RC 电路与暂态

Learning objectives / 学习目标

完成本课后，你应当能够：

1. 从 Kirchhoff 回路方程推导串联 RC 的充电、放电电压、电荷和电流。
2. 解释时间常数的单位与物理意义，并用 \(1-e^{-1}\)、\(e^{-1}\) 和 \(5\tau\) 作快速估计。
3. 用电容电压连续性、直流终态开路和 Thevenin 等效求任意单电容网络的 \(v_C(0^+)\)、\(v_C(\infty)\) 与 \(\tau\)。
4. 写出一阶完整响应，检验符号、初值、终值、斜率和能量守恒。
5. 推导无源 RC 低通与高通滤波器的传递函数、截止频率、幅频极限和相位。
6. 建模阈值定时器，判断何时必须考虑源内阻、负载、电容漏电与非理想开关。

Prerequisites / 先修知识

• Capacitance and Stored Energy：\(q=Cv_C\)、\(U_C=Cv_C^2/2\)。
• Circuit Analysis：KCL、KVL 与 Thevenin equivalent。
• 数学：\(dy/dt+ay=b\) 的分离变量或积分因子解；指数函数和复数相量的基础。

Scope and conventions / 范围与约定

• 采用 lumped-element（集总元件）模型；导线传播延迟相对 \(RC\) 可忽略。
• 电容 \(C\) 与电阻 \(R\) 取常数，除非明确说明非理想性。
• \(v_C\) 定义为电容上端对下端电势；电流 \(i_C\) 流入标有正电压的端子时，使用 passive sign convention：\(i_C=C\,dv_C/dt\)。
• 开关动作定义为 \(t=0\)；\(0^-\) 与 \(0^+\) 分别代表开关前后无限接近的时刻。
• 直流终态指独立源恒定且经过足够长时间；不是所有随时间变化的电路都可把电容视为开路。
• 滤波器部分使用正弦稳态与理想零输出阻抗源；负载效应单独讨论。

Notation and modeling contract / 符号与建模契约

Knowledge 1 — Capacitor charging and discharging / 电容器充放电

Knowledge ID: P04-U05-L04-K01

1.1 The state variable and its continuity

理想电容的 constitutive relation 是

\[q=Cv_C, \qquad i_C=\frac{dq}{dt}=C\frac{dv_C}{dt}.\]

若有限电流在零时间内把 \(v_C\) 改变有限量，则积分给出

\[\Delta v_C=\frac{1}{C}\int_{0^-}^{0^+}i_C(t)\,dt=0.\]

因此在没有理想冲激电流时，

\[\boxed{v_C(0^+)=v_C(0^-)}.\]

这不是“电容电压永远不变”，而是“不能跳变”；其后可以连续变化。

1.2 Charging from an ideal DC source

对未充电电容、理想电压源 \(\mathcal E\) 和电阻 \(R\) 的串联回路，令充电电流为正。KVL 给出

\[\mathcal E-iR-v_C=0, \qquad i=C\frac{dv_C}{dt}.\]

于是

\[RC\frac{dv_C}{dt}+v_C=\mathcal E.\]

由 \(v_C(0)=0\) 得

\[\boxed{v_C(t)=\mathcal E\left(1-e^{-t/(RC)}\right)},\]

\[\boxed{q(t)=C\mathcal E\left(1-e^{-t/(RC)}\right)}, \qquad \boxed{i(t)=\frac{\mathcal E}{R}e^{-t/(RC)}}.\]

1.3 Discharging through a resistor

若初值 \(v_C(0)=V_0\)，移除电源后电容经 \(R\) 放电。仍定义 \(i_C\) 流入正端，则

\[Ri_C+v_C=0, \qquad RC\frac{dv_C}{dt}+v_C=0.\]

因此

\[\boxed{v_C(t)=V_0e^{-t/(RC)}}, \qquad \boxed{i_C(t)=-\frac{V_0}{R}e^{-t/(RC)}}.\]

负号表示实际放电电流流出电容正端。电容初始能量

\[U_0=\frac12CV_0^2\]

最终全部转化为电阻内能：

\[\int_0^\infty i^2R\,dt =\frac{V_0^2}{R}\int_0^\infty e^{-2t/(RC)}dt =\frac12CV_0^2.\]

