大气与海洋

Learning objectives / 学习目标

学完本课后，你应能：

• 从 vertical momentum balance 推导 hydrostatic relation 与 isothermal scale height，并解释 potential temperature 和 static stability；
• 从 rotating-frame equation 定义 Coriolis parameter、Rossby number，建立 geostrophic balance 并判断适用范围；
• 用 buoyancy restoring force 区分 stable oscillation、dry convection、internal gravity wave 和 baroclinic instability；
• 以 wind stress、Ekman transport、density contrast、mixed-layer heat budget 解释 ocean circulation 与 air–sea coupling；
• 说明 numerical weather prediction 中 observation、data assimilation、model integration 与 ensemble calibration 的角色；
• 用 Lyapunov/error-growth model 区分 chaos、model error、measurement uncertainty 与 probabilistic forecast skill。

Prerequisites / 先修知识

• pressure、density、ideal-gas law、adiabatic process 与 buoyancy；
• Solid-Earth Physics 中的 reference model、wave、inverse problem 与 model boundary；
• angular velocity、non-inertial frames 与 vector cross product；
• continuity、momentum/energy conservation、partial derivatives；
• probability distribution、mean/spread 与 numerical approximation。

Scope and conventions / 范围与约定

• local Cartesian frame：\(x\) 向 east、\(y\) 向 north、\(z\) 向 upward，\(\hat{\mathbf k}\) 向上。
• Earth rotation vector 为 \(\boldsymbol\Omega\)；Coriolis acceleration 在 rotating frame 写为 \(-2\boldsymbol\Omega\times\mathbf u\)。在传统 horizontal approximation 中 \(f=2\Omega\sin\phi\)。
• pressure-gradient force per unit mass 为 \(-\nabla p/\rho\)；geostrophic balance 只针对 large-scale, slowly varying, nearly horizontal interior flow。
• ocean heat flux \(Q_{net}>0\) 表示进入 ocean mixed layer；wind stress \(\boldsymbol\tau\) 是 atmosphere 对 ocean 的切向力 per area。
• dry, Boussinesq, hydrostatic 与 shallow-water models 都是层级中的简化；正文每次使用会声明，不能把一个模型的结论无条件迁移到 hurricane、boundary layer 或 equator。

Notation and modeling contract / 符号与建模契约

1. Hydrostatic atmosphere and stratification / 大气静力平衡与分层

Knowledge ID: P14-U03-L02-K01

vertical acceleration 在 synoptic-scale atmosphere 中通常远小于 \(g\)，vertical momentum equation 的 leading balance 是

\[\frac{\partial p}{\partial z}=-\rho g.\]

这不是说 air parcels 永不 vertical accelerate；它说 pressure field 对 parcel weight 的大部分已近乎平衡，剩余小差驱动 vertical motion。结合 dry ideal-gas law \(p=\rho R_dT\)，若 \(T\) 与 \(g\) 近似 constant：

\[p(z)=p_0e^{-z/H},\qquad H=\frac{R_dT}{g}.\]

图 1 以 thin slab 说明 upper/lower pressure-force difference 如何平衡 weight；箭长为 schematic。

图 2 直接以 normalized coordinates 绘制 \(p/p_0=e^{-z/H}\)：经过一个 scale height，即 \(z/H=1\)，pressure 降至 \(e^{-1}\)。真实 atmosphere 的 \(T(z)\) 变化使 local scale height 变化。

判断 parcel 被小幅抬升后会返回还是继续远离，需要把 parcel 的 adiabatic temperature change 与 environment stratification 比较。dry potential temperature

\[\theta=T\left(\frac{p_0}{p}\right)^{R_d/c_p}\]

是 dry adiabatic displacement 中近似守恒的变量。Boussinesq/dry approximation 下

\[N^2=\frac{g}{\theta}\frac{d\theta}{dz}.\]

\(N^2>0\) 表示 stable stratification，小位移产生 restoring buoyancy；\(N^2<0\) 表示 dry convective instability。moist atmosphere 需改用 moisture-dependent buoyancy/entropy variables，不能仅用 dry \(\theta\) 判定 saturated parcel。

图 3 对比 \(d\theta/dz\) 的 sign；parcel arrow 表示 displacement，黑箭头表示 subsequent buoyancy acceleration。

