固体地球物理 · Solid-Earth Physics

Learning objectives / 学习目标

学完本课后，你应能：

从线弹性介质的体积与剪切响应解释 P wave、S wave 的偏振、速度与传播条件；
用 travel-time difference、ray bending、shadow zone 与 normal modes 说明地球内部结构如何被反演；
区分 absolute gravity、gravity anomaly、Bouguer correction 与 isostatic compensation，并完成数量级计算；
用 magnetic induction equation 与 magnetic Reynolds number 说明 self-excited geodynamo 的基本条件；
用 Fourier heat conduction、Rayleigh number 与 rheological timescale 连接地表热流、mantle convection 和 plate motion；
对每种反演结果指出非唯一性、空间分辨率、模型依赖与观测误差。

Prerequisites / 先修知识

纵波、横波、波速、折射与 Fourier analysis；
应力、应变、bulk modulus $$K$$ 、shear modulus $\mu$ ；
Newtonian gravity、potential field 与 density；
Faraday induction、magnetic diffusion、热传导与 buoyancy；
线性代数中的 eigenvalue/eigenmode 与基础微分方程。

Scope and conventions / 范围与约定

地震学默认 Earth-centered spherical coordinates；局地图中 $$z$$ 向下为正，走时 $$T$$ 始终为正。
gravity anomaly 用 $\Delta g=g_{\mathrm{obs}}-g_{\mathrm{reference/corrected}}$ ；向下引力增加取正。 $1\ \mathrm{mGal}=10^{-5}\ \mathrm{m\,s^{-2}}$ 。
heat flux $\mathbf q$ 的方向由高温指向低温；若深度 $$z$$ 向下、温度随深度增加，则 $q_z=-k\,dT/dz<0$ ，向上的热流大小为 $q_{\rm up}=k\,dT/dz$ 。
geomagnetism 中 $\eta_m$ 表示 magnetic diffusivity，不与机械 viscosity $\eta$ 混用。
本课只建立 spherically averaged/reference-Earth 与一阶 anomaly 模型；不展开完整 tensor elasticity、anisotropic tomography、MHD numerical dynamo 或 plate-reconstruction algorithms。

Notation and modeling contract / 符号与建模契约

Symbol	Meaning	SI / convention
$\rho$	mass density	$\mathrm{kg\,m^{-3}}$
$K,\mu$	bulk and shear moduli	Pa
$$v_P,v_S$$	compressional and shear-wave speed	$\mathrm{m\,s^{-1}}$
$$T$$	seismic travel time	s
$$p_r$$	seismic ray parameter	$\mathrm{s\,rad^{-1}}$ or $\mathrm{s\,m^{-1}}$ locally
$\Delta g$	gravity anomaly	$\mathrm{m\,s^{-2}}$ or mGal
$\mathbf B$	magnetic flux density	T
$\eta_m$	magnetic diffusivity	$\mathrm{m^2\,s^{-1}}$
$\mathbf q$	conductive heat-flux vector	$\mathrm{W\,m^{-2}}$
$q_z,q_{\rm up}$	downward-positive heat-flux component; upward magnitude	$\mathrm{W\,m^{-2}}$
$\kappa,\eta$	thermal diffusivity; dynamic viscosity	$\mathrm{m^2\,s^{-1}}$ ; $\mathrm{Pa\,s}$
$$Ra$$	Rayleigh number	1

1. Seismic body and surface waves / 地震体波与面波

Knowledge ID: P14-U03-L01-K01

earthquake source 释放的 elastic disturbance 可在体内传播为 body waves，也可被自由表面约束为随深度衰减的 surface waves。在 homogeneous isotropic linear elastic solid 中：

$v_P=\sqrt{\frac{K+\frac{4}{3}\mu}{\rho}},$

$v_S=\sqrt{\frac{\mu}{\rho}}.$

P wave 的 particle motion 平行于传播方向，会造成体积应变；S wave 的 particle motion 垂直于传播方向，需要 shear restoring force。fluid 在静态极限不能承受剪切，即 $\mu=0$ ，所以 $$v_S=0$$ ；这并不表示 fluid 中不存在所有横向运动，而是没有相应的 elastic shear body wave。

