带电粒子在场中的运动

Learning objectives / 学习目标

完成本课后，你应当能够：

1. 从 Lorentz force 推导均匀磁场中非相对论粒子的 Larmor radius、cyclotron frequency、period 与 helical pitch。
2. 用电荷符号判断回旋方向，同时区分 signed angular frequency \(\omega_c=qB/m\) 与正的频率大小 \(\Omega_c=|q|B/m\)。
3. 推导交叉场速度选择条件，并识别该条件对方向、均匀性和初始速度分量的限制。
4. 建立 Bainbridge-type mass spectrometer 与加速电压型 mass analyzer 的 \(m/q\) 关系。
5. 解释非相对论 cyclotron 的同步机制、能量增加与相对论失谐边界。
6. 用小参数 \(\rho_L/L_B\ll1\) 说明 guiding-center 近似与 magnetic mirror 的适用条件，而不把示意图误当精确轨迹。

Prerequisites / 先修知识

• Magnetic Field and Lorentz Force。
• 匀速圆周运动：\(a_c=v^2/r=\Omega^2r\)。
• 动能与电势差：\(\Delta K=q\Delta V\)，使用符号后再转为速度大小。
• 平行/垂直向量分解与右手定则。

Scope and conventions / 范围与约定

• 除非特别说明，采用真空、无碰撞、经典非相对论点粒子模型。
• \(\mathbf B=B\hat{\mathbf z}\) 且 \(B>0\)；\(v_\parallel\) 沿 \(\mathbf B\)，\(v_\perp\) 在垂直平面。
• \(\omega_c=qB/m\) 保留电荷符号，描述旋转 sense；\(\Omega_c=|q|B/m>0\) 是角频率大小。
• \(\rho_L=mv_\perp/(|q|B)>0\) 是 Larmor radius。
• 速度选择器的 \(v=E/B\) 是力平衡的速度大小，只有给定几何与电荷运动方向时成立。
• 磁约束部分仅介绍 adiabatic guiding-center picture；完整 plasma kinetics 不在本课范围。

Notation and modeling contract / 符号与建模契约

Knowledge 1 — Circular and helical motion in a uniform magnetic field / 匀强磁场中的圆周与螺旋运动

Knowledge ID: P04-U06-L02-K01

1.1 Purely perpendicular entry: uniform circular motion

当 \(\mathbf v\perp\mathbf B\)，磁力大小恒为 \(|q|vB\) 且总指向曲率中心：

\[|q|vB=\frac{mv^2}{\rho_L}.\]

所以

\[\boxed{\rho_L=\frac{mv_\perp}{|q|B}}, \qquad \boxed{\Omega_c=\frac{|q|B}{m}},\]

\[\boxed{T_c=\frac{2\pi m}{|q|B}}, \qquad \boxed{f_c=\frac{|q|B}{2\pi m}}.\]

非相对论理想模型中，周期与速度和半径无关；更快粒子有更大半径，恰好保持同一角速度。

若保持相同 \(\mathbf v\) 和 \(\mathbf B\) 而改变 \(q\) 符号，轨道弯曲方向反转，但 \(\rho_L\) 与 \(T_c\) 大小不变。

1.2 Vector solution and signed frequency

取 \(\mathbf B=B\hat{\mathbf z}\)，Newton–Lorentz equations 为

\[m\dot v_x=qBv_y, \qquad m\dot v_y=-qBv_x, \qquad m\dot v_z=0.\]

定义 \(\omega_c=qB/m\)，则每个垂直分量满足

\[\ddot v_x+\omega_c^2v_x=0, \qquad \ddot v_y+\omega_c^2v_y=0.\]

\(\omega_c\) 的符号只控制相位随时间的旋转方向；可观测周期用 \(\Omega_c=|\omega_c|\)。

1.3 Oblique entry: a helix

平行速度不受磁力，垂直速度回旋，因此

\[\boxed{p_h=v_\parallel T_c =\frac{2\pi m v_\parallel}{|q|B}}.\]

速度大小 \(v=\sqrt{v_\perp^2+v_\parallel^2}\) 恒定；螺距符号方向由 \(v_\parallel\) 决定，回旋 sense 由 \(q\) 决定。

1.4 Limiting checks

• \(v_\perp\to0\)：\(\rho_L\to0\)，退化为沿磁场直线运动。
• \(v_\parallel\to0\)：\(p_h\to0\)，退化为圆周运动。
• \(B\to0\)：公式给 \(\rho_L,T_c\to\infty\)，在有限观察时间内轨迹趋直线。
• \(m\) 增大：相同 \(q,v,B\) 下半径和周期均增大。

