能量、动量与反应

Learning objectives / 学习目标

完成本课后，你应能：

1. 由四动量解释 \(\mathbf p=\gamma m\mathbf u\)，并检验低速与 \(u\to c\) 极限。
2. 区分 rest energy、kinetic energy 与 total energy，推导 \(K=(\gamma-1)mc^2\)。
3. 灵活使用 \(E^2=p^2c^2+m^2c^4\)，在 \(E\)、\(p\)、\(u\)、\(m\) 间转换。
4. 对给定系统和 frame 写出碰撞/衰变的四动量守恒，并求两体衰变运动学。
5. 用 \(s=P_{tot}^2c^2\) 或系统 invariant mass 求 fixed-target threshold，并解释 collider 的效率优势。

Prerequisites / 先修知识

• Four-Vectors：\(p^\mu=(E/c,\mathbf p)\)、scalar product、boost 与 mass shell。
• 经典动量、动能、冲量与质心系。
• 二次方程、向量点积与 SI/eV 单位换算意识。

Scope and conventions / 范围与约定

• SI 为默认单位；粒子物理数值可用 eV、MeV、GeV 表示能量，并把动量写成 \(\mathrm{MeV}/c\)、质量写成 \(\mathrm{MeV}/c^2\)，绝不把三者省略后混用。
• 度规仍为 \(\eta=\operatorname{diag}(1,-1,-1,-1)\)，四动量 \(p^\mu=(E/c,\mathbf p)\)。
• \(m\) 是 invariant mass；单粒子静能 \(E_0=mc^2\)。不采用 velocity-dependent mass。
• 碰撞前后都以同一封闭系统为边界；若有未观测 photon、neutrino 或外场交换，它们仍属于四动量账本。
• lab frame 必须说明靶是否静止；CM frame（center-of-momentum frame）定义为总三动量为零的惯性系。
• threshold 指满足守恒律的最小初态能量；在 CM frame 的 threshold，产物彼此无相对动量，但整个产物系统在 lab 中通常仍运动。
• 忽略量子矩阵元、截面、寿命与相互作用动力学；本课只判断 kinematic allowance 与能量—动量分配。

Notation and modeling contract / 符号与建模契约

这里用

\[s=E_{tot}^2-c^2\lvert\mathbf P_{tot}\rvert^2=M^2c^4.\]

若某资料在 natural units 中写 \(s=P^2\)、\(c=1\)，恢复 SI 时必须检查每一项都是 energy squared。

Knowledge 1 — Relativistic momentum / 相对论动量

Knowledge ID: P06-U03-L02-K01

定义与低速极限

相对论三动量是四动量的空间分量：

\[\boxed{\mathbf p=\gamma m\mathbf u}, \qquad \gamma=\frac1{\sqrt{1-u^2/c^2}}.\]

它与 \(\mathbf u\) 同向，但大小不再与速度线性。低速 \(\beta\ll1\) 时

\[\gamma=1+\frac12\beta^2+O(\beta^4),\]

所以

\[\mathbf p=m\mathbf u\left[1+\frac12\frac{u^2}{c^2}+O\left(\frac{u^4}{c^4}\right)\right].\]

当 \(u\to c\)，\(\gamma\to\infty\)，因此有限 invariant mass 的粒子需要无穷动量才能达到 \(c\)。速度虽然趋于上限，动量却没有上限。

守恒的适用条件

若系统外部四动量通量为零，则

\[\frac{d\mathbf P_{tot}}{dt}=0.\]

这并不要求每个粒子动量不变；内部相互作用可以重新分配动量。若只选一个受外力粒子为系统，动量一般不守恒。

Knowledge 2 — Rest energy and total energy / 静能与总能量

Knowledge ID: P06-U03-L02-K02

三层能量账本

单个 on-shell massive particle 的总能量为

\[\boxed{E=\gamma mc^2}.\]

其静止系中 \(\gamma=1\)，故 rest energy

\[\boxed{E_0=mc^2}.\]

