磁场与洛伦兹力

Learning objectives / 学习目标

完成本课后，你应当能够：

1. 把磁场 \(\mathbf B(\mathbf r,t)\) 解释为具有大小和方向的矢量场，而不是物体“拥有的力”。
2. 使用完整 Lorentz force law \(\mathbf F=q(\mathbf E+\mathbf v\times\mathbf B)\)，区分电场项与磁场项。
3. 计算磁力大小，使用右手定则和分量行列式确定方向，并正确处理负电荷。
4. 识别 \(q=0\)、\(v=0\)、\(B=0\) 或 \(\mathbf v\parallel\mathbf B\) 的零磁力情形。
5. 从瞬时功率证明磁力对经典点电荷不做功，区分速度大小、速度方向、动量与动能。
6. 用单位、正交性、极限情形和能量检查诊断计算结果。

Prerequisites / 先修知识

• 向量点积、叉积与右手坐标系。
• Newton's Laws and Interactions。
• Work and Kinetic Energy。
• Unit 4.1 的电场定义与 \(\mathbf F_E=q\mathbf E\)。

Scope and conventions / 范围与约定

• 默认实验室 inertial frame；\(\mathbf v\) 是电荷相对该参考系的瞬时速度。
• 经典点粒子、非相对论运动为主；相对论修正只在模型边界说明。
• 使用 SI；磁场用 tesla（T）。
• 坐标轴均为右手系；页面外用 \(\odot\)，页面内用 \(\otimes\)。
• 本课研究给定 \(\mathbf B\) 对试探电荷的作用；磁场如何由电流产生从 Unit 4.7 开始系统讨论。
• 场线仅为可视化工具，不是粒子轨迹，也不是物质细线。

Notation and modeling contract / 符号与建模契约

Knowledge 1 — Magnetic field as a vector field / 磁场作为矢量场

Knowledge ID: P04-U06-L01-K01

1.1 A field assigns a vector to each event

磁场写作 \(\mathbf B(\mathbf r,t)\)：给定空间位置和时刻，它给出一个矢量。场是空间的属性；试探电荷受力取决于场、速度和电荷，不应把 \(\mathbf B\) 与 \(\mathbf F\) 混为同一对象。

在操作上，若已知正试探电荷的速度与受力，只有与速度垂直的磁场分量能由单次测量显现；沿 \(\mathbf v\) 的分量不产生磁力。因此确定完整 \(\mathbf B\) 需要改变试探速度方向或使用等效的磁探测程序。

1.2 Field lines encode direction and relative magnitude

磁场线在每点的切线方向给出 \(\mathbf B\) 方向，线密度示意大小。经典 Maxwell theory 满足 \(\boldsymbol\nabla\cdot\mathbf B=0\)，所以磁力线不在空间中孤立起止；它们形成闭合曲线或延伸至边界。

1.3 Unit and operational scale

由 \(F_B=|q|v_\perp B\)，

\[1\ \mathrm T =1\ \frac{\mathrm N}{\mathrm{A\,m}} =1\ \frac{\mathrm{N\,s}}{\mathrm{C\,m}}.\]

因此 \(B\) 不是“每单位电荷的力”——还必须指定速度方向和大小。若 \(q=1\ \mathrm C\)、\(v_\perp=1\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 且 \(B=1\ \mathrm T\)，磁力大小才是 \(1\ \mathrm N\)。

Knowledge 2 — Lorentz force on a moving charge / 运动电荷所受洛伦兹力

Knowledge ID: P04-U06-L01-K02

2.1 Vector law before components

电磁场对经典点电荷的总作用是

\[\boxed{\mathbf F=q\left(\mathbf E+\mathbf v\times\mathbf B\right)}.\]

磁场项为

\[\boxed{\mathbf F_B=q\mathbf v\times\mathbf B},\]

其大小

\[\boxed{F_B=|q|vB\sin\theta=|q|v_\perp B},\]

其中 \(\theta\) 是 \(\mathbf v\) 转向 \(\mathbf B\) 的较小夹角。先写矢量定律再投影，可以避免把 \(q\) 的符号和 \(\sin\theta\) 混乱。

上图用二维投影表达三维叉积；真正的 \(\mathbf F_B\) 同时垂直于 \(\mathbf v\) 和 \(\mathbf B\)，不能在 \(v\)–\(B\) 平面内。

2.2 Component calculation

在右手 Cartesian basis 中，

\[\mathbf v\times\mathbf B =\begin{vmatrix} \hat{\mathbf i}&\hat{\mathbf j}&\hat{\mathbf k}\\ v_x&v_y&v_z\\ B_x&B_y&B_z \end{vmatrix}.\]

