麦克斯韦对电磁学的统一

Learning objectives / 学习目标

完成本课后，你应能：

1. 用充电电容器的两个跨界曲面定位原安培定律的逻辑矛盾。
2. 定义位移电流并证明理想平行板电容器中 \(I_d=I\)。
3. 陈述真空中 Maxwell equations 的积分形式，解释每个边界、方向和源项。
4. 用 divergence theorem 与 Stokes theorem 得到微分形式，并说明其光滑性要求。
5. 从 Ampère–Maxwell law 推导 continuity equation，检查电荷守恒、量纲与极限。

Prerequisites / 先修知识

• Gauss's Law and Symmetry：闭曲面通量。
• Ampère's Law：稳恒电流与环路积分。
• Faraday's and Lenz's Laws：变化磁通与环流电场。
• Capacitance and Stored Energy：\(C=\epsilon_0A/d\)。
• 向量散度、旋度、Stokes theorem 与 divergence theorem。

Scope and conventions / 范围与约定

• 采用 SI；场写作 \(\mathbf E(\mathbf r,t)\)、\(\mathbf B(\mathbf r,t)\)。
• 闭曲面面积元 \(d\mathbf A\) 指向外；环路方向与所选开曲面的法向遵循右手规则。
• 除特别说明，介质是真空，源为自由电荷密度 \(\rho\) 和电流密度 \(\mathbf J\)。
• “位移电流”不是电荷穿过真空隙的输运；它是 \(\epsilon_0\,d\Phi_E/dt\) 在 Ampère–Maxwell law 中的等效源项。
• 积分形式对分片光滑场适用；写微分形式时假定观察点附近场和源足够光滑。奇异点应回到积分形式或用分布处理。
• 本课不讨论磁单极、极化介质中的 \(\mathbf D,\mathbf H\) 或规范势。

Notation and modeling contract / 符号与建模契约

Knowledge 1 — Inconsistency of Ampère's law for charging capacitors / 充电电容器揭示的安培定律问题

Knowledge ID: P04-U10-L01-K01

1.1 Surface independence is not optional

稳恒磁学中的 Ampère law 为

\[\oint_C\mathbf B\cdot d\boldsymbol\ell=\mu_0 I_{\mathrm{enc}}.\]

同一几何回路 \(C\) 可张成不同曲面。若右侧是物理定律，它不能因我们画哪一张数学曲面而改变。对正在充电的电容器，穿过导线的 \(S_1\) 截获传导电流 \(I\)；鼓起并穿过板间隙的 \(S_2\) 却没有任何电荷越过。旧式定律于是同时预言 \(\mu_0I\) 与 \(0\)。

1.2 Local diagnosis

对旧式微分定律 \(\nabla\times\mathbf B=\mu_0\mathbf J\) 取散度：

\[0=\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf B)=\mu_0\nabla\cdot\mathbf J.\]

它强迫 \(\nabla\cdot\mathbf J=0\)，只容许稳恒电流；而充电区域有 \(\partial\rho/\partial t\ne0\)。矛盾不是电容器的怪现象，而是旧式 Ampère law 缺少时间依赖项。

Knowledge 2 — Displacement current / 位移电流

Knowledge ID: P04-U10-L01-K02

Maxwell 增加

\[I_d\equiv\epsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt},\]

使安培环路定律成为

\[\oint_C\mathbf B\cdot d\boldsymbol\ell =\mu_0\left(I_c+I_d\right).\]

对边缘效应可忽略的平行板电容器，\(E=Q/(\epsilon_0A)\)，因此

\[I_d=\epsilon_0\frac{d(EA)}{dt} =\frac{dQ}{dt}=I_c.\]

两张曲面于是给出同一个磁场环流。量纲检查：\(\epsilon_0(d\Phi_E/dt)\) 的单位为 \((\mathrm{C/(V\,m)})(\mathrm{V\,m/s})=\mathrm A\)。

位移电流密度在真空中写作

\[\mathbf J_d=\epsilon_0\frac{\partial\mathbf E}{\partial t}.\]

它会产生磁场，但不能据此声称有真实带电粒子跨越间隙。介质中常写 \(\partial\mathbf D/\partial t\)；那是把极化响应纳入宏观场的另一种记账，本课暂不展开。

Knowledge 3 — Maxwell's equations in integral form / 麦克斯韦方程积分形式

Knowledge ID: P04-U10-L01-K03

真空中的完整积分形式为

\[\oint_{\partial V}\mathbf E\cdot d\mathbf A=\frac{Q_{\rm enc}}{\epsilon_0},\]

\[\oint_{\partial V}\mathbf B\cdot d\mathbf A=0,\]

\[\oint_{\partial S}\mathbf E\cdot d\boldsymbol\ell=-\frac{d}{dt}\int_S\mathbf B\cdot d\mathbf A,\]

\[\oint_{\partial S}\mathbf B\cdot d\boldsymbol\ell =\mu_0\int_S\mathbf J\cdot d\mathbf A +\mu_0\epsilon_0\frac{d}{dt}\int_S\mathbf E\cdot d\mathbf A.\]