Knowledge 2 — Velocity selectors and crossed fields / 速度选择器与交叉场

Knowledge ID: P04-U06-L02-K02

2.1 Force balance is a vector condition

在互相垂直的 \(\mathbf E\)、\(\mathbf B\) 中，要使带电粒子无偏转：

\[q(\mathbf E+\mathbf v\times\mathbf B)=\mathbf0.\]

若 \(\mathbf v\perp\mathbf E\)、\(\mathbf v\perp\mathbf B\) 且方向使两力相反，则

\[\boxed{v=\frac{E}{B}}.\]

\(q\) 在平衡式中约去，所以同一速度和运动方向的正负粒子都可直行；但它们各自的电力和磁力会同时反向。

2.2 What happens off the selected speed

若 \(v>E/B\)，磁力大小更大，粒子向磁力方向偏；若 \(v<E/B\)，电力占优，向电力方向偏。狭缝只让近似直行的粒子进入下一段。

Knowledge 3 — Mass spectrometers and cyclotrons / 质谱仪与回旋加速器

Knowledge ID: P04-U06-L02-K03

3.1 Bainbridge mass spectrometer

第一段用 \(E\)、\(B_s\) 选速：\(v=E/B_s\)。第二段只有分析磁场 \(B_a\)，半径

\[r=\frac{mv}{|q|B_a}.\]

组合得

\[\boxed{\frac{|q|}{m}=\frac{E}{B_sB_ar}}, \qquad \boxed{\frac{m}{|q|}=\frac{B_sB_ar}{E}}.\]

仪器直接区分的是 mass-to-charge ratio，不是单独质量；只有知道电荷态时才能求 \(m\)。

另一常见方案先由电势差 \(\Delta V\) 从静止加速：

\[|q|\Delta V=\frac12mv^2.\]

再在磁场中测 \(r\)，消去 \(v\)：

\[\boxed{\frac{m}{|q|}=\frac{B^2r^2}{2\Delta V}}.\]

3.2 Cyclotron synchronization

均匀 \(B\) 使粒子在 dee electrode 内走半圆；间隙的交变电场每次过缝加速。非相对论半周时间

\[\frac{T_c}{2}=\frac{\pi m}{|q|B}\]

与半径无关，所以固定 RF frequency

\[\boxed{f_{\mathrm{RF}}=f_c=\frac{|q|B}{2\pi m}}\]

可保持同步。每过一次间隙，动能约增加 \(|q|\Delta V_{gap}\)，速度与半径逐步增大。

3.3 Relativistic boundary

当 \(v\) 接近 \(c\)，轨道动力学用 \(\mathbf p=\gamma m\mathbf v\)，回旋角频率大小变为

\[\Omega=\frac{|q|B}{\gamma m}.\]

\(\gamma\) 随能量上升，粒子逐渐落后于固定 RF 相位，普通 cyclotron 失谐。同步回旋加速器等装置必须调频或调场；本课的 \(f_c=|q|B/(2\pi m)\) 不是高能普适式。

Knowledge 4 — Magnetic confinement and guiding-center motion / 磁约束与导引中心运动

Knowledge ID: P04-U06-L02-K04

4.1 Guiding center as a scale-separated approximation

若磁场在一个回旋轨道上变化很小，定义

\[L_B\equiv\frac{B}{\lvert\boldsymbol\nabla B\rvert}, \qquad \epsilon\equiv\frac{\rho_L}{L_B}\ll1.\]

就可以把快回旋与慢 guiding-center 运动分开。导引中心不是每一瞬间的真实粒子位置，而是一个回旋周期上的平均中心。

4.2 Magnetic moment and mirror conversion

在场缓慢变化、碰撞很少且没有显著快速电场时，第一 adiabatic invariant 近似守恒：

\[\boxed{\mu_m=\frac{mv_\perp^2}{2B}\approx\text{constant}}.\]

总动能也近似不变，故粒子进入更强 \(B\) 区域时 \(v_\perp\) 增大、\(v_\parallel\) 减小；若 \(v_\parallel\to0\)，发生 mirror reflection。

若起点场为 \(B_0\)，pitch angle \(\alpha_0\) 满足 \(v_{\perp0}=v\sin\alpha_0\)，mirror point 的场强满足

\[B_m=\frac{B_0}{\sin^2\alpha_0}.\]

只有系统能达到该 \(B_m\) 且 adiabatic conditions 成立时才反射。

4.3 What magnetic confinement cannot guarantee

磁场本身不降低粒子能量；它依靠几何和绝热不变量限制跨场运动。场的曲率、梯度、电场、碰撞与 collective plasma effects 会引起 drift 或损失。因此“粒子绕场线”是局部直观，不等于粒子永远粘在一根场线上。