Solid-Earth Physics — 1. Seismic body and surface waves / 地震体波与面波（图 1） — 图 11. Seismic body and surface waves / 地震体波与面波

图 1 对比 polarization：箭头是介质质点位移，不是“波形沿该曲线行走”的轨迹。

在均匀各向同性半空间的基本模近地表，Rayleigh wave 通常呈 retrograde elliptical vertical–radial motion；分层介质中 polarization sense 可随 frequency 与 depth 改变。Love wave 具有 horizontal transverse motion。两类面波被困在近地表，振幅随深度减小，常因几何衰减较慢、持续时间较长而在远处造成显著 shaking。真实地壳分层使 surface-wave phase/group velocity 随 frequency 变化，即 dispersion；该频散正是反演浅部速度结构的信号。

Solid-Earth Physics — 1. Seismic body and surface waves / 地震体波与面波（图 2） — 图 21. Seismic body and surface waves / 地震体波与面波

图 2 区分沿内部传播的 ray 与受表面束缚、随深度衰减的 wavefield；曲线均为 schematic，不按比例。

在 seismogram 上，通常先到 P，再到 S，随后是振幅较大、频散明显的 surface-wave train。arrival time 取决于 source origin time、path length 和沿途速度，因此一次到时不是“深度尺”，而是 forward model 与多个台站共同约束的观测量。

Solid-Earth Physics — 1. Seismic body and surface waves / 地震体波与面波（图 3） — 图 31. Seismic body and surface waves / 地震体波与面波

图 3 是理想化 seismogram；标记的是 phase arrival，不表示单一正弦波永不衰减。

2. Earth structure from travel times and normal modes / 由走时与简正模研究地球结构

Knowledge ID: P14-U03-L01-K02

给定 velocity model $v(\mathbf r)$ ，ray approximation 下的 travel time 为

$T=\int_{\Gamma}\frac{ds}{v(\mathbf r)}.$

ray path $\Gamma$ 本身也依赖 $$v$$ ；在连续分层 Earth 中，ray parameter 在球对称模型里守恒。速度一般随深度上升，ray 被折回地表。abrupt interface 会产生 reflected/refracted phases；outer core 中 $$v_S=0$$ 与 P-wave strong refraction 共同造成 shadow zones，成为 liquid outer core 的核心证据之一。

Solid-Earth Physics — 2. Earth structure from travel times and normal modes / 由走时与简正模研究地球结构（图 4） — 图 42. Earth structure from travel times and normal modes / 由走时与简正模研究地球结构

图 4 显示 direct 与 refracted arrivals 的竞争；跨越距离增大时，更快深层路径虽更长，却可能更早到达。

一组 observed travel times $\mathbf d$ 与 model parameters $\mathbf m$ 的 linearized inverse problem 可写为

$\delta\mathbf d=\mathbf G\,\delta\mathbf m+\boldsymbol\epsilon.$

$\mathbf G$ 是 sensitivity kernel / design matrix， $\boldsymbol\epsilon$ 含 picking error、source uncertainty 与未建模结构。由于有限台站覆盖、有限频带和 smoothing/regularization，tomographic image 不是内部的无损照片；颜色异常表示相对于 reference model 的波速差，并需通过 mineral physics 才能谨慎联系 temperature、composition 或 melt。

Solid-Earth Physics — 2. Earth structure from travel times and normal modes / 由走时与简正模研究地球结构（图 5） — 图 52. Earth structure from travel times and normal modes / 由走时与简正模研究地球结构

图 5 用多路径说明 tomography 的 coverage；未被 rays/Fresnel zones 采样的体积无法凭算法创造高分辨率。

大地震还会激发整颗 Earth 的 normal modes。小振幅自由振动满足抽象 eigenproblem

$\mathcal L[\boldsymbol\xi_n]=-\omega_n^2\rho\boldsymbol\xi_n,$

其中 displacement eigenfunction $\boldsymbol\xi_n$ 与 eigenfrequency $\omega_n$ 对 density、elasticity、rotation 与 attenuation 敏感。spheroidal modes 包含 radial motion，toroidal modes 主要为切向 shear；离散频谱提供与 travel times 不同、全局性的内部约束。