前两式是“闭曲面账本”：电荷是 \(\mathbf E\) 的源，已知实验范围内没有磁荷源。后两式是“边界—跨界”关系：变化磁通造成电场环流；传导电流与变化电通量共同造成磁场环流。

方向约定不可省略：改变 \(S\) 的法向，\(\partial S\) 的正向也必须一起反转。Faraday law 的负号编码 Lenz law；它不是可以按题意随意添加的符号。

Knowledge 4 — Maxwell's equations in differential form / 麦克斯韦方程微分形式

Knowledge ID: P04-U10-L01-K04

对任意小体积使用 divergence theorem、对任意小曲面使用 Stokes theorem，得到局域方程：

\[\nabla\cdot\mathbf E=\frac{\rho}{\epsilon_0}, \qquad \nabla\cdot\mathbf B=0,\]

\[\nabla\times\mathbf E=-\frac{\partial\mathbf B}{\partial t}, \qquad \nabla\times\mathbf B=\mu_0\mathbf J+\mu_0\epsilon_0\frac{\partial\mathbf E}{\partial t}.\]

积分形式说区域及边界的总账；微分形式说每一个普通点的局域源和旋涡。两者在足够光滑时等价，但点电荷处的 \(\mathbf E\) 发散，不能把“普通函数的点值”当成完整描述。

Knowledge 5 — Charge conservation and continuity equation / 电荷守恒与连续性方程

Knowledge ID: P04-U10-L01-K05

任意固定体积 \(V\) 内的电荷变化来自穿出边界的净电流：

\[\frac{d}{dt}\int_V\rho\,dV=-\oint_{\partial V}\mathbf J\cdot d\mathbf A.\]

用 divergence theorem 得局域 continuity equation：

\[\boxed{\frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot\mathbf J=0.}\]

也可直接从 Ampère–Maxwell law 推导：对其取散度，利用 \(\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf B)=0\) 及 Gauss law，

\[0=\mu_0\nabla\cdot\mathbf J+\mu_0\epsilon_0\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\cdot\mathbf E) =\mu_0\left(\nabla\cdot\mathbf J+\frac{\partial\rho}{\partial t}\right).\]

这说明 displacement-current term 不是装饰性“对称补丁”，而是电磁场方程与局域电荷守恒相容所必需。

稳恒情形 \(\partial\rho/\partial t=0\) 恢复 \(\nabla\cdot\mathbf J=0\)；这正是旧式 Ampère law 的有效边界，而不是普遍定律。

Worked Examples / 完整例题

Worked Example 1 — Charging capacitor: two surfaces, one field

半径 \(R=4.00\,\mathrm{cm}\) 的圆形平行板电容器以恒定 \(I=0.600\,\mathrm A\) 充电。求板间 \(r=1.50\,\mathrm{cm}\) 圆周上的 \(B\)。

对象与约定： 取板间场近似均匀、忽略边缘效应；回路圆心与极板同轴，电流指向上板，以右手定则定义 \(+\phi\)。
模型： \(r<R\) 时只有面积比 \(r^2/R^2\) 的电通量穿过回路内曲面，故 \(I_{d,\rm enc}=I r^2/R^2\)。

\[B(2\pi r)=\mu_0I\frac{r^2}{R^2},\]

\[B=\frac{\mu_0Ir}{2\pi R^2} =\frac{(4\pi\times10^{-7})(0.600)(0.0150)}{2\pi(0.0400)^2} =1.13\times10^{-6}\,\mathrm T.\]

检查： 单位为 T；\(B\propto r\) 且 \(r\to0\) 时趋零。方向为绕充电电流的 \(+\phi\)。答案保留三位有效数字。

Worked Example 2 — RC charging displacement current

\(R=2.00\,\mathrm{k\Omega}\)、\(C=5.00\,\mu\mathrm F\) 串联接到 \(12.0\,\mathrm V\) 电源，\(t=8.00\,\mathrm{ms}\) 时求导线电流与板间总位移电流。

系统与模型： 理想 lumped RC，忽略漏电和边缘场；正方向取电流流入正极板。

\[I_c(t)=\frac{V}{R}e^{-t/(RC)},\qquad RC=10.0\,\mathrm{ms},\]

\[I_c=(6.00\,\mathrm{mA})e^{-0.800}=2.70\,\mathrm{mA}.\]

由 \(I_d=\epsilon_0d\Phi_E/dt=dQ/dt\)，

\[I_d=2.70\,\mathrm{mA}.\]

检查： \(t=0\) 时应为 \(6.00\,\mathrm{mA}\)，\(t\to\infty\) 时两者都趋零；结果满足。位移电流不是电子越过介质。

Worked Example 3 — Integral-to-local Gauss law

已知球内 \(\mathbf E=ar\,\hat{\mathbf r}\)，其中 \(a=2.00\times10^3\,\mathrm{V\,m^{-2}}\)。求体电荷密度并核对半径 \(0.100\,\mathrm m\) 球内总电荷。

