眼睛与相机

Learning objectives / 学习目标

1. 用 reduced-eye model 计算远点、近点与 accommodation range。
2. 由焦点相对视网膜的位置判断 myopia、hyperopia 与 astigmatism，并求理想矫正镜光焦度。
3. 用薄透镜、f-number 与允许弥散圈分析 focus、exposure 和 depth of field。
4. 用 pixel pitch、Nyquist frequency、Poisson shot noise 与 read noise 建立传感器预算。
5. 区分 optical blur、defocus blur、sampling alias 与 random noise。

Prerequisites / 先修知识

• Thin-lens equation, magnification, and optical power。
• 小角近似、相似三角形、平方反比与独立随机量方差相加。
• Poisson 计数：平均值为 \(N\) 时，理想 shot-noise 标准差为 \(\sqrt N\)。

Scope and conventions / 范围与约定

• 眼睛采用单薄透镜 reduced-eye model；真实多界面被等效为总光焦度。
• 眼睛/相机数值成像用正实距离：\(s_o>0\) 是镜前实物，\(s_i>0\) 是镜后实像，\(1/f=1/s_o+1/s_i\)。
• corrective lens 使用带符号焦距：发散镜 \(f<0\)、会聚镜 \(f>0\)；除非说明，忽略眼镜到眼的 vertex distance。
• aperture diameter 为 \(D_a\)，f-number 为 \(N_f=f/D_a\)，避免与光子数混淆。
• sensor pitch \(p\) 是像素中心距；Nyquist 只限制采样，不保证 optics 仍传递对比度。
• 噪声以 electrons 计，假设独立方差相加；不做临床诊断，不讨论 demosaicing 和非线性降噪。

Notation and modeling contract / 符号与建模契约

Knowledge 1 — Eye optics, accommodation, and near/far points / 眼球光学、调焦与远近点

Knowledge ID: P05-U03-L01-K01

角膜提供主要会聚，晶状体改变曲率做精细调焦。把二者等效为一片透镜，视网膜位于固定 \(s_i\)。要看清不同距离 \(s_o\)，眼睛改变光焦度：

\[P=\frac1f=\frac1{s_o}+\frac1{s_i}.\]

远物 \(s_o\to\infty\) 时所需光焦度最小；物体靠近时 \(1/s_o\) 增大，必须增加光焦度。这称 accommodation / 调焦。

图 1 把多界面眼球压缩为单透镜；它适合一阶估算，不代表真实眼球只有一个折射面。

• far point \(R_F\)： 最小调焦时仍能看清的最远物点；正视眼约在无穷远。
• near point \(R_N\)： 最大调焦时能看清的最近物点；\(0.250\ \mathrm m\) 只是教材参考值。
• accommodation range：

\[\Delta P=P_N-P_F=\frac1{R_N}-\frac1{R_F}.\]

图 2 的斜率为 1；accommodation 是光焦度差，不是简单焦距差。

Knowledge 2 — Myopia, hyperopia, astigmatism, and correction / 近视、远视、散光与矫正

Knowledge ID: P05-U03-L01-K02

• myopia / 近视： 放松眼对平行光会聚过强，焦点在视网膜前；用负光焦度镜把远物形成在眼的有限远点。
• hyperopia / 远视： 眼轴偏短或光焦度不足，焦点倾向落在视网膜后；用正光焦度镜预会聚。
• astigmatism / 散光： 两个主子午面光焦度不同，同一物点产生两个焦线；需 cylindrical/toric power 并给 axis。

图 3 只比较焦点位置；真实成因可来自眼轴、角膜或晶状体。

近视眼远点为 \(R_F\)，紧贴眼睛的矫正镜需把无穷远物体形成在 \(s_i=-R_F\)：

\[P_c=\frac1{f_c}=-\frac1{R_F}.\]

远视眼若要把位于参考近点 \(D\) 的物体形成在自身近点 \(R_N\)：

\[P_c=\frac1D-\frac1{R_N}>0.\]

图 4 显示眼镜先制造眼睛能聚焦的虚物，不是独自形成视网膜实像。

Knowledge 3 — Camera focus, aperture, exposure, and depth of field / 相机对焦、光圈、曝光与景深

Knowledge ID: P05-U03-L01-K03

相机令 lens 形成实像并使 sensor 位于 \(s_i\)：

\[\frac1f=\frac1{s_o}+\frac1{s_i}, \qquad m=-\frac{s_i}{s_o}.\]

远物 \(s_i\approx f\)；物体靠近时 \(s_i\) 增大，相机移动镜组或改变内部等效焦距。

图 5 同时给出对焦位置与倒立实像；电子显示旋转不改变光学方向。

f-number 为

\[N_f=\frac f{D_a}.\]