Solid-Earth Physics — 2. Earth structure from travel times and normal modes / 由走时与简正模研究地球结构（图 6） — 图 62. Earth structure from travel times and normal modes / 由走时与简正模研究地球结构

图 6 只示意两类 eigenfunction 的运动性质，不是某一具体 mode 的精确 node pattern。

3. Gravity anomalies and isostasy / 重力异常与均衡

Knowledge ID: P14-U03-L01-K03

measured $$g$$ 同时含 latitude/rotation、elevation、terrain、tides、instrument drift 与 subsurface density distribution。只有在明确 reference field 和 corrections 后，residual 才称 gravity anomaly。对 density perturbation $\delta\rho$ ，观测点 $\mathbf r$ 的 anomaly vector 为

$\Delta\mathbf g(\mathbf r)=G\int_V\delta\rho(\mathbf r') \frac{\mathbf r'-\mathbf r}{\lvert\mathbf r'-\mathbf r\rvert^3}\,dV'.$

因此 potential-field inversion 是非唯一的：许多不同形状、深度与 density contrast 可产生相近 surface field。简单无限 horizontal slab 的垂直 anomaly 大小

$\Delta g_z=2\pi G\,\Delta\rho\,t$

与 slab 深度无关，是理想无限延伸的特殊结果；有限 body 的 amplitude 与 wavelength 才包含 depth information。

Solid-Earth Physics — 3. Gravity anomalies and isostasy / 重力异常与均衡（图 7） — 图 73. Gravity anomalies and isostasy / 重力异常与均衡

图 7 中 dense body 使向下 $$g$$ 增大；上方曲线是 schematic，不能从单条峰形唯一确定 body geometry。

isostasy 是长波长、长期尺度上 lithosphere columns 在 compensation depth 附近趋于相等 pressure/mass loading 的近似。Airy model 假设 crust density $\rho_c$ 近似恒定，以 thickness change 补偿 topography；高度 $$h$$ 对应 root thickness

$r=\frac{\rho_c}{\rho_m-\rho_c}h.$

Pratt model 则以 lateral density variation 补偿。现实 lithosphere 有 finite elastic strength，短波长载荷可由 flexure 支撑，不能处处要求 local Airy balance。

Solid-Earth Physics — 3. Gravity anomalies and isostasy / 重力异常与均衡（图 8） — 图 83. Gravity anomalies and isostasy / 重力异常与均衡

图 8 是 Airy end-member；mountain root 并不意味着所有山脉都完全 local-compensated。

4. Geomagnetism and dynamo action / 地磁与发电机作用

Knowledge ID: P14-U03-L01-K04

Earth magnetic field 可分为 main internal field、crustal field 与 magnetosphere/ionosphere 等 external fields。main field 在地表一阶近似为 tilted dipole，但随位置和时间有 non-dipole components、secular variation 与 polarity reversals。compass 指向 magnetic north 的说法也需区分 declination、inclination 与 geographic north。

conducting liquid outer core 中，motion advects and stretches magnetic field；Ohmic diffusion 则消散细尺度结构。忽略 displacement current 且采用均匀 diffusivity 时，induction equation 为

$\frac{\partial\mathbf B}{\partial t} =\nabla\times(\mathbf u\times\mathbf B)+\eta_m\nabla^2\mathbf B,$

$Rm=\frac{UL}{\eta_m}.$

$Rm\gg1$ 意味 advection 在尺度 $$L$$ 上快于 diffusion，但只是必要的 scaling condition，不保证任意 flow 都能 sustain dynamo。还需 electrical conductivity、three-dimensional time-dependent flow、energy source 与可克服 Ohmic losses 的 feedback；Cowling-type constraints 也说明纯 axisymmetric field/flow 不能维持简单 self-excited dynamo。

Solid-Earth Physics — 4. Geomagnetism and dynamo action / 地磁与发电机作用（图 9） — 图 94. Geomagnetism and dynamo action / 地磁与发电机作用

图 9 将 outer-core flow 与 global field lines 并置；流线和磁力线是不同对象，图为 schematic。

5. Heat flow, mantle convection, and plate motion / 热流、地幔对流与板块运动

Knowledge ID: P14-U03-L01-K05

Earth internal energy 来自 accretion/differentiation 的遗留热、radioactive decay、core crystallization 与 secular cooling。纯 conduction obeys Fourier law：

