电阻与电能

Essential question / 核心问题

怎样把材料层级的 \(\mathbf J=\sigma\mathbf E\)、器件层级的 \(V=IR\) 与网络层级的能量守恒连接起来，并清楚标出每个公式失效的条件？

Learning objectives / 学习目标

完成本课后，你应能：

1. 通过 \(V\)–\(I\) 图像识别 ohmic / 欧姆器件，区分静态电阻 \(V/I\) 与 differential resistance / 微分电阻 \(dV/dI\)。
2. 从局域关系 \(\mathbf J=\sigma\mathbf E\) 推导均匀导线 \(R=\rho L/A\)，并推广到变截面串联微元。
3. 在说明几何和温区的前提下使用 \(R=R_0[1+\alpha(T-T_0)]\)。
4. 由“串联同电流、并联同电压”推导等效电阻并作上下界检查。
5. 使用 passive sign convention / 被动符号约定写 \(P=VI\)，在欧姆电阻中正确选择 \(I^2R\) 或 \(V^2/R\)。
6. 分析含内阻电源的电流、端电压、外部/内部功率与效率，并区分放电和充电。

Prerequisites / 先修知识

• Electric Current and Conduction：\(I=dQ/dt\)、\(\mathbf J\)、drift / 漂移与 emf / 电动势。
• Electric Potential：\(\Delta U=q\Delta V\)。
• 节点与支路的直观认识；完整 Kirchhoff rules 在下一课系统展开。

Scope, conventions, and notation contract / 范围、约定与记号合同

本课使用 SI 和 lumped-element / 集总参数的稳恒直流近似。器件两端定义 \(V=V_a-V_b\)；若约定电流 \(I\) 从高势端 \(a\) 流入被动器件，则 absorbed power / 吸收功率 \(P=VI>0\)。

Knowledge 1 — Ohm's law and its domain of validity / 欧姆定律及适用范围

Knowledge ID: P04-U05-L02-K01

1.1 器件级欧姆模型

若某二端器件在固定温度、材料状态和几何下满足 \(V\propto I\)，其 \(V\)–\(I\) 图像是过原点直线：

\[\boxed{V=IR},\]

其中斜率 \(R\) 为常数。OpenStax §9.4 明确指出这是经验关系，并非像电荷守恒那样的普适自然定律；非欧姆器件仍可在某工作点定义 \(V/I\)。¹

Figure 1. 欧姆器件的 \(V\)–\(I\) 图为过原点直线；非欧姆曲线的斜率随工作点变化。

1.2 Static and differential resistance / 静态与微分电阻

对一般非线性器件，在 \(I\ne0\) 处可定义

\[R_{\rm stat}=\frac{V}{I}, \qquad r_d=\frac{dV}{dI}.\]

\(R_{\rm stat}\) 是从原点到工作点割线斜率，\(r_d\) 是切线斜率。只有严格线性、过原点时两者相等且为常数。

Figure 2. 非线性器件在同一工作点的静态电阻与微分电阻一般不同；图为概念曲线。

1.3 局域欧姆定律及边界

各向同性均匀材料在一定场强与温度范围内可满足

\[\boxed{\mathbf J=\sigma\mathbf E} \qquad\text{或}\qquad \boxed{\mathbf E=\rho\mathbf J}.\]

在 anisotropic material / 各向异性材料中 \(\sigma\) 是张量；温升、强场、接触势垒、半导体结、电解过程与超导转变都会破坏常数 \(R\) 模型。

Worked example 1 — Static versus differential resistance / 静态与微分电阻

某非线性二端器件在规定温度下满足

\[V(I)=(2.00\ \Omega)I+(0.500\ \mathrm{V/A^3})I^3.\]

