黑洞与吸积

Learning objectives / 学习目标

• 计算 Schwarzschild radius、gravitational time 与 angular scale，区分 horizon、photon region、ISCO 与 shadow；
• 从 orbital binding energy 与 mass-flow rate 建立 \(L=\eta\dot Mc^2\)，解释 disk temperature、Eddington scale 和效率的适用条件；
• 用 special-relativistic aberration/Doppler boosting 判断 superluminal motion 的表观性质，并说明 jet launching 仍需磁场与旋转；
• 比较 stellar-mass 与 supermassive black holes 的 dimensionless similarity 和绝对时间/温度差异；
• 把 dynamical mass、X-ray spectrum、variability、GW 与 horizon-scale interferometry 组成证据链，并识别替代解释和系统误差。

Prerequisites / 先修知识

• White Dwarfs and Neutron Stars 的 compactness 与 collapse endpoint；
• circular orbit 的 \(v^2=GM/r\)、binding energy、angular momentum；
• Lorentz factor、Doppler effect、diffraction/interferometry；
• thermal radiation、spectral line、mass continuity 与 magnetic field 的基本概念。

Scope and conventions / 范围与约定

• \(r_g=GM/c^2\) 是 gravitational radius；非旋转黑洞 Schwarzschild horizon \(r_s=2r_g\)。文献有时把 \(r_g\) 或 \(r_s\) 都称“Schwarzschild scale”，本课始终显式区分。
• Kerr spin parameter 写作 \(a_*=Jc/(GM^2)\)，满足 \(\lvert a_*\rvert\le1\) 的经典 Kerr bound；不在本课推导完整 Kerr metric。
• Accretion efficiency \(\eta\) 是从 rest-mass inflow 到 escaping radiation 的净比例；outflow/advection/obscuration 会让观测 luminosity 不等于局部 dissipated power。
• Jet 图均为 schematic；apparent speed 是 sky-plane feature motion，不是物质违反 \(c\)。
• “Black-hole image”指经过 calibration、Fourier reconstruction 与 plasma/GR forward model 得到的 horizon-scale brightness distribution；不是拍到 horizon surface。

Notation and modeling contract / 符号与建模契约

1. Event horizons and characteristic scales / 事件视界与特征尺度

Knowledge ID: P12-U04-L02-K01

Event horizon 是 causal boundary：在 classical general relativity 中，其内所有未来指向的 causal trajectories 都不能到达远方 observer。它不是 Newtonian escape-velocity formula 的材料表面；不过令 \(v_{\rm esc}=c\) 恰得到 Schwarzschild radius 的正确质量标度：

\[r_s=\frac{2GM}{c^2}=2.953\left(\frac{M}{M_\odot}\right)\,\mathrm{km}, \qquad t_g=\frac{GM}{c^3}=4.926\left(\frac{M}{M_\odot}\right)\,\mu\mathrm s.\]

非旋转情形还有 photon circular orbit \(r=3r_g\) 和 innermost stable circular orbit（ISCO）\(r=6r_g\)。Shadow 的临界 impact-parameter diameter 在理想 Schwarzschild、远方 observer 下约 \(2\sqrt{27}r_g\approx10.4r_g\)；它大于 horizon diameter \(4r_g\)。旋转、inclination 与 emitting plasma 改变 brightness asymmetry 和精确轮廓。

图 1 把四个常被混称“黑洞大小”的尺度拆开；圈线是坐标/光线结构，不是可见固体壳。

图 2 用无量纲比值表明 \(r_g\) 与 \(t_g\) 都严格正比于 \(M\)；长度与时间本身仍不可放在同一有量纲纵轴比较。

2. Accretion disks and energy release / 吸积盘与能量释放

Knowledge ID: P12-U04-L02-K02

有 angular momentum 的气体不能径向直落，必须通过 turbulent/magnetic stress 向外输运 angular momentum，向内输运 mass，形成 accretion disk。Newtonian circular-orbit specific energy \(e=-GM/(2r)\) 显示内落可释放 binding energy；relativistic disk 的 inner boundary 与 efficiency 依 spin 和 stress prescription。

\[L=\eta\dot Mc^2.\]

Thin, optically thick disk 的局部 radiative flux（远离完整 relativistic correction）可写为：

\[F(r)=\frac{3GM\dot M}{8\pi r^3} \left[1-\left(\frac{r_{\rm in}}{r}\right)^{1/2}\right], \qquad \sigma T_{\rm eff}^4=F.\]

这说明内盘更热，且在相同 Eddington ratio 下 characteristic temperature roughly 随 \(M^{-1/4}\) 降低：stellar-mass black-hole disks 可在 X-ray band，SMBH disks 的 thermal peak 较低。

