Learning objectives
完成本课后，你应能：
- 精确定义理想导线、节点、支路、回路与网孔，并从拓扑上识别电路未知量；
- 从电荷守恒和能量守恒解释 Kirchhoff junction rule 与 loop rule，正确处理符号；
- 用支路法、节点法或网孔法建立并求解多回路线性方程，做 KCL、KVL 与功率复核；
- 建模有限内阻电流表和电压表，量化 loading error；
- 从端口开路电压和等效电阻构造 Thevenin/Norton 等效，并说明线性网络和端口条件。
Prerequisites
- Resistance and Electrical Energy：Ohm 定律、emf、端电压与功率；
- 代数线性方程组、矩阵与有效数字；
- 电势差的路径积分与电荷连续性；
- 理想电压源、理想电流源和电阻元件模型。
Scope and conventions
本课研究 lumped-element、准静态直流网络：元件尺寸远小于有关电磁传播波长，节点内传播延迟可忽略，理想导线电阻为零。电流方向可先任意假设；若解为负值，真实方向相反。沿选定回路行进时，电阻沿电流方向为电势降 \(-IR\)，逆电流为电势升 \(+IR\)；跨理想电源从负端到正端为 \(+\mathcal E\)。所有仪表连接都被视为会改变网络，除非取理想极限。
Notation and modeling contract
| Symbol | Meaning | SI unit / convention |
|---|---|---|
| \(V_n\) | 节点 \(n\) 相对参考地的电势 | \(\mathrm V\) |
| \(I_b\) | 支路电流 | \(\mathrm A\)；方向先假设 |
| \(R\) | 电阻 | \(\Omega\) |
| \(\mathcal E\) | 理想电源的 emf | \(\mathrm V\) |
| \(R_A\) | 电流表内阻 | 理想极限 \(R_A\to0\) |
| \(R_V\) | 电压表内阻 | 理想极限 \(R_V\to\infty\) |
| \(V_{\mathrm{th}},R_{\mathrm{th}}\) | Thevenin 开路电压、端口等效电阻 | \(\mathrm V,\Omega\) |
| \(I_N,R_N\) | Norton 短路电流、端口等效电阻 | \(\mathrm A,\Omega\) |
K01 — Ideal wires, nodes, branches, and loops / 理想导线、节点、支路与回路
Knowledge ID: P04-U05-L03-K01
1. 理想导线与节点
理想导线的电阻和电感在本模型中均忽略，因此一段连续理想导线上的所有点属于同一节点并具有同一电势。图纸上导线很长或拐弯不会产生额外压降；交叉线只有在明确连接点时才属于同一节点。
图 1 中：节点是等势连接集合；支路是两个节点之间含一个或多个串联元件且中间无分流的路径；回路是从某节点出发并回到该节点的闭合路径。
2. 回路、网孔和独立方程数
平面电路中的 mesh 是内部不再包含其他回路的最小回路；loop 则可包围多个网孔。对一个连通网络，若有 \(N\) 个节点和 \(B\) 条支路，独立 KCL 方程数为 \(N-1\)，独立回路数为
\[L=B-N+1.\]
这是一条拓扑计数，不替代元件的 \(V\)–\(I\) 关系。
图 2 提醒：写三个回路方程不代表三个都独立；重复方程会使线性系统奇异或冗余。
K02 — Kirchhoff's junction and loop rules / 基尔霍夫节点与回路定律
Knowledge ID: P04-U05-L03-K02
1. Junction rule：节点不能持续积累电荷
连续性方程积分给出节点处
\[\sum I_{\mathrm{in}}=\sum I_{\mathrm{out}},\]
或按统一代数符号写 \(\sum_k I_k=0\)。若节点电荷显著随时间变化，应有电容效应；纯 DC lumped model 把这类暂态排除。
图 3 的箭头只是先验定义；若求得 \(I_4<0\)，实际电流进入节点。
2. Loop rule：闭合路径的电势变化代数和为零
