Learning objectives / 学习目标
完成本课后，你应能：
- 从 \(p(t)=v(t)i(t)\) 推导正弦稳态平均功率，区分 W、var、VA；
- 用复功率 \(S=\widetilde V\widetilde I^*\) 判断负载的有功、无功和功率因数；
- 计算并解释并联电容的功率因数校正，避免声称它必然减少负载用电量；
- 推导理想变压器电压、电流和阻抗折算关系；
- 在给定功率与功率因数下量化高压输电对 \(I^2R\) 损耗的影响，并说明真实电网边界。
Prerequisites / 先修知识
- Sinusoidal Steady State：RMS 相量和复阻抗；
- RLC Circuits and Resonance：相位、无功储能与频率响应；
- Inductance and RL Circuits：Faraday 定律、互感与理想变压器；
- 焦耳热、能量守恒、复数共轭。
Scope and conventions / 范围与约定
采用单相、平衡正弦稳态的 RMS 相量，
\[v(t)=\sqrt2V\cos(\omega t+\phi_v), \qquad i(t)=\sqrt2I\cos(\omega t+\phi_i).\]
定义负载相角
\[\phi=\phi_v-\phi_i=\arg Z.\]
采用被动符号约定：电流流入负载正端时，\(P>0\) 表示负载净吸收有功能量；\(Q>0\) 表示感性负载，\(Q<0\) 表示容性负载。变压器先按理想、无损、完全耦合处理。输电例题为单相等效模型；真实三相系统需使用线电压/相电压和 \(\sqrt3\) 因子。
Notation and modeling contract / 符号与建模契约
| 符号 | 含义 | SI 单位 / 约定 |
|---|---|---|
| \(p(t)\) | 瞬时功率 | W，可正可负 |
| \(P\) | 周期平均有功功率 | W |
| \(Q\) | 无功功率 | var；本课感性为正 |
| \(S\) | 复功率 | VA；\(S=P+iQ\) |
| \(\lvert S\rvert\) | 视在功率 | VA |
| PF | 功率因数 | \(P/\lvert S\rvert\)，正弦时为 \(\cos\phi\) |
| \(a\) | 变比 | \(a=N_s/N_p=V_s/V_p\) |
| \(R_{\rm line}\) | 去回路总等效电阻 | \(\Omega\) |
K01 — Instantaneous, average, real, and reactive power / 瞬时、平均、有功与无功功率
Knowledge ID: P04-U09-L03-K01
瞬时功率永远从端口定义开始：
\[p(t)=v(t)i(t).\]
利用积化和差公式，
\[p(t)=VI\left[\cos(\phi_v-\phi_i)+\cos(2\omega t+\phi_v+\phi_i)\right].\]
第二项在整周期平均为零，因此
\[P=\langle p\rangle=VI\cos\phi.\]
当 \(p(t)>0\)，能量从源流入负载；当 \(p(t)<0\)，负载的电场或磁场把部分能量送回源。纯电阻中 \(p(t)\ge0\)；理想电感或电容中正负面积相等，故 \(P=0\)，但电流可很大。
复功率把三个尺度统一：
\[S=\widetilde V\widetilde I^*=P+iQ,\]
\[P=VI\cos\phi, \qquad Q=VI\sin\phi, \qquad \lvert S\rvert=VI=\sqrt{P^2+Q^2}.\]
共轭星号不可遗漏；若写成 \(\widetilde V\widetilde I\)，结果会依赖任意时间原点。
K02 — Power factor / 功率因数
Knowledge ID: P04-U09-L03-K02
功率因数定义为
\[\mathrm{PF}=\frac{P}{\lvert S\rvert}.\]
对纯正弦电压和电流，PF \(=\cos\phi\)。固定 \(P\) 与 \(V\) 时，
\[I=\frac{P}{V\,\mathrm{PF}}.\]
因此低 PF 会增加线路电流、导线损耗与设备 VA 容量需求。对感性负载，可并联电容提供负 \(Q\)，使源看到的总 \(Q\) 减小，而负载所需的 \(P\) 基本不变。
若要把初始滞后角 \(\phi_1\) 校正到仍滞后的 \(\phi_2\)，所需电容无功大小为
\[\lvert Q_C\rvert=P(\tan\phi_1-\tan\phi_2).\]
单相并联电容在 RMS 电压 \(V\) 下提供
\[Q_C=-\omega CV^2.\]
K03 — Transformer impedance matching / 变压器阻抗匹配
Knowledge ID: P04-U09-L03-K03
理想变压器以同一交变磁通耦合两绕组。令
\[a=\frac{N_s}{N_p}.\]
由 Faraday 定律与功率守恒：
\[\frac{V_s}{V_p}=a, \qquad \frac{I_s}{I_p}=\frac{1}{a}, \qquad V_pI_p=V_sI_s.\]
