反馈与控制

Learning objectives

1. 明确 plant、controller、sensor、reference、disturbance 和 noise 的系统边界；
2. 推导标准负反馈的闭环传递函数、灵敏度函数和互补灵敏度函数；
3. 从极点、Bode/Nyquist 与 gain/phase margin 判断稳定性与鲁棒性；
4. 解释 P、I、D 各自改变的误差与动态，并实现 anti-windup 与 derivative filtering；
5. 用状态空间写出 observer/Kalman 更新，完成带不确定度的传感器融合；
6. 识别时延、饱和、采样、未建模动态和不可观测性造成的性能边界。

Prerequisites

• 常微分方程、复指数和 Laplace / frequency response；
• Analog Electronics：负反馈与非理想限制；
• Digital Systems and Data Acquisition：采样、量化、时基与触发；
• 矩阵、特征值、均值和方差。

Scope and conventions

• 默认单输入单输出（SISO）、线性时不变（LTI）模型，必要处再指出非线性；
• 负反馈加法点定义 \(e=r-y_m\)；
• \(P(s)\) 为 plant，\(C(s)\) 为 controller，\(H_s(s)\) 为 sensor transfer function；环路增益 \(L=CPH_s\)；
• 连续时间稳定性以闭环极点实部小于零为准；
• Bode 频率用 \(\omega\)（rad/s）；Hz 与 rad/s 不混用；
• “裕度”是相对指定开环模型与环路断点的指标，不是对所有不确定性的保证。

Notation and modeling contract

1. Open- and closed-loop systems / 开环与闭环系统

Knowledge ID: P14-U01-L03-K01

1.1 开环靠模型，闭环用误差纠偏

开环控制 \(u=F(r)\) 不测量输出，结构简单、不会由测量噪声引起反馈，但不能自动补偿未知扰动或模型漂移。闭环使用

\[e=r-y_m,\qquad u=C e.\]

若 \(y_m=H_sy+n\)、\(y=P(u+d)\)，可将 reference、扰动与噪声的路径分别推导，不能笼统说“反馈消除误差”。

图 1 对照两种结构；闭环的关键不是“多一条线”，而是误差形成因果回路。

1.2 灵敏度把收益与代价写清

单位传感器 \(H_s=1\) 下，

\[\frac{Y}{R}=T=\frac{CP}{1+CP}, \qquad S=\frac{1}{1+CP}, \qquad S+T=1.\]

低频大环路增益使 \(S\) 小，抑制某些模型误差与输出扰动；但 \(T\) 接近 1，测量噪声可能经控制器进入系统。频率间的权衡不能靠一个“高增益”口号解决。

图 2 只示意典型频率分工；\(\lvert S\rvert+\lvert T\rvert\) 并不恒等于 1，虚线也不自动等于闭环 bandwidth。闭环带宽通常按 \(\lvert T(j\omega)\rvert\) 相对低频值下降 \(3\ \mathrm{dB}\) 的频率定义；它只有在特定低阶、单调响应模型中才与灵敏度转折区近似重合。

2. Transfer functions and frequency response / 传递函数与频率响应

Knowledge ID: P14-U01-L03-K02

2.1 传递函数编码零状态线性动力学

对零初始条件 LTI 系统，

\[G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}.\]

极点控制自然响应与稳定性，零点塑造输入输出路径。第一阶 plant

\[P(s)=\frac{K}{\tau s+1}\]

在阶跃输入下具有时间常数 \(\tau\)；这不代表所有真实过程只有一个储能元件。

图 3 用 \(63.2\%\) 与初始切线双重定义一阶时间常数。

2.2 Frequency response 是正弦稳态地图

令 \(s=j\omega\)，\(G(j\omega)\) 的模与相位分别给出正弦输入的稳态增益与相位差。Bode 图把乘积变成 dB 相加：

\[20\log_{10}\lvert G_1G_2\rvert =20\log_{10}\lvert G_1\rvert +20\log_{10}\lvert G_2\rvert.\]

频率响应不显示非线性饱和，也不自动包含初始条件。

图 4 把同一极点对幅值与相位的作用放在一起；纵轴数值为示意，非共用单位刻度。

3. Stability, phase margin, and gain margin / 稳定性、相位裕度与增益裕度

Knowledge ID: P14-U01-L03-K03

3.1 闭环极点是首要判据

特征方程为

\[1+L(s)=0.\]

