透镜与光学系统

Learning objectives / 学习目标

1. 在统一笛卡尔坐标下推导并应用球面折射公式。
2. 由两个球面折射面得到薄透镜公式、放大率与主光线规则。
3. 用曲率半径和相对折射率求 lens-maker equation 与 optical power。
4. 逐面追迹多透镜系统，正确处理 intermediate image 作为下一元件的实物或虚物。
5. 建立 free propagation 与 thin lens 的 ABCD 矩阵，按光线实际遇到元件的反序书写总乘积。

Prerequisites / 先修知识

• Snell's Law。
• Cartesian Sign Convention and Paraxial Imaging。
• 矩阵乘法不交换：一般 \(M_2M_1\ne M_1M_2\)。

Scope and conventions / 范围与约定

• 光从左向右传播，实验室 \(+x\) 向右；每个折射面顶点或薄透镜主平面作为该步的局部 \(x=0\)。
• 轴上物、像和曲率中心都用 带符号坐标：实物通常 \(x_o<0\)，实像通常 \(x_i>0\)；曲率中心在表面右侧时 \(R>0\)。
• 横向高度向上为正。对折射面，\(m=n_1x_i/(n_2x_o)\)；对两侧同介质的薄透镜，\(m=x_i/x_o\)。
• 薄透镜焦距 \(f>0\) 为会聚、\(f<0\) 为发散；焦距是坐标形式的 signed focal length。
• ABCD 部分采用光线列向量 \((y,\theta)^{\mathsf T}\)，仅对同一均匀外介质中的 free space 与 ideal thin lenses 直接使用；角度为小角弧度。
• 元件按 \(M_1,M_2,\ldots,M_N\) 的顺序被光遇到时，总矩阵是 \(M_N\cdots M_2M_1\)。
• 不讨论厚透镜主平面完整求解、高数值孔径、衍射、像差或 Gaussian beam 的复 \(q\) 参数。

Notation and modeling contract / 符号与建模契约

Knowledge 1 — Refraction at a spherical surface / 球面折射

Knowledge ID: P05-U02-L03-K01

从 Snell 定律到 Gaussian surface equation

球面界面顶点在 \(x=0\)，介质 1 在左、介质 2 在右。物点坐标为 \(x_o\)，像点为 \(x_i\)，曲率中心坐标为 \(R\)。对高度 \(y\) 的近轴光线，所有相关角都小，故 \(\sin\theta\approx\theta\)。

把入射线、法线和折射线相对 \(+x\) 的小斜率代入 \(n_1\theta_1=n_2\theta_2\)，整理得到

\[\boxed{\frac{n_2}{x_i}-\frac{n_1}{x_o} =\frac{n_2-n_1}{R}}.\]

这一个式子同时允许实物、虚物、实像、虚像与两种曲率；前提是所有位置都作为坐标代入。

横向放大率来自近轴几何与折射角权重：

\[\boxed{m=\frac{y_i}{y_o}=\frac{n_1x_i}{n_2x_o}}.\]

若 \(x_o<0\)、\(x_i>0\)，则 \(m<0\)，实像倒立。平面界面是 \(R\to\infty\)：

\[\frac{n_2}{x_i}=\frac{n_1}{x_o},\]

所以实物 \(x_o<0\) 通常给 \(x_i<0\) 的虚像，这与视深一致。

Knowledge 2 — Thin-lens equation and magnification / 薄透镜公式与放大率

Knowledge ID: P05-U02-L03-K02

两个球面相加

设透镜材料折射率为 \(n_\ell\)，外界两侧均为 \(n_m\)。第一表面形成中间像 \(x'\)：

\[\frac{n_\ell}{x'}-\frac{n_m}{x_o} =\frac{n_\ell-n_m}{R_1}.\]

