四维矢量

Learning objectives / 学习目标

完成本课后，你应能：

1. 在指定度规和 \(c\) 因子约定下写出四维位置、四维速度及其协变分量。
2. 从固有时证明 \(U^\mu U_\mu=c^2\)，并由 \(p^\mu=mU^\mu\) 得到能量与三动量。
3. 计算 Lorentz scalar product，以此分类 timelike、null、spacelike 四矢量并求相对 Lorentz factor。
4. 对沿任意给定轴的 boost 正确变换 \(E\) 与 \(\mathbf p\)，检查质量壳不变量。
5. 解释为何 massive particle 有四速度而 photon 没有固有时参数化，却仍有四动量。

Prerequisites / 先修知识

• Lorentz Transformation：一维 boost 与逆变换。
• Spacetime Geometry：事件、世界线、时空间隔、固有时、光锥和快度。
• 三维矢量点积、微分与 SI 单位。

Scope and conventions / 范围与约定

• 使用 SI；\(c=299\,792\,458\,\mathrm{m\,s^{-1}}\) 为真空光速。
• 采用 mostly-minus 度规

\[\eta_{\mu\nu}=\operatorname{diag}(1,-1,-1,-1).\]

• 逆变四维位置为 \(x^\mu=(ct,x,y,z)=(ct,\mathbf x)\)；降指标后 \(x_\mu=(ct,-\mathbf x)\)。
• 希腊指标 \(\mu,\nu=0,1,2,3\)，重复的一上一下指标求和；拉丁指标 \(i,j=1,2,3\)。
• 任意四矢量写 \(A^\mu=(A^0,\mathbf A)\)，标量积

\[A\mathbin{\cdot}B=\eta_{\mu\nu}A^\mu B^\nu=A^0B^0-\mathbf A\mathbin{\cdot}\mathbf B.\]

• \(m\) 始终表示 invariant mass（静质量）；不采用“相对论质量”语言。
• boost 约定：\(S'\) 以速度 \(+v_b\hat{\mathbf x}\) 相对 \(S\) 运动，\(\beta_b=v_b/c\)。因此从 \(S\) 分量变到 \(S'\) 分量使用

\[ct'=\gamma_b(ct-\beta_b x), \qquad x'=\gamma_b(x-\beta_b ct).\]

• 本课只讨论平直 Minkowski spacetime 中的惯性系；曲率、非惯性坐标与量子态暂不展开。

Notation and modeling contract / 符号与建模契约

同一个字母 \(v_b\) 只表示参考系间速度；粒子速度使用 \(\mathbf u\)。这样不会把“boost 参数”和“被观察粒子的速度”混为一谈。

Knowledge 1 — Four-position and four-velocity / 四维位置与四维速度

Knowledge ID: P06-U03-L01-K01

从世界线到切矢量

一个事件的四维位置是

\[x^\mu=(ct,\mathbf x).\]

相邻事件间

\[dx^\mu dx_\mu=c^2dt^2-d\mathbf x^2.\]

对 massive particle 的 timelike worldline，定义固有时

\[c^2d\tau^2=dx^\mu dx_\mu =c^2dt^2\left(1-\frac{u^2}{c^2}\right),\]

所以

\[\frac{dt}{d\tau}=\gamma_u.\]

四维速度是世界线对固有时的切矢量：

\[\boxed{U^\mu=\frac{dx^\mu}{d\tau}=\gamma_u(c,\mathbf u)}.\]

图中的 \(U^\mu\) 是时空切矢量，不是画在三维空间里的普通速度箭头。其时间分量为 \(\gamma_uc\)，空间分量为 \(\gamma_u\mathbf u\)。

固定的 Minkowski 长度

由定义直接得到

\[U^\mu U_\mu =\gamma_u^2(c^2-u^2)=c^2.\]