2. Rotation, Coriolis force, and geostrophic balance / 旋转、科里奥利力与地转平衡

Knowledge ID: P14-U03-L02-K02

在 Earth-fixed rotating frame，momentum equation 含 Coriolis acceleration：

\[\frac{D\mathbf u}{Dt} =-\frac1\rho\nabla p+\mathbf g -2\boldsymbol\Omega\times\mathbf u+\mathbf F_{fric}.\]

Coriolis force 不做功，因为 \(\mathbf u\cdot(-2\boldsymbol\Omega\times\mathbf u)=0\)；它改变 velocity direction 而不直接改变 kinetic energy。traditional horizontal approximation 下，水平 acceleration 为 \(-f\hat{\mathbf k}\times\mathbf u\)，\(f=2\Omega\sin\phi\)；Northern Hemisphere moving parcel 向 motion 的右侧偏，Southern Hemisphere 向左。

图 4 在相同初始 northward motion 下示意 opposite deflection；这不是惯性系中出现的新相互作用。

当 horizontal pressure-gradient acceleration 与 Coriolis acceleration dominant 且 nearly cancel：

\[f\hat{\mathbf k}\times\mathbf u_g=-\frac1\rho\nabla_h p.\]

geostrophic wind/current 沿 isobars/isobaths-associated pressure contours，而不是直接从 high pressure 冲向 low pressure。Northern Hemisphere 中，低压在 flow 左侧；near surface friction 使 wind 穿越 isobars 指向较低 pressure。适用性可由

\[Ro=\frac{U}{\lvert f\rvert L}\]

衡量：\(Ro\ll1\) 支持 rotation-dominated leading balance。equator 附近 \(f\to0\)、small tornadoes、rapid acceleration 或 boundary layers 不能用 simple geostrophy。

图 5 以等压线 orientation 表示 geostrophic balance。标签 northward 指图上 flow direction，不代表页面坐标的 north axis；图为 schematic。

3. Convection, waves, and instabilities / 对流、波与不稳定性

Knowledge ID: P14-U03-L02-K03

stable stratification 中 displaced parcel 可作 buoyancy oscillation：

\[\frac{d^2\zeta}{dt^2}+N^2\zeta=0,\]

其中 \(\zeta\) 是 vertical displacement。若 disturbance 同时具有 horizontal/vertical structure，restoring buoyancy 与 inertia 形成 internal gravity waves。在 nonrotating, inviscid, uniformly stratified Boussinesq fluid 中，plane-wave dispersion 为

\[\omega^2=N^2\frac{k_h^2}{k_h^2+m^2},\]

\(k_h\) 与 \(m\) 分别为 horizontal、vertical wavenumber。此式显示 \(0<\omega<N\)；rotation 加入 inertial lower bound，compressibility 和 boundaries 也会改变谱。

图 6 中 blue curves 是 material-density surfaces 的 perturbation，不是 individual parcel trajectories。

若 \(N^2<0\)，small displacement 被放大，形成 dry convection；with moisture，latent heating 会改变 parcel buoyancy。另一重要机制是 baroclinic instability：horizontal temperature/density gradients 对应 sloping pressure/density surfaces 与 vertical shear，large-scale disturbances 可把 available potential energy 转成 eddy kinetic energy，形成 midlatitude weather systems。它不是“任何温差都会爆发”，而需要 rotation、stratification、shear、wavelength 与 boundary conditions 的适当组合。

shallow-water external gravity wave 的 long-wave speed

\[c=\sqrt{gH}\]

适用于 wavelength 远大于 fluid depth 且 vertical acceleration 可忽略的 layer；tsunami 的 ocean-basin propagation 可由此近似，但 coastal shoaling、dispersion 与 breaking 需要扩展模型。

图 7 是 baroclinic reservoir 的截面示意；真正 instability analysis 需 perturbation equations 与 boundary conditions。