$\mathbf q=-k\nabla T.$

地表 borehole gradient 乘 conductivity 可估 conductive heat flux，但 groundwater advection、topography、climate history 和 heat production 会扰动 shallow gradient。mantle 在 seismic timescale 上是 elastic solid，却能在 millions-of-years timescale 发生 viscous creep；“solid”与“convecting”并不矛盾。

thermal buoyancy 能否克服 diffusion 与 viscosity 可由 Rayleigh number 衡量：

$Ra=\frac{\rho g\alpha\Delta T d^3}{\kappa\eta}.$

$$Ra$$ 超过与 geometry/boundary conditions 有关的 critical value 时，convection 可发展。实际 mantle 还具有 temperature-dependent non-Newtonian rheology、phase changes、internal heating、composition 与 moving plates；一个均匀低黏度锅的 analogy 只能提供起点。

Solid-Earth Physics — 5. Heat flow, mantle convection, and plate motion / 热流、地幔对流与板块运动（图 10） — 图 105. Heat flow, mantle convection, and plate motion / 热流、地幔对流与板块运动

图 10 串联 ridge、plate motion、subduction 与 long-timescale circulation；它不宣称单一闭合 cell 对应每块 plate。

plate motion 是 slab pull、ridge/gravitational potential、basal tractions、transform resistance 与 mantle flow 耦合后的结果。GPS 给出当前 surface velocities，marine magnetic anomalies 和 hotspot/stratigraphic records 扩展地质时间，但不同 reference frames 与 plate deformation 需明确。常见口号“板块被传送带拖着走”会隐藏 plates 既是 thermal boundary layer、又会主动驱动/重组 mantle flow 的双向耦合。

Worked examples / 完整例题

Worked Example 1 — 从弹性常数计算 P、S 波速

已知： rock 的 $K=50.0\ \mathrm{GPa}$ 、 $\mu=30.0\ \mathrm{GPa}$ 、 $\rho=2700\ \mathrm{kg\,m^{-3}}$ 。
研究对象与边界： homogeneous isotropic, lossless rock volume；忽略 cracks、anisotropy 与 dispersion。
参考系/坐标： local Cartesian frame，传播方向取 $$+x$$ ；速度报告大小。
模型理由： wavelength 远大于 grain scale，可用 continuum linear elasticity。

$v_P=\sqrt{\frac{50.0\times10^9+\frac43(30.0\times10^9)}{2700}} =5.77\times10^3\ \mathrm{m\,s^{-1}},$

$v_S=\sqrt{\frac{30.0\times10^9}{2700}} =3.33\times10^3\ \mathrm{m\,s^{-1}}.$

单位/有效数字： Pa divided by $\mathrm{kg\,m^{-3}}$ gives $\mathrm{m^2\,s^{-2}}$ ；结果取三位有效数字。
方向、极限与合理性： 两者为 speed； $$v_P>v_S$$ 。若 $\mu\to0$ ， $v_S\to0$ ，而 $v_P\to\sqrt{K/\rho}$ ，符合 fluid limit。
物理解释： P wave 同时利用 bulk 与 shear stiffness，故通常先到；该数值不能直接用于 fractured, fluid-saturated anisotropic crust。

Worked Example 2 — 用 S–P 时间差估 epicentral distance

已知： 在 constant-velocity approximation 下 $v_P=6.00\ \mathrm{km\,s^{-1}}$ 、 $v_S=3.50\ \mathrm{km\,s^{-1}}$ ，某站测得 $t_S-t_P=42.0\ \mathrm s$ 。
研究对象与边界： source–station straight path；P、S 共用长度 $$d$$ ，忽略 origin-time error 与 layered refraction。
参考系/坐标： 沿 ray path 的 arclength 为正。
模型理由： 是局地一阶定位公式，用于展示 differential time 消去 unknown origin time。