即

\[\mathbf F_B=q\bigl( v_yB_z-v_zB_y, v_zB_x-v_xB_z, v_xB_y-v_yB_x \bigr).\]

分量法是右手定则的代数版本。检验必须满足

\[\mathbf F_B\cdot\mathbf v=0, \qquad \mathbf F_B\cdot\mathbf B=0.\]

2.3 Frame dependence

\(\mathbf E\)、\(\mathbf B\) 与 \(\mathbf v\) 都依赖参考系；同一事件在另一惯性系中电场与磁场会混合变换。但在一个给定惯性系中，必须使用同一系测得的三者。低速本科问题通常固定实验室系；把粒子静止系的 \(\mathbf v=0\) 与实验室的 \(\mathbf B\) 混用没有意义。

Knowledge 3 — Cross-product direction and zero-force cases / 叉积方向与零力情形

Knowledge ID: P04-U06-L01-K03

3.1 Direction algorithm

对正电荷：右手四指从 \(\mathbf v\) 的方向卷向 \(\mathbf B\)，拇指给 \(\mathbf v\times\mathbf B\)。对负电荷，将该方向反转。可靠的三步法是：

1. 暂时令 \(q>0\) 求 \(\mathbf v\times\mathbf B\)；
2. 若 \(q<0\)，整体反向；
3. 用分量或点积正交性复核。

3.2 Zero-force cases

\[\mathbf F_B=\mathbf 0\]

可能来自：\(q=0\)、\(\mathbf v=\mathbf0\)、\(\mathbf B=\mathbf0\)，或 \(\mathbf v\) 与 \(\mathbf B\) 平行/反平行。特别地，静止电荷不受磁力，但这不意味着所在处 \(\mathbf B=0\)。

3.3 Parallel and perpendicular velocity components

分解

\[\mathbf v=\mathbf v_\parallel+\mathbf v_\perp, \qquad \mathbf v_\parallel=(\mathbf v\cdot\hat{\mathbf b})\hat{\mathbf b}, \quad \hat{\mathbf b}=\frac{\mathbf B}{B}.\]

因为 \(\mathbf v_\parallel\times\mathbf B=0\)，

\[\mathbf F_B=q\mathbf v_\perp\times\mathbf B.\]

Knowledge 4 — Magnetic force does no work on a point charge / 磁力对点电荷不做功

Knowledge ID: P04-U06-L01-K04

4.1 Instantaneous power proof

对点电荷，磁力的瞬时功率为

\[P_B=\mathbf F_B\cdot\mathbf v =q(\mathbf v\times\mathbf B)\cdot\mathbf v=0.\]

由 work–energy theorem，

\[\boxed{\frac{dK}{dt}=P_B=0}\]

（若只有磁力）。磁力可以改变 \(\mathbf p\) 的方向，因为 \(d\mathbf p/dt=\mathbf F_B\ne0\)，却不改变非相对论动能 \(K=mv^2/2\) 或速度大小 \(v\)。

4.2 Electric and magnetic contributions to power

对完整 Lorentz force，

\[\frac{dK}{dt}=\mathbf F\cdot\mathbf v =q\mathbf E\cdot\mathbf v +q(\mathbf v\times\mathbf B)\cdot\mathbf v =\boxed{q\mathbf E\cdot\mathbf v}.\]

所以电场能直接改变点电荷的能量；磁场只弯折运动方向。在速度选择器等交叉场装置中，净力可能为零；这比“磁力不做功”更强，意味着方向也不变。

4.3 What the statement does and does not mean

“磁力不做功”严格指 \(q\mathbf v\times\mathbf B\) 对理想点电荷的机械功率为零。它不等于：

• 磁场不能改变轨迹；事实上磁场可产生法向加速度。
• 含时电磁装置不能传递能量；变化磁场可伴随感生电场，真正做功的是 \(q\mathbf E\)。
• 磁力对有内部自由度的宏观系统永远没有能量效应；磁偶极在外场中的势能、约束和电源做功必须按完整系统账本分析。

Worked Examples / 完整例题

Worked Example 1 — Proton in mutually perpendicular velocity and field

Known. 质子 \(q=+e=1.602\times10^{-19}\ \mathrm C\) 以 \(\mathbf v=(3.00\times10^6\ \mathrm{m\,s^{-1}})\hat{\mathbf i}\) 进入 \(\mathbf B=(0.250\ \mathrm T)\hat{\mathbf k}\)。求磁力。

