相对论力学

Learning objectives / 学习目标

完成本课后，你应能：

1. 区分 three-force、four-force、coordinate acceleration、four-acceleration 与 proper acceleration。
2. 推导 \(K^\mu=\gamma(\mathbf F\cdot\mathbf u/c,\mathbf F)\) 及 \(K\cdot U=0\)，并分析平行/垂直加速度响应。
3. 从 Lorentz scalar proper time 构造自由 massive particle action，说明自由世界线为何是 stationary straight worldline。
4. 由 \(L=-mc^2\sqrt{1-u^2/c^2}\) 得 canonical momentum 与 \(H=\sqrt{p^2c^2+m^2c^4}\)。
5. 正确处理 \(m=0\) 的 mass shell、速度和 frame 边界，解释为何不能直接令 massive proper-time action 中 \(m=0\) 来获得完整动力学。

Prerequisites / 先修知识

• Four-Vectors：\(U^2=c^2\)、\(p^\mu=mU^\mu\)、boost 与 scalar product。
• Energy, Momentum, and Reactions：\(E^2=p^2c^2+m^2c^4\)。
• 经典 Lagrangian、Euler–Lagrange equation、canonical momentum 与 Hamiltonian 的基本定义。

Scope and conventions / 范围与约定

• 平直 Minkowski spacetime，度规 \(\eta=\operatorname{diag}(1,-1,-1,-1)\)。
• \(x^\mu=(ct,\mathbf x)\)，\(U^\mu=\gamma(c,\mathbf u)\)，\(p^\mu=(E/c,\mathbf p)\)；\(m\) 是 invariant mass。
• three-force 定义为同一 inertial frame 中

\[\mathbf F=\frac{d\mathbf p}{dt},\]

而不是预先假定 \(m\mathbf a\)。

• three-acceleration 是 \(\mathbf a=d\mathbf u/dt\)；four-acceleration 是 \(A^\mu=dU^\mu/d\tau\)；proper acceleration 大小为 \(\alpha=\sqrt{-A^\mu A_\mu}\)。
• 作用量只比较固定端点之间允许的 timelike worldlines；物理路径使作用量 stationary。直线 worldline 在平直时空使 proper time 最大，而 \(S=-mc^2\int d\tau\) 相应取最小，但“stationary”是最稳妥表述。
• 自由粒子章节不加入 potential。电磁耦合 \(qA_\mu dx^\mu\) 留给下一 Unit。
• massless particle 采用 \(p^2=0\) 与 \(E=pc\) 的运动学；更完整的 reparameterization-invariant null action 只作边界说明。

Notation and modeling contract / 符号与建模契约

为避免与 four-force \(K^\mu\) 混淆，本课 kinetic energy 需要时写 \(T\) 或明确写“kinetic energy”；四维力固定记作 \(K^\mu\)。

Knowledge 1 — Four-force and relativistic acceleration / 四维力与相对论加速度

Knowledge ID: P06-U03-L03-K01

四维定义与三维投影

对 invariant mass 恒定的 particle，定义

\[K^\mu=\frac{dp^\mu}{d\tau}=m\frac{dU^\mu}{d\tau}=mA^\mu.\]

由于 \(d/d\tau=\gamma d/dt\)，且功率定理为

\[\frac{dE}{dt}=\mathbf F\mathbin{\cdot}\mathbf u,\]

得到

\[\boxed{K^\mu =\gamma\left(\frac{\mathbf F\mathbin{\cdot}\mathbf u}{c},\mathbf F\right)}.\]

四速度 norm 恒定：

\[\frac{d}{d\tau}(U^\mu U_\mu)=2A^\mu U_\mu=0.\]

故

\[\boxed{A\mathbin{\cdot}U=0}, \qquad \boxed{K\mathbin{\cdot}U=0}.\]

这里的“正交”是 Minkowski 正交，不是说在普通三维空间里 \(\mathbf F\perp\mathbf u\)。当 \(\mathbf F\parallel\mathbf u\) 时，\(K^0\) 反而非零，因为能量正在变化。

three-force 与 coordinate acceleration

从 \(\mathbf p=\gamma m\mathbf u\) 求导：

\[\mathbf F =m\left[\gamma\mathbf a +\gamma^3\frac{\mathbf u\mathbin{\cdot}\mathbf a}{c^2}\mathbf u\right].\]