求 \(I=2.00\ \mathrm A\) 时的端电压、静态电阻和微分电阻。

对象与符号： 电流流入标记正端，\(V\) 为该端到另一端的电势降；温度固定。

\[V=2.00(2.00)+0.500(2.00)^3=8.00\ \mathrm V,\]

\[R_{\rm stat}=\frac{8.00}{2.00}=4.00\ \Omega,\]

\[r_d=\frac{dV}{dI}=2.00+1.50I^2 =8.00\ \Omega.\]

\[\boxed{V=8.00\ \mathrm V,\quad R_{\rm stat}=4.00\ \Omega,\quad r_d=8.00\ \Omega}.\]

检查： 两种电阻单位均为 \(\Omega\)；立方项使曲线向上弯，故切线斜率大于割线斜率，符合图像。三位有效数字。

Knowledge 2 — Resistivity, geometry, and temperature dependence / 电阻率、几何与温度依赖

Knowledge ID: P04-U05-L02-K02

2.1 从 \(\mathbf E=\rho\mathbf J\) 推导 \(R=\rho L/A\)

均匀直导线内假设 \(E\) 与 \(J\) 近似均匀且同向：

\[V=EL, \qquad I=JA.\]

因此

\[\frac VI=\frac{EL}{JA}=\rho\frac LA,\]

\[\boxed{R=\rho\frac LA}.\]

OpenStax §9.3 区分 intrinsic resistivity / 本征材料电阻率与 geometry-dependent resistance / 几何相关电阻。²

Figure 3. 均匀圆柱导线模型；长度增加使串联微元增多，截面增大使并行电流通道增多。

2.2 变截面与非均匀材料

若截面和电阻率沿 \(x\) 缓慢变化，且横截面内电流近似均匀，微元电阻串联：

\[dR=\frac{\rho(x)}{A(x)}dx,\]

\[\boxed{R=\int_0^L\frac{\rho(x)}{A(x)}dx}.\]

MIT 8.02T Chapter 6 明确以 tapered resistor / 锥形电阻为例要求使用这一微元积分，并强调均匀截面电流密度是假设。³

Figure 4. 缓慢变截面导体被切成串联薄片；若收缩过快造成显著横向场，简单一维积分会失效。

2.3 温度的一阶近似

在参考温度 \(T_0\) 附近且几何变化可忽略时，

\[\boxed{R(T)\approx R_0[1+\alpha(T-T_0)]}.\]

\(\alpha\) 依材料、纯度、热处理和参考温度。金属通常在室温附近 \(\alpha>0\)；半导体常有负且强非线性温度系数。NIST 对商业铜的精密研究报告：在其样品的 \(10^\circ\mathrm C\) 到 \(100^\circ\mathrm C\) 范围，一阶关系约在 \(0.2\%\) 内成立，并给退火铜在 \(20^\circ\mathrm C\) 附近 \(\alpha\approx0.00394\ \mathrm{K^{-1}}\)；这不是任意温区的普遍常数。⁴

Figure 5. \(R(T)\) 的线性式是参考温度附近的局部切线模型；远离核验温区必须使用材料数据或更完整模型。

Worked example 2 — Copper wire with heating / 铜线升温后的电阻

已知： 铜线 \(L=20.0\ \mathrm m\)、\(A=1.50\ \mathrm{mm^2}\)，取教科书名义值 \(\rho_{20}=1.68\times10^{-8}\ \Omega\,\mathrm m\)、\(\alpha=3.90\times10^{-3}\ \mathrm{K^{-1}}\)。求 \(20.0^\circ\mathrm C\) 与 \(80.0^\circ\mathrm C\) 的电阻。

模型： 均匀圆柱，截面热膨胀忽略；线性温度区间近似。

\[A=1.50\times10^{-6}\ \mathrm{m^2},\]

\[R_{20}=\rho\frac LA =\frac{(1.68\times10^{-8})(20.0)}{1.50\times10^{-6}} =0.224\ \Omega.\]

\[R_{80}=R_{20}[1+\alpha(80.0-20.0)] =0.224(1.234)=0.276\ \Omega.\]

\[\boxed{R_{20}=0.224\ \Omega,\qquad R_{80}=0.276\ \Omega}.\]