Object/frame/axes. 研究对象为质子；实验室惯性系，\(x,y,z\) 为右手系。

Model. 点电荷、匀强静磁场、非相对论；\(v/c=0.0100\) 足够小。

\[\mathbf v\times\mathbf B =(3.00\times10^6)(0.250)(\hat{\mathbf i}\times\hat{\mathbf k}) =-7.50\times10^5\hat{\mathbf j}\ \mathrm{T\,m\,s^{-1}}.\]

\[\mathbf F_B=q\mathbf v\times\mathbf B =-(1.602\times10^{-19})(7.50\times10^5)\hat{\mathbf j} =\boxed{-1.20\times10^{-13}\hat{\mathbf j}\ \mathrm N}.\]

Checks. \(\mathbf F\perp\mathbf v\)、\(\mathbf B\)；单位 \(\mathrm C(\mathrm{m/s})T=N\)。正电荷方向与叉积一致。

Worked Example 2 — Electron with oblique velocity

Known. 电子 \(q=-e\)，\(\mathbf B=0.400\hat{\mathbf k}\ \mathrm T\)，\(\mathbf v=(2.00\hat{\mathbf i}+3.00\hat{\mathbf k})\times10^6\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)。求 \(\mathbf F_B\) 及说明哪个速度分量不起作用。

Reference and model. 同一实验室系；经典点电荷。\(z\) 分量平行 \(\mathbf B\)。

\[\mathbf v\times\mathbf B =(2.00\times10^6)(0.400)(\hat{\mathbf i}\times\hat{\mathbf k}) =-8.00\times10^5\hat{\mathbf j}.\]

\[\mathbf F_B=(-1.602\times10^{-19})(-8.00\times10^5)\hat{\mathbf j} =\boxed{1.28\times10^{-13}\hat{\mathbf j}\ \mathrm N}.\]

\(3.00\times10^6\hat{\mathbf k}\) 与 \(\mathbf B\) 平行，贡献为零。Checks. 负电荷使正电荷右手方向反转；\(\mathbf F\cdot\mathbf v=0\)。

Worked Example 3 — Magnetic force magnitude and angle reconstruction

Known. \(|q|=4.00\ \mathrm{nC}\)、\(v=2.50\times10^5\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)、\(B=0.600\ \mathrm T\)，测得 \(F_B=3.00\times10^{-4}\ \mathrm N\)。求 \(\theta\) 的可能值。

System/convention. 点电荷；\(\theta\in[0,\pi]\) 是 \(\mathbf v\) 与 \(\mathbf B\) 的夹角。力大小不能确定电荷符号或唯一方向。

\[\sin\theta=\frac{F_B}{|q|vB} =\frac{3.00\times10^{-4}}{(4.00\times10^{-9})(2.50\times10^5)(0.600)} =0.500.\]

\[\boxed{\theta=30.0^\circ\ \text{or}\ 150^\circ}.\]

Checks. 比值无量纲且不超过 1；仅由 \(\sin\theta\) 无法区分锐角和钝角。若给定矢量方向才可消除歧义。

Worked Example 4 — Energy change in simultaneous electric and magnetic fields

Known. \(q=+2.00\ \mathrm{\mu C}\)，某时刻 \(\mathbf v=(4.00\hat{\mathbf i}+3.00\hat{\mathbf j})\times10^3\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)，\(\mathbf E=(200\hat{\mathbf i}-100\hat{\mathbf j})\ \mathrm{V\,m^{-1}}\)，另有任意 \(\mathbf B\)。求该时刻动能变化率。

Object/frame/model. 经典点电荷，所有量在同一惯性系。只求瞬时功率，无需知道 \(\mathbf B\)。

\[\frac{dK}{dt}=q\mathbf E\cdot\mathbf v.\]

\[\mathbf E\cdot\mathbf v =(200)(4.00\times10^3)+(-100)(3.00\times10^3) =5.00\times10^5\ \mathrm{V\,s^{-1}}.\]

\[\boxed{\frac{dK}{dt}=(2.00\times10^{-6})(5.00\times10^5)=1.00\ \mathrm W}.\]

Checks and interpretation. \(q\mathbf E\cdot\mathbf v\) 单位为 \(\mathrm{C\,V/s=J/s}\)；正号表示动能增加。无论 \(\mathbf B\) 多大，其瞬时功率项仍为零。