在准静态 lumped circuit 中，绕任意闭合回路回到同一点，
\[\sum_{\mathrm{loop}}\Delta V_k=0.\]
它是能量守恒/单值节点电势的电路表达。实际含显著时变磁通的空间回路满足 Faraday 定律，此时简单“静电势降和为零”必须把感应 emf 当作元件或场项纳入。
3. 符号纪律
图 5 给出可复用规则：符号由“穿越方向”和“元件端口极性”共同决定。回路方向选顺时针或逆时针都可以，只要从头到尾一致。
K03 — Multiloop circuit solution / 多回路电路求解
Knowledge ID: P04-U05-L03-K03
1. 三种方法的选择
- 支路电流法： 为每支路设电流，配 \(N-1\) 个 KCL 与 \(L\) 个 KVL；直观但未知量多。
- 节点电压法： 选参考地，用 \(I=(V_i-V_j)/R\) 写非参考节点 KCL；适合节点少、支路多。
- 网孔电流法： 平面电路每网孔设电流；共享电阻压降用 \(R(I_i-I_j)\)；适合网孔少。
图 6 中共享支路的两个网孔电流方向相反，因此电阻项出现在矩阵的非对角位置。
2. 矩阵结构与验证
线性电阻网络可写为
\[\mathbf R\mathbf I=\boldsymbol{\mathcal E}.\]
网孔矩阵对角元是该网孔电阻之和，非对角元是共享电阻的负值（按同向网孔电流约定）。求解后必须执行：
- 每个独立节点的 KCL 残差为零；
- 每个独立回路的 KVL 残差为零；
- 电源净供电功率与电阻耗散 \(\sum I^2R\) 一致。
图 7 把“检查”放回求解循环；它不是答案之后可省略的装饰步骤。
K04 — Voltmeters, ammeters, and loading / 电压表、电流表与负载效应
Knowledge ID: P04-U05-L03-K04
1. 正确连接与理想极限
电流表要测某支路电流，必须串联，理想 \(R_A=0\)；电压表要测两点电压，必须并联，理想 \(R_V\to\infty\)。真实仪表会改变电路：电流表增加串联电阻，电压表为被测支路增加并联通道。
图 8 中若把电流表直接跨在电源两端，低 \(R_A\) 可能造成近似短路；若把电压表串联，电流会被极大压低。
2. 电压表负载的定量模型
测分压器下电阻 \(R_2\) 时，实际等效为 \(R_2\parallel R_V\)：
\[V_{\mathrm{meas}} =V_s\frac{R_2\parallel R_V}{R_1+R_2\parallel R_V}.\]
一般要求是 \(R_V\gg R_{\mathrm{th}}\)。对这个分压器，\(R_V\gg R_2\) 是简单、保守的充分条件，但不是必要条件。最清晰的误差表达是把仪表接到待测端口的 Thevenin 等效上：
\[\frac{V_{\mathrm{meas}}}{V_{\mathrm{oc}}} =\frac{R_V}{R_{\mathrm{th}}+R_V}.\]
图 9 表明 \(R_V=R_{\mathrm{th}}\) 时读数仅为开路值一半；“高内阻”必须相对于被测端口而言。
K05 — Thevenin and Norton equivalents / 戴维南与诺顿等效
Knowledge ID: P04-U05-L03-K05
1. 端口等效而非内部复制
任意线性二端网络，从外部端口看都可写成：
- Thevenin：理想电压源 \(V_{\mathrm{th}}\) 串联 \(R_{\mathrm{th}}\)；
- Norton：理想电流源 \(I_N\) 并联 \(R_N\)。
\[V_{\mathrm{th}}=V_{\mathrm{oc}}, \qquad I_N=I_{\mathrm{sc}}, \qquad R_N=R_{\mathrm{th}}, \qquad V_{\mathrm{th}}=I_NR_{\mathrm{th}}.\]
图 10（Thevenin）与图 11（Norton）分别呈现两种端口模型。两者内部结构不同，但对同一外接负载给出完全相同的端口电压与电流。
2. 如何求 \(R_{\mathrm{th}}\)
