银河系与星系动力学

Learning objectives / 学习目标

• 用 disk–bulge/bar–stellar halo–dark halo 的结构和 age–metallicity–kinematics 描述 stellar populations；
• 从 rotation curve 推导 spherical enclosed-mass estimator，并指出 disk geometry、pressure support 和 noncircular motion 的修正；
• 区分 ISM 的 molecular、neutral、ionized 和 hot phases，说明 cooling/heating/pressure balance 与 tracer bias；
• 解释 differential rotation 的 winding problem、density-wave/transient-arm picture 与 gas compression/star formation 的联系；
• 综合 rotation curves、vertical dynamics、satellites、streams 与 lensing 证据，避免把任一 rotation-curve point 当作“直接看见暗物质”。

Prerequisites / 先修知识

• Circular orbit、Poisson equation 和 hydrostatic equilibrium 的基础；
• Stellar spectra、metallicity \([\mathrm{Fe/H}]\)、proper motion、radial velocity；
• Doppler shift、21-cm hyperfine line、molecular tracers 和 dust extinction；
• Probability distribution、measurement uncertainty 与 selection function。

Scope and conventions / 范围与约定

• 采用 Galactocentric cylindrical coordinates \((R,\phi,z)\)；\(R\) 是距 Galactic center 的柱半径，不是 heliocentric distance。
• \(v_c(R)\) 是 gravitational potential 定义的 circular speed；观测 mean azimuthal velocity 可因 asymmetric drift 不等于 \(v_c\)。
• \(M(<R)=Rv_c^2/G\) 只在 spherical mass distribution 且 circular equilibrium 下精确；对薄盘是 useful estimator，不是 exact inversion。
• Metallicity 用 logarithmic abundance relative to Sun；“metal-rich”不等于 mass fraction mostly metals。
• ISM phase boundaries 是连续、多压和 time-dependent 的近似分类；tracer-to-mass conversion 如 \(X_{\rm CO}\) 依环境。
• 暗物质结论本课在 standard gravity framework 下表述；modified-gravity alternatives 需同时通过多尺度检验。

Notation and modeling contract / 符号与建模契约

1. Galactic components and stellar populations / 星系组成与恒星族

Knowledge ID: P12-U05-L01-K01

Milky Way 是 barred spiral galaxy：thin disk 富含 gas、dust 和 young stars；thick disk 的 stellar scale height/velocity dispersion/age 较大；central bulge/bar 含密集 stars；stellar halo 是低密度、old、metal-poor population 与 globular clusters；更广的 dark halo 由 gravitational effects 定义。

Stellar population 不是只按位置命名，而是 age、chemical abundance 与 phase-space distribution 的联合概率。一个 star 的 \([\mathrm{Fe/H}]\)：

\[[\mathrm{Fe/H}]=\log_{10}\left(\frac{N_{\rm Fe}}{N_{\rm H}}\right)_\star- \log_{10}\left(\frac{N_{\rm Fe}}{N_{\rm H}}\right)_\odot.\]

Gaia astrometry 加 radial velocities/abundances 能识别 disk heating、moving groups、streams 和 merger debris。Selection function 对 faint/red/crowded stars 不同，故 raw catalog density 不能直接等同真实 stellar density。

Vertical equilibrium 的简化 isothermal sheet 标度：

\[h_z\sim\frac{\sigma_z^2}{\pi G\Sigma_{\rm tot}},\]

说明更大的 velocity dispersion 或更小 restoring surface density 产生更厚 population；实际 multi-component disk 需 Jeans/Poisson 联立。

图 1 是 component geometry 的 edge-on schematic；halo ellipses 不表示 sharp physical edges。

图 2 将 age 与 velocity dispersion 分成两个量纲独立的 panel；两者都与 metallicity 呈统计相关且 populations overlap，所以单一 metallicity cut 不能无误分类。

2. Rotation curves and enclosed mass / 旋转曲线与包围质量

Knowledge ID: P12-U05-L01-K02

Axisymmetric potential \(\Phi(R,z)\) 在 midplane 给 circular speed：

\[v_c^2(R)=R\left.\frac{\partial\Phi}{\partial R}\right|_{z=0}.\]

若质量 spherical：

\[v_c^2(R)=\frac{GM(<R)}{R}, \qquad M(<R)=\frac{Rv_c^2}{G}.\]

若大部分质量集中在中心，\(v_c\propto R^{-1/2}\)；若 outer rotation curve flat，spherical estimator 给 \(M(<R)\propto R\)。Luminous disk 的 mass-to-light ratio、gas distribution 和 bulge together 预测 baryonic curve；残差常用 extended dark halo 解释。