参考系与模型： 球心为原点；场在原点光滑且球对称。

\[\nabla\cdot(ar\hat{\mathbf r})=\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}(ar^3)=3a, \qquad \rho=3\epsilon_0a=5.31\times10^{-8}\,\mathrm{C\,m^{-3}}.\]

\[Q=\rho\frac{4\pi R^3}{3}=2.23\times10^{-10}\,\mathrm C.\]

积分核对：\(\epsilon_0E(R)4\pi R^2=4\pi\epsilon_0aR^3\)，数值相同。量纲和 \(R^3\) 缩放均正确。

Worked Example 4 — Continuity fixes a time-dependent current

一球内均匀电荷密度为 \(\rho(t)=\rho_0e^{-t/\tau}\)，要求球内电流保持球对称且在 \(r=0\) 有限。求 \(\mathbf J(r,t)\)。

系统与方向： 以球心为原点，\(\hat{\mathbf r}\) 向外；球是固定控制体。设 \(\mathbf J=J_r\hat{\mathbf r}\)。

\[\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2J_r) =-\frac{\partial\rho}{\partial t}=\frac{\rho}{\tau}.\]

积分并用原点有限性排除 \(C/r^2\) 项：

\[r^2J_r=\frac{\rho r^3}{3\tau}, \qquad \boxed{\mathbf J=\frac{\rho_0e^{-t/\tau}}{3\tau}r\hat{\mathbf r}}.\]

检查： 电荷减少，所以电流应向外；\(J_r\propto r\) 在原点有限。单位为 \(\mathrm{C\,m^{-3}}\,\mathrm m/\mathrm s=\mathrm{A\,m^{-2}}\)。

Lesson synthesis / 本课综合

建模流程：先声明回路、曲面及相互取向；再判定问题需积分还是局域形式；列出真实传导电流和变化电通量；利用对称性计算；最后用 surface independence、continuity equation、量纲和稳恒极限交叉检查。

Formula-and-decision table / 公式与决策表

Model boundaries / 模型边界

• 理想平行板结论 \(I_d=\epsilon_0A\,dE/dt\) 忽略 fringing；完整通量仍满足 surface independence。
• 真空形式使用 \(\epsilon_0,\mu_0\)；线性介质中宏观 \(\mathbf D,\mathbf H\) 的源分类依约定而变，但微观 Maxwell equations 不变。
• 微分方程的经典场假设在量子尺度、点源自能与强场量子电动力学问题中不足。
• Maxwell equations 给出场的演化和源；粒子的机械响应还需要 Lorentz force law。

Misconception clinic / 误区诊所

1. “\(I_d\) 是电子穿过电容器介质。” 错。它由变化电通量定义；若有漏电，漏电才属于 \(I_c\)。
2. “回路任选，曲面也能独立任选方向。” 错。\(C\) 与 \(S\) 的取向由右手规则绑定。
3. “\(\nabla\cdot\mathbf B=0\) 说明 \(\mathbf B=0\)。” 错。它只说明无净磁通源，闭合磁力线可非零。
4. “积分形式比微分形式近似。” 错。满足数学条件时两者等价；积分形式对奇异源往往更稳健。
5. “连续性方程决定电流的全部细节。” 错。它只约束散度；还需本构关系和边界条件。

Practice and retrieval / 练习与提取

1. K01 概念： 为什么旧式 Ampère law 在稳恒导线中没有暴露曲面矛盾？

2. K02 定量： 电通量以 \(3.20\times10^5\,\mathrm{V\,m\,s^{-1}}\) 增加，求 \(I_d\)。

3. K02 图像： 若 \(\Phi_E(t)=\Phi_0\sin\omega t\)，写出 \(I_d(t)\) 并指出相位。

4. K03 方向： 将 Faraday law 的曲面法向反向后，等式如何保持？

5. K03 分类： 哪两条 Maxwell equation 是通量律，哪两条是环流律？

6. K04 推导： 用 Stokes theorem 从积分 Faraday law 得到局域形式。

7. K04 边界： 为什么点电荷处不宜直接把 \(\nabla\cdot\mathbf E\) 当普通有限函数？

8. K05 符号： 某小体积有净外流 \(5.0\,\mathrm{mA}\)，体内总电荷变化率是多少？

9. K05 判断： \(\mathbf J=J_0x\hat{\mathbf x}\) 且 \(\rho(x,0)=0\)。求初始 \(\partial\rho/\partial t\)。

10. 综合： 若删去 Ampère–Maxwell law 的位移项，对其取散度会与哪条基本守恒律冲突？

Exit ticket / 离堂检核

1. 不看笔记，用“同边界两曲面”图解释 displacement current 为什么必需。
2. 从 differential Ampère–Maxwell law 在三行内推出 continuity equation，并逐项说明单位。

References and source notes / 参考资料与来源说明

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资料和链接实际核对日期：2026-08-28。所有图示依据方程原创绘制；例题与练习独立复算。

复习与拓展

• Electromagnetic Waves：在无源区对旋度方程再取旋度得到波动方程。
• Energy and Momentum：由场方程导出局域能量账本。
• Potentials and Gauge Freedom：用势自动满足两条齐次 Maxwell equations。