$\Delta t=d\left(\frac1{v_S}-\frac1{v_P}\right),$

$d=\frac{42.0}{1/3.50-1/6.00}\ \mathrm{km} =3.53\times10^2\ \mathrm{km}.$

单位/有效数字： seconds divided by $\mathrm{s\,km^{-1}}$ gives km； $d=353\ \mathrm{km}$ 。
符号与合理性： $$v_P>v_S$$ 使 denominator 正；对应 $t_P=58.8\ \mathrm s$ 、 $t_S=100.8\ \mathrm s$ ，差为 $42.0\ \mathrm s$ 。
物理解释： 单站只给 distance circle，不给方位；至少多个 station 与 realistic velocity model 才能定位 hypocenter。

Worked Example 3 — slab gravity anomaly 与 Airy root

已知： 无限水平 anomalous layer 的 $\Delta\rho=300\ \mathrm{kg\,m^{-3}}$ 、 $t=2.00\ \mathrm{km}$ ；另有 $h=1.00\ \mathrm{km}$ mountain， $\rho_c=2800\ \mathrm{kg\,m^{-3}}$ 、 $\rho_m=3300\ \mathrm{kg\,m^{-3}}$ 。
研究对象与边界： (a) infinite Bouguer slab；(b) local Airy column，到 compensation depth 比较 mass。
参考系/坐标： vertical downward $$g$$ anomaly 为正； $$h,r$$ 均取 positive magnitude。
模型理由： 两个 end-member 用于量级判断，不作为真实 3-D inversion。

$\Delta g=2\pi(6.6743\times10^{-11})(300)(2000) =2.52\times10^{-4}\ \mathrm{m\,s^{-2}} =25.2\ \mathrm{mGal},$

$r=\frac{2800}{3300-2800}(1.00\ \mathrm{km})=5.60\ \mathrm{km}.$

单位/有效数字： $1\ \mathrm{mGal}=10^{-5}\ \mathrm{m\,s^{-2}}$ ；结果三位有效数字。
方向/极限检查： positive density contrast 给 positive anomaly； $\rho_m-\rho_c$ 越小，同一 topography 需要越厚 root。
物理解释： $25.2\ \mathrm{mGal}$ 是无限 slab 的上限式量级， $5.60\ \mathrm{km}$ 是完全 local compensation；真实 data 要做 terrain、latitude、elevation 和 flexure corrections。

Worked Example 4 — dynamo scaling 与 conductive heat flow

已知： outer-core scale $U=5.0\times10^{-4}\ \mathrm{m\,s^{-1}}$ 、 $L=2.0\times10^6\ \mathrm m$ 、 $\eta_m=1.0\ \mathrm{m^2\,s^{-1}}$ ；crustal $k=3.0\ \mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}}$ 、 $dT/dz=25\ \mathrm{K\,km^{-1}}$ （ $$z$$ 向下）。
研究对象与边界： core induction scaling 与 shallow one-dimensional conductive column；不把两处能量预算混为同一系统。
参考系/坐标： core 用 characteristic magnitudes；crust $$+z$$ 向下，因此 upward heat-flux magnitude 为 $$k,dT/dz$$ 。
模型理由： dimensionless competition 与 Fourier-law first estimate。

$Rm=\frac{UL}{\eta_m} =\frac{(5.0\times10^{-4})(2.0\times10^6)}{1.0} =1.0\times10^3,$

$q_{\mathrm{up}}=k\frac{dT}{dz} =(3.0)\frac{25}{1000} =7.5\times10^{-2}\ \mathrm{W\,m^{-2}} =75\ \mathrm{mW\,m^{-2}}.$

单位/有效数字： $$Rm$$ dimensionless； $$q$$ 取两位有效数字。
方向/极限检查： $$T$$ downward-increasing makes $\mathbf q=-k\nabla T$ point upward；若 $U\to0$ ， $Rm\to0$ and field diffuses。
物理解释： $Rm\gg1$ permits flux advection but does not prove self-sustained dynamo； $75\ \mathrm{mW\,m^{-2}}$ is plausible terrestrial order, yet groundwater or heat production can invalidate the simple gradient estimate。