Worked Examples / 完整例题

Worked Example 1 — Proton helix in a uniform field

Known. 质子 \(m_p=1.673\times10^{-27}\ \mathrm{kg}\)、\(q=+e\)，在 \(B=0.500\ \mathrm T\) 中有 \(v_\perp=2.00\times10^6\ \mathrm{m/s}\)、\(v_\parallel=1.50\times10^6\ \mathrm{m/s}\)。求 \(\rho_L\)、\(T_c\) 与螺距。

Object/frame/axes. 单个质子；实验室惯性系，\(\mathbf B\) 定义为 \(+z\)。

Model. 真空、均匀静磁场、无碰撞；总速度 \(2.50\times10^6\ \mathrm{m/s}=0.00834c\)，非相对论足够。

\[\rho_L=\frac{m_pv_\perp}{eB} =\frac{(1.673\times10^{-27})(2.00\times10^6)}{(1.602\times10^{-19})(0.500)} =4.18\times10^{-2}\ \mathrm m.\]

\[T_c=\frac{2\pi m_p}{eB}=1.31\times10^{-7}\ \mathrm s.\]

\[p_h=v_\parallel T_c=(1.50\times10^6)(1.31\times10^{-7}) =1.97\times10^{-1}\ \mathrm m.\]

Checks. 半径只用 \(v_\perp\)；螺距随 \(v_\parallel\to0\) 归零。所有结果三位有效数字。

Worked Example 2 — Velocity selector and isotope analyzer

Known. \(E=2.40\times10^4\ \mathrm{V/m}\)、选择场 \(B_s=0.0800\ \mathrm T\)；分析场 \(B_a=0.500\ \mathrm T\)。单价正离子轨道半径 \(r=0.250\ \mathrm m\)。求选定速度与离子质量。

System/directions. 场互相垂直并排列使正离子直行；分析段速度垂直 \(B_a\)。

\[v=\frac{E}{B_s}=\frac{2.40\times10^4}{0.0800}=3.00\times10^5\ \mathrm{m/s}.\]

\[m=\frac{eB_ar}{v} =\frac{(1.602\times10^{-19})(0.500)(0.250)}{3.00\times10^5} =6.68\times10^{-26}\ \mathrm{kg}.\]

换算 atomic mass unit \(u=1.66054\times10^{-27}\ \mathrm{kg}\)：

\[m=40.2\ u.\]

Checks. \(E/B\) 单位为速度；测量本质给 \(m/q\)，这里借助单价假设才得到 \(m\)。

Worked Example 3 — Cyclotron frequency and exit energy

Known. 非相对论质子 cyclotron，\(B=1.20\ \mathrm T\)，最大轨道半径 \(R=0.450\ \mathrm m\)。求 RF frequency 和理想最大 kinetic energy。

System/model. 真空、均匀场、普通 cyclotron，同步且忽略边缘场。先按非相对论计算，再检查相对论参数。

\[f_c=\frac{eB}{2\pi m_p} =\frac{(1.602\times10^{-19})(1.20)}{2\pi(1.673\times10^{-27})} =1.83\times10^7\ \mathrm{Hz}.\]

边缘速度 \(v=eBR/m_p\)，故

\[K=\frac12m_pv^2 =\frac{e^2B^2R^2}{2m_p} =2.24\times10^{-12}\ \mathrm J =14.0\ \mathrm{MeV}.\]

由 \(v=eBR/m_p=5.17\times10^7\ \mathrm{m/s}=0.172c\)，\(\gamma\approx1.015\)。

Check and boundary. 1.5% 的相对论频移已不一定可忽略，因此结果是理想非相对论估计；实际同步设计需修正。

Worked Example 4 — Magnetic-mirror threshold

Known. 粒子在 \(B_0=0.200\ \mathrm T\) 处 pitch angle \(\alpha_0=30.0^\circ\)，沿场线进入更强区域。忽略碰撞并满足 adiabatic approximation。求 mirror field \(B_m\)；若设备最大场只有 \(0.600\ \mathrm T\)，会否反射？

Object/boundary. 单点带电粒子；以局部场方向为平行轴，初始与镜点之间总能量和 \(\mu_m\) 近似守恒。

\[B_m=\frac{B_0}{\sin^2\alpha_0} =\frac{0.200}{(0.500)^2}=0.800\ \mathrm T.\]

设备只能达到 \(0.600\ \mathrm T<0.800\ \mathrm T\)，所以在这一理想模型中粒子不会在该端发生镜反射。

Checks. \(\alpha_0\to90^\circ\) 时 \(B_m\to B_0\)；\(\alpha_0\to0\) 时 \(B_m\to\infty\)，沿场粒子最难镜反射。结论依赖 \(\rho_L/L_B\ll1\) 和低碰撞率。

Lesson synthesis / 全课综合

所有装置都从同一条 Lorentz equation 出发。均匀 \(B\) 给出精确回旋；交叉 \(E,B\) 通过力平衡选速；质谱仪读出 \(m/q\)；cyclotron 用与回旋周期同步的电场输入能量；非均匀场只有在尺度分离时才可用 guiding-center 和 adiabatic invariant。