Knowledge 2 — Time constant and exponential response / 时间常数与指数响应

Knowledge ID: P04-U05-L04-K02

2.1 General first-order response

从电容端口向外看，任意线性电阻网络可化为 Thevenin voltage \(V_{\mathrm{th}}\) 与 \(R_{\mathrm{th}}\)。于是

\[R_{\mathrm{th}}C\frac{dv_C}{dt}+v_C=V_{\mathrm{th}}.\]

若源在 \(t>0\) 恒定，完整解为

\[\boxed{v_C(t)=V_f+(V_0-V_f)e^{-t/\tau}}, \qquad \boxed{\tau=R_{\mathrm{th}}C},\]

其中 \(V_0=v_C(0^+)\)，\(V_f=v_C(\infty)=V_{\mathrm{th}}\)。偏离终值的量满足

\[\frac{v_C(t)-V_f}{V_0-V_f}=e^{-t/\tau}.\]

因此每经过一个 \(\tau\)，剩余偏差乘以 \(e^{-1}\approx0.368\)。

2.2 Units, tangent interpretation, and five-time-constant rule

量纲检验：

\[[RC]=\frac{\mathrm V}{\mathrm A}\frac{\mathrm C}{\mathrm V} =\frac{\mathrm C}{\mathrm A}=\mathrm s.\]

初始斜率由微分方程直接给出：

\[\left.\frac{dv_C}{dt}\right|_{0^+}=\frac{V_f-V_0}{\tau}.\]

在 \(t=0\) 作切线，它与终值线相交于 \(t=\tau\)。在 \(5\tau\) 后，偏差为 \(e^{-5}=0.00674\)，即完成 99.33%；“完全充满”只是工程近似，数学上只渐近达到。

2.3 Finding \(R_{\mathrm{th}}\)

断开电容，把独立电压源替换为短路、独立电流源替换为开路，然后从电容两端看进去求等效电阻。若含受控源，不能关闭受控源；应在端口加测试源，用 \(R_{\mathrm{th}}=V_{\mathrm{test}}/I_{\mathrm{test}}\)。

Knowledge 3 — Initial and final conditions / 初始与终态条件

Knowledge ID: P04-U05-L04-K03

3.1 The three-number method

对只有一个独立储能元件的一阶 RC 网络，最可靠流程是：

1. Before： 用 \(t<0\) 电路求 \(v_C(0^-)\)；若已长期直流稳态，电容视为开路。
2. Continuity： 若无冲激电流，\(v_C(0^+)=v_C(0^-)=V_0\)。
3. After-final： 用 \(t>0\) 电路求 \(v_C(\infty)=V_f\)；长期直流时电容开路。
4. Resistance： 从电容端口求 \(R_{\mathrm{th}}\)，进而 \(\tau=R_{\mathrm{th}}C\)。
5. Assemble： \(v_C=V_f+(V_0-V_f)e^{-t/\tau}\)。

3.2 Immediate post-switch circuit is not a DC steady state

在 \(0^+\)，可以把电容暂时等效为一个电压为 \(V_0\) 的理想电压源来求瞬时电流；只有当 \(V_0=0\) 时，这个瞬时等效才像短路。在 \(t\to\infty\) 的恒定源电路中，\(i_C\to0\)，电容才像开路。

3.3 A built-in diagnostic: initial slope

得到候选解后，不仅检查两端点，还应检查

\[i_C(0^+)=C\left.\frac{dv_C}{dt}\right|_{0^+}=\frac{V_f-V_0}{R_{\mathrm{th}}}.\]

右式正负必须与 \(0^+\) 电路中实际电流方向一致。若 \(V_f>V_0\)，电容电压上升；若 \(V_f<V_0\)，下降；不存在无缘无故的过冲，因为单个无源 RC 一阶网络的响应单调。

Knowledge 4 — RC filters and timing applications / RC 滤波与定时应用

Knowledge ID: P04-U05-L04-K04

4.1 Low-pass: output across the capacitor

正弦稳态下，电容阻抗 \(Z_C=1/(\mathrm i\omega C)\)。串联 \(R\)、\(C\) 且输出取在 \(C\) 上：

\[\boxed{H_{\mathrm{LP}}(\mathrm i\omega) =\frac{V_{\mathrm{out}}}{V_{\mathrm{in}}} =\frac{1}{1+\mathrm i\omega RC}}.\]

\[\lvert H_{\mathrm{LP}}\rvert =\frac{1}{\sqrt{1+(\omega RC)^2}}, \qquad \phi_{\mathrm{LP}}=-\tan^{-1}(\omega RC).\]