阻抗匹配来自把负载电压、电流同时折算到原边：
\[Z_{\rm in}=\frac{V_p}{I_p} =\left(\frac{N_p}{N_s}\right)^2 Z_L =\frac{Z_L}{a^2}.\]
“匹配”不总等于把电阻变成相等：最大功率传输到一般 AC 负载时需共轭匹配 \(Z_L=Z_{th}^*\)；而电力系统更关心效率、额定容量与电压调节。理想变压器不创造功率；提高电压伴随降低电流。
K04 — High-voltage power transmission / 高压输电
Knowledge ID: P04-U09-L03-K04
在单相正弦等效模型中，要输送固定有功功率 \(P\)，
\[I=\frac{P}{V\,\mathrm{PF}}.\]
若去回线路总电阻为 \(R_{\rm line}\)，导体焦耳损耗为
\[P_{\rm loss}=I^2R_{\rm line} =\frac{P^2R_{\rm line}}{V^2\mathrm{PF}^2}.\]
因此在其他条件相同的简化模型中，电压提高 \(n\) 倍，电流降为 \(1/n\)，线路损耗降为 \(1/n^2\)。
真实输电还受电晕、绝缘、无功潮流、皮肤效应、稳定性、热限额、线路电抗、变压器损耗与经济成本约束。高压不是无限提高越好。现代 HVDC 通过电力电子换流实现升降与联网，不能再简单说“直流无法变压所以不能高压输电”。
Worked Examples / 完整例题
Worked Example 1 — 从相位求 \(p(t)\)、\(P\)、\(Q\) 与功率因数
已知：负载端 \(V=240\ \mathrm V\) RMS，\(I=8.00\ \mathrm A\) RMS，电流滞后电压 \(36.9^\circ\)，取 \(\phi_v=0\)。
系统与正方向：负载为系统；电流流入正端，故吸收功率为正。
模型：单频正弦稳态。
\[\lvert S\rvert=VI=1.92\ \mathrm{kVA},\]
\[P=VI\cos36.9^\circ=1.54\ \mathrm{kW}, \qquad Q=VI\sin36.9^\circ=+1.15\ \mathrm{kvar}.\]
PF \(=0.800\) lagging。瞬时功率为
\[p(t)=1920\left[0.800+\cos(2\omega t-36.9^\circ)\right]\mathrm W.\]
所以 \(p_{\max}=3.46\ \mathrm{kW}\)、\(p_{\min}=-0.384\ \mathrm{kW}\)。
检查：\(P^2+Q^2=(1.92\ \mathrm{kVA})^2\)；\(Q>0\) 与电流滞后一致；负瞬时功率说明部分储能回送，不代表平均功率为负。
Worked Example 2 — 电容功率因数校正
已知：单相 \(240\ \mathrm V\)、\(60.0\ \mathrm{Hz}\) 负载吸收 \(P=10.0\ \mathrm{kW}\)，初始 PF \(=0.750\) lagging，目标 PF \(=0.950\) lagging。
系统边界：负载与并联校正电容作为整体；负载有功不变。
\[\tan\phi_1=\tan(\cos^{-1}0.750)=0.882, \qquad \tan\phi_2=0.329.\]
\[\lvert Q_C\rvert=P(\tan\phi_1-\tan\phi_2)=5.53\ \mathrm{kvar}.\]
\[C=\frac{\lvert Q_C\rvert}{\omega V^2} =\frac{5530}{(377)(240)^2}=255\ \mu\mathrm F.\]
源电流从
\[I_1=\frac{10000}{240(0.750)}=55.6\ \mathrm A\]
降到
\[I_2=\frac{10000}{240(0.950)}=43.9\ \mathrm A.\]
检查：校正电容 \(Q_C<0\)，抵消部分感性正 \(Q\)；若过度补偿会变成 leading PF。三位有效数字。
Worked Example 3 — 变压器的负载折算
已知：理想变压器把 \(2400\ \mathrm V\) RMS 降为 \(120\ \mathrm V\) RMS，副边接 \(24.0\ \Omega\) 电阻。
系统与方向：以负载吸收功率为正；只求幅值，忽略绕组相位点标记。
\[a=\frac{N_s}{N_p}=\frac{120}{2400}=0.0500.\]
\[I_s=\frac{120}{24.0}=5.00\ \mathrm A, \qquad I_p=aI_s=0.250\ \mathrm A.\]
折算到原边：
\[Z_{in}=\frac{Z_L}{a^2}=\frac{24.0}{0.0500^2}=9.60\ \mathrm{k}\Omega.\]
于是 \(I_p=2400/9600=0.250\ \mathrm A\)，与功率守恒结果一致；两侧功率均为 \(600\ \mathrm W\)。
检查：降压 20 倍则升流 20 倍；阻抗折算为匝数比平方，不是一次方。
Worked Example 4 — 高压输电的定量收益