把 \(\mathbf a\) 分成平行与垂直于 \(\mathbf u\) 的分量：

\[\boxed{\mathbf F_{\parallel}=\gamma^3m\mathbf a_{\parallel}}, \qquad \boxed{\mathbf F_{\perp}=\gamma m\mathbf a_{\perp}}.\]

同样大小的 force 在高速时产生的 coordinate acceleration 会受抑制，而且纵向抑制是 \(\gamma^3\)、横向是 \(\gamma\)。这不是引入两种质量，而是 momentum 对 velocity 的非线性响应。

proper acceleration 与均匀加速世界线

proper acceleration 是瞬时共动惯性系中 accelerometer 测得的加速度大小：

\[\alpha=\sqrt{-A^2}.\]

一维恒定 \(\alpha\)、初始 \(t=x=u=0\) 时，用固有时参数化：

\[ct(\tau)=\frac{c^2}{\alpha}\sinh\left(\frac{\alpha\tau}{c}\right),\]

\[x(\tau)=\frac{c^2}{\alpha} \left[\cosh\left(\frac{\alpha\tau}{c}\right)-1\right],\]

\[u(\tau)=c\tanh\left(\frac{\alpha\tau}{c}\right).\]

由上式 \(u<c\) 对所有有限 \(\tau\)；constant proper acceleration 并不会越过光速。coordinate acceleration 为 \(du/dt=\alpha/\gamma^3\)，随速度升高而下降。

Knowledge 2 — Action of a free relativistic particle / 自由相对论粒子的作用量

Knowledge ID: P06-U03-L03-K02

用 Lorentz scalar 构造 action

自由 massive particle 没有优先参考系。最简单的局域 Lorentz scalar worldline functional 是固有时：

\[\boxed{S=-mc^2\int_A^B d\tau} =-mc\int_A^B ds, \qquad ds\equiv c\,d\tau=\sqrt{dx^\mu dx_\mu}.\]

它与 worldline parameter 的重新选择无关，因为 \(d\tau\) 是几何量。固定 timelike 端点 \(A,B\) 后，物理路径使 \(\delta S=0\)；在平直时空中得到直线 inertial worldline。

对固定 timelike-separated endpoints，惯性直线积累最大 proper time；因 action 前有负号，它给最小 \(S\)。但在更复杂问题中 action 只保证 stationary，不应把所有变分原理都口语化为“最小作用量”。

以 coordinate time 参数化

由

\[d\tau=dt\sqrt{1-u^2/c^2},\]

写成

\[S=\int L\,dt,\]

\[\boxed{L(\mathbf u)=-mc^2\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}.\]

低速展开：

\[L=-mc^2+\frac12mu^2+\frac18m\frac{u^4}{c^2}+\cdots.\]

常数 \(-mc^2\) 不影响固定粒子种类下的 Euler–Lagrange equation；去掉它后，leading term 正是 classical free-particle Lagrangian。

free \(L\) 不显含 \(\mathbf x\)，所以 Euler–Lagrange equation 给 canonical momentum 恒定；下一节将证明它正是 \(\gamma m\mathbf u\)。

Knowledge 3 — Relativistic Lagrangian and Hamiltonian / 相对论拉格朗日量与哈密顿量

Knowledge ID: P06-U03-L03-K03

canonical momentum

由自由粒子 Lagrangian：

\[\mathbf p_{can}=\frac{\partial L}{\partial\mathbf u}.\]

分量求导得到

\[\boxed{\mathbf p_{can}=\frac{m\mathbf u}{\sqrt{1-u^2/c^2}} =\gamma m\mathbf u=\mathbf p}.\]

若引入 electromagnetic potential，canonical momentum 与 kinetic/mechanical momentum 会不同；因此此等号不能无条件搬到下一 Unit。

Legendre transform 与 Hamiltonian

定义

\[H=\mathbf p\mathbin{\cdot}\mathbf u-L.\]

代入 \(\mathbf p=\gamma m\mathbf u\) 与 \(L=-mc^2/\gamma\)：

\[H=\gamma mu^2+\frac{mc^2}{\gamma} =\gamma mc^2.\]

再消去 \(\mathbf u\)：

\[\boxed{H(\mathbf p)=\sqrt{p^2c^2+m^2c^4}=E}.\]