在 \(\omega_c=1/(RC)\)，幅度为 \(1/\sqrt2\)，功率比为 \(1/2\)，即 \(-3.01\ \mathrm{dB}\)。

4.2 High-pass: output across the resistor

输出改取在 \(R\) 上：

\[\boxed{H_{\mathrm{HP}}(\mathrm i\omega) =\frac{\mathrm i\omega RC}{1+\mathrm i\omega RC}},\]

\[\lvert H_{\mathrm{HP}}\rvert =\frac{\omega RC}{\sqrt{1+(\omega RC)^2}}, \qquad \phi_{\mathrm{HP}}=\tan^{-1}\!\left(\frac{1}{\omega RC}\right).\]

低频时电容阻抗大，输出趋近零；高频时电容阻抗小，输出趋近输入。两者截止角频率相同。

4.3 Step response and timing threshold

低通 RC 同时是 step-response circuit。对 \(0\to V_s\) 的阶跃，\(v_C=V_s(1-e^{-t/RC})\)。若比较器在 \(V_T\) 触发，且 \(0<V_T<V_s\)，则

\[\boxed{t_T=-RC\ln\!\left(1-\frac{V_T}{V_s}\right)}.\]

4.4 Loading and nonideal boundaries

若输出端接有限负载 \(R_L\)，低通网络的直流增益与时间常数都会改变；必须把 \(R_L\) 包含在电容所见网络中。实际电容还可能有 equivalent series resistance、漏电阻、容差和电压依赖。理想传递函数只在元件线性、频率低于寄生电感显著区且测量仪器负载可忽略时可靠。

Worked Examples / 完整例题

Worked Example 1 — A charging capacitor with sign and energy checks

Known. \(\mathcal E=12.0\ \mathrm V\)，\(R=2.00\ \mathrm{k\Omega}\)，\(C=150\ \mathrm{\mu F}\)，初始未充电。求 \(t=0.450\ \mathrm s\) 的 \(v_C\)、\(i\)、\(q\) 与电阻瞬时功率。

Object, boundary, reference, direction. 研究对象是串联 \(R\)–\(C\) 回路；源、\(R\)、\(C\) 均在系统内。令充电电流从源正端经 \(R\) 流向电容正端为正，\(t=0\) 合闸。

Model and reason. 理想恒压源、线性 \(R,C\)，单一储能元件，故用一阶充电模型。

Equations and calculation.

\[\tau=RC=(2.00\times10^3)(150\times10^{-6})=0.300\ \mathrm s,\]

\[e^{-t/\tau}=e^{-1.50}=0.22313.\]

\[v_C=12.0(1-0.22313)=9.32\ \mathrm V,\]

\[i=\frac{12.0}{2000}(0.22313)=1.34\times10^{-3}\ \mathrm A,\]

\[q=Cv_C=(150\times10^{-6})(9.32)=1.40\times10^{-3}\ \mathrm C,\]

\[P_R=i^2R=(1.34\times10^{-3})^2(2000)=3.58\times10^{-3}\ \mathrm W.\]

Checks and interpretation. \(v_C<12.0\ \mathrm V\)、\(i>0\) 且随时间下降；KVL 检查 \(iR+v_C=2.68+9.32=12.00\ \mathrm V\)。三位有效数字合理；\(RC\) 的单位为秒。

Worked Example 2 — Discharge time and recovered energy

Known. \(C=47.0\ \mathrm{\mu F}\) 先充到 \(V_0=30.0\ \mathrm V\)，后经 \(R=330\ \mathrm{k\Omega}\) 放电。求降至 \(5.00\ \mathrm V\) 的时间以及这段期间电阻吸收的能量。

Object and convention. 电容和电阻组成孤立系统；\(v_C\) 初始正端不变，实际放电电流流出正端。参考时刻为接通电阻瞬间。

Model. 漏电和 ESR 忽略，\(R,C\) 线性。

\[\tau=RC=(330\times10^3)(47.0\times10^{-6})=15.51\ \mathrm s.\]

由 \(5.00=30.0e^{-t/\tau}\)：

\[t=\tau\ln\frac{30.0}{5.00}=15.51\ln 6=27.8\ \mathrm s.\]

能量账本给出

\[\Delta E_R=\frac12C(V_0^2-V^2) =\frac12(47.0\times10^{-6})(30.0^2-5.00^2) =2.06\times10^{-2}\ \mathrm J.\]

Checks. 电压比无量纲；\(t=1.79\tau\) 对应 \(e^{-1.79}\approx1/6\)。能量为正且小于初始 \(0.0212\ \mathrm J\)，符合守恒。