Formula-and-decision table / 公式与决策表

Model boundaries / 模型边界

1. Nonrelativistic orbit formulas: replace \(m\mathbf v\) by \(\gamma m\mathbf v\) at high speed; the ordinary cyclotron frequency decreases by \(1/\gamma\).
2. No radiation reaction: accelerated charges radiate; losses are negligible only when radiation timescales are long relative to the motion considered.
3. No collisions: gas scattering and plasma collisions disrupt exact helices and adiabatic invariants.
4. Uniform fields: exact circular/helix formulas require \(B\) nearly constant across the orbit.
5. Selector geometry: \(v=E/B\) is not a universal crossed-field drift formula.
6. Known charge state: mass spectrometry returns \(m/|q|\); multiple ionization changes interpretation.
7. Guiding-center ordering: require \(\rho_L/L_B\ll1\) and slow temporal changes compared with \(\Omega_c^{-1}\).
8. Confinement is finite: gradients, curvature, electric fields and collective effects drive losses.

Misconception clinic / 误区诊所

• “回旋半径用总速度。” 只有 \(v_\perp\) 决定半径；\(v_\parallel\) 决定螺距。
• “负电荷有负半径。” 半径是正长度；电荷符号进入旋转方向。
• “周期与速度永远无关。” 仅在非相对论均匀场中成立。
• “速度选择器使所有粒子都以 \(E/B\) 运动。” 它只让已有该速度的粒子无偏转通过。
• “质谱仪直接称质量。” 它测 \(m/q\)，必须知道电荷态。
• “cyclotron 的磁场给粒子能量。” 加速发生在间隙的电场中；磁场负责弯轨。
• “粒子沿着磁力线旋转，因此轨迹就是场线。” 轨迹绕场线附近的 guiding center 螺旋，二者不是同一曲线。
• “磁镜一定能困住所有粒子。” 小 pitch-angle 粒子落在 loss cone 内，且非绝热/碰撞过程会造成损失。

Practice and retrieval / 练习与提取

1. [K01] 电子与质子以相同 \(v_\perp\) 进入相同 \(B\)。比较半径、周期与旋转方向。
2. [K01] \(\mathrm{He}^{2+}\) 离子 \(m=6.64\times10^{-27}\ \mathrm{kg}\)，\(v_\perp=1.00\times10^6\ \mathrm{m/s}\)，\(B=0.800\ \mathrm T\)。求 \(\rho_L\)。
3. [K01] 某粒子 \(T_c=2.00\ \mathrm{\mu s}\)、\(v_\parallel=3.00\times10^5\ \mathrm{m/s}\)。求螺距。
4. [K02] \(E=3.00\times10^4\ \mathrm{V/m}\)、\(B=0.150\ \mathrm T\)。求选定速度。
5. [K02] 在给定几何下正离子若 \(v>E/B\) 向下偏。负离子以相同过大速度会向哪里偏？解释两力如何变化。
6. [K03] 单价离子经 \(2.00\ \mathrm{kV}\) 从静止加速，在 \(0.500\ \mathrm T\) 中轨道半径 \(0.100\ \mathrm m\)。求质量。
7. [K03] 一个非相对论 deuteron cyclotron 使用 \(B=1.50\ \mathrm T\)；取 \(m_d=3.34\times10^{-27}\ \mathrm{kg}\)、\(q=e\)。求 RF frequency。
8. [K03] 为什么普通 cyclotron 到高能时失谐？磁场是否直接增加动能？
9. [K04] \(B_0=0.100\ \mathrm T\)、\(\alpha_0=45.0^\circ\)。求理想 mirror field。
10. [K04, 边界] 写出 guiding-center 近似的两个独立条件，并说明 \(\rho_L\sim L_B\) 时哪里失效。

Exit ticket

1. 从 \(|q|v_\perp B=mv_\perp^2/r\) 出发，在不背诵的情况下重建 \(r\)、\(T\) 和 pitch。
2. 说明 velocity selector、mass analyzer、cyclotron 和 magnetic mirror 中电场与磁场分别承担什么角色。

References and source notes / 参考资料与来源说明

Source-to-content map

资料和链接实际核对日期：2026-08-26。所有轨迹图是依据方程的原创 schematic；未复制来源插图。

复习与拓展

• Plasma physics：系统推导 \(\mathbf E\times\mathbf B\)、gradient-\(B\) 与 curvature drifts。
• Special relativity：用 \(\gamma m\) 修正 orbit、frequency 与 accelerator synchronism。
• Electromagnetic radiation：分析回旋/同步辐射能损。
• Laboratory extension：由轨道图像拟合 \(q/m\)，并传播 \(B,r,V\) 的测量不确定度。