Learning objectives
- 从 Schrödinger 方程推导时间无关 Hamiltonian 的幺正演化算符并检验群合成。
- 在三种表象间变换态与算符，证明矩阵元不变。
- 推导 Ehrenfest theorem，并识别其何时近似经典轨迹。
- 用对易子和显式时间依赖判断守恒量，把连续对称性与生成元联系起来。
Prerequisites
需掌握 Measurement and Uncertainty 的期望值、对易子和投影概率，以及矩阵指数与常微分方程。
Scope and conventions
研究封闭量子系统；时间是外部参数。默认 \(U(t,t_0)\) 把 \(t_0\) 的态推进到 \(t\)。时间无关 \(H\) 时写 \(U=e^{-iH(t-t_0)/\hbar}\)；时间依赖 Hamiltonian 一般需 time ordering，本课只给出结构，不展开 Dyson 级数。所有表象共享同一物理参考系与 SI 单位。
Notation / modeling contract
| 符号 | 含义 | 约定 |
|---|---|---|
| \(H\) | Hamiltonian | Hermitian，单位 J |
| \(U(t,t_0)\) | 演化算符 | \(U(t_2,t_1)U(t_1,t_0)=U(t_2,t_0)\) |
| \(A_S,A_H,A_I\) | 三表象算符 | 下标仅标表象 |
| \(H=H_0+V\) | interaction split | 划分依问题而定 |
| \(\partial A/\partial t\) | 显式时间依赖 | 区别于总期望变化 |
P07-U04-L03-K01 — Unitary evolution operator / 幺正演化算符
Knowledge ID: P07-U04-L03-K01
Schrödinger 方程 \(i\hbar\partial_t\lvert\psi\rangle=H\lvert\psi\rangle\) 与 Hermiticity 保证范数守恒。时间无关 \(H\) 的解为
\[U(t,t_0)=\exp\left[-\frac{iH(t-t_0)}{\hbar}\right],\qquad U^\dagger U=I.\]
若 \(H\lvert n\rangle=E_n\lvert n\rangle\)，每个能量分量只积累相位 \(e^{-iE_n(t-t_0)/\hbar}\)；相对相位可观测，总体相位不可观测。
图 1：幺正演化在复振幅空间保持范数。
图 2：传播子的合成顺序与态的作用顺序一致。
图 3：能量本征值保持不变；圆内 phasor 只编码各能量分量的复相位，相对相位按 \(\Delta\phi_{nm}=-(E_n-E_m)(t-t_0)/\hbar\) 演化。
P07-U04-L03-K02 — Schrödinger, Heisenberg, and interaction pictures / 三种表象
Knowledge ID: P07-U04-L03-K02
Schrödinger 表象让态演化；Heisenberg 表象固定态并令
\[A_H(t)=U^\dagger(t,t_0)A_S(t)U(t,t_0).\]
于是 \(\langle\psi_S(t)\rvert A_S\lvert\psi_S(t)\rangle=\langle\psi_H\rvert A_H(t)\lvert\psi_H\rangle\)。若 \(H=H_0+V\)，interaction 表象移除已知 \(H_0\) 演化：\(\lvert\psi_I\rangle=U_0^\dagger\lvert\psi_S\rangle\)，且 \(i\hbar\partial_t\lvert\psi_I\rangle=V_I\lvert\psi_I\rangle\)。
图 4：三种表象是时间依赖的重新分配，不是三套不同物理。态作单边变换，算符作补偿性的双边共轭；\(H\) 与 \(I\) 间无需虚构独立直连，均可经 \(S\) 转换。
图 5：interaction picture 是算符与态的幺正重写；“移除 \(H_0\)”不是两条数值曲线相减，而是把其已知演化吸收到 \(U_0\) 中。
P07-U04-L03-K03 — Ehrenfest theorem / 埃伦费斯特定理
Knowledge ID: P07-U04-L03-K03
对任意算符 \(A\)，
\[\frac{d\langle A\rangle}{dt}=\frac{i}{\hbar}\langle[H,A]\rangle+\left\langle\frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle.\]
对 \(H=p^2/(2m)+V(x)\)，得到 \(d\langle x\rangle/dt=\langle p\rangle/m\) 与 \(d\langle p\rangle/dt=-\langle V'(x)\rangle\)。通常 \(\langle V'(x)\rangle\ne V'(\langle x\rangle)\)；只有势至多二次，或波包足够窄且势光滑时，质心才闭合为经典方程。
图 6：Ehrenfest theorem 把算符代数映射为平均运动。
图 7：上下 panel 共享 \(x\) 尺度但纵轴量纲独立。非线性势中的平均力是 \(-\langle V'(x)\rangle\)；波包采样一段力场，不能从叠加曲线读取或直接替换成 \(-V'(\langle x\rangle)\)。
