_0E^2\) 是能量密度。
6. K03： 半径加倍而总电荷不变，均匀带电实心球自能变成多少倍？
7. K03： 为什么不能把 \(a\to0\) 的球壳结果当作有限电子质量的完整解释？
8. K04： 若 \(U(x)=ax^4-bx^2\)，写 \(F_x\) 并判断 \(x=0\) 在 \(a,b>0\) 时的稳定性。
9. K04： 偶极从 \(\theta=90^\circ\) 转到 \(0\)，外场所做功是多少？
10. 综合： 在 \(U=\frac12\int\rho V\) 到 \(U=\varepsilon_0\int E^2/2\) 的推导中，何时不能丢掉表面项？

Exit ticket / 离堂检核

1. 不查公式，解释同一个带电球为什么有 \(\rho V\) 与 \(E^2\) 两种完全等价的能量账本。
2. 给出一个“\(\partial U/\partial s=0\) 但不是稳定平衡”的具体函数，并说明检验步骤。

References and source notes / 参考资料与来源说明

本课 10 幅 TikZ 均由方程和教学需要原创绘制。以下链接于 2026-08-26 实际打开或通过大学官方课程页核验。

1. OpenStax University Physics Volume 2, §7.1 — Electric Potential Energy
2. MIT OpenCourseWare 8.02, Chapter 3 — Electric Potential
3. The Feynman Lectures on Physics, Vol. II, Chapter 8 — Electrostatic Energy
4. University of Rochester PHY 217 — Lecture Notes index, Lectures 8–11
5. Caltech Ph106bc — Electrodynamics course and notes index

Source-to-content map / 来源—内容映射

复习与拓展

• 看见 \(1/2\) 时，能否说清它消除的是哪一类重复计数？
• 能否从 \(E\sim r^{-2}\) 直接判断点电荷近场能量积分的发散阶？
• 能量法求力前，能否写出“保持 \(Q\)、\(V\)、外场或源中哪一个不变”？
• 下一课将研究 \(V\) 本身必须满足的 Poisson/Laplace 方程及其边界解法。