在薄透镜极限，两表面顶点视为同一平面；第二表面把同一中间会聚/发散状态变为最终像：

\[\frac{n_m}{x_i}-\frac{n_\ell}{x'} =\frac{n_m-n_\ell}{R_2}.\]

两式相加消去 \(x'\)，定义焦距后得到

\[\boxed{\frac1{x_i}-\frac1{x_o}=\frac1f}, \qquad \boxed{m=\frac{y_i}{y_o}=\frac{x_i}{x_o}}.\]

注意镜面公式是 \(1/x_o+1/x_i=1/f\) 且 \(m=-x_i/x_o\)；差异来自反射改变传播方向，不能机械照搬。

会聚薄透镜的三条主光线：平行入射后过像方焦点；过物方焦点后平行；过 optical center 在薄透镜近似中不偏折。发散透镜的平行入射光出射后发散，其反向延长通过物方虚焦点。

Knowledge 3 — Lens-maker equation and optical power / 透镜制造者公式与光焦度

Knowledge ID: P05-U02-L03-K03

由上一节两表面相加可直接读出薄透镜制造者公式：

\[\boxed{\frac1f= \left(\frac{n_\ell}{n_m}-1\right) \left(\frac1{R_1}-\frac1{R_2}\right)}.\]

曲率半径由曲率中心位置定号。对左入射的双凸透镜，第一面中心在右，\(R_1>0\)；第二面中心在左，\(R_2<0\)，所以通常 \(f>0\)。双凹则相反。

光焦度定义为

\[\boxed{\Phi=\frac1f},\]

当 \(f\) 用 m 时单位是 diopter：\(1\,\mathrm D=1\,\mathrm{m^{-1}}\)。浸入液体后，真正起作用的是相对折射率 \(n_\ell/n_m\)；若 \(n_m\) 接近 \(n_\ell\)，透镜光焦度减小。若外界折射率高于透镜材料，原来会聚的形状甚至可能变为发散。

该式忽略中心厚度。厚透镜需保留两面间距，焦距应相对 principal planes 定义；仅从几何中心测量会产生系统误差。

Knowledge 4 — Multiple lenses and equivalent systems / 多透镜与等效系统

Knowledge ID: P05-U02-L03-K04

逐元件追迹：中间像就是下一步的物

设第 1、2 透镜的全局位置为 \(X_1,X_2\)。物的全局坐标为 \(X_O\)。对第一透镜使用局部物坐标

\[x_{o1}=X_O-X_1,\]

求得 \(x_{i1}\) 后，中间像全局位置为

\[X_{I1}=X_1+x_{i1}.\]

第二透镜看到的局部物坐标是

\[x_{o2}=X_{I1}-X_2.\]

若 \(x_{o2}<0\)，中间像在第二透镜左侧，是实物；若 \(x_{o2}>0\)，进入第二透镜的光已朝右侧某点会聚，该点是第二透镜的 virtual object。最终总放大率为 \(m=m_2m_1\)。

两片薄透镜接触时 \(d=0\)，光焦度相加：

\[\Phi_{\mathrm{eq}}=\Phi_1+\Phi_2.\]

若在同一介质中相隔 \(d\)，一阶等效焦度为

\[\boxed{\frac1F=\frac1{f_1}+\frac1{f_2}-\frac{d}{f_1f_2}}.\]

此 \(F\) 是系统 effective focal length；front/back focal distances 还取决于 principal-plane 位移，通常不都等于 \(F\)。

Knowledge 5 — ABCD ray-transfer matrices / ABCD 光线传递矩阵

Knowledge ID: P05-U02-L03-K05

光线状态与基本矩阵

近轴光线在某平面由高度 \(y\) 和小角斜率 \(\theta\) 决定：

\[\mathbf r= \begin{pmatrix}y\\ \theta\end{pmatrix}.\]

在均匀介质中向右传播距离 \(d\)：

\[y_{\mathrm out}=y_{\mathrm in}+d\theta_{\mathrm in}, \qquad \theta_{\mathrm out}=\theta_{\mathrm in},\]

\[\boxed{P(d)= \begin{pmatrix}1&d\\0&1\end{pmatrix}}.\]