图 8：harmonic potential 中质心严格满足经典振子方程。红点只是经典轨迹的离散显示，取自与蓝色量子均值完全相同的解析函数，二者数学上精确重合。
P07-U04-L03-K04 — Constants of motion and symmetries / 运动常量与对称性
Knowledge ID: P07-U04-L03-K04
若 \(A\) 无显式时间依赖且 \([H,A]=0\)，则 \(\langle A\rangle\) 守恒；更强地，Heisenberg 算符 \(A_H\) 不随时间变。若 \(G\) 生成一参数幺正变换 \(R(\epsilon)=e^{-i\epsilon G/\hbar}\)，Hamiltonian 在该变换下不变等价于 \([H,G]=0\)（连续对称性与守恒生成元）。若 \(A\) 显含时间，即使对易也未必守恒。
图 9：量子版 Noether 结构；要求连续幺正对称。
图 10：对称轨道上 Hamiltonian 不变，生成元给出切向变化。
Worked Examples
Example 1 — 二能级相位演化
已知：\(H=(\hbar\omega/2)\sigma_z\)，\(\lvert\psi(0)\rangle=\lvert+x\rangle\)。对象：封闭 qubit；边界/参考系：实验室 \(z\) 轴；模型理由：时间无关 Hamiltonian。由能量本征展开，
\[\lvert\psi(t)\rangle=\frac{e^{-i\omega t/2}\lvert+z\rangle+e^{i\omega t/2}\lvert-z\rangle}{\sqrt2},\]
故 \(P(+x)=\cos^2(\omega t/2)\)。\(\omega t\) 无量纲；精确结果。\(t=0\) 时概率为 1，周期 \(2\pi/\omega\)；整体相位不影响概率。物理上相对相位驱动可观测振荡。
Example 2 — Heisenberg 算符
已知同上，求 \(\sigma_x(t)\)。对象/边界/轴同例 1；模型：Heisenberg 表象。用 \(U=e^{-i\omega t\sigma_z/2}\) 得
\[\sigma_x(t)=U^\dagger\sigma_xU=\sigma_x\cos\omega t-\sigma_y\sin\omega t.\]
代回 \(\lvert+x\rangle\) 得 \(\langle\sigma_x(t)\rangle=\cos\omega t\)，与例 1 的 \(2P(+x)-1\) 一致。算符无量纲；符号由 \(U(t,t_0)\) 方向和 \(H\) 号共同决定。低时极限导数为 \(-\omega\sigma_y\)，与 Heisenberg 方程一致。
Example 3 — 匀强力下的 Ehrenfest 运动
已知：\(V(x)=-Fx\)，\(\langle x(0)\rangle=x_0\)，\(\langle p(0)\rangle=p_0\)。对象：质量 \(m\) 粒子；边界：一维封闭系统；正方向：\(+x\) 沿 \(F\)；模型：非相对论 Hamiltonian。Ehrenfest 给 \(d\langle p\rangle/dt=F\)，积分得
\[\langle p\rangle=p_0+Ft,\qquad \langle x\rangle=x_0+\frac{p_0t}{m}+\frac{Ft^2}{2m}.\]
各项单位分别为 \(\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}\) 与 m；结果精确，不需有效数字。\(F\to0\) 回到匀速。平均运动完全经典，但波包宽度仍可量子演化。
Example 4 — 守恒判断
已知：二维各向同性 \(H=(p_x^2+p_y^2)/(2m)+V(x^2+y^2)\)。对象：平面粒子；边界/参考系：孤立、原点为势中心；模型：旋转对称。\(L_z=xp_y-yp_x\) 生成平面旋转，\(H\) 对旋转不变，故 \([H,L_z]=0\) 且 \(d\langle L_z\rangle/dt=0\)。单位为 \(\mathrm{J\,s}\)；方向沿右手系 \(z\)。若加入 \(\lambda x\)，旋转对称破缺且通常不守恒；\(\lambda\to0\) 恢复。结论是守恒来自对称性，而非“轨道看起来圆”。
Lesson synthesis
先写 \(H\) 与边界，再构造 \(U\)；选择使计算最简的表象，但用矩阵元不变交叉检查。求平均运动用 Ehrenfest；判定守恒必须同时检查 \([H,A]\) 与 \(\partial_tA\)。最后以低时、低频或对称极限检查符号。
Formula-and-decision table
| 任务 | 公式 | 条件与限制 |
|---|---|---|
| 时间无关传播 | \(U=e^{-iH\Delta t/\hbar}\) | \(H\) 不显含时间 |
| Heisenberg 算符 | \(A_H=U^\dagger A_SU\) | 表象约定须一致 |
| interaction 态 | \(\lvert\psi_I\rangle=U_0^\dagger\lvert\psi_S\rangle\) | 已选 \(H=H_0+V\) |
| 期望变化 | \(d\langle A\rangle/dt=(i/\hbar)\langle[H,A]\rangle+\langle\partial_tA\rangle\) | 闭系统 |