定义 kinetic energy 为总能量相对静能的增量：

\[\boxed{K=E-E_0=(\gamma-1)mc^2}.\]

低速展开给

\[K=\frac12mu^2+\frac38m\frac{u^4}{c^2}+O\left(m\frac{u^6}{c^4}\right).\]

第一项恢复 Newtonian kinetic energy；第二项给领先相对论修正。

静能不是“可随意取零”的单粒子常数

在非相对论单粒子运动中，加减一个固定能量常数常不影响运动方程；但反应会改变粒子种类和数目，静能差会变为产物动能或辐射。因此完整反应账本必须使用 total energy，而不能只守恒各粒子的 kinetic energy。

Knowledge 3 — Energy–momentum relation / 能量—动量关系

Knowledge ID: P06-U03-L02-K03

mass shell 的三种用法

由 \(p^\mu p_\mu=m^2c^2\)：

\[\boxed{E^2=p^2c^2+m^2c^4}.\]

它可改写为

\[E=\sqrt{p^2c^2+m^2c^4},\]

\[pc=\sqrt{E^2-m^2c^4},\]

\[\beta=\frac{pc}{E}.\]

对 massless particle，\(m=0\)，所以

\[\boxed{E=pc}.\]

它不是“低质量近似”，而是 null mass shell 的精确关系。对 \(pc\gg mc^2\) 的 massive particle，才可近似 \(E\approx pc\)，更精确展开为

\[E=pc+\frac{m^2c^3}{2p}+O(p^{-3}).\]

量纲与数值稳定性

若 \(E\) 与 \(mc^2\) 极接近，直接用 \(K=E-mc^2\) 可能发生数值消减。可用

\[K=\frac{p^2c^2}{E+mc^2}\]

作为等价且更稳定的表达。低速时分母约 \(2mc^2\)，自动给 \(K\approx p^2/(2m)\)。

Knowledge 4 — Relativistic collisions and decays / 相对论碰撞与衰变

Knowledge ID: P06-U03-L02-K04

四动量账本

对封闭系统，

\[\boxed{\sum_i p_i^\mu=\sum_f p_f^\mu}.\]

选择 frame 只改变各分量，不改变等式。处理步骤是：先圈定系统、写所有初末粒子，再决定 lab 或 CM 哪个更简便。

elastic collision 保持各粒子种类及质量，但仍需同时守恒总能量与总动量。inelastic collision 可改变系统内部能和粒子种类；总四动量仍守恒，而“总静质量简单相加”一般不守恒。

两体衰变

母粒子质量 \(M\) 在自身静止系衰变为质量 \(m_1,m_2\)。母粒子四动量为 \((Mc,\mathbf0)\)，故产物动量反向等大：

\[\mathbf p_1^*=-\mathbf p_2^*, \qquad \lvert\mathbf p_1^*\rvert=\lvert\mathbf p_2^*\rvert=p^*.\]

能量为

\[E_1^*=\frac{M^2+m_1^2-m_2^2}{2M}c^2, \qquad E_2^*=\frac{M^2+m_2^2-m_1^2}{2M}c^2,\]

而

\[\boxed{p^*=\frac{c}{2M} \sqrt{\left[M^2-(m_1+m_2)^2\right] \left[M^2-(m_1-m_2)^2\right]}}.\]

根号为实数要求 \(M\ge m_1+m_2\)。若等号成立，产物在 threshold 时 \(p^*=0\)；若 \(M<m_1+m_2\)，该孤立衰变 kinematically forbidden。

Knowledge 5 — Invariant mass and threshold energy / 不变质量与阈能

Knowledge ID: P06-U03-L02-K05

复合系统的不变质量

对任意粒子集合定义总四动量

\[P^\mu=\sum_i p_i^\mu =\left(\frac{E_{tot}}c,\mathbf P_{tot}\right).\]

系统 invariant mass 为

\[\boxed{M^2c^4=E_{tot}^2-c^2\lvert\mathbf P_{tot}\rvert^2}.\]