也就是说，三维速度越接近 \(c\)，四维速度的时间与空间分量都增大，但它的 Minkowski norm 始终为 \(c\)。这不是说“物体在四维空间里以普通 Euclidean 速度 \(c\) 运动”；度规含负号，几何不同。

massless particle 沿 null worldline，\(d\tau=0\)；因此不能用 \(dx^\mu/d\tau\) 定义有限四速度，也没有惯性静止系。这一边界不妨碍它拥有四动量，见下一节。

分量、指标与单位

升降指标会改变空间分量符号：

\[U^\mu=(\gamma_uc,\gamma_u\mathbf u), \qquad U_\mu=(\gamma_uc,-\gamma_u\mathbf u).\]

四个分量单位必须相同；这正是把第一分量写成 \(ct\)、把四动量第一分量写成 \(E/c\) 的理由。

Knowledge 2 — Four-momentum / 四维动量

Knowledge ID: P06-U03-L01-K02

从四速度到能量—动量

对 invariant mass 为 \(m\) 的粒子定义

\[p^\mu=mU^\mu.\]

代入四速度，得到

\[p^\mu=(\gamma_umc,\gamma_um\mathbf u).\]

识别三动量与总能量：

\[\boxed{\mathbf p=\gamma_um\mathbf u}, \qquad \boxed{E=\gamma_umc^2},\]

因此

\[\boxed{p^\mu=\left(\frac{E}{c},\mathbf p\right)}.\]

四动量把能量守恒和三动量守恒合并为一条协变定律：

\[\sum_{\mathrm{initial}}p^\mu =\sum_{\mathrm{final}}p^\mu.\]

它的时间分量就是能量守恒（除以 \(c\)），空间分量就是三动量守恒。只要对封闭系统使用总四动量，这条等式在所有惯性系同时成立。

质量壳关系

四动量的 norm 为

\[p^\mu p_\mu=m^2U^\mu U_\mu=m^2c^2.\]

即

\[\boxed{E^2=p^2c^2+m^2c^4}.\]

这是 mass-shell relation。\(E\) 与 \(\mathbf p\) 随参考系改变，\(m\) 不变。对 \(m=0\) 的粒子，

\[E=pc, \qquad p^\mu p_\mu=0.\]

现代质量定义

本课把 \(m\) 定义为四动量 norm 对应的 invariant mass，而不是令质量随速度变为 \(\gamma_um\)。速度增加时，增长的是 \(E\) 与 \(\mathbf p\)；这种表达使不同 frame 的比较、复合系统和反应阈值更清楚。

Knowledge 3 — Lorentz-invariant scalar products / 洛伦兹不变标量积

Knowledge ID: P06-U03-L01-K03

双线性不变量

若 \(A^\mu\)、\(B^\mu\) 都按 Lorentz transformation 变换，则

\[A\mathbin{\cdot}B=A^0B^0-\mathbf A\mathbin{\cdot}\mathbf B\]

在所有惯性系取同一数值。这是因为 Lorentz matrix 满足

\[\Lambda^{\mathsf T}\eta\Lambda=\eta.\]

四矢量按 norm 分类：

• \(A^2>0\)：timelike；存在 frame 使其空间分量为零。
• \(A^2=0\)：null/lightlike；所有 frame 都保持 null，不能 boost 到静止。
• \(A^2<0\)：spacelike；存在 frame 使其时间分量为零。

相对速度的坐标自由表达

两 massive particles 的四速度满足

\[\boxed{\gamma_{\mathrm{rel}}=\frac{U_1\mathbin{\cdot}U_2}{c^2}}.\]

在某 frame 中

\[\gamma_{\mathrm{rel}} =\gamma_1\gamma_2\left(1-\frac{\mathbf u_1\mathbin{\cdot}\mathbf u_2}{c^2}\right).\]

这给出双方任一者静止系中看到的相对 Lorentz factor，且不需先求 boost matrix。它也说明 Minkowski scalar product 承担了 Euclidean 几何中“长度与夹角”的角色，但关联的是双曲角（rapidity）。