检查： 升温 \(60\ \mathrm K\) 使电阻增加 \(23.4\%\)；\(\Omega\,\mathrm m\times\mathrm m/\mathrm{m^2}=\Omega\)。三位有效数字。给定 \(\rho\) 是教学名义值，不代表所有铜样品。

Knowledge 3 — Series and parallel resistor networks / 电阻串并联网络

Knowledge ID: P04-U05-L02-K03

3.1 串联：只有一个电流通道

严格串联的器件之间节点没有其他支路，因此同一电流 \(I\) 依次通过，电势降相加：

\[V=\sum_iV_i=I\sum_iR_i,\]

\[\boxed{R_s=\sum_iR_i}.\]

串联等效电阻必大于或等于最大单个电阻。

Figure 6. 串联由拓扑定义：中间连接点没有分流支路；“元件画在一条直线上”本身不是充分条件。

3.2 并联：共享同一对节点

并联电阻两端连接相同节点，故电压 \(V\) 相同，支路电流相加：

\[I=\sum_iI_i=V\sum_i\frac1{R_i},\]

\[\boxed{\frac1{R_p}=\sum_i\frac1{R_i}}.\]

并联等效电阻严格小于最小支路电阻（有限正电阻至少两支路）。OpenStax §10.2 以“串联同流、并联同压”推导两式并核对总功率。⁵

Figure 7. 并联由共享同一对节点定义；两支路都承受同一节点电势差。

Worked example 3 — Mixed network with power check / 串并联混合网络

\(R_1=6.00\ \Omega\) 与 \(R_2=3.00\ \Omega\)、\(R_3=6.00\ \Omega\) 的并联组合串联，接理想 \(24.0\ \mathrm V\) 电源。求等效电阻、总电流、支路电流与总耗散功率。

系统与方向： 传统电流从电源正端流出；理想导线无压降，电阻欧姆且温度恒定。

\[R_{23}=\left(\frac1{3.00}+\frac1{6.00}\right)^{-1}=2.00\ \Omega,\]

\[R_{\rm eq}=6.00+2.00=8.00\ \Omega, \qquad I=\frac{24.0}{8.00}=3.00\ \mathrm A.\]

并联组合电压

\[V_{23}=IR_{23}=6.00\ \mathrm V.\]

\[I_2=\frac{6.00}{3.00}=2.00\ \mathrm A, \qquad I_3=\frac{6.00}{6.00}=1.00\ \mathrm A.\]

\[P_{\rm tot}=VI=72.0\ \mathrm W.\]

逐项 \(I^2R\)：\(P_1=54.0\ \mathrm W\)、\(P_2=12.0\ \mathrm W\)、\(P_3=6.00\ \mathrm W\)，总和 \(72.0\ \mathrm W\)。

\[\boxed{R_{\rm eq}=8.00\ \Omega,\ I=3.00\ \mathrm A,\ I_2=2.00\ \mathrm A,\ I_3=1.00\ \mathrm A}.\]

检查： \(R_{23}=2.00\ \Omega<3.00\ \Omega\)；节点处 \(I_2+I_3=I\)；功率守恒。三位有效数字。

Knowledge 4 — Electrical power and Joule heating / 电功率与焦耳热

Knowledge ID: P04-U05-L02-K04

4.1 先用普遍端口功率，再用欧姆特例

电荷 \(dq\) 穿过电势降 \(V\) 时转移能量 \(dE=Vdq\)，所以

\[\boxed{P=\frac{dE}{dt}=VI}.\]

在 passive sign convention 下，电流流入高势端则 \(P>0\) 表示器件吸收能量；若 \(P<0\)，器件向外供能。只有对欧姆电阻，才可用

\[\boxed{P=I^2R=\frac{V^2}{R}}.\]