已知：单相等效线路输送 \(P=5.00\ \mathrm{MW}\)，PF \(=0.950\)，去回线路总电阻 \(R_{line}=2.00\ \Omega\)。比较 \(20.0\ \mathrm{kV}\) 与 \(200\ \mathrm{kV}\)。
系统与模型：线路与负载；电压取负载端近似值，忽略线路电抗和电压降，仅比较欧姆损耗。
低压方案：
\[I_{20}=\frac{5.00\times10^6}{(20.0\times10^3)(0.950)}=263\ \mathrm A,\]
\[P_{loss,20}=I_{20}^2R=138\ \mathrm{kW}.\]
高压方案：
\[I_{200}=26.3\ \mathrm A, \qquad P_{loss,200}=1.39\ \mathrm{kW}.\]
检查：电压提高 10 倍，电流降 10 倍，\(I^2R\) 损耗降 100 倍；损耗约为输送有功的 \(2.77\%\) 与 \(0.0277\%\)。真实设计还需计变压器、绝缘和无功潮流。
Lesson synthesis / 本课综合
有功功率描述净能量转移，无功功率描述每周期往返交换，视在功率描述设备所承受的电压—电流容量。提高 PF 是减少无功电流；提高电压是在给定功率下整体降低电流。两者都能降低线路损耗，但物理手段不同。
Formula-and-decision table / 公式与决策表
| 目标 | 公式 | 条件 | 注意 |
|---|---|---|---|
| 瞬时功率 | \(p(t)=v(t)i(t)\) | 任意时刻 | 可为负 |
| 正弦平均功率 | \(P=VI\cos\phi\) | RMS、同频正弦 | \(\phi=\phi_v-\phi_i\) |
| 复功率 | \(S=\widetilde V\widetilde I^*=P+iQ\) | RMS 相量 | 被动约定下感性 \(Q>0\) |
| 功率因数 | PF \(=P/\lvert S\rvert\) | 一般定义 | 畸变时不必等于单一 \(\cos\phi\) |
| 理想变压器 | \(V_s/V_p=N_s/N_p\) | 无损、完全耦合 | 电流比相反 |
| 阻抗折算 | \(Z_{in}=(N_p/N_s)^2Z_L\) | 理想变压器 | 匝数比平方 |
| 线损 | \(P_{loss}=I^2R_{line}\) | 电阻等效 | \(R_{line}\) 要含去回路 |
Model boundaries / 模型边界
- 正弦单频下 PF \(=\cos\phi\)；非正弦负载含畸变功率因数，不能只校正相移。
- var 不是“虚假的功率”；它不形成周期净能量，却占用电流与容量。
- 理想变压器忽略铜损、铁损、漏磁、励磁电流、饱和与频率限制。
- 最大功率传输与最高效率是不同设计目标；电力输送通常不追求把负载匹配到源电阻。
- \(P_{loss}\propto V^{-2}\) 依赖固定 \(P\)、PF 与线路电阻的简化；真实高压受电晕、绝缘、稳定性和成本约束。
- 三相平衡系统常用 \(P=\sqrt3V_{LL}I_L\cos\phi\)，不可把单相式不加说明直接套用。
Misconception clinic / 误区诊所
- “\(Q\) 的单位也是 W。” 错。工程上用 var 区分周期交换与净做功；\(S\) 用 VA。
- “功率因数低就一定多耗同样比例的电能。” 错。负载有功可能不变，但上游电流和线路损耗增大。
- “理想变压器升压也升功率。” 错。升压伴随降流，理想视在功率守恒。
- “阻抗按匝数比一次方折算。” 错。电压和电流各贡献一次比值，所以是平方。
- “任何直流都不能高压输电。” 过时。现代 HVDC 依靠换流器改变电压并与 AC 网络连接。
Practice and retrieval / 练习与提取
1. 有功与无功（K01）
\(V=100\ \mathrm V\)、\(I=4.00\ \mathrm A\)，电流滞后 \(60.0^\circ\)。求 \(P,Q,\lvert S\rvert\)。
Answer
\(\lvert S\rvert=400\ \mathrm{VA}\)，\(P=200\ \mathrm W\)，\(Q=+346\ \mathrm{var}\)。正号对应感性。
2. 纯电容（K01）
理想电容的 \(P\) 与 \(Q\) 符号如何？
Answer
\(P=0\)；电流超前电压 \(90^\circ\)，故 \(\phi=-90^\circ\)、\(Q=-VI\)，为容性负无功。
3. 瞬时回送（K01）
何时可能出现 \(p(t)<0\)？它是否意味着负载一周期净发电？
Answer
含电抗的负载在储能回送源时可有 \(p<0\)；只要周期平均 \(P>0\)，它仍净吸收能量，不是净发电。
4. 功率因数电流（K02）
\(P=6.00\ \mathrm{kW}\)、\(V=240\ \mathrm V\)，PF 从 \(0.60\) 提至 \(0.90\)。源电流分别多少？
Answer
\(I_1=6000/(240\times0.60)=41.7\ \mathrm A\)；\(I_2=27.8\ \mathrm A\)。
