泊松与拉普拉斯方程

Essential question / 核心问题

当电荷分布和导体边界同时存在时，怎样把静电场问题改写为关于 \(V\) 的边值问题，并证明所构造的解不是众多可能之一，而是物理上唯一的解？

Learning objectives / 学习目标

完成本课后，你应能：

1. 从 \(\nabla\cdot\mathbf E=\rho/\varepsilon_0\) 与 \(\mathbf E=-\nabla V\) 推导 Poisson equation / 泊松方程。
2. 在 \(\rho=0\) 区域使用 Laplace equation / 拉普拉斯方程，并解释 harmonic function / 调和函数的平均值与最大值性质。
3. 正确陈述 Dirichlet、Neumann 与 mixed boundary conditions / 混合边界条件及唯一性范围。
4. 用 separation of variables / 分离变量求矩形区域的一类 Laplace 解并由边界 Fourier coefficients 定系数。
5. 用 uniqueness theorem 验证 grounded-plane image solution / 接地平面镜像解，并区分虚构像电荷与真实感应面电荷。
6. 写出 Green function / 格林函数的定义、自由空间核与 Dirichlet 表示式，说明符号 convention。

Prerequisites / 先修知识

• Electric Potential：\(\mathbf E=-\nabla V\)。
• Local Form of Electrostatics：\(\nabla\cdot\mathbf E=\rho/\varepsilon_0\) 与表面电荷跳变。
• 二阶常微分方程、Fourier sine series / 傅里叶正弦级数、散度定理。

Scope, conventions, and notation contract / 范围、约定与记号合同

本课使用 SI、真空、经典静电。区域记作 \(\Omega\)。在 Green identity、Neumann data 与边界积分中，\(\hat{\mathbf n}_{\Omega}\) 始终是 \(\partial\Omega\) 的外法线，且 \(\partial_{n_{\Omega}}V=\nabla V\cdot\hat{\mathbf n}_{\Omega}\)；在两个区域的界面跳变中另用 \(\hat{\mathbf n}_{12}\)，方向固定为从 region 1 指向 region 2。Laplacian 定义为

\[\nabla^2V=\nabla\cdot\nabla V =\frac{\partial^2V}{\partial x^2} +\frac{\partial^2V}{\partial y^2} +\frac{\partial^2V}{\partial z^2}.\]

Knowledge 1 — Poisson equation in charge-filled regions / 有电荷区域的泊松方程

Knowledge ID: P04-U03-L03-K01

1.1 从 Maxwell 静电方程得到电势曲率

在静电场中

\[\nabla\cdot\mathbf E=\frac{\rho}{\varepsilon_0}, \qquad \mathbf E=-\nabla V.\]

代入即得

\[-\nabla\cdot\nabla V=\frac{\rho}{\varepsilon_0},\]

\[\boxed{\nabla^2V=-\frac{\rho}{\varepsilon_0}}.\]

Feynman Vol. II Ch. 6 用同一符号链把静电学归结为 Poisson equation；MIT 8.022 Lecture 4 也把 Poisson/Laplace、curl 与 uniqueness 作为一个连续主题。¹²

Figure 1. 一维中 \(V''=-\rho/\varepsilon_0\)：负电荷密度对应向上弯曲的势；曲率符号不是电势本身的正负。

1.2 源项决定曲率，不单独决定解

同一个 \(\rho\) 可以对应不同的 \(V\)，因为还可加任意满足 \(\nabla^2V_h=0\) 的 homogeneous solution / 齐次解：

\[V=V_p+V_h, \qquad \nabla^2V_p=-\frac{\rho}{\varepsilon_0}, \qquad \nabla^2V_h=0.\]

边界条件决定允许的 \(V_h\)。所以“知道全部电荷”仍不够：外部导体或远处电极也通过边界影响区域内的势。

Worked example 1 — Charged slab from a prescribed potential / 由势反推均匀带电层

区域 \(-a<x<a\) 内给定

\[V(x)=V_0\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right),\]

其中 \(V_0=90.0\ \mathrm V\)、\(a=0.0300\ \mathrm m\)。求 \(\rho\) 与 \(\mathbf E\)。

模型与坐标： 无限平板对称，只随 \(x\) 变；真空连续体；\(+x\) 为法向。

\[\frac{d^2V}{dx^2}=-\frac{2V_0}{a^2}=-\frac{\rho}{\varepsilon_0},\]

\[\rho=\frac{2\varepsilon_0V_0}{a^2} =1.77\times10^{-6}\ \mathrm{C/m^3}.\]

\[\mathbf E=-\frac{dV}{dx}\hat{\mathbf x} =\frac{2V_0x}{a^2}\hat{\mathbf x}.\]