4. Ocean circulation and air–sea coupling / 海洋环流与海气耦合

Knowledge ID: P14-U03-L02-K04

ocean circulation 由 wind stress、buoyancy fluxes（heat/freshwater）、tides 与 pressure gradients 驱动，又受 rotation、stratification、basin geometry、bottom topography 和 mixing 控制。near-surface turbulent stress 在 rotating ocean 中形成 Ekman spiral/transport；在 constant-\(f\)、steady, deep-enough boundary-layer idealization 下，vertically integrated volume transport per width 为

\[\mathbf M_E=\frac{\boldsymbol\tau\times\hat{\mathbf k}}{\rho_0 f}.\]

Northern Hemisphere transport 在 wind stress 右侧；Southern Hemisphere 因 \(f<0\) 反向。equator、coasts、shallow water 与 rapidly varying winds 需要完整 momentum and continuity equations。Ekman convergence/downwelling 与 divergence/upwelling 把 surface forcing 连接到 interior circulation。

图 8 左 panel 是 horizontal plan view：在 Northern Hemisphere，eastward wind stress 的 vertically integrated \(\mathbf M_E\) 指向 south，即 wind stress 右侧。右 panel 只用 vertical placement 索引 depth，三个圆分别代表不同深度的 horizontal plan view；这不是 downward transport，\(\mathbf M_E\) 也没有画在 depth 方向。

large-scale ocean 包含 wind-driven gyres、western boundary currents、equatorial currents 与 density-driven overturning。短语 thermohaline circulation 容易误导为 temperature/salinity 单独构成一条固定 conveyor；真实 overturning 是 wind、buoyancy transformation、mixing and eddies 共同维持的 three-dimensional circulation。

air–sea interface 交换 momentum、sensible heat、latent heat、radiation、freshwater 与 gases。若 mixed layer depth \(h\) 固定、horizontal transport/mixing 可忽略：

\[\rho_0c_ph\frac{dT_m}{dt}=Q_{net}.\]

真实 \(h(t)\)、entrainment、advection 与 penetrative shortwave radiation 会改变 response。海洋的巨大 heat capacity 使它既延缓 surface warming，也储存并重新释放 anomaly；这连接 planetary energy balance 与 regional weather。

图 9 是 coupled budgets 图：surface fluxes 改变 ocean state，ocean SST/currents 又反馈 boundary layer 与 atmosphere。

5. Weather prediction and chaotic sensitivity / 天气预报与混沌敏感性

Knowledge ID: P14-U03-L02-K05

numerical weather prediction（NWP）不是从一张天气图“外推云朵”。它先把 satellites、radar、radiosondes、aircraft、ships、buoys 与 surface stations 的不均匀 observations，通过 data assimilation 与 previous forecast/background 合成 dynamically consistent initial state；随后离散求解 momentum、mass、thermodynamic 与 constituent equations，并 parameterize unresolved cloud microphysics、radiation、turbulence 与 surface exchange。

chaotic sensitivity 指 initial states 的 small difference 可沿 unstable directions 增长。在有限时间、线性阶段可写 toy model

\[\lVert\delta\mathbf x(t)\rVert \approx\lVert\delta\mathbf x(0)\rVert e^{\lambda_Lt}.\]

这不等于“预报完全随机”：large-scale regimes、conserved balances 与 probabilities 仍有 skill；也不等于所有误差均来自 initial state，model bias、subgrid parameterization、observation error 与 finite resolution 同样重要。

ensemble prediction 用 perturbed initial conditions、model physics or multiple models 采样 uncertainty。ensemble spread 不是自动等于 calibrated probability：需 reliability、resolution、rank histograms 与 out-of-sample verification。单一 deterministic run 的精细小数不应被误读为 certainty。

图 10 显示 initial close trajectories 的 spread growth；blue envelope 不是保证 truth 必在其中，校准必须靠 verification。

Worked examples / 完整例题

Worked Example 1 — isothermal scale height 与 pressure

已知： \(R_d=287\ \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}\)、\(T=288\ \mathrm K\)、\(g=9.81\ \mathrm{m\,s^{-2}}\)、\(p_0=101.3\ \mathrm{kPa}\)，求 \(z=5.00\ \mathrm{km}\) 的 pressure。
研究对象与边界： dry isothermal atmospheric column；constant \(g\)，忽略 water vapor 与 weather systems。
参考系/坐标： \(z=0\) at reference level，\(+z\) upward。
模型理由： hydrostatic ideal-gas model 适合 scale estimate。

\[H=\frac{R_dT}{g} =\frac{(287)(288)}{9.81} =8.43\times10^3\ \mathrm m,\]

\[p(5.00\ \mathrm{km}) =(101.3\ \mathrm{kPa})e^{-5000/8426} =55.9\ \mathrm{kPa}.\]