Lesson synthesis / 全课综合

固体地球物理是一条 forward model → observation → inverse inference → resolution test 的链：

指定介质参数与控制方程：elasticity、gravity、induction、heat transport；
计算可观测量：waveform/arrival、 $$g$$ 、 $\mathbf B$ 、 $\mathbf q$ ；
做 instrument、geometry、reference field 与 nuisance-process corrections；
用多个独立数据集约束 model，显式报告 covariance、regularization 与 resolution；
将 property anomaly 转为 composition/temperature/dynamics 时，再加入 mineral physics、rheology 与 energy budget；
用新台站、新频带、时间变化或交叉观测检验 prediction。

seismic velocity、density、conductivity 和 viscosity 不是同一属性；多个 proxy 一致时推断更强，不一致时应优先寻找 scale、reference 与 model-boundary 差异，而非强行拼成单一故事。

Formula-and-decision table / 公式与决策表

Question	Relation	Use when	Main limitation
P/S speeds?	$v_P=\sqrt{(K+4\mu/3)/\rho}$ , $v_S=\sqrt{\mu/\rho}$	isotropic linear elastic continuum	anisotropy, porosity, attenuation
Arrival time?	$T=\int_\Gamma ds/v$	ray/high-frequency approximation	finite-frequency sensitivity and path dependence
Linearized inversion?	$\delta\mathbf d=\mathbf G\delta\mathbf m+\boldsymbol\epsilon$	perturbations about reference model	non-uniqueness and regularization
Slab gravity?	$\Delta g=2\pi G\Delta\rho t$	laterally infinite slab	finite geometry changes amplitude/wavelength
Airy root?	$r=\rho_c h/(\rho_m-\rho_c)$	local, fully compensated columns	lithospheric flexure and lateral density
Dynamo competition?	$Rm=UL/\eta_m$	induction versus magnetic diffusion scaling	necessary, not sufficient for dynamo
Conductive heat?	$\mathbf q=-k\nabla T$	conduction-dominated continuum	advection, variable $$k$$ , heat sources
Convective onset?	$Ra=\rho g\alpha\Delta T d^3/(\kappa\eta)$	chosen layer/rheology/boundaries	mantle rheology is strongly nonuniform

Model boundaries / 模型边界

Continuum: grain/crack scale must be small relative to wavelength; attenuation and scattering may make $$v$$ frequency-dependent.
Ray theory: valid when wavelength is short relative to structural scale; finite-frequency tomography samples Fresnel volumes, not infinitesimal lines.
Reference Earth: a 1-D model is an average, not a claim that Earth is exactly spherical or isotropic.
Gravity inversion: surface potential fields are non-unique; density requires geological/seismic priors.
Isostasy: local Airy/Pratt are end-members; elastic plate flexure matters for shorter wavelengths and young loads.
Dynamo: $$Rm$$ alone omits force balance, helicity, boundary heat flux and available power.
Mantle flow: Boussinesq/constant-viscosity $$Ra$$ is an entry model; compressibility, phase transitions, internal heating and non-Newtonian rheology matter.
Plate kinematics: rigid plates are an approximation; diffuse boundaries and intraplate strain exist.

Misconception clinic / 误区诊所

“S wave 不穿 outer core，所以 outer core 没有任何剪切运动。” 错。结论是静态 shear modulus 近零，不能支持 elastic S body wave；conducting fluid 仍可有 vortical flow。
“tomography 的红色就是 magma，蓝色就是冷岩石。” 错。颜色先代表 relative velocity；temperature、composition、melt、anisotropy 和 water 均可改变速度。
“gravity anomaly 峰下方物体的形状已唯一确定。” 错。potential-field inverse problem 非唯一，必须加入 depth/geometry priors 与其他数据。
“高山一定有完全对应的局地 crustal root。” 错。flexural strength 与 dynamic support 可使 compensation regional or incomplete。
“dipole bar magnet 在 core 里。” 错。dipole 是外部场的低阶表示；field 由 distributed electric currents in moving conductor 产生。
“mantle 是固体，所以不能对流。” 错。seismic seconds 上 elastic，geological time 上 viscous creep；需声明 timescale。
“对流传送带单向拖动被动板块。” 错。subducting plates themselves supply negative buoyancy and reshape mantle flow，力学双向耦合。

Practice and retrieval / 练习与检索

[K01] 若两个 isotropic materials 有相同 $\rho,K$ ，但 A 的 $\mu$ 是 B 的四倍，比较 $$v_S$$ ；能否只凭此断言 $$v_P$$ 也恰为两倍？