Electron-scattering Eddington luminosity 来自 outward radiation force 与 inward gravity 的 spherical steady balance：

\[L_{\rm Edd}=\frac{4\pi GMm_pc}{\sigma_T} \approx1.26\times10^{31}\left(\frac{M}{M_\odot}\right)\,\mathrm W.\]

它不是所有 geometry/composition 下不可超越的硬墙；beaming、inhomogeneity、opacity 与 short-lived flows 可产生 apparent/super-Eddington regimes。

图 3 区分 mass flux 与 angular-momentum flux；“摩擦让气体停下”不是吸积盘机制的准确说法。

图 4 的 flux 在 inner boundary 条件下归零后出现峰值；不能用单调 \(r^{-3}\) 延伸到 horizon。

3. Relativistic jets / 相对论喷流

Knowledge ID: P12-U04-L02-K03

Jets 是沿 rotation axis 附近发出的 collimated plasma/outflow，跨越 stellar binaries 到 AGN。Observations 支持 magnetic fields、rotating disk 和可能的 black-hole spin 参与能量提取与 collimation，但“任何吸积盘都必有同样喷流”不成立；state、magnetic flux 和 environment 重要。

接近 line of sight 的 relativistic feature 具有 apparent transverse speed：

\[\beta_{\rm app}=\frac{\beta\sin\theta}{1-\beta\cos\theta}.\]

它可大于 1，因为后一个 photon 的发射点更靠近 observer，arrival-time interval 被压缩；局域物质速度仍 \(v<c\)。Doppler factor：

\[\delta=\frac{1}{\Gamma(1-\beta\cos\theta)}, \qquad \Gamma=(1-\beta^2)^{-1/2}.\]

Flux boosting 的指数依 source geometry 与 spectral index，故不能只凭 brightness ratio 无模型地读出 \(\Gamma\)。

图 5 中双向结构表示 central engine symmetry；一侧观测上更亮可由 Doppler beaming 造成。

图 6 给出 apparent superluminal motion 的 light-travel-time geometry。

4. Stellar-mass versus supermassive black holes / 恒星级与超大质量黑洞

Knowledge ID: P12-U04-L02-K04

Stellar-mass black holes 通常来自 massive-star collapse 或 compact mergers；supermassive black holes（SMBH）位于 galaxies nuclei，通过 seed formation、accretion 和 mergers 增长。二者不应只按“大小”区分，还要按环境、feeding mode 与可观测时间尺度区分。

在相同 dimensionless radius \(r/r_g\) 和 Eddington ratio 下：

• length and variability times \(\propto M\)；
• characteristic disk temperature roughly \(\propto M^{-1/4}\)；
• \(L_{\rm Edd}\propto M\)；
• density、cooling 与 magnetic-flux state 不一定严格自相似。

因此 X-ray binary 可在 days–months 改变 accretion state，AGN 对应演化可需 thousands–millions of years；但 rapid inner-disk variability 仍限制 emitting region \(R\lesssim c\Delta t\)。

图 7 将 intermediate-mass range 标为过渡而非自然界的硬分箱。

图 8 解释为什么同类 accretion physics 在不同 wavebands 出现。

5. Observational signatures and shadow imaging / 观测特征与黑洞阴影成像

Knowledge ID: P12-U04-L02-K05

任何单一 bright source 都不是黑洞证明。常用 evidence chain 包括：

1. companion orbit 或 stellar/gas dynamics 给出 compact unseen mass；
2. X-ray/UV/radio spectrum 与 rapid variability 限制 size 和 accretion state；
3. absence of surface-like bursts、GW ringdown 或 relativistic orbital features 检验 compactness；
4. very-long-baseline interferometry（VLBI）采样 complex visibilities，重建 horizon-scale brightness；
5. 与 GR ray tracing 和 plasma models 比较 shadow diameter/asymmetry。

Interferometer 测的不是直接 pixels，而是 sky brightness 的 Fourier components：

\[V(u,v)=\iint I(l,m)e^{-2\pi i(ul+vm)}\,dl\,dm.\]

Sparse \(uv\) coverage、station gains、scattering 和 imaging regularization 都带来 uncertainty。EHT 的 M87* ring 与 shadow-scale feature 与约 \(6.5\times10^9M_\odot\) black-hole spacetime 相容；“看见红色甜甜圈”并非独立于 calibration/model 的直接 horizon photograph。

图 9 明确 brightness depression、photon ring family 与 horizon 不是同一 geometric object。

图 10 是 shadow inference pipeline；scientific claim 属于整条链而非最后一张图。

Worked Examples / 完整例题

Worked Example 1 — 恒星级黑洞的尺度

已知： 非旋转黑洞 \(M=10.0M_\odot\)。
研究对象与参考系： isolated Schwarzschild spacetime，由远方 stationary observer 定义 \(M\)；SI。
模型理由： 忽略 spin，求 horizon radius 和 gravitational time。

\[r_s=2.953\frac{M}{M_\odot}\,\mathrm{km}=29.5\,\mathrm{km},\]

\[t_g=4.926\frac{M}{M_\odot}\,\mu\mathrm s=49.3\,\mu\mathrm s.\]