Worked Example 3 — Switched network via Thevenin reduction

Known. 开关前电容已长期接在 \(9.00\ \mathrm V\) 理想源上。\(t=0\) 后，\(C=20.0\ \mathrm{\mu F}\) 接到由 \(12.0\ \mathrm V\) 源、\(R_1=4.00\ \mathrm{k\Omega}\) 上臂、\(R_2=6.00\ \mathrm{k\Omega}\) 下臂构成的分压节点与地之间。求 \(v_C(t)\) 及 \(i_C(0^+)\)。

Boundary and coordinates. 电容端口上端为正；\(i_C\) 流入上端为正。\(t<0\) 与 \(t>0\) 拓扑分别处理。

Initial/final/model.

\[V_0=v_C(0^-)=9.00\ \mathrm V, \qquad V_f=12.0\frac{R_2}{R_1+R_2}=7.20\ \mathrm V.\]

关闭 \(12.0\ \mathrm V\) 源后：

\[R_{\mathrm{th}}=R_1\parallel R_2 =\frac{(4.00)(6.00)}{4.00+6.00}\ \mathrm{k\Omega} =2.40\ \mathrm{k\Omega},\]

\[\tau=R_{\mathrm{th}}C=(2.40\times10^3)(20.0\times10^{-6})=0.0480\ \mathrm s.\]

故

\[\boxed{v_C(t)=7.20+1.80e^{-t/(0.0480\ \mathrm s)}\ \mathrm V}.\]

\[i_C(0^+)=\frac{V_f-V_0}{R_{\mathrm{th}}} =\frac{-1.80}{2400}=-0.750\ \mathrm{mA}.\]

Checks and meaning. 负号说明电容从 \(9.00\ \mathrm V\) 向 \(7.20\ \mathrm V\) 放电；初、终值代入完全正确。电压单调下降，无过冲。

Worked Example 4 — Designing an unloaded low-pass filter

Known. 设计一阶 RC 低通，使截止频率 \(f_c=1.00\ \mathrm{kHz}\)。选 \(C=100\ \mathrm{nF}\)，求 \(R\)；再求 \(100\ \mathrm{Hz}\) 与 \(10.0\ \mathrm{kHz}\) 的幅度比和相位。

System and convention. 理想源驱动串联 RC，输出跨电容，测量负载近似无穷大；相位是 \(V_{out}\) 相对 \(V_{in}\)。

\[R=\frac{1}{2\pi f_c C} =\frac{1}{2\pi(1.00\times10^3)(100\times10^{-9})} =1.59\ \mathrm{k\Omega}.\]

令 \(x=f/f_c\)：

\[\lvert H\rvert=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}, \qquad \phi=-\tan^{-1}x.\]

在 \(100\ \mathrm{Hz}\)，\(x=0.100\)：

\[\lvert H\rvert=0.995, \qquad \phi=-5.71^\circ.\]

在 \(10.0\ \mathrm{kHz}\)，\(x=10.0\)：

\[\lvert H\rvert=0.0995, \qquad \phi=-84.3^\circ.\]

Checks and interpretation. 两频率分别在截止频率低一 decade 和高一 decade，幅度符合低通极限；\(RC=1.00/(2\pi f_c)=159\ \mathrm{\mu s}\)。真实设计应把源电阻和负载并入网络。

Lesson synthesis / 全课综合

一阶 RC 的核心不是背诵两条特例，而是识别唯一状态变量 \(v_C\)。从拓扑分别得到 \(V_0\)、\(V_f\)、\(R_{\mathrm{th}}\)，即可同时得到电压、电流、能量和时间尺度。滤波器则是同一动态方程在正弦稳态下的频域表现。

Formula-and-decision table / 公式与决策表

Model boundaries / 模型边界

1. Lumped limit: circuit dimensions and propagation time must be small relative to signal wavelength and \(RC\).
2. One-state limit: two independent capacitors generally produce two modes, not one \(\tau\).
3. Linear components: dielectric absorption, voltage-dependent capacitance, temperature-dependent \(R\) and leakage can spoil a single exponential.
4. Switch idealization: ideal switching can create discontinuous resistor current, but not finite capacitor-voltage jumps without an impulse.
5. DC-final rule: capacitor-as-open applies only to constant-source steady state, not to AC or continuing transients.
6. Filter loading: source resistance and load impedance alter gain and poles; the simple formulas assume ideal source and negligible loading.
7. Frequency ceiling: parasitic inductance and ESR matter at sufficiently high frequency.