OpenStax §9.5 从 \(dU=Vdq\) 推导 \(P=VI\)，并把载流子在晶格碰撞中转化的能量解释为 Joule heating / 焦耳热。⁶

Figure 8. 稳恒电阻中的能量流：场不断向载流子做功，碰撞把这份能量转给晶格，而平均漂移动能不持续增长。

4.2 固定电压与固定电流必须区分

若电压源理想且保持 \(V\)，\(P=V^2/R\)，增大 \(R\) 会降低功率；若理想电流源保持 \(I\)，\(P=I^2R\)，增大 \(R\) 会提高功率。两个看似矛盾的结论来自不同约束。

电能为

\[E=\int_{t_1}^{t_2}V(t)I(t)dt.\]

常功率时 \(E=Pt\)；\(1\ \mathrm{kWh}=3.60\times10^6\ \mathrm J\)。

Figure 9. 同一个 \(R\) 变化，在固定电压和固定电流条件下给出相反的功率趋势；不能只背某一个变形式。

Knowledge 5 — Internal resistance and terminal voltage / 内阻与端电压

Knowledge ID: P04-U05-L02-K05

5.1 放电电源的最小等效模型

把真实电源近似为理想 emf \(\mathcal E\) 与串联内阻 \(r\)。若电源放电且电流从正端流出：

\[\boxed{V_{\rm term}=\mathcal E-Ir}.\]

连接外负载 \(R\) 时

\[I=\frac{\mathcal E}{R+r}.\]

开路 \(I=0\) 时 \(V_{\rm term}=\mathcal E\)；短路近似 \(R\to0\) 时 \(I_{\rm sc}\approx\mathcal E/r\)，真实电池还受化学、温升和保护电路限制。OpenStax §10.1 强调内阻会随荷电状态、温度、电流方向和历史改变，因此常数 \(r\) 只是工作点模型。⁷

Figure 10. 放电电源的理想 emf + 串联内阻模型；内阻压降 \(Ir\) 使负载端电压低于 \(\mathcal E\)。

5.2 充电、功率与效率

若外部装置把电流压入电源正端（充电约定），

\[V_{\rm term}=\mathcal E+Ir.\]

放电时功率账本为

\[P_{\rm chem}=\mathcal EI, \qquad P_{\rm load}=V_{\rm term}I=I^2R, \qquad P_{\rm int}=I^2r,\]

\[P_{\rm chem}=P_{\rm load}+P_{\rm int}.\]

在纯电阻负载模型中，端口效率

\[\eta=\frac{P_{\rm load}}{P_{\rm chem}} =\frac{R}{R+r}.\]

Worked example 4 — Battery under load / 有内阻电池带负载

电池 \(\mathcal E=12.0\ \mathrm V\)、\(r=0.500\ \Omega\)，接 \(R=5.50\ \Omega\) 负载。求电流、端电压、负载功率、内耗与效率。

系统与方向： 电池放电，传统电流从正端流出；稳恒 DC，\(r,R\) 为常数欧姆元件。

\[I=\frac{12.0}{5.50+0.500}=2.00\ \mathrm A.\]

\[V_{\rm term}=12.0-(2.00)(0.500)=11.0\ \mathrm V.\]

\[P_{\rm load}=I^2R=(2.00)^2(5.50)=22.0\ \mathrm W,\]

\[P_{\rm int}=I^2r=2.00\ \mathrm W, \qquad P_{\rm chem}=\mathcal EI=24.0\ \mathrm W.\]

\[\eta=\frac{22.0}{24.0}=0.917=91.7\%.\]

\[\boxed{I=2.00\ \mathrm A,\quad V_{\rm term}=11.0\ \mathrm V,\quad \eta=91.7\%}.\]

检查： \(22.0+2.00=24.0\ \mathrm W\)；端压低于 emf 且为 \(IR=11.0\ \mathrm V\)；三位有效数字。

Lesson synthesis / 本课综合

从材料到网络的建模层级：

\[\mathbf J=\sigma\mathbf E \longrightarrow R=\int\frac{\rho(x)}{A(x)}dx \longrightarrow V=IR \longrightarrow R_{\rm eq} \longrightarrow P=VI \longrightarrow \mathcal EI=I^2R+I^2r.\]