结果： \(r_s=29.5\,\mathrm{km}\)，\(t_g=49.3\,\mu\mathrm s\)（3 s.f.）。
检查： 两者均随 \(M\) 线性；horizon diameter 是 \(59.1\,\mathrm{km}\)，不要把 radius/diameter 混淆。
物理解释： millisecond variability 可来自数十个 \(t_g\) 的 inner flow，不意味着发光来自 horizon 内部。

Worked Example 2 — 吸积功率与 Eddington ratio

已知： \(M=10.0M_\odot\)，\(\dot M=1.00\times10^{-8}M_\odot\,\mathrm{yr^{-1}}\)，\(\eta=0.100\)。
系统边界： 由远处通过 disk 的 rest-mass inflow 到 escaping radiation；不计 jet/advection。
参考系： source rest frame。
换算与方程：

\[\dot M=\frac{1.00\times10^{-8}(1.9885\times10^{30})}{3.15576\times10^7} =6.30\times10^{14}\,\mathrm{kg\,s^{-1}}.\]

\[L=\eta\dot Mc^2=5.66\times10^{30}\,\mathrm W.\]

\[L_{\rm Edd}=1.26\times10^{32}\,\mathrm W, \qquad \lambda_{\rm Edd}=L/L_{\rm Edd}=0.0449.\]

结果： \(L=5.66\times10^{30}\,\mathrm W\)，约 \(4.49\%\) Eddington。
检查： \(\dot Mc^2\) 单位 W；若 \(\eta\to0\)，radiative output 趋零。
边界： 真实 \(\dot M\) 随 radius 可因 wind 改变，observed band luminosity 还需 bolometric correction。

Worked Example 3 — Apparent superluminal jet

已知： \(\beta=0.980\)，jet 与 line of sight 夹角 \(\theta=15.0^\circ\)。
研究对象： moving emission pattern；observer frame。
坐标： line of sight 为纵向，sky plane 为横向。
方程：

\[\beta_{\rm app}=\frac{0.980\sin15^\circ}{1-0.980\cos15^\circ}=4.75.\]

\[\Gamma=(1-0.980^2)^{-1/2}=5.03, \qquad \delta=\frac{1}{5.03(1-0.980\cos15^\circ)}=3.72.\]

结果： apparent speed \(4.75c\)，Doppler factor \(3.72\)。
检查： intrinsic \(v=0.980c<c\)；\(\beta_{\rm app}>1\) 来自 arrival-time geometry。
解释： 亮度与时间间隔也被 Doppler altered，但转换指数需给 spectrum/geometry。

Worked Example 4 — M87* shadow 的角尺度

已知： \(M=6.50\times10^9M_\odot\)，距离 \(D=16.8\,\mathrm{Mpc}\)；取 Schwarzschild shadow diameter \(d_{\rm sh}=10.4r_g\)。
研究对象与模型： far-field small-angle model；忽略 spin/inclination/plasma scattering。
方程：

\[r_g=\frac{GM}{c^2}=9.60\times10^{12}\,\mathrm m, \qquad d_{\rm sh}=9.98\times10^{13}\,\mathrm m.\]

\[D=16.8(10^6)(3.0857\times10^{16})=5.18\times10^{23}\,\mathrm m,\]

\[\theta=\frac{d_{\rm sh}}{D}=1.93\times10^{-10}\,\mathrm{rad} =39.7\,\mu\mathrm{as}.\]

结果： 约 \(39.7\,\mu\mathrm{as}\)。
检查： angular diameter 与 \(M/D\) 成正比；microarcsecond scale 解释为何需要 Earth-sized VLBI baseline。
边界： measured ring diameter 与 shadow diameter 需 imaging/plasma forward model 连接，不能直接等同。

Lesson synthesis / 课程综合

黑洞 astrophysics 的可靠 workflow：先以 \(M,J\) 定 characteristic spacetime scales；再把 gas supply、angular momentum transport、radiative transfer 与 jet state 建成 forward model；最后把 time、spectrum、polarization、orbit、GW 和 visibility-domain data 联合检验。每一步都要区分“几何对象”“发光物质”“测量算子”。

Formula-and-decision table / 公式与决策表

Model boundaries / 模型边界

• Newtonian escape-speed derivation is only a mnemonic for \(r_s\); horizon is a global GR causal concept.
• Thin disks require geometrical thinness, efficient cooling and approximate steady state; low/high accretion states can be radiatively inefficient or thick.
• Eddington luminosity depends on opacity and symmetry, and is not a universal instantaneous luminosity cap.
• Jet apparent features may not trace bulk plasma speed; Doppler inference is model dependent.
• Scaling by \(M\) is powerful but microphysics, magnetic flux and environment can break exact similarity.
• Image reconstruction from sparse visibilities is non-unique; robust statements require multiple algorithms and closure quantities.