它等于系统 CM frame 的总能量除以 \(c^2\)。对于两个粒子，

\[M^2c^4=m_1^2c^4+m_2^2c^4 +2\left(E_1E_2-c^2\mathbf p_1\mathbin{\cdot}\mathbf p_2\right).\]

即使每个 constituent 都是 massless，系统也可有 \(M>0\)。两个 photon 的夹角为 \(\theta\) 时

\[M^2c^4=2E_1E_2(1-\cos\theta).\]

同向时 \(M=0\)；反向时 invariant mass 最大。这说明系统质量包含内部相对运动。

fixed-target threshold

反应 \(a+b\to f\) 中，若 lab frame 的 \(b\) 静止，则初态 invariant 为

\[s=m_a^2c^4+m_b^2c^4+2m_bc^2E_a.\]

threshold 时 CM frame 中所有末态粒子无相对动量，故

\[s_{th}=\left(\sum_fm_fc^2\right)^2.\]

因此 projectile 的 threshold total energy 为

\[\boxed{E_{a,th}= \frac{\left(\sum_fm_fc^2\right)^2-m_a^2c^4-m_b^2c^4} {2m_bc^2}}.\]

最后再求 \(K_{a,th}=E_{a,th}-m_ac^2\)。

fixed target 中，阈值时末态整体必须带走初始动量，所以不少能量成为无助于造新质量的 CM translational kinetic energy。对称 collider 让初始总动量为零，更有效地把束流能量转成 \(\sqrt{s}\)。

\(Q\) value 与 threshold 的区别

\[Q=\left(\sum_im_i-\sum_fm_f\right)c^2.\]

\(Q>0\) 表示 rest energy 可释放，但具体动能分配仍受动量守恒约束；\(Q<0\) 表示需输入能量，而 fixed-target threshold 通常大于 \(-Q\)，因为还要满足末态总动量。

Worked Examples / 完整例题

Worked Example 1 — Electron energy and momentum at \(0.800c\)

电子以 \(u=0.800c\) 运动，取 \(m_ec^2=0.511\,\mathrm{MeV}\)。求 \(E\)、\(K\) 和 \(p\)。

研究对象： 单电子。
系统/参考系： 给定 inertial lab；无反应。
坐标与正方向： 动量沿速度方向。
模型： on-shell massive particle。

\[\gamma=\frac1{\sqrt{1-0.800^2}}=1.667.\]

\[E=\gamma m_ec^2=(1.667)(0.511)=0.852\,\mathrm{MeV}.\]

\[K=(\gamma-1)m_ec^2=0.341\,\mathrm{MeV}.\]

\[pc=\gamma\beta m_ec^2=(1.667)(0.800)(0.511)=0.681\,\mathrm{MeV},\]

故 \(p=0.681\,\mathrm{MeV}/c\)。

检查： \(E=K+mc^2=0.852\,\mathrm{MeV}\)；\(E^2-(pc)^2\approx(0.511\,\mathrm{MeV})^2\)；三位有效数字。

Worked Example 2 — Invariant mass of two photons

两个 photon 能量分别为 \(E_1=3.00\,\mathrm{MeV}\)、\(E_2=4.00\,\mathrm{MeV}\)，传播方向夹角 \(60.0^\circ\)。求该两光子系统 invariant mass。

研究对象： 两 photon 的封闭瞬时系统。
系统/参考系： 给出的任意 inertial frame；用 invariant 避免先找 CM。
坐标： 两动量夹角 \(60.0^\circ\)。
模型： 两个 massless on-shell particles。

\[M^2c^4=2E_1E_2(1-\cos60.0^\circ) =2(3.00)(4.00)(0.500)\,\mathrm{MeV^2} =12.0\,\mathrm{MeV^2}.\]

\[Mc^2=\sqrt{12.0}\,\mathrm{MeV}=3.46\,\mathrm{MeV}.\]

所以

\[M=3.46\,\mathrm{MeV}/c^2.\]