单位/有效数字： \(R_dT/g\) gives metres；\(p\) 取三位有效数字。
符号/合理性： exponent dimensionless and negative；\(p/p_0=0.552\)，随高度下降但不变负。
极限/解释： \(z\to0\) gives \(p_0\)；真实 lapse rate 使 5 km value 与此 isothermal estimate 有偏差。

Worked Example 2 — 由 pressure gradient 求 geostrophic wind

已知： Northern Hemisphere midlatitude，\(f=1.00\times10^{-4}\ \mathrm{s^{-1}}\)、\(\rho=1.20\ \mathrm{kg\,m^{-3}}\)，pressure 向 east 每 \(100\ \mathrm{km}\) 增加 \(100\ \mathrm{Pa}\)。
研究对象与边界： frictionless horizontal interior air parcel；steady geostrophic approximation。
参考系/坐标： \(+x\) east、\(+y\) north、\(+z\) up。
模型理由： horizontal scale large and \(Ro\ll1\) is assumed; pressure varies only in \(x\)。

\[\frac{\partial p}{\partial x} =\frac{100}{1.00\times10^5} =1.00\times10^{-3}\ \mathrm{Pa\,m^{-1}},\]

从 \(v_g=(\rho f)^{-1}\partial p/\partial x\) 得

\[v_g=\frac{1.00\times10^{-3}}{(1.20)(1.00\times10^{-4})} =8.33\ \mathrm{m\,s^{-1}},\qquad u_g=0.\]

单位/有效数字： pressure-gradient divided by \(\rho f\) gives \(\mathrm{m\,s^{-1}}\)；三位有效数字。
方向检查： \(v_g>0\) 即 northward；向 east 的 high pressure 位于 northward flow 的右侧，符合 NH rule。
模型边界/解释： near surface friction 会使 flow 斜穿 isobars；equator \(f\to0\) 时此 formula 发散，表明 balance 失效而非 wind 无限大。

Worked Example 3 — static stability 与 buoyancy period

已知： \(\theta=300\ \mathrm K\)，\(d\theta/dz=3.00\ \mathrm{K\,km^{-1}}\)，\(g=9.81\ \mathrm{m\,s^{-2}}\)。
研究对象与边界： dry Boussinesq, uniformly stratified parcel，small vertical displacement。
参考系/坐标： \(z\) upward；\(\zeta>0\) upward。
模型理由： linear displacement equation 用于诊断 stable oscillation。

\[N^2=\frac{9.81}{300}\left(\frac{3.00}{1000}\right) =9.81\times10^{-5}\ \mathrm{s^{-2}},\]

\[N=9.90\times10^{-3}\ \mathrm{s^{-1}}, \qquad \mathcal T_N=\frac{2\pi}{N}=6.35\times10^2\ \mathrm s=10.6\ \mathrm{min}.\]

单位/有效数字： \(N^2\) is \(\mathrm{s^{-2}}\)；period 三位有效数字。
sign/limit check： \(d\theta/dz>0\) gives \(N^2>0\) and oscillatory solution；gradient approaching zero makes restoring period diverge。
物理解释： \(10.6\) min 是 ideal parcel buoyancy period；moisture、shear、mixing 与 finite wavelength 会改变 observed waves。

Worked Example 4 — mixed-layer warming 与 forecast-error growth

已知： ocean mixed layer \(\rho_0=1025\ \mathrm{kg\,m^{-3}}\)、\(c_p=3990\ \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}\)、\(h=50.0\ \mathrm m\)，持续 \(30.0\) days 的 \(Q_{net}=50.0\ \mathrm{W\,m^{-2}}\)；同时 forecast temperature-state error 初值 \(\delta T_0=0.100\ \mathrm K\)、e-folding time \(\lambda_L^{-1}=2.00\) days，求两种 toy-model response。
研究对象与边界： (a) fixed-depth, horizontally isolated mixed layer；(b) linear finite-time error norm；两部分不是同一 conservation equation。
参考系/符号： \(Q_{net}>0\) into ocean；error 报告 magnitude。
模型理由： 分别量化 thermal inertia 与 chaotic amplification。

\[\Delta T_m =\frac{Q_{net}\Delta t}{\rho_0c_ph} =\frac{(50.0)(30.0\times86400)}{(1025)(3990)(50.0)} =0.634\ \mathrm K,\]

\[\delta T(6.00\ \mathrm{days}) =(0.100)e^{6.00/2.00} =2.01\ \mathrm K.\]