Lesson synthesis / 全课综合

建模顺序：声明参考系与坐标 → 写矢量 Lorentz law → 分离电、磁项 → 用叉积求方向和大小 → 对负电荷反向 → 用两次点积和功率检验。下一课将把这里的瞬时法向力积分成圆周、螺旋和交叉场轨迹。

Formula-and-decision table / 公式与决策表

Model boundaries / 模型边界

1. Classical particle: quantum spin and Stern–Gerlach forces are not described by \(q\mathbf v\times\mathbf B\) alone.
2. Relativistic speed: Lorentz force law remains valid, but \(\mathbf p=\gamma m\mathbf v\) and \(K=(\gamma-1)mc^2\) replace Newtonian relations.
3. Same reference frame: fields and velocity must be evaluated in one frame; electric and magnetic classifications are frame dependent.
4. Point-charge work statement: macroscopic magnetic devices require a full account of fields, constraints, currents and power supplies.
5. Field-line limits: line density is qualitative unless a calibrated flux tube is specified; field lines are not trajectories.
6. Test-particle approximation: the charge must not significantly alter the prescribed source field when interpreting \(\mathbf B\) operationally.

Misconception clinic / 误区诊所

• “\(B=F/q\)。” 磁力还依赖 \(v\) 和夹角；静止试探电荷无法用力读出 \(B\)。
• “右手定则直接给电子受力。” 右手先给正电荷的 \(\mathbf v\times\mathbf B\)，电子必须反向。
• “\(\mathbf v\parallel\mathbf B\) 时场为零。” 只是叉积为零，场可很强。
• “磁力不做功，所以磁力为零。” 法向力可持续改变动量方向而瞬时功率为零。
• “圆形磁力线就是粒子轨迹。” 场线描述 \(\mathbf B\)，轨迹由 Newton–Lorentz 方程决定。
• “负电荷的磁力大小带负号。” 大小永远非负；符号只用于矢量方向。
• “只要有磁场，速度一定改变。” 若 \(v=0\) 或 \(\mathbf v\parallel\mathbf B\)，磁力为零。

Practice and retrieval / 练习与提取

1. [K01] 写出 tesla 的两种力学/电学组合单位，并解释为何 \(\mathbf B\) 不是力。
2. [K01] 场线在某处更密表示什么？为什么不能把场线当作带电粒子轨迹？
3. [K02] \(q=3.00\ \mathrm{\mu C}\)、\(\mathbf v=200\hat{\mathbf i}\ \mathrm{m/s}\)、\(\mathbf B=0.400\hat{\mathbf j}\ \mathrm T\)。求 \(\mathbf F_B\)。
4. [K02] 对 \(\mathbf v=(2,-1,3)\ \mathrm{m/s}\)、\(\mathbf B=(0,4,2)\ \mathrm T\)、\(q=0.500\ \mathrm C\)，求磁力分量。
5. [K03] 电子向东运动、磁场向北。磁力指向哪里？
6. [K03] 在已知试探粒子带电（\(q\ne0\)）的前提下，列出磁力为零的其余三种原因；哪一种不能用改变试探速度来排除？
7. [K03] \(v=5.00\times10^4\ \mathrm{m/s}\)，与 \(0.200\ \mathrm T\) 场成 \(30.0^\circ\)，\(|q|=2.00\ \mathrm{nC}\)。求力大小。
8. [K04] 用一行向量恒等式证明磁力功率为零。
9. [K04] 只有匀强磁场时，一个经典点电荷的哪些量恒定：速度矢量、速度大小、动量矢量、动量大小、动能？
10. [综合] 若测得某粒子在已知 \(\mathbf B\) 中磁力为零，能否断言粒子静止？给出反例并说明需要什么额外测量。

Exit ticket

1. 一个负电荷以与 \(\mathbf B\) 成角度的速度运动。用文字给出求磁力方向的无歧义步骤。
2. 用“力—功率—动量”三句话解释磁场为何能弯曲轨迹却不改变点电荷速度大小。

References and source notes / 参考资料与来源说明

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资料和链接实际核对日期：2026-08-26。正文均为重新推导与组织；TikZ 依据方程原创绘制。

复习与拓展

• 下一课把 \(q\mathbf v\times\mathbf B\) 积分为圆周与螺旋运动。
• Unit 4.7 从电流源计算 \(\mathbf B\)，连接场的“响应”与“来源”。
• Maxwell equations 中正式处理 \(\boldsymbol\nabla\cdot\mathbf B=0\) 与场变换。
• 相对论扩展中比较 \(\mathbf E\)、\(\mathbf B\) 在不同惯性系的混合。