连续 LTI 系统要渐近稳定，所有闭环极点必须严格位于左半平面。右半平面极点导致指数增长。虚轴上的 semisimple modes 可使零输入内部状态保持有界，常称 marginal internal/Lyapunov stability；但只要输入能激发相应传递函数极点，持续共振输入就可令输出无界，因此不能据此宣称 BIBO stable。虚轴重复极点或对应非平凡 Jordan block 时还会出现多项式增长，连零输入有界性也失去。

图 5 适用于连续时间；离散时间稳定区改为 \(z\) 平面单位圆内。

3.2 Gain margin 与 phase margin

在负反馈约定下，gain crossover \(\omega_{gc}\) 满足 \(\lvert L\rvert=1\)，phase margin 为

\[PM=180^\circ+\arg L(j\omega_{gc}).\]

phase crossover \(\omega_{pc}\) 满足 \(\arg L=-180^\circ\)，gain margin 为

\[GM=\frac{1}{\lvert L(j\omega_{pc})\rvert}.\]

正裕度常是必要设计指标，但不能覆盖未建模非最小相位零点、时延、非线性与多输入多输出耦合。

图 6 将 crossover 与相位裕度对齐；实际 Bode 图的两个纵轴应分别标定。

3.3 Nyquist 看“围绕临界点”的拓扑

Nyquist criterion 用开环 \(L(j\omega)\) 轨迹相对 \(-1+0j\) 的绕行，结合开环右半平面极点数推断闭环右半平面极点数。只看“轨迹没碰 \(-1\)”不够，必须计方向和开环不稳定极点。

图 7 是方法示意，不预设该轨迹对应某个具体 \(L(s)\)；箭头明确轨迹方向，红点才是临界点。判断还需按统一符号约定同时记录开环右半平面极点数 \(P\)、有向绕数 \(N\) 与闭环右半平面零点数 \(Z\)。

4. PID control / PID 控制

Knowledge ID: P14-U01-L03-K04

4.1 三项的角色

理想并联 PID：

\[u(t)=K_pe(t)+K_i\int_0^te(\tau)\,\mathrm d\tau +K_d\frac{\mathrm de}{\mathrm dt},\]

\[C(s)=K_p+\frac{K_i}{s}+K_ds.\]

• P 提供当前误差的即时修正；
• I 积累误差，可消除许多 step steady-state error，但降低相位裕度；
• D 预测误差变化、提供相位超前，却放大高频测量噪声。

实际 derivative 常滤波：

\[C_D(s)=\frac{K_d s}{1+s/\omega_f}.\]

图 8 说明 D 对理想阶跃会产生冲击，所以工程实现必须限带并避免 setpoint kick。

4.2 Saturation 与 integrator windup

执行器满足 \(u_{\min}\le u\le u_{\max}\) 时，积分器仍累计不可实现的指令会造成 windup。若 \(x_I=\int e\,\mathrm dt\) 且 \(u_{\rm cmd}=K_pe+K_ix_I+\cdots\)，一种量纲闭合的 back-calculation 是

\[\dot x_I=e+\frac{u_{\rm sat}-u_{\rm cmd}}{K_iT_t}, \qquad u_{\rm cmd}=K_pe+K_ix_I+\cdots.\]

这里 \(T_t>0\) 是 tracking time constant；因为 \(K_iT_t\) 的单位是 \(u/e\)，回算项与 \(e\) 同单位。\(T_t\) 太小会使回算过猛，太大则释放 windup 太慢；\(K_i=0\) 时不存在这个积分器回算形式。

图 9 只有发生饱和时回算项才显著，帮助积分状态追随可实现输出。

5. State estimation and sensor fusion / 状态估计与传感器融合

Knowledge ID: P14-U01-L03-K05

5.1 状态不可直接测量时，用模型与数据合成

线性状态模型

\[\dot{\mathbf x}=\mathbf A\mathbf x+\mathbf B\mathbf u+\mathbf w, \qquad \mathbf y=\mathbf C\mathbf x+\mathbf v.\]

Luenberger observer：

\[\dot{\hat{\mathbf x}} =\mathbf A\hat{\mathbf x}+\mathbf B\mathbf u +\mathbf L(\mathbf y-\mathbf C\hat{\mathbf x}).\]

创新（innovation）\(\mathbf y-\mathbf C\hat{\mathbf x}\) 比较测量与预测。若 \((\mathbf A,\mathbf C)\) 不可观测，任何 \(\mathbf L\) 都不能从输出恢复所有状态。