通过焦距 \(f\) 的理想薄透镜：

\[y_{\mathrm out}=y_{\mathrm in}, \qquad \theta_{\mathrm out}=\theta_{\mathrm in}-\frac{y_{\mathrm in}}f,\]

\[\boxed{L(f)= \begin{pmatrix}1&0\\-1/f&1\end{pmatrix}}.\]

顺序：右边矩阵先作用

若光依次遇到 \(M_1\)、传播、再遇到 \(M_2\)，则

\[\mathbf r_{\mathrm out} =M_2P(d)M_1\mathbf r_{\mathrm in}.\]

一般系统写成

\[M=\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}, \qquad \mathbf r_{\mathrm out}=M\mathbf r_{\mathrm in}.\]

同一输入物平面上的一点会发出不同 \(\theta_{\mathrm in}\) 的光线。若输出平面要把它们聚到同一 \(y_{\mathrm out}\)，必须消去角度依赖，因此 imaging condition 是

\[\boxed{B=0}.\]

对于上述无损同介质基本矩阵，\(\det M=AD-BC=1\)，可作为乘法自检。

若系统跨越不同折射率，直接用 \((y,\theta)\) 会使界面矩阵行列式含折射率比。改用 reduced angle \((y,n\theta)\) 可保持许多无损系统的 symplectic form；必须先声明选用哪一种 ray vector，不能混合表格。

Worked Examples / 完整例题

Worked Example 1 — Imaging by one spherical refracting surface

空气 \(n_1=1.00\) 中的物点位于球面顶点左侧 \(0.300\,\mathrm m\)；右侧玻璃 \(n_2=1.50\)，曲率中心在右侧 \(0.100\,\mathrm m\)。求像坐标与放大率。

研究对象： 单个球面折射界面。
参考系/系统： 界面静止，光从左向右。
坐标： \(x_o=-0.300\,\mathrm m\)，\(R=+0.100\,\mathrm m\)。
模型： 近轴、透明、各向同性。

\[\frac{1.50}{x_i}-\frac{1.00}{-0.300} =\frac{1.50-1.00}{0.100}=5.00\,\mathrm{m^{-1}}.\]

\[\frac{1.50}{x_i}=1.667\,\mathrm{m^{-1}}, \qquad \boxed{x_i=+0.900\,\mathrm m}.\]

\[m=\frac{n_1x_i}{n_2x_o} =\frac{(1.00)(0.900)}{(1.50)(-0.300)}=-2.00.\]

检查： \(x_i>0\) 为玻璃内实像；\(m<0\) 倒立；每项量纲均为 \(\mathrm{m^{-1}}\)。三位有效数字。

Worked Example 2 — Converging thin lens

会聚薄透镜 \(f=+0.120\,\mathrm m\)，高 \(3.00\,\mathrm{cm}\) 的物体位于 \(x_o=-0.300\,\mathrm m\)。求像。

研究对象： 同一空气中的理想薄透镜。
参考系/系统： 透镜静止，光左向右。
坐标： 透镜平面为 \(x=0\)，高度向上为正。
模型： 近轴、薄透镜。

\[\frac1{x_i}=\frac1f+\frac1{x_o} =\frac1{0.120}+\frac1{-0.300} =5.000\,\mathrm{m^{-1}},\]

\[x_i=+0.200\,\mathrm m, \qquad m=\frac{0.200}{-0.300}=-0.667.\]

\[y_i=(-0.667)(3.00\,\mathrm{cm})=-2.00\,\mathrm{cm}.\]

答案： 透镜右侧 \(0.200\,\mathrm m\) 的倒立、缩小实像。
检查： \(x_i>f\) 且 \(x_o<-f\)；单位、方向与主光线一致。三位有效数字。