检查： 单 photon 质量为零而系统质量可非零；\(\theta\to0\) 时 \(M\to0\)；单位正确，三位有效数字。

Worked Example 3 — Two-body decay in the parent rest frame

质量 \(M=1.20\,\mathrm{GeV}/c^2\) 的母粒子静止衰变为 \(m_1=0.300\,\mathrm{GeV}/c^2\)、\(m_2=0.400\,\mathrm{GeV}/c^2\)。求产物能量与动量大小。

研究对象： 母粒子及两个 daughter particles。
系统/参考系： parent rest frame，也是初态 CM。
坐标与正方向： 令 daughter 1 沿 \(+x\)，daughter 2 沿 \(-x\)。
模型： isolated two-body decay。

\[E_1^*=\frac{1.20^2+0.300^2-0.400^2}{2(1.20)}\,\mathrm{GeV} =0.571\,\mathrm{GeV},\]

\[E_2^*=1.20-0.571=0.629\,\mathrm{GeV}.\]

\[p^*c=\sqrt{E_1^{*2}-m_1^2c^4} =0.486\,\mathrm{GeV}.\]

故 \(\mathbf p_1^*=+0.486\,\mathrm{GeV}/c\,\hat{\mathbf x}\)，\(\mathbf p_2^*=-0.486\,\mathrm{GeV}/c\,\hat{\mathbf x}\)。

检查： \(E_1^*+E_2^*=1.20\,\mathrm{GeV}\)；三动量和为零；两者 mass shell 均成立。三位有效数字。

Worked Example 4 — Fixed-target pion-production threshold

求 fixed-target 反应 \(p+p\to p+p+\pi^0\) 的 projectile threshold kinetic energy。取 \(m_pc^2=938.272\,\mathrm{MeV}\)、\(m_{\pi^0}c^2=134.977\,\mathrm{MeV}\)；并与对称 \(p\)–\(p\) collider 每束所需 kinetic energy 比较。

研究对象： 两质子初态与 \(pp\pi^0\) 末态。
系统/参考系： fixed-target lab 中 target proton 静止；threshold 在 CM 判定。
坐标与正方向： projectile 沿 \(+x\)。
模型： 忽略束流散度与相互作用截面，只做运动学阈值。

fixed-target 初态

\[s=2m_p^2c^4+2m_pc^2E_a.\]

阈值

\[\sqrt{s_{th}}=(2m_p+m_{\pi^0})c^2.\]

解得 projectile total energy

\[E_{a,th}=1217.934\,\mathrm{MeV},\]

所以

\[K_{a,th}=E_{a,th}-m_pc^2 =279.662\,\mathrm{MeV} \approx279.7\,\mathrm{MeV}.\]

对称 collider 中 \(\mathbf P_{tot}=0\)，阈值满足

\[2(m_pc^2+K_{beam})=(2m_p+m_{\pi^0})c^2,\]

\[K_{beam}=\frac12m_{\pi^0}c^2=67.49\,\mathrm{MeV}.\]

检查与解释： 两束合计 kinetic energy 为 \(135.0\,\mathrm{MeV}\)，远低于 fixed target 的 \(279.7\,\mathrm{MeV}\)；后者需保留末态整体 lab 动量。有效数字与给定质量一致。

Lesson synthesis / 本课综合

面对 reaction，按以下流程：

1. 圈定系统： 把所有初末粒子、不可见粒子和必要的辐射纳入。
2. 写四动量： 每个粒子满足自己的 mass shell，系统满足总四动量守恒。
3. 先算 invariant： \(s=P_{initial}^2c^2=P_{final}^2c^2\)。
4. 选择 frame： 衰变优先 parent rest frame；碰撞阈值优先 CM；实验输入常在 lab。
5. 做边界检查： 产物质量和、根号实数性、\(\beta<1\)、低速/无质量极限以及 SI/\(c\) 单位。