Answer 1

$v_{S,A}/v_{S,B}=\sqrt4=2$ 。不能断言 $$v_P$$ 两倍，因为 $v_P^2=(K+4\mu/3)/\rho$ 还含不变的 $$K$$ ；只有特定 $K/\mu$ 才给某一比值。

[K01] 为什么 Love wave 可存在于分层 solid crust，却不能作为 ideal fluid 的 elastic shear body wave？

Answer 2

Love wave 是受层状 solid shear rigidity 与 free surface 约束的 horizontal transverse surface mode；ideal fluid 的 $\mu=0$ ，缺少 elastic shear restoring force，因此 $$v_S=0$$ 。

[K02] $v_P=8.0\ \mathrm{km\,s^{-1}}$ 、 $v_S=4.5\ \mathrm{km\,s^{-1}}$ ， $\Delta t=70\ \mathrm{s}$ 。用 constant-speed model 求 distance。

Answer 3

$d=\Delta t/(1/v_S-1/v_P)=70/(1/4.5-1/8.0)=720\ \mathrm{km}$ 。这是 path-length estimate；layering 会改变结果。

[K02] 为什么“更多 ray paths”仍不自动保证 high-resolution tomography？

Answer 4

paths 可能高度重合、方向单一或频带有限；source/receiver geometry、finite-frequency kernels、noise 与 regularization 都控制 independent resolution。应做 checkerboard/point-spread 或 posterior-resolution tests。

[K03] $\Delta\rho=-250\ \mathrm{kg\,m^{-3}}$ 、 $t=1.5\ \mathrm{km}$ 的无限 slab 产生多大 anomaly？

Answer 5

$\Delta g=2\pi G\Delta\rho t=-1.57\times10^{-4}\ \mathrm{m\,s^{-2}}=-15.7\ \mathrm{mGal}$ 。负号表示相对 reference 的 mass deficit。

[K03] Airy model 中 $\rho_c=2700$ 、 $\rho_m=3300\ \mathrm{kg\,m^{-3}}$ ， $h=0.80\ \mathrm{km}$ ，求 root。

Answer 6

$r=\rho_c h/(\rho_m-\rho_c)=2700(0.80)/600=3.60\ \mathrm{km}$ 。若 lithosphere supports load flexurally，实际 local root 可不同。

[K04] $U=10^{-4}\ \mathrm{m\,s^{-1}}$ 、 $L=10^6\ \mathrm m$ 、 $\eta_m=2\ \mathrm{m^2\,s^{-1}}$ ，求 $$Rm$$ 并解释。

Answer 7

$Rm=UL/\eta_m=50$ ，advection 在该尺度强于 diffusion；但这不是 dynamo existence proof，flow geometry 与 power budget 仍关键。

[K05] $k=2.5\ \mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}}$ ，向下温度梯度 $30\ \mathrm{K\,km^{-1}}$ ，求 heat-flux vector 的方向和大小。

Answer 8

若 $$+z$$ 向下， $\nabla T=(0.030\ \mathrm{K\,m^{-1}})\hat{\mathbf z}$ ； $\mathbf q=-0.075\hat{\mathbf z}\ \mathrm{W\,m^{-2}}$ ，即向上 $75\ \mathrm{mW\,m^{-2}}$ 。

[K05] $$Ra$$ 中 layer thickness $$d$$ 加倍、其余不变， $$Ra$$ 如何变化？这为何使 thick mantle 容易 convection？

Answer 9

$Ra\propto d^3$ ，故增为 $$8Ra$$ 。厚层的 buoyant driving 累积更强、相对 diffusion 更慢；但真实 mantle 的 viscosity 与 temperature 也随深度变，不能只改 $$d$$ 。

[综合] 某区域同时出现 low seismic velocity、negative gravity anomaly 与 high heat flow。提出一个假说，并列出至少两个不能排除的替代解释或检验。

Answer 10

假说：hot, thermally expanded/partly molten low-density mantle。替代：composition/water/anisotropy 造成 low velocity；shallow sedimentary basin 造成 negative gravity；groundwater or radiogenic crust 造成 high heat flow。可用 S/P ratios、attenuation、receiver functions、magnetotellurics、Bouguer/terrain corrections、heat-production samples 与 3-D coverage 检验。