| 守恒量 | \([H,A]=0\) 且 \(\partial_tA=0\) | 两条件缺一不可 |
Model boundaries
- 开放系统一般非幺正，需要 density operator 与 master equation。
- 时间依赖且不同时刻不对易的 \(H(t)\) 不能直接写普通指数。
- Ehrenfest 给平均量方程，不保证完整量子态等价于经典点粒子。
- interaction split 非唯一；“微扰小”须相对相关能标与时间尺度判断。
Misconception clinic
- “stationary state 完全不变”：ket 有总体相位；时间无关的是所有可观测概率。
- “Heisenberg 态真的停止物理演化”：只是时间依赖转移到算符。
- “Ehrenfest 定理证明经典力学总成立”：非线性势中平均力不等于质心处的力。
- “与 \(H\) 对易就一定守恒”：算符若显含时间仍有额外项。
Practice and retrieval
- 证明时间无关 Hermitian \(H\) 所生成的 \(U\) 是幺正的。
- 若能量本征态能量为 \(E\)，其随时间获得什么相位？
- 写出传播子合成律并解释乘法顺序。
- 证明 Schrödinger 与 Heisenberg 表象的期望值相同。
- \(H=H_0+V\) 时写出 \(V_I(t)\)。
- 对自由粒子用 Ehrenfest 求 \(d\langle p\rangle/dt\)。
- 对 harmonic oscillator 写出质心二阶方程。
- 若 \([H,A]=0\) 但 \(A(t)=tA_0\)，\(A\) 是否守恒？
- 中心势中哪一旋转生成元守恒？三维情形给出完整答案。
- 为什么时间依赖 Hamiltonian 的普通指数可能失败？
Answers
- \(U^\dagger=e^{iH\Delta t/\hbar}=U^{-1}\)，故 \(U^\dagger U=I\)。
- \(e^{-iE(t-t_0)/\hbar}\)。
- \(U(t_2,t_0)=U(t_2,t_1)U(t_1,t_0)\)；右侧最先作用早期传播。
- 代入 \(\lvert\psi_S\rangle=U\lvert\psi_H\rangle\) 与 \(A_H=U^\dagger A_SU\)。
- \(V_I=U_0^\dagger VU_0\)。
- \([H,p]=0\)，故 \(d\langle p\rangle/dt=0\)。
- \(d^2\langle x\rangle/dt^2+\omega^2\langle x\rangle=0\)。
- 否；\(d\langle A\rangle/dt=\langle A_0\rangle\)。
- 三个分量 \(L_x,L_y,L_z\) 均守恒，等价于向量 \(\mathbf L\) 守恒。
- 因 \([H(t),H(t')]\) 可非零，指数展开的算符次序影响结果，需 time ordering。
Exit ticket
对给定二能级 \(H\) 与一个测量算符，分别用 Schrödinger 和 Heisenberg 表象算同一概率，并指出哪一对易关系保证某个分量守恒。
References and source notes
均于 2026-08-29 实际打开核验。
- MIT OCW, 8.321 Lecture 6 Notes.
- MIT OCW, 8.321 Lecture 7 Notes.
- MIT OCW, 8.321 Lecture 8 Notes.
- MIT OCW, 5.61 Ehrenfest’s Theorem Handout.
- MIT OCW, 8.04 Quantum Physics I — Lecture Notes.
Source-to-content map
| Source | Used for | Knowledge ID / Section | Model boundary or convention |
|---|---|---|---|
| MIT 8.321 L6 | unitary propagation, Heisenberg picture | K01–K02 | closed, time-independent examples |
| MIT 8.321 L7 | Heisenberg equation and particle in potential | K03 | nonrelativistic Hamiltonian |
| MIT 8.321 L8 | time-dependent \(H\), interaction picture | K01–K02 | ordering caveat retained |
| MIT 5.61 handout | Ehrenfest derivation | K03 | expectation-value statement |
| MIT 8.04 notes | expectation-value time dependence | K03–K04 | undergraduate bridge |
复习与拓展
- 可扩展 time ordering、Dyson series、adiabatic evolution、Berry phase 与 Lindblad evolution。
- 与 Orbital Angular Momentum 的接口：旋转由角动量生成，对称性决定守恒。