单位/有效数字： energy per area divided by areal heat capacity gives K；两结果三位有效数字。
sign/reasonableness： positive heat flux warms；three e-folds multiply error by \(e^3\approx20.1\)。
模型边界/解释： entrainment/advection can reduce or enhance \(0.634\) K；error exponential cannot continue beyond nonlinear saturation，且 ensemble calibration 不能由一个 \(\lambda_L\) 决定。

Lesson synthesis / 全课综合

大气—海洋问题可按以下 scale-aware balance workflow 处理：

1. 声明 fluid parcel/system、Earth-fixed frame、horizontal/vertical coordinates 与 averaging scale；
2. 写完整 conservation laws，再用 aspect ratio、\(Ro\)、\(N^2\)、Reynolds/Péclet 等量级判断 leading balances；
3. vertical 先检查 hydrostatic，horizontal 再检查 geostrophic、inertial、frictional or advective balance；
4. 判断 background stratification 是否 stable，若偏离平衡，识别 wave、convection 或 instability 的 restoring/energy source；
5. 对 air–sea interface 建 momentum、heat、freshwater ledger，避免把 atmosphere/ocean 各自当 closed system；
6. 预报时把 observation error、initial-condition uncertainty、model error 与 unresolved scales 分开，并用 ensembles 加 verification 输出 probability。

同一现象可跨多个 regime：hurricane core 的 \(Ro\) 不小、surface layer friction 重要，而远离中心的 synoptic environment 可近 geostrophic；ocean interior slow balance 与 thin boundary currents/mesoscale eddies 也不能用一个方程无差别描述。

Formula-and-decision table / 公式与决策表

Model boundaries / 模型边界

• Hydrostatic: excellent for many large-scale motions, but excludes vertically propagating sound and can fail in intense small-scale updrafts.
• Dry thermodynamics: potential-temperature test needs moisture-aware replacement for clouds and saturated convection.
• Traditional \(f\)-plane: assumes local latitude and neglects horizontal component of \(\boldsymbol\Omega\); equatorial/\(\beta\) effects require extension.
• Geostrophy: describes leading interior balance, not actual acceleration mechanism or surface cross-isobar flow.
• Boussinesq: density variation retained only in buoyancy; unsuitable across the full compressible atmosphere without anelastic/compressible models.
• Shallow water: depth-averaged; cannot resolve vertical shear or internal stratified modes unless layered.
• Ekman model: idealizes turbulent closure and constant coefficients; observed spirals/transport vary with stratification and waves.
• Mixed-layer slab: no entrainment/advection/variable depth; use only for first heat-capacity estimate.
• NWP ensemble: finite members sample a designed uncertainty distribution, not every possible model inadequacy.

Misconception clinic / 误区诊所

1. “hydrostatic means air is motionless.” 错。horizontal wind 与 slow vertical motion 可同时存在；只需 vertical acceleration 对 \(g\) 小。
2. “Coriolis force 让 moving parcel 加速并增加 kinetic energy。” 错。它与 velocity 垂直，不直接做功；pressure、buoyancy/friction 才改变 energy。
3. “wind 总是从高压直吹低压。” 只在 friction/acceleration 重要时有明显 cross-isobar component；free atmosphere 常近 geostrophic along-isobar flow。
4. “\(N^2>0\) 表示没有 vertical motion。” 错。它表示 small displacement 被 restoring，可支持 internal waves。
5. “所有 cyclone 都是 Coriolis 造成的，洗手盆也一样。” 错。rotation relevance 由 \(Ro\) 与 initial/boundary asymmetry 决定；small drains 常 \(Ro\gg1\)。
6. “thermohaline conveyor 是一条固定水带。” 错。overturning 是 3-D、time-dependent、wind–buoyancy–mixing coupled circulation。
7. “ensemble mean 一定会发生，spread 就是精确概率。” 错。mean 可能不是任何 member trajectory；probability 需 calibrated verification。
8. “chaos 意味 physics model 无用。” 错。chaos 限制 trajectory predictability，却不消除 balance、short-lead skill 与 probabilistic predictability。