Hamilton equation 恢复速度：

\[\dot{\mathbf x}=\frac{\partial H}{\partial\mathbf p} =\frac{c^2\mathbf p}{E}=\mathbf u.\]

free \(H\) 不含 \(\mathbf x\)，故

\[\dot{\mathbf p}=-\frac{\partial H}{\partial\mathbf x}=0.\]

action、Lagrangian 与 Hamiltonian 的边界

这三个形式给同一 free massive dynamics，但各有优势：action 显示 Lorentz invariance 与 worldline geometry；\(L(\mathbf x,\mathbf u,t)\) 适合变分与对称性；\(H(\mathbf x,\mathbf p,t)\) 适合相空间和能量演化。不能因三个公式形式不同就把 \(L\)、\(H\)、\(E\) 当作同一个量；本课恰好有 free \(H=E\)。

Knowledge 4 — Massless-particle kinematics / 无质量粒子运动学

Knowledge ID: P06-U03-L03-K04

null four-momentum 与速度

massless on-shell particle 满足

\[p^\mu p_\mu=0,\]

\[\boxed{E=pc}, \qquad \boxed{\mathbf p=\frac{E}{c}\hat{\mathbf n}}.\]

由 massless Hamiltonian

\[H(\mathbf p)=c\lvert\mathbf p\rvert\]

得到

\[\dot{\mathbf x}=\frac{\partial H}{\partial\mathbf p} =c\frac{\mathbf p}{\lvert\mathbf p\rvert} =c\hat{\mathbf n}.\]

单个 massless particle 没有 rest frame，也没有按 proper time 定义的 \(U^\mu\)。因此 \(p^\mu=mU^\mu\) 不能通过“令 \(m=0\)、\(U\to\infty\)”作为定义；应直接以非零 null four-momentum 描述。

massive 与 massless dispersion

对于单个 photon，boost 可改变 \(E\) 与传播方向，却不能使 \(E'=0\)；任何 subluminal boost 都不能追上 null worldline。两个或更多 massless particles 的总四动量则可 timelike，并存在系统 CM frame。

massless action 的模型边界

massive action \(-mc^2\int d\tau\) 在 \(m=0\) 且 \(d\tau=0\) 时退化为零，不能产生 null equation of motion。更高级处理中可引入 affine parameter \(\lambda\) 与 auxiliary field \(e(\lambda)\)：

\[S=\frac12\int d\lambda\,e^{-1}\dot x^\mu\dot x_\mu.\]

对 \(e\) 变分给 null constraint \(\dot x^2=0\)。本课只用这个事实说明“massless limit 的 action 需重新参数化”，不展开 constrained Hamiltonian theory。

Worked Examples / 完整例题

Worked Example 1 — Parallel and perpendicular force response

质量 \(m=2.00\,\mathrm{kg}\) 的粒子以 \(u=0.800c\) 沿 \(+x\) 运动。分别施加大小 \(10.0\,\mathrm N\) 的平行力与垂直力，求瞬时 coordinate acceleration。

研究对象： 单个恒定 invariant-mass 粒子。
系统/参考系： 给定 inertial lab 的瞬时量。
坐标与正方向： \(\mathbf u\parallel+x\)；平行情形 \(\mathbf F\parallel+x\)，垂直情形 \(\mathbf F\parallel+y\)。
模型： \(\mathbf F=d\mathbf p/dt\)，忽略辐射和质量变化。

\[\gamma=\frac1{\sqrt{1-0.800^2}}=1.667.\]

平行时

\[a_{\parallel}=\frac{F_{\parallel}}{\gamma^3m} =\frac{10.0}{(1.667)^3(2.00)} =1.08\,\mathrm{m\,s^{-2}}.\]

垂直时

\[a_{\perp}=\frac{F_{\perp}}{\gamma m} =\frac{10.0}{(1.667)(2.00)} =3.00\,\mathrm{m\,s^{-2}}.\]

检查： 两者均在同一 lab 比较；高速纵向响应更受抑制。\(u\to0\) 时两式都回到 \(F/m=5.00\,\mathrm{m\,s^{-2}}\)。三位有效数字。

Worked Example 2 — Constructing and checking a four-force

粒子在 \(S\) 中以 \(\mathbf u=0.600c\hat{\mathbf x}\) 运动，three-force 为 \(\mathbf F=(4.00\hat{\mathbf x}+3.00\hat{\mathbf y})\,\mathrm N\)。求 \(K^\mu\) 并验证 \(K\cdot U=0\)。