建议流程：先画二端器件与电流/电压参考方向；判断是否欧姆与温度是否可视为固定；由几何或网络求 \(R\)；最后用普遍的 \(P=VI\) 做能量审计。

Formula-and-decision table / 公式—决策表

Model boundaries / 模型边界

• 集总模型要求元件尺寸远小于电磁传播尺度，导线电感/电容和辐射可忽略。
• \(V=IR\) 只适合固定状态的 ohmic response；灯丝升温、二极管、热敏电阻等通常非线性。
• \(R=\rho L/A\) 忽略接触电阻、表面散射、频率依赖与电流拥挤；纳米尺度与高频需更高级模型。
• 线性温度式只在给定参考温区近似有效，且几何热膨胀可能影响精密结果。
• 理想电源内阻模型不描述电化学动态、容量、极化、温度失控和保护系统。
• 短路电流与功率计算只作模型上限，真实短路危险，不能作为实验操作建议。

Misconception clinic / 易错观念诊所

Practice and retrieval / 练习与提取

1. K01： 某器件 \(V=5I+0.20I^2\)。它是否欧姆？写 \(R_{\rm stat}\) 与 \(r_d\)。
2. K01： \(I\)–\(V\) 图（纵轴 \(I\)）的直线斜率是什么？
3. K02： 同材料同长度导线直径加倍，电阻变为多少倍？
4. K02： 一根导线体积保持不变，长度拉为原来的 3 倍，\(\rho\) 不变。电阻变为多少倍？
5. K03： \(4.00\ \Omega\) 与 \(12.0\ \Omega\) 并联，求等效电阻。
6. K03： 两个正电阻并联，为何 \(R_p\) 必小于其中任一个？
7. K04： \(120\ \mathrm V\)、\(60.0\ \mathrm W\) 的欧姆负载，求工作电流与电阻。
8. K04： 上题连续运行 \(3.00\ \mathrm h\) 用能多少 kWh 与 J？
9. K05： \(\mathcal E=9.00\ \mathrm V,r=1.00\ \Omega,R=8.00\ \Omega\)，求电流与端压。
10. K05： 同一电源正在以 \(I=0.500\ \mathrm A\) 充电，\(\mathcal E=12.0\ \mathrm V,r=0.400\ \Omega\)，求端压。

Exit ticket / 离堂检核

1. 一个电热器电阻随温度上升。在理想恒压源和理想恒流源下，其功率分别怎样初步变化？写公式说明。
2. 不计算，给出三个 \(10\ \Omega\) 电阻任意串并联所能得到的最大与最小等效电阻，并说明拓扑。

References and source notes / 参考资料与来源说明

本课所有 10 幅 TikZ 均依据方程原创绘制。来源于 2026-08-26 实际打开核验；NIST 铜数据用于说明温度线性范围与材料依赖，不把百年前样品数据冒充所有现代铜材的精确值。

1. OpenStax University Physics Volume 2, §9.3 — Resistivity and Resistance
2. OpenStax University Physics Volume 2, §9.4 — Ohm's Law
3. OpenStax University Physics Volume 2, §9.5 — Electrical Energy and Power
4. OpenStax University Physics Volume 2, §10.1 — Electromotive Force
5. OpenStax University Physics Volume 2, §10.2 — Resistors in Series and Parallel
6. MIT OpenCourseWare 8.02T, Chapter 6 — Current and Resistance
7. NIST Bureau of Standards — The Electrical Conductivity of Commercial Copper

Source-to-content map / 来源—内容映射

复习与拓展

• 能否仅看坐标轴就判断图像斜率是 \(R\) 还是 \(1/R\)？
• 能否先用拓扑证明“同流/同压”，再写串并联公式？
• 能否用 \(P=VI\) 同时检查电源供能、外部耗散与内耗？
• 下一课将把这些器件模型放进多节点、多回路网络，并系统使用 Kirchhoff rules。