Practice and retrieval / 练习与检索

1. [K01] isothermal atmosphere 中 \(T\) 增加 \(10\%\)、\(g\) 不变，scale height 如何变化？固定 \(z>0\) 的 \(p/p_0\) 如何变化？

2. [K01] \(\theta=290\ \mathrm K\)、\(d\theta/dz=-1.0\ \mathrm{K\,km^{-1}}\)，求 \(N^2\) 的 sign 并判断 dry stability。

3. [K02] \(U=10\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)、\(L=1000\ \mathrm{km}\)、\(f=10^{-4}\ \mathrm{s^{-1}}\)，求 \(Ro\)；同一 flow 缩到 \(L=1\ \mathrm{km}\) 会怎样？

4. [K02] NH geostrophic current 向 east，low pressure 在哪一侧？若有 bottom friction，通常怎样跨越 contours？

5. [K03] \(N=0.020\ \mathrm{s^{-1}}\)、\(k_h=m\)，用 nonrotating dispersion 求 \(\omega\) 与 period。

6. [K03] ocean depth \(H=4000\ \mathrm m\)，求 nondispersive shallow-water speed 和跨越 \(6000\ \mathrm{km}\) 的粗略时间。

7. [K04] NH 中 eastward wind stress \(\tau_x=0.10\ \mathrm{Pa}\)、\(\rho_0=1025\ \mathrm{kg\,m^{-3}}\)、\(f=10^{-4}\ \mathrm{s^{-1}}\)，求 Ekman transport direction and magnitude。

8. [K04] 若 Example 4 的 mixed-layer depth 从 \(50\) m 加倍到 \(100\) m，其余相同，warming 如何变化？

9. [K05] 两个 ensemble 都有 20 members；A 的 spread 小但 truth 经常落在外面，B spread 大而观测 rank nearly uniform。哪一个更可靠？

10. [综合] 台风附近能否同时有 hydrostatic environment、gradient/geostrophic outer flow 与 nonhydrostatic convective cores？为何不矛盾？

Exit ticket / 迁移检验

某海域 forecast 显示 sea-surface warming、surface wind 改变与降水 probability 上升。写出最少四项诊断，分别检验 heat budget、rotation balance、air–sea coupling 与 ensemble credibility。

References and source notes / 参考资料与使用说明

以下权威直接来源均在 2026-08-31 实际打开并核对。正文重新组织，全部图依据方程原创绘制；未复制来源插图。

1. MIT OpenCourseWare, 12.333 Atmospheric and Ocean Circulations — Lecture Notes — hydrostatic/geostrophic balances、vorticity、waves、baroclinic processes 与 ocean circulation 的大学课程框架。
2. NOAA Ocean Service, The Coriolis Effect — hemisphere-dependent deflection and large-scale current context。
3. NOAA Ocean Exploration, What Causes Ocean Currents? — wind、density、tides、rotation 与 basin controls。
4. NOAA Pacific Marine Environmental Laboratory, Air–Sea Fluxes — momentum、heat、moisture flux observations and bulk-flux context。
5. NOAA/NCEP Environmental Modeling Center, Ensemble Forecasting Background — initial perturbations、ensemble spread and predictability rationale。
6. NOAA/NCEP Environmental Modeling Center, Global Ensemble Forecast System — operational ensemble products and verification context。

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复习与拓展

• Physical Principles in Living Systems 开始下一 Unit；本课的 transport、feedback、waves 与 uncertainty 会在 living systems 中以新的尺度重现。
• 可扩展：thermal wind、potential vorticity、Rossby/Kelvin waves、quasi-geostrophic theory、Sverdrup balance、baroclinic instability derivation、4D-Var/EnKF 与 forecast verification scores。
• 与 Climate and Planetary Energy Balance 的接口：weather resolves trajectory on days，climate studies distributions, budgets and forced response across longer scales；二者共享 coupled equations but ask different questions。