对只含独立源和电阻的网络：关闭独立电压源（以短路替代）、关闭独立电流源（以开路替代），从端口看入求电阻。若网络含 dependent sources，不能关闭受控源；应保留受控源并在端口施加测试源，计算
\[R_{\mathrm{th}}=\frac{V_{\mathrm{test}}}{I_{\mathrm{test}}}.\]
当线性仿射端口的 \(I_{\mathrm{sc}}\) 有限且非零、商有定义时，也可用 \(R_{\mathrm{th}}=V_{\mathrm{oc}}/I_{\mathrm{sc}}\)。源自由电阻网络给出 \(V_{\mathrm{oc}}=I_{\mathrm{sc}}=0\)，退化理想源端口也可能使该商失效；这些情形应关闭独立源、保留受控源并施加测试源。实际短路还可能危险，因此这里的短路仅是安全的模型计算条件。
3. 端口负载
接负载 \(R_L\) 后，
\[I_L=\frac{V_{\mathrm{th}}}{R_{\mathrm{th}}+R_L}, \qquad V_L=I_LR_L.\]
Thevenin/Norton 等效只保证指定端口的外部 \(V\)–\(I\) 行为一致，不保证内部支路电流、内部功耗或故障状态相同。
Worked Examples
Worked Example 1 — 拓扑计数与独立方程
已知： 一个连通 lumped network 有 \(N=4\) 个节点、\(B=6\) 条支路。求独立 KCL 和独立回路方程数量。
模型： 每条支路连接两个节点，网络连通，无隐藏分布参数。
\[N_{\mathrm{KCL}}=N-1=3,\]
\[L=B-N+1=6-4+1=3.\]
所以可用 3 个独立 KCL 加 3 个独立 KVL，再配合 6 条支路元件关系闭合问题；或者选择节点法/网孔法降低未知量。
检查： 总计数与支路未知量数相容。若误写第 4 个 KCL，它必由前三个线性组合得到。
Worked Example 2 — 两网孔方程与功率检查
已知： 选顺时针网孔电流 \(I_1,I_2\)，方程为
\[5I_1-2I_2=10, \qquad -2I_1+8I_2=4,\]
其中电阻单位为 \(\Omega\)、电源单位为 \(\mathrm V\)。
矩阵行列式 \(5\times8-(-2)(-2)=36\,\Omega^2\)，所以
\[I_1=\frac{10\times8+2\times4}{36}=2.44\ \mathrm A,\]
\[I_2=\frac{5\times4+2\times10}{36}=1.11\ \mathrm A.\]
共享支路沿 \(I_1\) 方向的电流为
\[I_1-I_2=1.33\ \mathrm A.\]
回代检查： \(5(2.444)-2(1.111)=10.000\,\mathrm V\)，\(-2(2.444)+8(1.111)=4.000\,\mathrm V\)。正值说明假设方向成立；若得到负值也不是计算失败。
系数矩阵对应两个网孔各自的 \(3\,\Omega\)、\(6\,\Omega\) 电阻和共享的 \(2\,\Omega\) 电阻，因此耗散功率为
\[P_{\mathrm{diss}} =3I_1^2+6I_2^2+2(I_1-I_2)^2 =28.9\ \mathrm W.\]
按方程中电源与网孔方向的约定，电源提供的总功率为
\[P_{\mathrm{sources}}=10I_1+4I_2=28.9\ \mathrm W.\]
两者相等，完成独立于 KVL 回代的能量检查。
Worked Example 3 — 电压表负载误差
已知： \(V_s=12.0\,\mathrm V\)，分压器 \(R_1=R_2=100\,\mathrm{k\Omega}\)；用 \(R_V=1.00\,\mathrm{M\Omega}\) 电压表测 \(R_2\) 两端。
连接与模型： 电压表并联在 \(R_2\)；电源理想。
\[R_2\parallel R_V =\frac{(100\,\mathrm{k\Omega})(1.00\,\mathrm{M\Omega})}{1.10\,\mathrm{M\Omega}} =90.9\ \mathrm{k\Omega}.\]