Gas 也有 velocity dispersion、warps、bar/spiral streaming；stars 有 asymmetric drift。观测 line-of-sight velocity 必须反投影 inclination/solar motion，并报告 distance errors。Rotation curve 是 dynamical inference，不是直接称重仪读数。

图 3 的“observed minus baryons”不是 linearly subtracting speeds；potential contributions add in \(v_c^2\)。

图 4 将 flat speed 转为 linearly growing enclosed-mass inference。

3. Interstellar medium / 星际介质

Knowledge ID: P12-U05-L01-K03

ISM 包含 molecular gas、cold/warm neutral medium、warm ionized medium、hot ionized plasma 与 dust/cosmic rays/magnetic fields。总体平均密度很低，但 filling factor 与 mass fraction 不同：hot gas 可占大 volume，cold clouds 占较多 mass 而 volume 小。

Common tracers：H I 21-cm line tracing neutral atomic hydrogen；CO rotational lines 间接 tracing H\(_2\)；H-alpha tracing ionized recombination；X-rays tracing hot plasma；dust emission/extinction tracing column。每种 tracer 都有 optical depth、excitation、chemistry 与 conversion-factor selection。

Thermal pressure \(P=nk_BT\) 只是一部分；turbulence、magnetic and cosmic-ray pressure 可 comparable。Cooling rate 常写 \(\mathcal L=n_en_i\Lambda(T,Z)\)，heating/cooling balance 可产生 multiple stable phases，但 shocks/feedback keep ISM dynamic。

图 5 的 constant-\(nT\) guide 只代表 thermal pressure，真实 phases 还受非热压与 time dependence。

图 6 说明 CO/21-cm/dust map 不是 gas mass 的无模型照片。

4. Spiral structure and star formation / 旋臂结构与恒星形成

Knowledge ID: P12-U05-L01-K04

若 spiral arms 是固定 material arms，differential rotation 会快速 wind them tightly；这就是 winding problem。现代图景包含 quasi-stationary density-wave modes、bar-driven patterns、transient/recurrent arms 与 self-gravitating gas/stellar responses。Stars/gas 可穿过 pattern，pattern speed \(\Omega_p\) 不必等于 material \(\Omega(R)\)。

At corotation \(\Omega(R)=\Omega_p\)；Lindblad resonances 还涉及 epicyclic frequency \(\kappa\)。Gas 进入 spiral potential 时可 compress/shock，形成 molecular clouds 和 young-star tracers，但 arms 并非“永远包含同一批 stars”。

Resolved/galaxy-averaged star formation 常用经验 Kennicutt–Schmidt-like relation：

\[\Sigma_{\rm SFR}=A\Sigma_{\rm gas}^{N},\]

或效率 per free-fall time \(\dot M_\star\sim\epsilon_{\rm ff}M_{\rm gas}/t_{\rm ff}\)。\(A,N,\epsilon\) depend on tracer, scale, gas phase and environment；不是 universal exact law。

图 7 是 pattern/material distinction schematic；spiral 曲线不代表 individual stellar orbits。

图 8 把 empirical scaling 的 intrinsic/measurement scatter 作为信息而非“坏点”。

5. Evidence for dark matter / 暗物质证据

Knowledge ID: P12-U05-L01-K05

Milky Way dark-matter inference 来自多尺度 consistency：outer rotation curve；local vertical force；satellite/stellar-halo kinematics；tidal streams；escape speed；microlensing bounds on compact objects；与 cosmological structure/CMB 的 shared matter density。每种 probe 有不同 baryonic/systematic degeneracies。

Density profiles 常以 spherical halo models 表示，例如 NFW：

\[\rho(r)=\frac{\rho_s}{(r/r_s)(1+r/r_s)^2},\]

但 inner cusp/core、triaxiality、baryonic contraction/feedback 和 disequilibrium 都会改变 inference。Profile 参数是模型摘要，不是 dark-matter particle identity。

Tidal stream 是 phase-space ruler：subhalos 可造成 density gaps/velocity kicks，global halo shape causes orbital precession；但 molecular clouds、bar/spiral perturbations 和 progenitor dynamics 也能制造 features。Evidence 应靠 cross-probe closure。