5.2 Kalman filter 是带协方差的递推加权

离散 Kalman 更新的结构：

\[\mathbf K_k=\mathbf P_k^-\mathbf C^\mathsf T \left(\mathbf C\mathbf P_k^-\mathbf C^\mathsf T+\mathbf R\right)^{-1},\]

\[\hat{\mathbf x}_k^+ =\hat{\mathbf x}_k^-+\mathbf K_k (\mathbf z_k-\mathbf C\hat{\mathbf x}_k^-).\]

权重由过程与测量协方差决定，不是固定“平均两个传感器”。模型偏差、相关噪声、不同时间戳和错误坐标系会破坏估计一致性。

图 10 将预测与校正分开；协方差 \(Q,R\) 决定信任程度，但前提是单位、坐标与时间一致。

Worked examples / 完整例题

Worked Example 1 — 比例闭环的一阶 plant

已知： \(P(s)=1/(2.00s+1)\)，单位负反馈，\(C(s)=4.00\)。输入为单位阶跃。
系统边界： LTI plant/controller/sensor；无饱和、无延迟。
求： 闭环 transfer function、steady value、closed-loop time constant。

\[T(s)=\frac{CP}{1+CP} =\frac{4}{2s+5} =\frac{0.800}{0.400s+1}.\]

因此

\[y(\infty)=0.800, \qquad \tau_{\rm cl}=0.400\ \mathrm s.\]

检查： 闭环极点 \(s=-2.50\ \mathrm{s^{-1}}\) 位于左半平面；速度比 open-loop 快 5 倍，但仍有 \(20\%\) step error，说明比例反馈不必然零误差。

Worked Example 2 — Bode 裕度估算

已知：

\[L(s)=\frac{10}{s(1+s/10)}.\]

约定： \(\omega\) 用 rad/s，负反馈；无纯延迟。
求： gain crossover 与 phase margin。

幅值条件

\[\frac{10}{\omega\sqrt{1+(\omega/10)^2}}=1.\]

令 \(x=\omega^2\)：

\[x\left(1+\frac{x}{100}\right)=100 \Longrightarrow x^2+100x-10000=0,\]

\[x=61.80,\qquad \omega_{gc}=7.86\ \mathrm{rad\,s^{-1}}.\]

相位

\[\arg L=-90^\circ-\tan^{-1}(0.786) =-128.2^\circ,\]

\[PM=51.8^\circ.\]

检查： 该模型的相位只在 \(\omega\to\infty\) 渐近 \(-180^\circ\)，没有有限 phase crossover，理想模型给无限 GM；任何额外高频极点或时延都会改变结论。

Worked Example 3 — 由目标二阶多项式整定 PI

已知： plant \(P(s)=b/(s+a)\)，\(a=0.200\ \mathrm{s^{-1}}\)、\(b=0.500\ \mathrm{s^{-1}}\)（控制输入已归一化）；PI \(C=K_p+K_i/s\)。目标 \(\zeta=0.700\)、\(\omega_n=2.00\ \mathrm{rad\,s^{-1}}\)。
模型： 单位负反馈，无饱和与延迟。
求： \(K_p,K_i\)。

闭环特征式

\[s(s+a)+b(K_ps+K_i) =s^2+(a+bK_p)s+bK_i.\]

目标为

\[s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2 =s^2+2.80s+4.00.\]

系数匹配：

\[K_p=\frac{2.80-0.200}{0.500}=5.20, \qquad K_i=\frac{4.00}{0.500}=8.00\ \mathrm{s^{-1}}.\]

检查： 系数均正，目标极点实部为 \(-\zeta\omega_n=-1.40\ \mathrm{s^{-1}}\)。真实整定还要检查控制峰值、噪声、离散采样与未建模极点。

Worked Example 4 — 标量 Kalman 测量更新

已知： 先验 \(\hat x^-=10.0\)，标准差 \(\sigma^-=2.0\)；测量 \(z=12.0\)，标准差 \(\sigma_z=1.0\)，标量测量矩阵 \(C=1\)，误差独立高斯。
参考与单位： 两者为同一时刻、同一坐标、同一物理单位。
求： Kalman gain、后验均值和标准差。

\[P^-=4.00,\qquad R=1.00,\]

\[K=\frac{P^-}{P^-+R}=\frac45=0.800.\]

\[\hat x^+=10.0+0.800(12.0-10.0)=11.6,\]

\[P^+=(1-K)P^-=0.800, \qquad \sigma^+=\sqrt{0.800}=0.894.\]