\[V_{\mathrm{meas}} =12.0\frac{90.9}{100+90.9} =5.71\ \mathrm V.\]
理想开路读数为 \(6.00\,\mathrm V\)，相对误差
\[\frac{5.714-6.000}{6.000}\times100\%=-4.76\%.\]
检查： 读数降低，因为电压表旁路了 \(R_2\)；\(R_V\to\infty\) 时并联值趋于 \(R_2\)，读数回到 \(6.00\,\mathrm V\)。
Worked Example 4 — Thevenin/Norton 与负载
已知： \(12.0\,\mathrm V\) 理想源驱动串联分压器 \(R_1=3.00\,\mathrm{k\Omega}\)、\(R_2=6.00\,\mathrm{k\Omega}\)；输出端口为 \(R_2\) 两端。求端口等效，并接 \(R_L=4.00\,\mathrm{k\Omega}\)。
开路电压
\[V_{\mathrm{th}}=12.0\frac{6.00}{3.00+6.00}=8.00\ \mathrm V.\]
关闭独立电压源后，端口看到
\[R_{\mathrm{th}}=R_1\parallel R_2 =2.00\ \mathrm{k\Omega}.\]
Norton 参数为
\[I_N=\frac{V_{\mathrm{th}}}{R_{\mathrm{th}}}=4.00\ \mathrm{mA}, \qquad R_N=2.00\ \mathrm{k\Omega}.\]
接负载后
\[I_L=\frac{8.00}{(2.00+4.00)\,\mathrm{k\Omega}} =1.33\ \mathrm{mA},\]
\[V_L=I_LR_L=5.33\ \mathrm V.\]
检查： \(R_L\to\infty\) 时 \(V_L\to8.00\,\mathrm V\)；\(R_L\to0\) 时 \(I_L\to4.00\,\mathrm{mA}\)。端口极限同时验证 Thevenin 与 Norton 参数。
Lesson synthesis — 从图到可信答案
- 把连续理想导线压缩为节点，标出支路和端口；
- 任意假设电流方向并固定电压极性；
- 选择节点法、网孔法或支路法，使未知量最少；
- 以 KCL、KVL 和元件关系建立独立方程；
- 求解后解释负号，并做节点、回路和功率三重检查；
- 若只关心某一负载，把其余线性网络化为 Thevenin/Norton；
- 把仪表当成真实负载接入等效端口，而不是事后“读取”原电路。
Formula-and-decision table
| Task | Relation | Conditions / caution |
|---|---|---|
| 节点电荷守恒 | \(\sum I_{\mathrm{in}}=\sum I_{\mathrm{out}}\) | lumped DC；节点不持续积累电荷 |
| 回路电势关系 | \(\sum\Delta V=0\) | 准静态；感应 emf 必须显式纳入 |
| 独立计数 | KCL: \(N-1\)；loops: \(B-N+1\) | 连通网络 |
| 电阻支路 | \(I_{ij}=(V_i-V_j)/R\) | 被动符号约定 |
| 电压表读数 | \(V_{\mathrm{meas}}=V_{\mathrm{oc}}R_V/(R_{\mathrm{th}}+R_V)\) | 仪表并联于端口 |
| 电流表 | 串联 \(R_A\) | 理想 \(R_A\to0\)，真实会减小支路电流 |
| Thevenin | \(V_{\mathrm{th}}=V_{\mathrm{oc}}\) | 线性二端网络 |
| Norton | \(I_N=I_{\mathrm{sc}}\) | 短路只作安全的模型/测试条件 |
| 等效电阻 | \(R_N=R_{\mathrm{th}}\)；非退化时 \(R_{\mathrm{th}}=V_{\mathrm{oc}}/I_{\mathrm{sc}}\) | 商要求 \(I_{\mathrm{sc}}\) 有限非零；否则用测试源；受控源必须保留 |
| 负载电流 | \(I_L=V_{\mathrm{th}}/(R_{\mathrm{th}}+R_L)\) | 负载为电阻 |