图 9 表示 stream responds to total potential；它不是 halo 物质本身的发光轨迹。

图 10 强调 dark halo inference 必须传播 luminous-mass 与 selection uncertainty。

Worked Examples / 完整例题

Worked Example 1 — Stellar population 的 scale height

已知： \(\sigma_z=20.0\,\mathrm{km\,s^{-1}}\)，总 restoring surface density \(\Sigma_{\rm tot}=50.0M_\odot\,\mathrm{pc^{-2}}\)。
研究对象/边界： local isothermal tracer population，plane-parallel equilibrium；忽略 radial coupling。
坐标： \(z\) 垂直 Galactic plane，midplane \(z=0\)。
换算： \(\Sigma=50(1.9885\times10^{30})/(3.0857\times10^{16})^2=0.1044\,\mathrm{kg\,m^{-2}}\)。

\[h_z=\frac{(2.00\times10^4)^2}{\pi(6.6743\times10^{-11})(0.1044)} =1.83\times10^{19}\,\mathrm m=593\,\mathrm{pc}.\]

结果： \(h_z\approx593\,\mathrm{pc}\)。
检查： \(h_z\propto\sigma_z^2\)；更 hot population 更厚。
边界： coefficient depends on adopted vertical profile and multi-component gravity；此为 scale estimate。

Worked Example 2 — Solar-radius enclosed-mass estimator

已知： \(R=8.20\,\mathrm{kpc}\)，\(v_c=220\,\mathrm{km\,s^{-1}}\)。
研究对象与模型： spherical circular-equilibrium estimator；Galactocentric frame。
计算：

\[M(<R)=\frac{Rv_c^2}{G} =\frac{[8.20(3.0857\times10^{19})](2.20\times10^5)^2}{6.6743\times10^{-11}} =1.84\times10^{41}\,\mathrm{kg}.\]

\[M(<R)=9.23\times10^{10}M_\odot.\]

结果： spherical-equivalent enclosed mass \(9.23\times10^{10}M_\odot\)。
检查： \(M\) increases linearly with \(R\) for fixed flat \(v_c\)。
边界： Milky Way disk is flattened；do not interpret as exact spherical mass profile。

Worked Example 3 — 21-cm radial velocity

已知： rest frequency \(\nu_0=1420.406\,\mathrm{MHz}\)，observed \(\nu=1419.906\,\mathrm{MHz}\)；radio nonrelativistic convention \(v_r/c\approx(\nu_0-\nu)/\nu_0\)。
研究对象： emitting H I cloud relative to chosen local standard; positive receding。
计算：

\[v_r=(2.9979\times10^5\,\mathrm{km\,s^{-1}}) \frac{0.500}{1420.406}=105.5\,\mathrm{km\,s^{-1}}.\]

结果： \(v_r=+105.5\,\mathrm{km\,s^{-1}}\)（receding）。
检查： lower observed frequency means redshift/positive receding in the stated convention。
边界： Galactic kinematic distance can be double-valued and disturbed by noncircular motion。

Worked Example 4 — Gas depletion time

已知： \(\Sigma_{\rm gas}=10.0M_\odot\,\mathrm{pc^{-2}}\)，\(\Sigma_{\rm SFR}=5.00\times10^{-3}M_\odot\,\mathrm{yr^{-1}\,kpc^{-2}}\)。
系统边界： fixed region，忽略 inflow/outflow/recycling；depletion time \(t_{\rm dep}=\Sigma_{\rm gas}/\Sigma_{\rm SFR}\)。
换算： \(10.0M_\odot\,\mathrm{pc^{-2}}=1.00\times10^7M_\odot\,\mathrm{kpc^{-2}}\)。

\[t_{\rm dep}=\frac{1.00\times10^7}{5.00\times10^{-3}}\,\mathrm{yr} =2.00\times10^9\,\mathrm{yr}.\]

结果： \(t_{\rm dep}=2.00\,\mathrm{Gyr}\)。
检查： surface-area units cancel；higher SFR gives shorter time。
解释： This is not cloud lifetime；it is population-average reservoir/use rate under stated boundary。

Lesson synthesis / 课程综合

Milky Way inference 的顺序是：定义 coordinates/reference motion → 处理 catalog selection/error → 将 stars/gas 分 population/tracer → 用 Jeans/orbit/gas models 求 total potential → 以 baryonic model 分解 → 用 streams/satellites/vertical/rotation probes 交叉检验 halo。Structure、ISM、spiral 和 star formation 都是 time-dependent components，不能把单张 map 当 equilibrium truth。