同一场景、透过率与焦距下，sensor exposure 近似满足

\[H\propto\frac{t_e}{N_f^2}.\]

图 6 按 2:1 直径画出 f/4 与 f/8；同为 f/8 的不同焦距并不具有同一物理直径。

邻近焦平面的物点在 sensor 上形成 circle of confusion。允许直径 \(c\) 越大、aperture 越小，通常可接受的物距范围越宽，称 depth of field。

图 7 表明景深由容许度定义，不是空间中绝对清晰的硬边界。

Knowledge 4 — Sensor size, pixel sampling, and image noise / 传感器尺寸、像素采样与图像噪声

Knowledge ID: P05-U03-L01-K04

固定焦距时，大 sensor 截取更大 image circle、视场更宽；“透视”主要由 viewpoint 决定。像素 pitch 为 \(p\) 时

\[\boxed{\nu_N=\frac1{2p}}.\]

超过 \(\nu_N\) 的条纹会 alias 成错误低频；pixel aperture、optical PSF 与 demosaicing 还会改变有效传递。

图 8 将连续光强与离散像素并列；更多 megapixels 只有在 optics、focus、motion 与 SNR 支持时才变成细节。

平均信号 \(N_e\) 的 shot-noise variance 为 \(N_e\)。加入独立 read/dark noise：

\[\sigma_{\rm tot}=\sqrt{N_e+\sigma_r^2+\sigma_d^2}, \qquad \mathrm{SNR}=\frac{N_e}{\sigma_{\rm tot}}.\]

photon-limited 且未饱和时 \(\mathrm{SNR}\approx\sqrt{N_e}\)；曝光 4 倍，SNR 只增 2 倍。

图 9 显示平方根规律；曲线在 full-well saturation 处终止。

图 10 给出成像链；不能仅凭“坏图”唯一反推问题发生在哪一环。

Worked Examples / 完整例题

Worked Example 1 — Accommodation range of a reduced eye

已知： \(s_i=17.0\ \mathrm{mm}\)，\(R_F=\infty\)，\(R_N=0.250\ \mathrm m\)。
研究对象/系统： 角膜—晶状体等效透镜与固定视网膜，不含眼镜。
参考系/正向： 沿光传播；正实距离。
模型： reduced eye、近轴薄透镜。

\[P_F=\frac1{0.0170}=58.8\ \mathrm D,\]

\[P_N=\frac1{0.250}+\frac1{0.0170}=62.8\ \mathrm D, \qquad \Delta P=4.00\ \mathrm D.\]

结论： 从无穷远调到 \(0.250\ \mathrm m\) 需增加 \(4.00\ \mathrm D\)。
检查： 单位为 m\(^{-1}\)；\(R_N\to\infty\) 时 \(\Delta P\to0\)。靠近物体要求增加会聚能力，符合图 2。

Worked Example 2 — Correcting a myopic far point

已知： 裸眼远点 \(R_F=0.500\ \mathrm m\)，眼镜紧贴眼睛，看无穷远。
研究对象/系统： corrective lens 先成像，眼睛后聚焦。
参考系/正向： 入射从左向右；远点虚像 \(s_i=-R_F\)。
模型： 薄镜、vertex distance 忽略、平行入射。

\[P_c=\frac1{s_i}=\frac1{-0.500}=-2.00\ \mathrm D, \qquad f_c=-0.500\ \mathrm m.\]

结论： 需 \(-2.00\ \mathrm D\) 发散镜。
检查： 负号符合降低总光焦度；\(R_F\to\infty\) 时处方趋零。眼镜制造远点虚像，而非视网膜实像。

Worked Example 3 — Camera focus shift and aperture stop

已知： \(f=50.0\ \mathrm{mm}\)，\(s_o=2.00\ \mathrm m\)；f/4、\(1/250\ \mathrm s\) 改为 f/8 并保持曝光。
研究对象/系统： lens 到 sensor，场景和透过率不变。
参考系/正向： 镜前实物与镜后实像距离取正。
模型： 薄透镜，\(H\propto t_e/N_f^2\)。

\[s_i=\left(\frac1{0.0500}-\frac1{2.00}\right)^{-1} =0.0513\ \mathrm m.\]

相对无穷远焦平面，后移 \(51.3-50.0=1.28\ \mathrm{mm}\)。曝光时间倍率

\[\left(\frac84\right)^2=4, \qquad t_e'=\frac4{250}=0.0160\ \mathrm s=\frac1{62.5}\ \mathrm s.\]