检查： 结果更接近不确定度较小的测量，且后验方差小于两者。若两误差相关或有系统偏差，此独立融合会过度自信。

Lesson synthesis

控制与估计的可执行流程：

1. 定义系统边界和指标： 稳态误差、rise/settling、overshoot、带宽、控制能量；
2. 建模并验证： 写状态、输入、输出、扰动、噪声和工作点；
3. 先判稳定： 闭环极点或 Nyquist，再谈性能；
4. 分配频率任务： 低频跟踪/抑扰，高频滚降/抑噪，保留裕度；
5. 实现限制： 饱和、rate limit、采样、延迟、量化、anti-windup；
6. 估计状态： 可观测性、\(Q/R\)、时钟与坐标一致；
7. 逐步试验： 低增益、安全联锁、记录 reference/control/output/innovation；
8. 鲁棒性审核： 参数漂移、未建模动态、传感器失效与异常恢复。

Formula-and-decision table

Model boundaries

• 传递函数只描述选定输入输出、零初始条件下的 LTI 映射；
• 线性化控制器只在工作点附近有效，摩擦、死区与饱和可主导真实行为；
• time delay 带来额外相位滞后，不能用“较慢极点”完全替代；
• gain/phase margin 是 SISO 经典指标，不覆盖所有结构不确定性；
• PID 不保证对高阶、非最小相位或强耦合 plant 有好性能；
• observer 需要可观测性；Kalman filter 需要可解释的噪声与偏差模型；
• estimator covariance 是模型内不确定度，不自动包含未知系统误差；
• 数字实现要加入 ZOH、采样 jitter、计算延迟与有限字长。

Misconception clinic

Practice and retrieval / 练习与检索

1. [K01] 单位负反馈 \(P=2/(s+1)\)、\(C=3\)，求闭环 \(T(s)\) 与 step steady value。
2. [K01] 解释 \(S+T=1\) 为什么不等于 \(\lvert S\rvert+\lvert T\rvert=1\)。
3. [K02] \(G(s)=5/(0.2s+1)\) 的 DC gain、pole 与 time constant 各是什么？
4. [K02] 一阶极点在高频贡献多少 dB/dec 与多少渐近相位？
5. [K03] \(\omega_{gc}\) 处相位 \(-145^\circ\)，求 PM。
6. [K03] 连续系统极点 \(-2\pm3j\) 与 \(+0.1\)，稳定吗？为什么？
7. [K04] 分别说明 P、I、D 对 step error 的即时作用。
8. [K04] 为什么 actuator saturation 会引起 integral windup？
9. [K05] 先验方差 9、测量方差 4，标量测量矩阵 \(C=1\)，求 Kalman gain。
10. [综合] 控制环采样周期 \(10\ \mathrm{ms}\)，计算与通信总延迟 \(18\ \mathrm{ms}\)。指出该延迟为什么必须进入稳定性模型，并给出两种工程缓解方法。

Exit ticket

1. 对一个温控或姿态控制系统，画出 reference、controller、actuator、plant、sensor、disturbance、noise 和 saturation，并写出每个箭头的单位。
2. 给出一个“控制器稳定但估计器错误”或“估计器正确但执行器饱和”的失败场景，说明日志中应看哪些量。

References and source notes

以下权威资料均于 2026-08-31 实际打开核验：

1. MIT OpenCourseWare 16.06, Principles of Automatic Control — Lecture Notes — block diagrams、dynamic response、Routh、PID、Bode、Nyquist、margins 与 digital control。
2. MIT OpenCourseWare RES.6-010, Electronic Feedback Systems — Lecture Notes — 经典反馈与补偿体系。
3. MIT OpenCourseWare 2.004, Lecture 30: Gain Margin and Phase Margin — gain/phase margin、frequency response 与 Bode。
4. Åström & Murray, CaltechAUTHORS, Feedback Systems: An Introduction for Scientists and Engineers — 状态空间、反馈、估计、PID、鲁棒性和跨学科案例。

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复习与拓展

• 向 Unit 14.2 连接：材料迟滞、疲劳与传感器漂移如何进入 plant uncertainty；
• 可扩展 root locus、lead/lag、\(H_\infty\)、MPC 与 nonlinear control；
• 可扩展 observability/controllability、extended/unscented Kalman filters；
• 将下一步实践组织为 simulation → hardware-in-the-loop → limited-authority test → full operation。