在 \(x=+0.0150\ \mathrm m\)，

\[\boxed{\mathbf E=(3.00\times10^3\ \mathrm{N/C})\hat{\mathbf x}}, \qquad \boxed{\rho=1.77\ \mu\mathrm{C/m^3}}.\]

检查： \(\rho>0\) 时 \(V''<0\)，势在中心最高；场关于中心反对称并向外，符合正体电荷。三位有效数字。

Figure 2. 无限均匀体电荷层的局部模型；红点表示均匀 \(\rho\)，场在中心为零并线性向两侧增长。

Knowledge 2 — Laplace equation in charge-free regions / 无电荷区域的拉普拉斯方程

Knowledge ID: P04-U03-L03-K02

2.1 无源区域仍可有场

若只在求解区域内 \(\rho=0\)，Poisson 方程退化为

\[\boxed{\nabla^2V=0}.\]

满足此式的 \(V\) 称为 harmonic function / 调和函数。区域外的电荷与边界电极仍能使区域内 \(V\) 非常数。例如两平行电极之间无体电荷，却有线性势与匀强场。

Figure 3. 板间区域无体电荷但有边界强迫；线性电势满足 \(V''=0\)，场为常量。

2.2 Mean-value and maximum principles / 平均值与最大值原理

调和函数在球心的值等于任意完全位于无源区域内球面的平均值。由此得到：非恒定调和函数的最大值与最小值不能出现在区域内部，只能由边界控制。

\[V(\mathbf r_0)=\frac{1}{4\pi R^2}\oint_{S_R}V\,da.\]

这解释了静电势为何没有无源内部孤立极值，也给 uniqueness proof / 唯一性证明提供核心工具。MIT OCW 6.641 Lecture 10 把 Poisson/Laplace equations、boundary conditions 与 uniqueness 放在同一边值问题框架中。³

Figure 4. 调和函数的平均值性质示意；边界数字仅为概念标签，不是某个具体精确解的采样。

Worked example 2 — One-dimensional Laplace boundary problem / 一维 Laplace 边值问题

两板位于 \(x=0\) 与 \(x=d=8.00\ \mathrm{mm}\)，分别保持 \(V(0)=120\ \mathrm V\) 与 \(V(d)=20.0\ \mathrm V\)。板间无体电荷。求 \(V(x)\) 与 \(\mathbf E\)。

区域与模型： 忽略边缘效应，\(V\) 只随 \(x\) 变。

\[\frac{d^2V}{dx^2}=0\Rightarrow V=Ax+B.\]

\(B=120\ \mathrm V\)，\(A=(20.0-120)/(8.00\times10^{-3})=-1.25\times10^4\ \mathrm{V/m}\)，所以

\[\boxed{V(x)=120\ \mathrm V-(1.25\times10^4\ \mathrm{V/m})x},\]

\[\boxed{\mathbf E=-\nabla V=(1.25\times10^4\ \mathrm{N/C})\hat{\mathbf x}}.\]

检查： 代入两端边界均满足；势沿 \(+x\) 降低，场沿 \(+x\)；\(\nabla^2V=0\)。三位有效数字。

Knowledge 3 — Boundary conditions and uniqueness theorem / 边界条件与唯一性定理

Knowledge ID: P04-U03-L03-K03

3.1 三类边界数据

• Dirichlet condition： 给定 \(V\) 在 \(\partial\Omega\) 上的值。
• Neumann condition： 给定 \(\partial_{n_{\Omega}}V\)，等价于给定外法向场 \(E_{n_{\Omega}}=-\partial_{n_{\Omega}}V\)。
• Mixed/Robin condition： 边界不同部分给不同类型，或给 \(aV+b\partial_{n_{\Omega}}V\)。

纯 Dirichlet 问题在适当光滑条件下解唯一。纯 Neumann 问题若指定 \(g=\partial_{n_{\Omega}}V\)，对本课 \(\nabla^2V=-\rho/\varepsilon_0\) 的符号约定，散度定理要求

\[\boxed{ \oint_{\partial\Omega}g\,da =\oint_{\partial\Omega}\partial_{n_{\Omega}}V\,da =-\frac{1}{\varepsilon_0}\int_{\Omega}\rho\,d\tau }.\]