结论： \(s_i=51.3\ \mathrm{mm}\)，保持曝光需约 \(1/62.5\ \mathrm s\)。
检查： 有限物距给 \(s_i>f\)；直径减半、面积四分之一。长曝光会增大 motion blur 风险。

Worked Example 4 — Sampling and photon-noise budget

已知： \(p=4.00\ \mu\mathrm m\)，\(N_e=1.00\times10^4\) electrons，\(\sigma_r=5.00\) electrons，dark noise 忽略。
研究对象/系统： 单像素线性传感器；量化与固定图样噪声不计。
参考系/正向： sensor plane 一维空间频率，计数非负。
模型： 均匀采样；独立 Poisson shot noise 与 Gaussian read noise。

\[\nu_N=\frac1{2(4.00\times10^{-6})} =1.25\times10^5\ \mathrm{cycles\,m^{-1}} =125\ \mathrm{cycles\,mm^{-1}}.\]

\[\sigma_{\rm tot}=\sqrt{10\,000+5.00^2}=100.1\ \mathrm{electrons}, \qquad \mathrm{SNR}=99.9.\]

结论： Nyquist frequency 为 \(125\ \mathrm{cycles\,mm^{-1}}\)，SNR 为 \(99.9\)。
检查： shot noise 约 \(100\) electrons，远大于 read noise；Nyquist 不承诺镜头仍有高对比度。

Lesson synthesis / 本课综合

眼睛与相机共享“lens → aperture → image plane → detector”的骨架。眼睛固定 retina、改变光焦度；相机多移动镜组改变像距。成像质量应依次检查 focus、aperture 的通光/景深/衍射权衡、pixel sampling，最后建立 photon/read/dark noise budget。

Formula-and-decision table / 公式与决策表

Model boundaries / 模型边界

• reduced eye 忽略角膜非球面、晶状体梯度折射率、瞳孔位置与神经处理，不能替代验光。
• 高度数处方若 vertex distance 不可忽略，不能直接套紧贴公式。
• 薄透镜相机忽略多片镜组、focus breathing、vignetting、aberration 与 diffraction。
• depth of field 由 circle-of-confusion 容许度定义，不是绝对清晰区间。
• Nyquist theorem 假设均匀采样；Bayer mosaic、fill factor 与 demosaicing 会改变二维结果。
• shot noise 是光子统计，不是廉价 sensor 的制造缺陷；算法不能恢复未收集的信息。

Misconception clinic / 误区诊所

1. “眼睛前后移动晶状体调焦。” 主要改变曲率与等效光焦度，retina distance 基本固定。
2. “近视镜直接在视网膜成像。” 它先制造远点虚像，眼睛再成像。
3. “f/8 就是 8 mm 孔径。” f-number 是 \(f/D_a\)。
4. “缩光圈只增加景深。” 它降低 irradiance、可能延长曝光并增强 diffraction blur。
5. “像素越多必然越清晰。” optics、sampling、motion、focus 与 SNR 中最弱环节限制细节。
6. “提高 ISO 收集更多光子。” 给定 aperture 和 exposure time，ISO/gain 不增加入射光子。

Practice and retrieval / 练习与提取

1. K01： \(s_i=16.7\ \mathrm{mm}\) 的 reduced eye 看无穷远时光焦度？

2. K01： 远点无穷远、近点 \(0.400\ \mathrm m\)，accommodation range？

3. K02： 近视远点 \(0.800\ \mathrm m\)，紧贴眼睛看无穷远需多大光焦度？

4. K02： 为什么普通球面镜不能完整矫正 astigmatism？

5. K03： \(f=100\ \mathrm{mm}\) 镜头 f/5 的 entrance-pupil diameter？

6. K03： 从 f/2.8 收到 f/5.6，保持曝光需把时间乘多少？

7. K03： 为什么 depth of field 不是绝对边界？

8. K04： \(p=2.00\ \mu\mathrm m\) 的一维 Nyquist frequency？

9. K04： photon-limited 像素由 \(N_e=400\) 增至 \(1600\)，SNR 变为几倍？

10. 综合： 错误宽条纹与暗区随机颗粒分别对应哪类问题？

Exit ticket / 离堂检核

1. 对“远处清楚、近处模糊”的眼睛，画焦点、选矫正镜符号并用近点写出处方关系。
2. 给定 lens、aperture、exposure、pixel pitch 与 photon count，建立 focus → sampling → noise 审计。

References and source notes / 参考资料与来源说明

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资料和链接实际打开核对日期：2026-08-28。图示依据方程原创；例题与练习独立复算。

复习与拓展

• Lenses and Optical Systems：薄透镜与光焦度。
• Optical Instruments：angular magnification。
• Imaging Quality：PSF/MTF。
• Resolution and Fourier Optics：空间频率与采样。