Formula-and-decision table / 公式与决策表

Model boundaries / 模型边界

• Gaia phase-space catalog is magnitude/color/crowding selected and has correlated astrometric errors。
• Steady Jeans analysis can be biased by bar, spiral, bending waves and merger disequilibrium。
• Spherical enclosed-mass estimator is not exact for the disk-dominated inner Galaxy。
• ISM tracers require opacity/excitation/abundance conversion; CO-dark H\(_2\) and optically thick H I matter。
• Spiral arms may be transient or multiple patterns; no single universal density-wave picture fits all radii/times。
• Dark-matter profile inference depends on baryonic mass and gravity law; particle identity requires non-gravitational or cosmological evidence。

Misconception clinic / 误区诊所

1. “Thin disk、thick disk、halo 是互不重叠盒子。” 它们是 overlapping phase-space/chemistry distributions。
2. “Rotation speed 直接给 enclosed mass，和形状无关。” \(Rv^2/G\) assumes spherical circular equilibrium。
3. “21-cm brightness 直接就是 H I mass。” optical depth、spin temperature、beam and distance enter。
4. “Spiral arms 由同一批 stars 永久组成。” pattern and material rotate differently；stars cross arms。
5. “Star formation relation 是每朵 cloud 的确定性定律。” 它是 scale/tracer-dependent empirical population relation。
6. “Flat rotation curve 单独决定暗物质粒子是什么。” 它 constrains total potential；particle nature remains open。

Practice and retrieval / 练习与提取

1. [K01] \([\mathrm{Fe/H}]=-1.0\) 表示 iron-to-hydrogen ratio 是 solar 的多少？
2. [K01] 若 \(\sigma_z\) 加倍且 \(\Sigma\) 不变，isothermal scale height 如何变？
3. [K02] Flat \(v_c\) 下 \(R\) 从 10 kpc 到 20 kpc，spherical \(M(<R)\) ratio？
4. [K02] 为什么 stellar mean rotation 常小于 circular speed？
5. [K03] 比较 H I 21-cm、CO、H-alpha、X-ray 各主要追踪的 phase。
6. [K03] 同 thermal pressure 下 \(T\) 高 100 倍的 phase，其 \(n\) 如何变？
7. [K04] 写出 material-arm picture 的 winding problem。
8. [K04] \(\Sigma_{\rm gas}\) 加倍且 \(N=1.4\)，\(\Sigma_{\rm SFR}\) 变多少倍？
9. [K05] 给出三项彼此系统误差不同的 Milky Way dark-matter probes。
10. [综合] 设计一条从 Gaia+radio data 到 halo posterior 的 audit trail。

Exit ticket / 课末检核

1. 解释为何同一 flat rotation curve 可由不同 disk–bulge–halo decompositions 拟合，并提出破除退化的数据。
2. 一条 stellar stream 出现 gap。列出 dark subhalo 以外至少两种解释及 discriminating observables。

References and source notes / 参考资料与来源说明

1. OpenStax, Astronomy 2e, 25.1 The Architecture of the Galaxy — disk、bulge、stellar halo、populations 与 dark halo；accessed 2026-08-30.
2. OpenStax, Astronomy 2e, 25.2 Spiral Structure — 21-cm mapping、differential rotation、winding problem 与 spiral models；accessed 2026-08-30.
3. OpenStax, Astronomy 2e, 25.3 The Mass of the Galaxy — rotation curve、mass inference 与 dark-matter evidence；accessed 2026-08-30.
4. OpenStax, Astronomy 2e, 20.1 The Interstellar Medium — gas/dust inventory and ISM phases；accessed 2026-08-30.
5. ESA Gaia, Composition, Formation and Evolution of the Galaxy — astrometry、kinematics、chemistry 与 Galactic archaeology design；accessed 2026-08-30.
6. ESA Gaia, Taking the Galactic Census — survey selection and structural components；accessed 2026-08-30.
7. OpenStax, Astronomy 2e, 25.6 The Formation of the Galaxy — collapse/merger histories and stellar-population evidence；accessed 2026-08-30.

所有 TikZ 均按动力学和 tracer-response equations 原创，component sizes 均标明 schematic。

Source-to-content map / 来源—内容映射

复习与拓展

• 下一课将把 Milky Way 的 component/dynamics framework 推广到 morphology、scaling relations 与 AGN host galaxies。
• 与 Unit 12.6 连接：dark halo and galaxy bias are tracers of cosmological matter distribution。
• 可扩展：collisionless Boltzmann equation、Jeans actions、epicyclic theory、Toomre \(Q\)、radiative transfer、stream gap likelihoods。