Model boundaries
- Lumped approximation： 高频、长导线或快速边沿下，传播延迟和传输线效应使单一节点不再严格等势。
- KVL： 穿链显著时变磁通时，必须使用 Faraday 感应 emf；不能把非保守场忽略后继续声称静电势和为零。
- 源模型： 真实电源有内阻、电流限制与功率限制；理想源可导致不物理的无限短路电流。
- 仪表： \(R_V\)、\(R_A\) 可随量程、频率和温度变化；数字表还可能有输入电容。
- 端口等效： Thevenin/Norton 要求线性端口关系；非线性元件只可在工作点附近小信号线性化。
- 内部信息： 端口等效不保留网络内部支路电流与局部功耗。
Misconception clinic
| Misconception | Why it fails | Correct replacement |
|---|---|---|
| “电流在节点被用掉。” | 稳态节点不积累电荷，电荷流率守恒。 | 元件转移能量，电流按 KCL 分配。 |
| “KVL 说电荷没有能量损失。” | 回路净变化为零，但电阻把电能转为热，电源补回。 | 分别追踪每个元件的电势升降与功率。 |
| “求得负电流说明方程错。” | 方向是人为假设。 | 负号表示真实方向与箭头相反。 |
| “电压表只是观察，不影响电路。” | 有限 \(R_V\) 与被测元件并联。 | 把仪表内阻纳入网络并估算负载误差。 |
| “关闭电压源就是删除支路。” | 理想电压源置零意味着 \(0\,\mathrm V\)，即短路。 | 电压源短路，电流源开路；受控源保留。 |
| “Thevenin 等效复制了整个网络。” | 它只匹配指定端口的 \(V\)–\(I\) 关系。 | 端口外部负载响应相同，内部状态不必相同。 |
Practice and retrieval
- K01： 连通网络有 \(N=5\) 个节点、\(B=8\) 条支路，独立 KCL 与回路数各多少？
- K01： 电路图中两条导线交叉但没有连接点，它们是否为同一节点？
- K02： 节点有 \(2.0\,\mathrm A\)、\(1.5\,\mathrm A\) 流入，\(0.8\,\mathrm A\) 流出，第四支路电流是多少及方向？
- K02： 顺电流穿过 \(4.0\,\Omega\) 电阻且 \(I=2.0\,\mathrm A\)，电势变化是多少？
- K03： 解 \(3I_1-I_2=5\)、\(-I_1+4I_2=2\)（SI）。
- K03： 为什么功率平衡是比只回代一个方程更强的检查？
- K04： \(V_{\mathrm{oc}}=10.0\,\mathrm V\)、\(R_{\mathrm{th}}=20.0\,\mathrm{k\Omega}\)，接 \(R_V=180\,\mathrm{k\Omega}\)，求读数与相对误差。
- K04： 一个 \(100\,\Omega\) 支路串入 \(R_A=1.00\,\Omega\) 电流表，在固定端电压下读数相对理想值变化多少？
- K05： \(V_{\mathrm{th}}=6.00\,\mathrm V\)、\(R_{\mathrm{th}}=3.00\,\mathrm{k\Omega}\)，求 Norton 参数。
- K05： 含受控源网络为何不能把受控源“关闭”后直接串并联求 \(R_{\mathrm{th}}\)？
Answer 1
独立 KCL 为 \(N-1=4\)；独立回路为 \(B-N+1=8-5+1=4\)。
Answer 2
不是。只有明确的连接点或连续导线才构成同一节点；无连接点的交叉线电气隔离。
Answer 3
流入总计 \(3.5\,\mathrm A\)，已有流出 \(0.8\,\mathrm A\)，故第四支路应有 \(2.7\,\mathrm A\) 流出。
Answer 4
沿电流穿越电阻是电势降： \[\Delta V=-IR=-(2.0)(4.0)=-8.0\ \mathrm V.\]
Answer 5
第一式给 \(I_2=3I_1-5\)，代入第二式得 \(11I_1=22\)，所以 \(I_1=2.00\,\mathrm A\)、\(I_2=1.00\,\mathrm A\)。