研究对象： 恒定 invariant-mass 粒子。
系统/参考系： 瞬时 inertial frame \(S\)。
坐标与正方向： 如分量定义。
模型： \(K^\mu=\gamma(\mathbf F\cdot\mathbf u/c,\mathbf F)\)，度规 \(+---\)。

\[\gamma=1.250, \qquad \frac{\mathbf F\cdot\mathbf u}{c}=(4.00)(0.600)=2.40\,\mathrm N.\]

所以

\[K^\mu=(3.00,5.00,3.75,0)\,\mathrm N.\]

而

\[\frac{U^\mu}{c}=(1.250,0.750,0,0).\]

\[\frac{K\cdot U}{c} =(3.00)(1.250)-(5.00)(0.750)=0.\]

检查： \(K^0\) 单位是 N，因为 \(E/c\) 对固有时求导也是力单位；垂直 force 分量不做瞬时功，但仍出现在空间四力中。

Worked Example 3 — One year of constant proper acceleration

飞船从静止开始沿 \(+x\) 保持 proper acceleration \(\alpha=9.81\,\mathrm{m\,s^{-2}}\)。船上经过 \(\tau=1.00\,\mathrm{yr}\) 后，求 rapidity、lab speed、lab elapsed time 和 lab displacement。取 \(1\,\mathrm{yr}=365.25\,\mathrm d\)。

研究对象： 理想点状飞船。
系统/参考系： 平直时空中的初始 inertial lab；船上时间为 proper time。
坐标与正方向： 初始 \(x=t=0\)，加速沿 \(+x\)。
模型： 一维 constant proper acceleration；忽略转弯、有限尺寸和燃料。

定义 rapidity

\[\chi=\frac{\alpha\tau}{c}=1.033.\]

\[\beta=\tanh\chi=0.775, \qquad \gamma=\cosh\chi=1.582.\]

\[t=\frac{c}{\alpha}\sinh\chi =1.187\,\mathrm{yr}.\]

\[x=\frac{c^2}{\alpha}(\cosh\chi-1) =5.33\times10^{15}\,\mathrm m =0.564\,\mathrm{ly}.\]

检查： \(u=0.775c<c\)；lab time 大于 proper time；低 \(\chi\) 时 \(x\approx\alpha\tau^2/2\)。三位有效数字。

Worked Example 4 — Lagrangian, canonical momentum, Hamiltonian and massless limit

某 free particle 的 rest energy 为 \(mc^2=1.00\,\mathrm{GeV}\)，在给定 frame 中 \(u=0.600c\)。求 \(L\)、\(pc\)、\(H\)，验证 Legendre transform，并说明固定 \(p\) 下 \(m\to0\) 的极限。

研究对象： 单个 free on-shell particle。
系统/参考系： 给定 inertial frame；无势能。
坐标与方向： 一维运动，取 \(+x\)。
模型： \(L=-mc^2/\gamma\)，\(H=pu-L\)。

\[\gamma=1.250.\]

\[L=-\frac{mc^2}{\gamma}=-0.800\,\mathrm{GeV}.\]

\[pc=\gamma\beta mc^2=(1.250)(0.600)(1.00) =0.750\,\mathrm{GeV}.\]

\[pu=(pc)\beta=(0.750)(0.600)=0.450\,\mathrm{GeV}.\]

\[H=pu-L=0.450-(-0.800)=1.250\,\mathrm{GeV} =\gamma mc^2.\]

质量壳也给

\[H=\sqrt{(pc)^2+(mc^2)^2} =\sqrt{0.750^2+1.00^2}=1.250\,\mathrm{GeV}.\]

固定非零 \(p\) 令 \(m\to0\)：\(H\to pc\)，\(u=\partial H/\partial p\to c\)。

检查： \(L\) 可为负且不是 energy；\(H\) 才等于 free-particle total energy。所有列出的 GeV 量都是能量，\(p\) 本身为 \(0.750\,\mathrm{GeV}/c\)。

Lesson synthesis / 本课综合

1. 动力学从 \(p^\mu\) 开始：\(K^\mu=dp^\mu/d\tau\) 保证 energy rate 与 three-force 自动组成四矢量。
2. \(K\cdot U=0\) 与 \(U^2=c^2\) 相容；平行和横向 coordinate acceleration 分别受 \(\gamma^3\)、\(\gamma\) 抑制。
3. free massive action 取 worldline proper time，故 Lorentz invariant；用 \(t\) 参数化后得到相对论 Lagrangian。
4. Legendre transform 给 canonical momentum \(\gamma m\mathbf u\) 与 Hamiltonian mass shell。
5. massless kinematics 是 null mass shell；它是 \(H\) 的平滑固定动量极限，却不是 proper-time action 的直接 \(m=0\) 代入。