只有满足这一兼容条件才存在解；存在时 \(V\) 仍只唯一到一个加法常数。

3.2 穿越普通真空界面的连续与跳变

本小节专用界面法向 \(\hat{\mathbf n}_{12}\)，由 region 1 指向 region 2。若边界只有普通 surface charge \(\sigma\)、没有理想偶极层，

\[\boxed{V_2=V_1},\]

\[\boxed{E_{2n}-E_{1n}=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}},\]

\[\boxed{\partial_{n_{12}}V_2-\partial_{n_{12}}V_1=-\frac{\sigma}{\varepsilon_0}}.\]

静电切向场连续，因为极小矩形回路的 \(\oint\mathbf E\cdot d\boldsymbol\ell=0\)。MIT RES.6-001 Chapter 5 把 Poisson/Laplace、uniqueness、continuity conditions 与坐标解法放在同一边值框架中。⁴

Figure 5. 跨越面电荷的 Gaussian pillbox / 高斯药盒给法向场跳变；普通面电荷不使电势本身跃变。

3.3 Dirichlet uniqueness proof / Dirichlet 唯一性证明

假设 \(V_1,V_2\) 都满足同一 Poisson 方程和同一边界值。令 \(u=V_1-V_2\)，则

\[\nabla^2u=0, \qquad u\big|_{\partial\Omega}=0.\]

由 Green's first identity：

\[\int_\Omega\lvert\nabla u\rvert^2d\tau =\oint_{\partial\Omega}u\partial_{n_{\Omega}}u\,da -\int_\Omega u\nabla^2u\,d\tau=0.\]

非负积分为零推出 \(\nabla u=0\)，而边界 \(u=0\) 固定常数，故 \(u=0\)、\(V_1=V_2\)。唯一性定理使“猜到并验证边界”的像电荷法成为严格解法，而非近似技巧。

Figure 6. Dirichlet 唯一性证明的逻辑骨架；正定积分排除了两个不同解具有相同源和边界的可能。

Knowledge 4 — Separation of variables / 分离变量法

Knowledge ID: P04-U03-L03-K04

4.1 矩形二维区域的模态

对 \(0<x<a\)、\(y>0\) 的无源区域，设 \(V(x,y)=X(x)Y(y)\)：

\[X''Y+XY''=0,\]

\[\frac{X''}{X}=-\frac{Y''}{Y}=-k^2.\]

若侧边 \(V(0,y)=V(a,y)=0\) 且 \(y\to\infty\) 时 \(V\to0\)，允许模态为

\[X_n=\sin\frac{n\pi x}{a}, \qquad Y_n=e^{-n\pi y/a}.\]

叠加得

\[\boxed{V(x,y)=\sum_{n=1}^\infty A_n \sin\frac{n\pi x}{a}e^{-n\pi y/a}}.\]

底边 \(V(x,0)=f(x)\) 的 Fourier sine coefficients 为

\[A_n=\frac{2}{a}\int_0^af(x)\sin\frac{n\pi x}{a}\,dx.\]

MIT OCW 20.330J Lecture 7 与 RES.6-001 Chapter 5 都以矩形坐标中的 Laplace equation、uniqueness 与 separation of variables 展示这一方法。⁵⁴

Figure 7. 分离变量法的四步结构；边界条件既筛选特征值，也决定模态系数。

Worked example 3 — Single-mode rectangular boundary / 矩形边界的单一模态

区域 \(0<x<a\)、\(y>0\) 满足 \(V(0,y)=V(a,y)=0\)、\(V(x,0)=V_0\sin(\pi x/a)\)、\(V\to0\) as \(y\to\infty\)。取 \(a=0.200\ \mathrm m\)、\(V_0=100\ \mathrm V\)，求 \((x,y)=(0.100,0.0500)\ \mathrm m\) 的 \(V\) 与 \(\mathbf E\)。

边界只有 \(n=1\) 模态：

\[V=V_0\sin\frac{\pi x}{a}e^{-\pi y/a}.\]

在 \(x=a/2,y=a/4\)：

\[V=100e^{-\pi/4}=45.6\ \mathrm V.\]

\[E_x=-\frac{\partial V}{\partial x} =-\frac{\pi V_0}{a}\cos\frac{\pi x}{a}e^{-\pi y/a}=0,\]

\[E_y=-\frac{\partial V}{\partial y} =\frac{\pi V_0}{a}\sin\frac{\pi x}{a}e^{-\pi y/a} =716\ \mathrm{N/C}.\]

\[\boxed{V=45.6\ \mathrm V,\qquad \mathbf E=(716\ \mathrm{N/C})\hat{\mathbf y}}.\]