Misconception clinic / 误区诊所

• “电容在 \(t=0\) 一定是短路。” 只有初始电压为零时，\(0^+\) 的端口电压恰为零；一般应以保持 \(V_0\) 的电压源等效。
• “电容最终总是开路，所以一开始也能删掉。” 开路是直流终态结论，删除会丢失初始状态与暂态电流。
• “\(\tau\) 是充满所需时间。” 在一倍 \(\tau\) 时只完成 63.2%；严格达到终值需要无限时间。
• “时间常数就是图中任意一个 \(R\) 乘 \(C\)。” 应用的是电容端口所见 \(R_{\mathrm{th}}\)。
• “电流和电容电压同时上升。” 简单充电时 \(v_C\) 上升，而电流从最大值指数下降。
• “截止频率处输出为零。” 一阶滤波器在截止处幅度是通带值的 \(1/\sqrt2\)，不是零。
• “磁场课程与本课无关。” 本课建立的 first-order state thinking 会在后续 RL、RLC 与场响应中继续出现，但元件的连续变量不同。

Practice and retrieval / 练习与提取

1. [K01, 概念] 为什么有限电流不能使理想电容电压瞬间跳变？电流本身能否跳变？
2. [K01, 定量] \(R=5.00\ \mathrm{k\Omega}\)、\(C=40.0\ \mathrm{\mu F}\)、\(\mathcal E=10.0\ \mathrm V\)，初始未充电。求 \(t=0.200\ \mathrm s\) 的 \(v_C\) 和 \(i\)。
3. [K01, 能量] \(100\ \mathrm{\mu F}\) 电容从 \(20.0\ \mathrm V\) 经电阻完全放电。电阻吸收多少能量？结果为何与 \(R\) 无关？
4. [K02, 图像] 一条上升指数曲线的初始值 \(2.0\ \mathrm V\)、终值 \(8.0\ \mathrm V\)，在 \(t=0\) 的切线于 \(0.50\ \mathrm s\) 处穿过终值线。写出函数。
5. [K02, 估计] 响应进入终值的 \(\pm1.0\%\) 需要至少多少个时间常数？
6. [K03, 网络] 电容从一个 \(15.0\ \mathrm V\) 初态接到 \(6.0\ \mathrm V\)、\(R_{\mathrm{th}}=3.00\ \mathrm{k\Omega}\) 的网络，\(C=10.0\ \mathrm{\mu F}\)。写出 \(v_C(t)\) 和 \(i_C(0^+)\)。
7. [K03, 判断] 有受控源的网络求 \(R_{\mathrm{th}}\) 时，为什么不能把受控源关闭？应如何做？
8. [K04, 滤波] \(R=10.0\ \mathrm{k\Omega}\)、\(C=15.9\ \mathrm{nF}\) 的低通截止频率是多少？在截止频率处幅度比和相位是多少？
9. [K04, 高通] 对同一串联 RC，输出取在 \(R\) 上。说明 \(\omega\to0\) 与 \(\omega\to\infty\) 的极限，并给出物理解释。
10. [综合, 定时] \(V_s=9.00\ \mathrm V\)，\(C=22.0\ \mathrm{\mu F}\)，希望从零充电到阈值 \(V_T=6.00\ \mathrm V\) 用 \(0.500\ \mathrm s\)。求所需 \(R\)。

Exit ticket

1. 不写“充电公式”，只用 \(V_0\)、\(V_f\)、\(R_{\mathrm{th}}\) 与 \(C\) 给出一阶 RC 的通用解和初始斜率。
2. 说明同一个串联 RC 为什么既可做低通也可做高通，以及输出端选择如何改变物理意义。

References and source notes / 参考资料与来源说明

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资料和链接实际核对日期：2026-08-26。正文依据这些来源重新组织；全部图由本课方程原创绘制，未复制教材插图。

复习与拓展

• 在 AC circuits 中把 \(\mathrm i\omega\) 推广为 \(s\)，区分 natural、forced 与 complete response。
• 在 RLC circuits 中比较电容电压连续性与电感电流连续性，并观察二阶过冲。
• 实验扩展：用示波器拟合 \(\ln\lvert v_C-V_f\rvert\) 对 \(t\) 的直线斜率。
• 工程扩展：加入 source resistance、load、ESR 与 leakage 后重新求 pole。