Formula-and-decision table / 公式与决策表

Model boundaries / 模型边界

• Kinematic allowance 不保证反应有可观测概率；charge、angular momentum、baryon/lepton number 和 interaction matrix element 还会限制过程。
• isolated one-body decay into one lighter body 不可能同时守恒能量与动量；至少需额外产物或外界交换。
• constituent invariant masses 的和不是复合系统质量；内部动能增加系统质量，负 binding energy 可使 bound-state mass 小于自由组分质量和。
• threshold 结论假设末态允许共同 CM frame；若有外场、晶格反冲或介质，系统边界和不变量必须扩展。
• eV、MeV、GeV 是能量单位；写质量和动量时必须保留 \(/c^2\)、\(/c\)，除非明确宣布 natural units \(c=1\)。
• 本课忽略 finite widths；不稳定粒子的“质量”实验上呈分布，精确反应分析需 resonance line shape。

Misconception clinic / 误区诊所

1. “总能量就是 kinetic energy。” massive particle 即使静止也有 \(mc^2\)；反应中静能可转换，必须守恒 total energy。
2. “系统不变质量等于每个粒子静质量相加。” 相对动能与夹角进入 \(P_{tot}^2\)；两个 photon 也可组成有质量系统。
3. “threshold 时所有末态粒子在 lab 静止。” 它们只在 CM 中彼此无相对运动；fixed-target lab 的末态整体仍带初始动量。
4. “\(Q=-100\,\mathrm{MeV}\)，入射 kinetic energy 恰好 \(100\,\mathrm{MeV}\) 就够。” fixed target 还需满足动量守恒，阈能通常更高。
5. “碰撞中 mass 不守恒意味着 relativity 破坏守恒律。” 守恒的是总四动量；静质量可以与 kinetic/internal/radiation energy 互换。

Practice and retrieval / 练习与提取

1. K01： 质量 \(m\) 的粒子以 \(0.600c\) 运动。求 \(p/(mc)\)。

2. K01： 为什么 \(u\) 接近 \(c\) 后继续输入冲量仍可显著增大 \(p\)，却只小幅增大 \(u\)？

3. K02： 若粒子 \(K=mc^2\)，求 \(\gamma\) 与 \(u/c\)。

4. K03： 粒子满足 \(E=5.00\,\mathrm{GeV}\)、\(pc=4.00\,\mathrm{GeV}\)。求 \(mc^2\)。

5. K03： 写出 \(pc\gg mc^2\) 时 \(E\) 的 leading correction。

6. K04： 质量 \(M\) 的粒子静止衰变为两个 photon。求每个 photon 能量。

7. K04： 说明孤立 massive particle 不能衰变为单个 photon。

8. K05： 两个能量均为 \(5.00\,\mathrm{GeV}\) 的 photon 反向传播。求系统 invariant mass。

9. K05： 两个同向、能量任意的 photon 系统 invariant mass 是多少？

10. K05 综合： 为什么对称 collider 的每束能量不能直接拿来与 fixed-target projectile 能量逐束比较，而应比较 \(\sqrt{s}\)？

Exit ticket / 离堂检核

1. 为反应 \(a+b\to1+2+3\) 写出 fixed-target threshold 的 invariant-first 解题框架，并解释 \(E_a\) 为何必须是 total energy。
2. 构造两个 massless particles 组成 \(M>0\) 系统的例子，并说明它们的 CM frame 如何存在而单 photon 静止系不存在。

References and source notes / 参考资料与来源说明

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资料与 URL 实际打开核对日期：2026-08-29。所有数值例题独立复算；图示依据本文方程原创绘制，不复制来源插图。

复习与拓展

• Four-Vectors：四动量变换与 Lorentz scalar 基础。
• Relativistic Mechanics：由 \(d\mathbf p/dt\) 定义三力，由 action 得能量—动量。
• Particle physics：Dalitz plot、missing mass、transverse mass 与 detector reconstruction。
• Nuclear physics：binding energy、\(Q\) value、reaction threshold 和衰变谱。