Misconception clinic / 误区诊所

1. “事件视界是一层黑色球壳。” 它是 causal boundary，不是有材料应力的 surface。
2. “吸积物质在视界内摩擦发光。” 能到达远方的主要 radiation 由 horizon 外 plasma 产生。
3. “Eddington limit 任何时候都绝不可超过。” 它来自特定 steady spherical opacity model。
4. “喷流快于光证明相对论错误。” apparent transverse speed 可大于 \(c\)，intrinsic local speed 不可。
5. “SMBH 比 stellar BH 的物理完全不同。” dimensionless GR structure 相似，但 absolute time、temperature 与 feeding environment 不同。
6. “EHT 图中黑区就是 horizon，亮环就是 photon orbit。” Observed brightness 是 plasma emission 经 lensing、sampling 和 reconstruction 后的结果。

Practice and retrieval / 练习与提取

1. [K01 定量] 求 \(4.00\times10^6M_\odot\) 黑洞的 \(r_s\) 与 \(t_g\)。
2. [K01 概念] 按半径由小到大排列 Schwarzschild horizon、photon orbit、ISCO 与 shadow radius。
3. [K02 定量] \(\dot M=2.00\times10^{15}\,\mathrm{kg\,s^{-1}}\)、\(\eta=0.0600\) 时 \(L\) 为多少？
4. [K02 边界] 为什么高 \(\dot M\) 不保证 \(L=\eta\dot Mc^2\) 按固定 \(\eta\) 增加？
5. [K03 定量] \(\beta=0.90\)、\(\theta=30^\circ\) 时求 \(\beta_{\rm app}\)。
6. [K03 判断] approaching jet 更亮是否单独证明它 intrinsically 更强？
7. [K04 标度] 质量相差 \(10^7\) 的两黑洞在相同 \(r/r_g\) 上 orbital time ratio 是多少？
8. [K04 图像] 为什么相同 Eddington ratio 的 stellar disk 比 SMBH disk 更热？
9. [K05 定量] baseline \(B=1.00\times10^7\,\mathrm m\)、\(\lambda=1.30\,\mathrm{mm}\)，估 \(\lambda/B\) angular scale（\(\mu\)as）。
10. [综合] 列出确认一个 unseen compact object 是黑洞而非 neutron star 的互补证据链。

Exit ticket / 课末检核

1. 解释为什么“shadow 比 horizon 大”并不矛盾，并指出观察者真正测到的量。
2. 给出一个 \(L\) 很低但 \(\dot M\) 可能不低的 accretion scenario，并说明需要哪种观测区分。

References and source notes / 参考资料与来源说明

1. OpenStax, Astronomy 2e, 24.5 Black Holes — horizon、curved spacetime 与 Schwarzschild black hole；accessed 2026-08-30.
2. OpenStax, Astronomy 2e, 24.6 Evidence for Black Holes — binary dynamics、accretion disks 与 stellar/supermassive evidence；accessed 2026-08-30.
3. OpenStax, Astronomy 2e, 27.2 Supermassive Black Holes: What Quasars Really Are — accretion energy、variability 与 AGN engine；accessed 2026-08-30.
4. Event Horizon Telescope Collaboration, Astronomers Capture First Image of a Black Hole — M87* mass/distance context、VLBI array 与 shadow interpretation；accessed 2026-08-30.
5. Event Horizon Telescope Collaboration, “First M87 Event Horizon Telescope Results. I. The Shadow of the Supermassive Black Hole,” ApJL 875, L1 (2019), DOI — calibrated data, imaging and shadow-scale inference；accessed 2026-08-30.
6. NASA Science, Anatomy of a Black Hole — event horizon、accretion disk、corona、relativistic jets 与 black-hole shadow 的观测构型；accessed 2026-08-30.
7. NASA Science, Black Holes — mass classes、formation channels 与 multiwavelength evidence；accessed 2026-08-30.

所有 TikZ 均为依据 equations 与 inference pipeline 原创的 schematic；未复制 EHT image 或官方 illustrations。

Source-to-content map / 来源—内容映射

复习与拓展

• 下一课：accretion state changes、tidal disruptions、GRBs 与 mergers 进入 time-domain/multi-messenger framework。
• Unit 12.5：SMBH accretion becomes AGN；jet/wind/radiation couples the nucleus to galaxy gas。
• 可扩展：Kerr metric、ISCO efficiency vs spin、Novikov–Thorne disks、magnetically arrested disks、GRMHD、closure phase and Bayesian image ensembles。