Knowledge 4 — Transformation of energy and momentum / 能量与动量的变换

Knowledge ID: P06-U03-L01-K04

沿 \(+x\) 的标准 boost

依照本课 frame convention，从 \(S\) 到 \(S'\)：

\[\boxed{E'=\gamma_b(E-v_bp_x)},\]

\[\boxed{p_x'=\gamma_b\left(p_x-\frac{v_bE}{c^2}\right)}, \qquad p_y'=p_y, \qquad p_z'=p_z.\]

能量与 boost 方向上的动量混合，横向动量不变。逆变换只需 \(v_b\to-v_b\)。

变换后的分量必须仍满足

\[\frac{E'^2}{c^2}-p'^2 =\frac{E^2}{c^2}-p^2 =m^2c^2.\]

这是最有力的代数自检之一。若结果破坏该等式，通常是 boost 方向、\(c\) 因子或空间分量负号写错。

粒子静止系与 photon 的 Doppler 因子

对 massive particle，可选 \(v_b=u_x\) 且在纯一维运动时得到 \(p_x'=0\)、\(E'=mc^2\)。对沿 \(+x\) 的 photon，\(p_x=E/c\)，所以

\[E'=\gamma_bE(1-\beta_b) =E\sqrt{\frac{1-\beta_b}{1+\beta_b}}.\]

向同方向运动的观察者“追光”时测得红移；迎光运动相当于 \(\beta_b<0\)，测得蓝移。

rapidity 表示

令 \(\beta_b=\tanh\chi_b\)，则

\[\begin{pmatrix}E'/c\\p_x'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cosh\chi_b&-\sinh\chi_b\\ -\sinh\chi_b&\cosh\chi_b \end{pmatrix} \begin{pmatrix}E/c\\p_x\end{pmatrix}.\]

形式上这是 \(E/c\)–\(p_x\) 平面中的 hyperbolic rotation。它保持双曲线而非圆。

Worked Examples / 完整例题

Worked Example 1 — Four-velocity and its invariant norm

一粒子在实验室 \(S\) 中以 \(\mathbf u=0.600c\,\hat{\mathbf x}\) 运动。求 \(U^\mu\)、\(U_\mu\)，并验证 norm。

已知： \(\beta=0.600\)。
研究对象： 单个 massive particle。
系统/参考系： 惯性实验室 \(S\)；粒子静质量不参与本题数值。
坐标与正方向： \(+x\) 沿粒子运动。
模型： 平直时空、自由或瞬时速度已知；度规 \(+---\)。

\[\gamma_u=\frac1{\sqrt{1-0.600^2}}=1.250.\]

因此

\[U^\mu=(1.250c,0.750c,0,0),\]

\[U_\mu=(1.250c,-0.750c,0,0).\]

检查：

\[U^\mu U_\mu =(1.250^2-0.750^2)c^2 =c^2.\]

单位与合理性： 所有分量单位均为 \(\mathrm{m\,s^{-1}}\)；\(u\to0\) 时应回到 \((c,0,0,0)\)。三位有效数字。

Worked Example 2 — Recovering momentum and speed from total energy

质子在某 inertial frame 的总能量为 \(E=2.00\,\mathrm{GeV}\)，取 \(mc^2=0.938\,\mathrm{GeV}\)。求 \(pc\)、\(\beta\)、\(\gamma\)。

研究对象： 单个质子。
系统/参考系： 给定实验室 frame；能量不是 kinetic energy。
坐标： 只求动量大小，无需指定方向。
模型： on-shell massive particle。

\[pc=\sqrt{E^2-m^2c^4} =\sqrt{(2.00)^2-(0.938)^2}\,\mathrm{GeV} =1.77\,\mathrm{GeV}.\]