Exit ticket / 迁移检验

一个新岛弧下方的 tomography 显示 inclined high- $$v_S$$ body，gravity field 有长波 residual，volcanic front 处 heat flow 较高。写出一条从 observation 到 inference 的三步证据链，并指出一个不能仅凭这些数据回答的问题。

Exit-ticket benchmark

high- $$v_S$$ inclined body 可与 cold subducting slab forward predictions 比较；gravity residual 检查 density/geometry and isostatic/flexural support；heat-flow pattern 检查 slab dehydration、magma and shallow hydrothermal corrections。三者联合支持 subduction-system model，但不能只凭这些 proxy 唯一确定 mantle composition、exact melt fraction 或瞬时 force balance；需 mineral physics、electrical conductivity、geochemistry 与 uncertainty analysis。

References and source notes / 参考资料与使用说明

以下权威直接来源均在 2026-08-31 实际打开并核对。正文重新组织，全部图依据方程原创绘制；未复制来源插图。

U.S. Geological Survey, Seismographs — Keeping Track of Earthquakes — P/S/surface arrivals、station records 与 locating logic。
U.S. Geological Survey, Earthquake Travel Times — travel-time curves、phases 与 reference-Earth calculation context。
U.S. Geological Survey, Isostatic Residual Gravity and Crustal Geology of the United States — reference corrections、isostatic residual maps and interpretive limits。
U.S. Geological Survey, Introduction to Geomagnetism — field components、main/external fields、secular variation and core origin。
U.S. Geological Survey, Questions About Heat Flow and Geothermal Energy at Yellowstone — conductive/advective heat-flow interpretation and regional energy budget cautions。
U.S. Geological Survey, This Dynamic Earth: The Story of Plate Tectonics — plate-boundary observations、seafloor spreading、subduction 与 global plate framework。
MIT OpenCourseWare, 12.201 Essentials of Geophysics — Lecture Notes — Chapter 4 的 P/S waves、rays、surface-wave dispersion 与 free oscillations；Chapter 3 的 geomagnetic field/geodynamo；Chapter 5 的 heat flow and diffusion。
MIT OpenCourseWare, 12.002 Concepts for Heat Convection — mantle adiabat、viscous deformation 与 Rayleigh-number scaling。

Source-to-content map

Source	Used for	Knowledge ID / Section	Model boundary or convention
USGS Seismographs	arrival order, seismograms, station geometry	K01–K02	education overview; quantitative elasticity is supplied by MIT 12.201 Chapter 4
USGS Travel Times	phase travel-time curves and reference models	K02	real paths are layered/spherical, not constant-speed lines
USGS Isostatic Residual Gravity	corrections, residual gravity and crustal interpretation	K03	potential-field non-uniqueness retained
USGS Geomagnetism	field components, source regions, time variation	K04	dipole is a low-order representation
USGS Yellowstone Heat Flow	heat-flow mechanisms and measurement caveats	K05	local hydrothermal advection can dominate conduction
USGS Dynamic Earth	plate observations and global kinematics	K05	descriptive plate framework, not a single-force model
MIT OCW 12.201 Chapter 4	elastic P/S speeds, rays, dispersion, normal modes	K01–K02	isotropic/reference-Earth derivations precede anisotropic 3-D inversion
MIT OCW 12.201 Chapter 3	field decomposition, induction and geodynamo context	K04	kinematic induction equation is not a complete nonlinear dynamo solution
MIT OCW 12.201 Chapter 5	conductive heat flow, geothermal gradient and diffusion	K05	conduction is a reference model; advection and internal heating may matter
MIT OCW 12.002 heat-convection notes	Rayleigh number and mantle-convection scaling	K05	$$Ra$$ threshold depends on geometry, boundary conditions, heating mode and rheology

复习与拓展

Atmosphere and Ocean 将把 rotation、stratification、waves、convection 与 inverse prediction 扩展到 fluid Earth。
可扩展：moment tensor、finite-frequency kernels、receiver functions、surface-wave dispersion inversion、Love numbers、magnetotellurics 与 viscoelastic postglacial rebound。
与 PART III/IV 的接口：elastic waves、gravity、rotation、heat transfer 与 MHD 在此成为同一 inverse-problem framework 的不同 forward operators。