检查： 关于 \(x=a/2\) 对称，故 \(E_x=0\)；电势随 \(y\) 衰减，场沿 \(+y\)；直接计算 \(V_{xx}+V_{yy}=0\)。三位有效数字。

Figure 8. 单一正弦边界模态向区域内部指数衰减；蓝色曲线表示不同高度的势剖面，不是粒子轨迹。

Knowledge 5 — Image-charge and Green-function methods / 镜像电荷法与格林函数法

Knowledge ID: P04-U03-L03-K05

5.1 Grounded plane image / 接地无限平面的镜像解

真实区域是 \(z>0\)。真实点电荷 \(q\) 在 \((0,0,d)\)，边界 \(z=0\) 接地：\(V=0\)。在物理区域之外放虚构像电荷 \(-q\) 于 \((0,0,-d)\)：

\[\boxed{V(\rho,z)=k_e\left[ \frac{q}{\sqrt{\rho^2+(z-d)^2}} -\frac{q}{\sqrt{\rho^2+(z+d)^2}} \right]},\quad z>0.\]

它在 \(z>0\) 除真实电荷处满足 Poisson 方程，在平面上严格为零，并满足无穷远条件；Dirichlet 唯一性因此保证它等于真实“电荷 + 接地导体”问题在 \(z>0\) 的解。像电荷不在物理区域，不能说导体内部真的有一个 \(-q\) 点电荷。Caltech Ph106bc 的 method-of-images 说明明确以 uniqueness 为依据，并要求像源放在求解区域之外。⁶

Figure 9. 接地平面镜像构型；虚线像电荷只用来计算上半空间的势，灰色导体中的真实响应是分布式感应面电荷。

Worked example 4 — Force and energy near a grounded plane / 接地平面前的力与能量

\(q=+2.00\ \mathrm{nC}\) 位于接地无限平面上方 \(d=0.0300\ \mathrm m\)。求受力与相对于 \(d\to\infty\) 的能量。

系统与方向： 物理区域 \(z>0\)，\(+z\) 离开导体；导体由理想接地装置维持零势。

真实电荷所受力等于像电荷在真实点产生的 Coulomb 力；间距为 \(2d\)：

\[F_z=-k_e\frac{q^2}{(2d)^2} =-\frac{k_eq^2}{4d^2} =-9.99\times10^{-6}\ \mathrm N.\]

导体问题的能量不是完整真实—像电荷对能 \(-k_eq^2/(2d)\)，而是其一半：

\[U(d)=-\frac{k_eq^2}{4d}=-3.00\times10^{-7}\ \mathrm J.\]

\[\boxed{\mathbf F=-(9.99\ \mu\mathrm N)\hat{\mathbf z},\qquad U=-0.300\ \mu\mathrm J}.\]

检查： \(-dU/dd=-k_eq^2/(4d^2)\)，与力法一致；方向指向导体。三位有效数字。能量的 \(1/2\) 来自逐步建立感应电荷，而不是把像电荷当成独立真实源。

5.2 Green function as unit-source response / 格林函数是单位源响应

本课采用 convention

\[\boxed{\nabla^2G(\mathbf r,\mathbf r')=-\delta^{(3)}(\mathbf r-\mathbf r')}.\]

自由空间核为

\[G_0(\mathbf r,\mathbf r')=\frac{1}{4\pi\lvert\mathbf r-\mathbf r'\rvert}.\]

若 Dirichlet Green function 在边界上满足 \(G=0\)，Green identity 给

\[\boxed{ V(\mathbf r)=\frac{1}{\varepsilon_0}\int_\Omega G(\mathbf r,\mathbf r')\rho(\mathbf r')\,d\tau' -\oint_{\partial\Omega}V(\mathbf r')\partial_{n'_{\Omega}}G(\mathbf r,\mathbf r')\,da'}.\]

第一项传播体源，第二项传播边界值。若采用 \(\nabla^2G=+\delta\) 的另一 convention，整式符号必须一起改变，不能混搭。MIT 18.303 的 Green-function notes 与 MIT 22.105 课程讲义将 Laplace/Poisson、Green theorem、separation 与 image methods 放在同一算子响应框架中。⁷⁸

Figure 10. Green function 是指定区域的单位点源响应；连续源的解由线性叠加得到，边界影响已编码进 \(G\)。

Lesson synthesis / 本课综合

完整边值问题工作流：

1. 画出 \(\Omega\) 与 \(\partial\Omega\)，声明法向、源和物理区域。
2. 有源处用 \(\nabla^2V=-\rho/\varepsilon_0\)；无源子区域用 \(\nabla^2V=0\)。
3. 写边界值、法向导数或导体总电荷，并检查兼容条件。
4. 依几何选择 direct integration、particular + homogeneous、separation、images、Green function 或数值法。
5. 验证 PDE、全部边界、奇点强度、无穷远行为；以 uniqueness 宣告完成。
6. 最后求 \(\mathbf E=-\nabla V\)，检查单位、跳变、对称性与能量。