由 \(\beta=pc/E\) 与 \(\gamma=E/(mc^2)\)：

\[\beta=0.883, \qquad \gamma=2.13.\]

故 \(p=1.77\,\mathrm{GeV}/c\)，速度大小为 \(0.883c\)。

检查： \(E>mc^2\)、\(pc<E\)、\(\beta<1\)；把 \(E\to mc^2\) 时 \(p\to0\)。三位有效数字。

Worked Example 3 — Relative speed from an invariant scalar product

在 \(S\) 中，粒子 1 以 \(+0.600c\hat{\mathbf x}\) 运动，粒子 2 以 \(-0.300c\hat{\mathbf x}\) 运动。用四速度内积求它们的相对速度。

研究对象： 两个 massive particles。
系统/参考系： \(S\) 仅用来提供分量；最终相对量是 invariant。
坐标与方向： \(+x\) 如题。
模型： 两条 timelike worldlines 的瞬时惯性运动。

\[\gamma_1=1.250, \qquad \gamma_2=\frac1{\sqrt{1-0.300^2}}=1.048.\]

\[\gamma_{\mathrm{rel}} =\gamma_1\gamma_2\left(1-\frac{\mathbf u_1\cdot\mathbf u_2}{c^2}\right) =(1.250)(1.048)[1-(0.600)(-0.300)] =1.546.\]

于是

\[\beta_{\mathrm{rel}} =\sqrt{1-\frac1{\gamma_{\mathrm{rel}}^2}} =0.763.\]

交叉检查： 一维速度合成给 \((0.600-(-0.300))/(1-(0.600)(-0.300))=0.763\)，一致；相对速度没有超过 \(c\)。

Worked Example 4 — Photon energy under a chasing boost

一束沿 \(+x\) 的单色光在 \(S\) 中 photon energy 为 \(E\)。\(S'\) 以 \(+0.600c\hat{\mathbf x}\) 相对 \(S\) 运动。求 \(E'/E\) 与波长比。

研究对象： 单 photon 四动量，亦代表单色平面波频率。
系统/参考系： 从 \(S\) 变到追光的 \(S'\)。
坐标与正方向： photon 与 boost 都沿 \(+x\)。
模型： 真空，\(m=0\)，\(p_x=E/c\)。

\[\gamma_b=1.250.\]

\[E'=\gamma_b(E-v_bp_x) =\gamma_bE(1-\beta_b) =(1.250)(0.400)E =0.500E.\]

因 \(E=hc/\lambda\)：

\[\frac{\lambda'}{\lambda}=\frac{E}{E'}=2.00.\]

检查： 追光应红移，故 \(E'<E\)、\(\lambda'>\lambda\)；若 \(\beta_b\to0\)，比值回到 1。三位有效数字。

Lesson synthesis / 本课综合

1. 用 \(x^\mu=(ct,\mathbf x)\) 表示事件，用 invariant proper time 沿 massive worldline 求导，得到 \(U^\mu\)。
2. \(U^2=c^2\) 把 massive particle 限制在 future unit hyperboloid；乘 invariant mass 得 \(p^\mu=(E/c,\mathbf p)\)。
3. 四动量 norm 给 mass shell，标量积给相对 \(\gamma\)、系统 invariant mass 与反应可行性。
4. boost 不是改变物理对象，而是改变同一四矢量的分量；必须同时变换能量和纵向动量。
5. 解题时优先找 scalar invariant，再选择最方便的 frame，最后才做分量变换。