Worked Example 3 — Same lens shape in air and water

对称双凸薄透镜 \(n_\ell=1.600\)，\(R_1=+0.200\,\mathrm m\)、\(R_2=-0.200\,\mathrm m\)。分别求在空气 \(n_m=1.000\) 与水 \(n_m=1.333\) 中的光焦度和焦距。

研究对象： 固定曲率的薄透镜。
参考系/系统： 外介质均匀且两侧相同。
坐标： 曲率中心在右为正。
模型： 薄透镜、近轴、忽略色散。

曲率因子

\[\frac1{R_1}-\frac1{R_2}=5.00-(-5.00)=10.0\,\mathrm{m^{-1}}.\]

空气中

\[\Phi_{\mathrm{air}}=(1.600-1)(10.0)=6.00\,\mathrm D, \qquad f_{\mathrm{air}}=0.167\,\mathrm m.\]

水中

\[\Phi_{\mathrm{water}}=\left(\frac{1.600}{1.333}-1\right)(10.0) =2.00\,\mathrm D,\]

\[f_{\mathrm{water}}=0.499\,\mathrm m.\]

检查： 水使相对折射率更接近 1，故光焦度下降、焦距增大；\(\mathrm D=\mathrm{m^{-1}}\)。输入数据支持约三位有效数字。

Worked Example 4 — Two separated lenses by ABCD matrices

空气中先遇到 \(f_1=+0.100\,\mathrm m\) 的薄透镜，传播 \(d=0.0500\,\mathrm m\)，再遇到 \(f_2=+0.200\,\mathrm m\) 的薄透镜。求总矩阵、effective focal length，以及平行入射光从第二透镜后传播多远聚焦。

研究对象： 两薄透镜与中间自由空间。
参考系/系统： 同一静止空气，光从左向右。
坐标： ray vector 为 \((y,\theta)^{\mathsf T}\)。
模型： 近轴、无厚度、无损。

遇到顺序为 \(L_1\to P(d)\to L_2\)，所以

\[M=L(f_2)P(d)L(f_1).\]

\[M= \begin{pmatrix}1&0\\-5&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0.0500\\0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0\\-10&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0.500&0.0500\\-12.5&0.750\end{pmatrix}.\]

\[F=-\frac1C=0.0800\,\mathrm m.\]

平行输入 \(\theta_{in}=0\) 后，在第二透镜处 \(y'=Ay\)、\(\theta'=Cy\)。再传播 \(\ell\) 聚焦需 \(y'+\ell\theta'=0\)：

\[\ell=-\frac AC=-\frac{0.500}{-12.5}=0.0400\,\mathrm m.\]

检查： \(\det M=(0.500)(0.750)-(0.0500)(-12.5)=1.000\)；\(F\) 与 \(1/F=1/f_1+1/f_2-d/(f_1f_2)=12.5\,\mathrm{m^{-1}}\) 一致。三位有效数字。

Lesson synthesis / 本课综合

一阶几何光学的主线是：以笛卡尔坐标写单球面折射 → 把两面相加并取薄透镜极限 → 用 lens-maker equation 把焦距连接到材料与曲率 → 将中间像作为下一元件的物逐步追迹 → 最后把每个线性步骤写成 ABCD 矩阵。坐标符号与矩阵顺序都必须在计算前声明，并用主光线、量纲、\(\det M\) 和极限情况复核。

Formula-and-decision table / 公式与决策表

Model boundaries / 模型边界

• 所有 Gaussian imaging equations 都要求近轴；high-NA systems 必须做精确 ray tracing 或 wave optics。
• 薄透镜忽略中心厚度与 principal-plane separation；厚透镜不能从几何中心套同一公式。
• Lens-maker equation 中 \(n\) 随波长变化，因此真实焦距也有 chromatic dispersion。
• 多透镜逐步成像在每一步都必须重置局部原点；把全局位置误当局部距离会制造符号错误。
• ABCD matrices 描述一阶 ray geometry，不包含 aperture clipping、diffraction、aberration、polarization 或 Fresnel loss。
• 使用 \((y,\theta)\) 与 \((y,n\theta)\) 会得到不同界面矩阵；只有在同一向量定义中组合才合法。