5. 无功补偿方向（K02）
一个 leading PF 负载还并联更多电容，会怎样？
Answer
容性负 \(Q\) 的大小进一步增加，PF 可能远离 1、源电流反而增大。应按目标 \(Q\) 校正，不能盲目加电容。
6. 变压器电流（K03）
\(N_s/N_p=5.00\)，原边电流 \(2.00\ \mathrm A\)。理想副边电流多大？
Answer
\(I_s/I_p=N_p/N_s=1/5\)，故 \(I_s=0.400\ \mathrm A\)；这是升压、降流。
7. 阻抗折算（K03）
\(N_p/N_s=10.0\)，副边负载 \(8.00\ \Omega\)。原边看到多少？
Answer
\(Z_{in}=10.0^2(8.00)=800\ \Omega\)。
8. 输电缩放（K04）
在固定 \(P\)、PF、\(R_{line}\) 下把电压提高 4 倍，线损变为多少？
Answer
电流变为 \(1/4\)，所以 \(I^2R\) 线损变为 \(1/16\)。
9. 去回线电阻（K04）
每根输电导线电阻为 \(0.80\ \Omega\)，单相负载需去、回两根线。线损公式中用多少电阻？
Answer
若两根线串联承载同一电流，\(R_{line}=1.60\ \Omega\)。遗漏回线会把损耗低估一半。
10. 非正弦边界（K02）
整流器负载的电流含大量谐波，即使基波电流与电压同相，PF 是否必为 1？
Answer
不必。一般 PF 是 \(P/(V_{rms}I_{rms})\)；谐波增加总 RMS 电流但未同比增加有功，产生畸变功率因数。
Exit ticket / 离堂检验
- 对给定 \(P,V,\mathrm{PF},R_{line}\)，写出“先求电流、再求损耗”的两步模型，并说明哪两个工程手段可降低电流。
- 用一句话分别解释 W、var、VA 对“能量、往返交换、设备容量”的含义。
References and source notes / 参考资料与来源说明
以下资料均于 2026-08-28 实际打开并核对；数值例题为独立设置和复算。
- OpenStax, University Physics Volume 2, 15.4 Power in an AC Circuit — 瞬时功率、平均功率与功率因数。
- OpenStax, University Physics Volume 2, 15.6 Transformers — 变比、功率守恒与高压输电动机。
- MIT OpenCourseWare 8.02, Chapter 12: AC Circuits — RMS 功率、并联 RLC、变压器。
- NIST Technical Note 1654, Regarding Electric Energy Savings, Power Factors, and Carbon Footprints: A Primer — 功率因数校正的物理边界。
- U.S. Department of Energy, Opportunities for Energy Efficiency Improvements in the U.S. Electricity Transmission and Distribution System — \(I^2R\)、电晕、皮肤效应和系统损耗。
- U.S. Department of Energy, Electricity Transmission: A Primer — 电网、升降压、热限额与 AC/DC 系统边界。
Source-to-content map
| Source | Used for | Knowledge ID / Section | Model boundary or convention |
|---|---|---|---|
| OpenStax 15.4 | \(p(t)\)、\(P\)、PF | P04-U09-L03-K01、P04-U09-L03-K02 | 正弦稳态、RMS |
| OpenStax 15.6 | 匝数比、升压输电 | P04-U09-L03-K03、P04-U09-L03-K04 | 理想变压器后再讨论损耗 |
| MIT 8.02 Ch. 12 | AC 功率和变压器 | P04-U09-L03-K01、P04-U09-L03-K02、P04-U09-L03-K03 | 本课统一被动符号约定 |
| NIST TN 1654 | PF 校正解释 | P04-U09-L03-K02、Misconception clinic | 区分负载用能与配电损耗 |
| DOE efficiency report | 线路损耗与补偿 | P04-U09-L03-K02、P04-U09-L03-K04 | 真实损耗不止欧姆损耗 |
| DOE transmission primer | 输电网络与 HVDC 边界 | P04-U09-L03-K04 | 单线模型只是局部近似 |
复习与拓展
- 下一课 Maxwell's Completion of Electromagnetism 把电路中的能量输运提升为场的 Poynting 流描述。
- 三相功率、同步机、潮流计算属于后续电力系统课程。
- 复杂功率与传输线反射中的阻抗匹配共享复数方法，但设计目标不同。