Formula-and-decision table / 公式与决策表

Model boundaries / 模型边界

• 四矢量的分量和 scalar-product 符号依度规 convention；换用 \(-+++\) 时 norm 符号全部反转，但物理结论不变。
• \(U^\mu\) 只由 massive timelike worldline 的固有时定义；不要给 photon 写 \(\gamma(c,\mathbf u)\) 并令 \(u=c\)。
• \(p^\mu=mU^\mu\) 适用于 \(m>0\)；massless four-momentum 应由能量和传播方向定义。
• 单粒子 invariant mass 与复合系统 invariant mass 不同；系统质量包含内部动能、场能和结合能。
• 本课 boost 是惯性系之间的全局 Lorentz transformation；加速 frame 与曲率时空需更一般的 tetrad/coordinate 方法。
• 四动量守恒只对封闭系统成立；若有外界交换，必须把外界或场携带的四动量纳入系统边界。

Misconception clinic / 误区诊所

1. “四维速度的大小就是普通速度 \(c\)。” \(U^2=c^2\) 是 Minkowski norm，不是 Euclidean 四维速率，更不表示粒子的三维速度恒为 \(c\)。
2. “能量是标量，所以 boost 后不变。” 能量是四动量的时间分量，不是 Lorentz scalar；质量壳才是不变量。
3. “空间下标和上标没有区别。” 在 \(+---\) 度规下 \(A_i=-A^i\)；遗漏负号会破坏 scalar product。
4. “photon 因 \(m=0\) 所以四动量为零。” \(p^\mu=(E/c,\mathbf p)\) 非零且 null；只有其 norm 为零。
5. “把 \(E\) 单独守恒、\(\mathbf p\) 单独守恒就与四动量无关。” 两者正是同一四矢量守恒的四个分量，因此能在所有惯性系同时成立。

Practice and retrieval / 练习与提取

1. K01 计算： 粒子以 \(0.800c\) 沿 \(+x\) 运动。写出 \(U^\mu/c\)。

2. K01 边界： 为什么不能定义 photon 的 \(U^\mu=dx^\mu/d\tau\)？

3. K02 计算： 质量 \(m\) 的粒子三动量满足 \(pc=3mc^2\)。求 \(E/(mc^2)\) 与 \(\beta\)。

4. K02 概念： \(p^\mu p_\mu=0\) 是否必然表示 \(p^\mu=0\)？

5. K03 分类： 在单位一致的坐标中，\(A^\mu=(5,3,0,0)\)、\(B^\mu=(2,3,0,0)\) 分别是哪一类？

6. K03 相对运动： 两粒子在同一 frame 中以相同速度同向运动。证明 \(U_1\cdot U_2=c^2\)。

7. K04 boost： 粒子在 \(S\) 中静止，\(p^\mu=(mc,0,0,0)\)。\(S'\) 以 \(+v_b\) 运动，求 \(E'\) 与 \(p_x'\)。

8. K04 invariant check： 对上一题验证 mass shell。

9. K04 photon： 沿 \(-x\) 的 photon 在 \(S\) 中能量为 \(E\)。对 \(+v_b\) boost 求 \(E'\)。

10. 综合： 某系统总四动量在 \(S\) 中为 \(P^\mu=(10\,\mathrm{GeV}/c,6\,\mathrm{GeV}/c,0,0)\)。求系统 invariant mass 与其 CM frame 速度。

Exit ticket / 离堂检核

1. 在不选择特定 frame 的前提下，说明如何由两粒子的 \(U_1\cdot U_2\) 得到相对速度，并列出必要的度规约定。
2. 一 photon 沿 \(+x\)，观察者沿 \(-x\)。从四动量 boost 推出能量改变方向，并用 mass-shell invariant 自检。

References and source notes / 参考资料与来源说明

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资料与 URL 实际打开核对日期：2026-08-29。正文按本课统一 convention 重新推导；所有图均依据方程原创绘制，未复制来源插图。

复习与拓展

• Spacetime Geometry：由 interval、proper time 与 rapidity 提供几何基础。
• Energy, Momentum, and Reactions：用总四动量 norm 分析碰撞、衰变与阈能。
• Relativistic Mechanics：对四动量按固有时求导得到 four-force。
• Electric and Magnetic Fields Across Frames：四电流、电磁场张量与协变 Lorentz force。