Misconception clinic / 误区诊所

1. “双凸透镜一定会聚。” 在通常空气中是，但光焦度取决于 \(n_\ell/n_m\)；浸入更高折射率介质可改变甚至反转符号。
2. “虚物不是真实计算对象。” 虚物表示进入下一元件的光已朝其出射侧某点会聚，是完全明确的 incoming ray state。
3. “两片透镜的焦度总可直接相加。” 只有接触时如此；分离 \(d\) 带来 \(-d/(f_1f_2)\) 项和主平面位移。
4. “矩阵按光线遇到顺序从左向右相乘。” 列向量右乘约定下，先遇到的矩阵写在最右边。
5. “\(F=80\,\mathrm{mm}\) 就表示最后一片后焦距也是 \(80\,\mathrm{mm}\)。” 对分离系统，effective focal length 与 back focal distance 一般不同。

Practice and retrieval / 练习与提取

1. K01 计算： 平面界面 \(R\to\infty\)，物在玻璃 \(n_1=1.50\) 中 \(x_o=-0.120\,\mathrm m\)，观察侧为空气 \(n_2=1.00\)。求像坐标。

2. K01 符号： 球面曲率中心在顶点左侧 \(0.250\,\mathrm m\)，本课 \(R\) 是多少？

3. K02 计算： 发散透镜 \(f=-0.150\,\mathrm m\)，实物 \(x_o=-0.600\,\mathrm m\)。求 \(x_i,m\)。

4. K02 极限： 会聚透镜的实物恰在物方焦点时，出射光怎样？

5. K03 计算： 空气中 plano-convex 薄透镜 \(n=1.50\)，\(R_1=+0.200\,\mathrm m\)、\(R_2\to\infty\)。求 \(\Phi,f\)。

6. K03 概念： 同一玻璃透镜浸入与玻璃折射率完全相同的液体中，一阶光焦度是多少？

7. K04 计算： 两片接触薄透镜光焦度分别为 \(+4.00\,\mathrm D\) 与 \(-1.50\,\mathrm D\)。求等效焦距。

8. K04 虚物： 第 1 透镜的中间像全局位置 \(X_{I1}=0.40\,\mathrm m\)，第 2 透镜在 \(X_2=0.30\,\mathrm m\)。对第 2 透镜，\(x_{o2}\) 与物的类型是什么？

9. K05 矩阵： 写出光依次传播 \(d_1\)、过透镜 \(f\)、再传播 \(d_2\) 的总矩阵顺序。

10. K05 成像条件： 若 \(M=\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}\) 把物平面映到候选像平面，为什么 \(B=0\) 表示成像？

Exit ticket / 离堂检核

1. 从两个球面折射式消去中间像，重建薄透镜公式和 lens-maker equation，并逐一说明 \(R_1,R_2\) 的符号。
2. 给定三个按空间顺序排列的元件，写出总 ABCD 矩阵，解释为何最先遇到的元件在最右，并给出两种独立自检。

References and source notes / 参考资料与来源说明

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资料和链接实际打开核对日期：2026-08-28。所有图均按本文坐标与方程原创绘制；例题与练习独立复算。

复习与拓展

• Reflection and Refraction：Snell 定律与平面界面。
• Mirrors：比较反射与折射的符号、公式和放大率。
• The Eye and Cameras：把薄透镜、光焦度与 sensor/retina plane 相连。
• Magnifiers, Microscopes, and Telescopes：多元件角放大与焦点配置。
• Gaussian optics：把 ABCD 矩阵作用扩展到 complex beam parameter \(q\)。