Formula-and-decision table / 公式与决策表

Model boundaries / 模型边界

• \(K^\mu=mA^\mu\) 假设单粒子 invariant mass 恒定；吸收、喷射或复合系统质量改变时需更完整的四动量流描述。
• \(\mathbf F_\parallel=\gamma^3m\mathbf a_\parallel\) 和横向公式是某一瞬时 inertial frame 的分解，不是独立 Lorentz scalars。
• constant proper acceleration worldline 是理想点粒子模型；有限飞船保持 Born rigidity 需要不同位置有不同 proper acceleration。
• \(S=-mc^2\int d\tau\) 只描述 free massive point particle；外场耦合必须增加 Lorentz-scalar interaction term。
• canonical momentum 等于 mechanical momentum 仅对本课 free \(L\) 成立；电磁场中二者相差与 vector potential 有关。
• classical massless point-particle kinematics 不包含 photon polarization、quantization、creation/annihilation 或 wave-packet dispersion。

Misconception clinic / 误区诊所

1. “相对论里牛顿第二定律失效，所以不能写力。” 可精确定义 \(\mathbf F=d\mathbf p/dt\)；失效的是普遍写成 \(m\mathbf a\)。
2. “四力与四速度正交，所以三维力永远垂直三维速度。” Minkowski orthogonality 含时间分量；纵向 three-force 完全允许并做功。
3. “constant acceleration 意味着 lab 中 \(du/dt\) 恒定。” constant proper acceleration 时 \(du/dt=\alpha/\gamma^3\)，随速度下降。
4. “Lagrangian 就是 total energy。” 本课 \(L=-mc^2/\gamma\)，而 \(H=\gamma mc^2=E\)；二者经 Legendre transform 相连。
5. “把 \(m=0\) 代入 \(-mc^2\int d\tau\) 就得到 photon action。” 该式退化为零；null path 需 affine parameter/constraint formulation。

Practice and retrieval / 练习与提取

1. K01： 证明 \(dE/dt=\mathbf F\cdot\mathbf u\) 可由 \(E^2=p^2c^2+m^2c^4\) 与 \(\mathbf F=d\mathbf p/dt\) 得到。

2. K01： 若 \(\mathbf F\perp\mathbf u\)，瞬时 \(K^0\) 是多少？粒子能量是否改变？

3. K01： \(u=0.600c\) 时，同样大小的平行和垂直 three-force 产生的 \(a_\perp/a_\parallel\) 是多少？

4. K02： 为什么 free action 用 \(\int d\tau\) 而不是 \(\int dt\) 最直接体现 Lorentz invariance？

5. K02： 展开 \(L=-mc^2\sqrt{1-u^2/c^2}\) 到 \(u^4\) 阶。

6. K03： 从 \(H=\sqrt{p^2c^2+m^2c^4}\) 求 \(\partial H/\partial\mathbf p\)。

7. K03： 为什么 \(H\) 的 positive square root branch 合适？

8. K04： 单 photon 能否通过有限 Lorentz boost 变到 \(\mathbf p'=0\)？

9. K04： massless Hamiltonian \(H=pc\) 的 group velocity 是多少？

10. 综合： 两个能量相等、反向传播的 photon 是否各有 rest frame？系统是否有 CM frame？

Exit ticket / 离堂检核

1. 从 \(K^\mu=dp^\mu/d\tau\) 推出其时间与空间分量，并用 \(K\cdot U=0\) 检查 \(c\) 因子。
2. 用 action → Lagrangian → canonical momentum → Hamiltonian 的链条说明为何 free-particle dispersion 与速度上限同时出现。

References and source notes / 参考资料与来源说明

Source-to-content map

资料与 URL 实际打开核对日期：2026-08-29。推导、数值与图示均按本课约定独立完成；图未复制教材。

复习与拓展

• Four-Vectors：四速度 norm 与 boost convention。
• Energy, Momentum, and Reactions：mass shell、系统 invariant mass 与 massless composite systems。
• Electric and Magnetic Fields Across Frames：\(K^\mu=qF^{\mu\nu}U_\nu\)、canonical momentum 与 vector potential。
• Equivalence and Curved Spacetime：free-particle action 在 curved metric 中推广为 geodesic action。