Answer 6
单个方程回代只能发现局部代数错误；全网功率平衡同时检验各支路电流、源极性与电阻耗散，能暴露更广泛的符号或拓扑错误。
Answer 7
\[V_{\mathrm{meas}}=10.0\frac{180}{20+180}=9.00\ \mathrm V.\] 相对开路值误差为 \(-10.0\%\)。
Answer 8
理想电流为 \(V/100\)，实际为 \(V/101\)；比值 \(100/101=0.9901\)，读数低约 \(0.990\%\)。
Answer 9
\[I_N=\frac{V_{\mathrm{th}}}{R_{\mathrm{th}}} =2.00\ \mathrm{mA}, \qquad R_N=3.00\ \mathrm{k\Omega}.\]
Answer 10
受控源由网络内部变量决定，是线性端口关系的一部分；关闭它会改变网络。应保留受控源，在端口施加测试电压或电流并取 \(R_{\mathrm{th}}=V_{\mathrm{test}}/I_{\mathrm{test}}\)。
Exit ticket
- 给定任意两回路电阻网络，写出一个“先定方向—列方程—求解—KCL/KVL/功率复核”的五步模板，并说明负电流怎样解释。
- 某传感器端口开路输出 \(2.00\,\mathrm V\)、Thevenin resistance 为 \(50.0\,\mathrm{k\Omega}\)。你要把加载误差控制在 \(1\%\) 以内，电压表输入电阻至少应满足什么量级？
References and source notes
以下直接来源均于 2026-08-26 实际核验；本课统一采用被动符号约定并重新绘制全部电路图。
- OpenStax, University Physics Volume 2, 10.3 Kirchhoff's Rules — junction/loop rules、多回路求解与符号流程。
- OpenStax, University Physics Volume 2, 10.4 Electrical Measuring Instruments — 电流表、电压表、内阻与连接方式。
- MIT OpenCourseWare 6.01SC, Circuit Abstractions — 节点/端口抽象以及 Thevenin/Norton 线性网络模型。
- MIT OpenCourseWare 6.071J, Linear Circuits Analysis — \(V_{\mathrm{oc}}\)、\(I_{\mathrm{sc}}\)、\(R_{\mathrm{th}}\) 与源转换。
- MIT OpenCourseWare 6.002, Lecture 6 transcript: Thevenin and Norton — 节点法与端口等效的本科推导。
Source-to-content map
| Source | Used for | Knowledge ID / Section | Model boundary or convention |
|---|---|---|---|
| OpenStax 10.3 | KCL、KVL、多回路流程 | K01–K03 | lumped DC、符号需全程一致 |
| OpenStax 10.4 | 仪表连接与内阻 | K04 | 真实仪表加载；理想极限另行说明 |
| MIT 6.01SC | 节点、支路、端口抽象 | K01, K05 | 线性网络、指定二端口 |
| MIT 6.071J | Thevenin/Norton 参数与转换 | K05 | \(V_{\mathrm{oc}}\) 和 \(I_{\mathrm{sc}}\) 端口条件 |
| MIT 6.002 Lecture 6 | 节点分析与等效交叉核验 | K03, K05 | 受控源需保留并用测试源 |
复习与拓展
- 下一课把电容的状态变量加入 KCL/KVL，得到一阶暂态：RC Circuits and Transients。
- AC circuits 将把 \(R\) 推广为复阻抗，并使电压表输入电容成为频率相关负载。
- 更高阶网络理论会用线性代数、图论与二端口参数系统化本课方法。