Formula-and-decision table / 公式—决策表

Model boundaries / 模型边界

• 方程假设 electrostatic / 静电；时变场需同时处理 vector potential 与波动方程。
• \(\rho=0\) 是区域内部无体电荷，不表示边界无电荷、区域外无电荷或 \(\mathbf E=0\)。
• 唯一性结论需要适当的区域正则性、边界条件与无穷远条件；纯 Neumann 解只唯一到常数。
• 镜像法只在特殊几何中易构造，且像源必须位于求解区域之外。
• 分离变量依赖坐标和边界可分离；不规则几何通常转向 Green functions、有限元或边界元。
• 理想面电荷造成导数跳变；理想 dipole sheet / 偶极层还可使电势本身跳变，本课不展开。

Misconception clinic / 易错观念诊所

Practice and retrieval / 练习与提取

1. K01： 若 \(V=Ax^2+By^2+Cz^2\)，写 \(\rho\)。
2. K01： 在球对称区域中 \(V=kr^2\)，求 \(\rho\)（提示 \(\nabla^2r^2=6\)）。
3. K02： 给出一个 \(\rho=0\) 但 \(\mathbf E\ne0\) 的显式 \(V\)。
4. K02： 为什么调和函数不能在无源区域内部有严格局部最大值？
5. K03： 界面法向 \(\hat{\mathbf n}_{12}\) 由 1 指向 2，\(\sigma>0\)。写 \(E_n\) 和 \(\partial_{n_{12}}V\) 的跳变。
6. K03： 两个 Dirichlet 解之差 \(u\) 满足什么 PDE 与边界？它怎样导向唯一性？
7. K04： 对 \(0<x<a\) 且两侧为零势，为何 \(X_n\) 是正弦而不是余弦？
8. K04： 单一模态 \(\sin(n\pi x/a)e^{-n\pi y/a}\) 的横向波数加倍时，穿透深度怎样变化？
9. K05： \(+q\) 距接地平面 \(d\)，写像电荷的位置、符号和力的方向。
10. K05： 在本课 convention \(\nabla^2G=-\delta\) 下，写自由空间 \(G_0\) 并说明 Dirichlet \(G\) 必须在何处为零。

Exit ticket / 离堂检核

1. 一个候选 \(V\) 已满足 Poisson 方程与导体边界。还需要逐点与 Coulomb integral 比较吗？用唯一性定理回答。
2. 用一句物理话和一句数学话解释“像电荷是假的，但它给出的物理区域电场是真的”。

References and source notes / 参考资料与来源说明

本课所有 10 幅 TikZ 图均根据 PDE、边界和解析解原创绘制。以下权威来源于 2026-08-26 实际打开核验；不同资料若采用 Gaussian units 或不同 Green-function sign convention，正文已统一为 SI 与 \(\nabla^2G=-\delta\)。

1. The Feynman Lectures on Physics, Vol. II, Chapter 6 — The Electric Field in Various Circumstances
2. MIT OpenCourseWare 8.022, Lecture 4 — Poisson and Laplace Equations, Uniqueness
3. MIT OpenCourseWare RES.6-001, Chapter 5 — Electroquasistatic Boundary-Value Problems
4. MIT OpenCourseWare 6.641, Lecture 10 — Solutions to Laplace's Equation in Cartesian Coordinates
5. MIT OpenCourseWare 20.330J, Lecture 7 — Laplace Equation and Separation of Variables
6. Caltech Ph106bc — Electrodynamics course and advanced electrostatics notes index
7. MIT OpenCourseWare 22.105 — Electromagnetic Interactions lecture notes
8. MIT OpenCourseWare 18.303 — Green Functions notes

Source-to-content map / 来源—内容映射

复习与拓展

• 能否在写 Laplace equation 前明确“无电荷的是哪个区域”？
• 能否先判断使用 \(\hat{\mathbf n}_{\Omega}\) 还是 \(\hat{\mathbf n}_{12}\)，再重新推导法向导数跳变而不死记符号？
• 能否对任一候选解逐项验证 PDE、边界、奇点与无穷远条件？
• 下一课将把边界值方法应用于静电平衡导体、空腔与屏蔽。