气候与行星能量平衡

Learning objectives / 学习目标

学完本课后，你应能：

• 从截获圆盘与辐射球面推导 \(S_0/4\)，建立 zero-dimensional planetary energy balance；
• 用 Stefan–Boltzmann law、planetary albedo 与 effective emission temperature 做数量级计算；
• 解释 greenhouse effect 是 wavelength-dependent absorption/emission 与 emission height 的结果，而不是违反第二定律的“额外能量”；
• 定义 effective radiative forcing、feedback parameter、climate sensitivity、transient response 与 Earth energy imbalance；
• 区分 forcing、feedback、internal variability、heat transport 和 ocean heat uptake；
• 说明 GCM 的守恒方程、grid、parameterization、ensemble、hindcast 与 detection-attribution 的证据逻辑。

Prerequisites / 先修知识

• 黑体辐射 \(F=\sigma T^4\)、Wien displacement 与光谱吸收；
• Energy Conversion and Storage 中的 flux、efficiency、time integration 与系统边界；
• 热容、latent heat、convection；
• 一阶微分方程、线性化、误差条与回归。

Scope and conventions / 范围与约定

• 默认从 top of atmosphere（TOA）向下的净辐射为正；全球平均能量库存变化率记为 \(N\)，\(N>0\) 表示 Earth system 吸热。
• \(S_0\) 是轨道距离处、垂直于光线平面的 solar irradiance；全球平均入射是 \(S_0/4\)，不是 \(S_0\)。
• planetary albedo \(\alpha_p\) 包括 clouds、aerosols、surface 和 atmospheric scattering 的综合反射；不要与局地 surface albedo 混同。
• 本课使用 gray/one-layer 与 linear feedback toy models 建立直觉；它们不替代 line-by-line radiative transfer 或 coupled GCM。
• IPCC AR6 采用 stable climate 的 net feedback parameter 通常为负的约定；部分教材用正 restoring coefficient，正文会显式转换。

Notation and modeling contract / 符号与建模契约

1. Incoming solar and outgoing thermal radiation / 入射太阳辐射与出射热辐射

Knowledge ID: P14-U02-L02-K01

半径 \(R\) 的行星截获功率为 \(S_0\pi R^2\)，但向整个表面积 \(4\pi R^2\) 平均，因此全球平均 incoming solar flux 为 \(S_0/4\)。吸收与出射平衡的最简模型：

\[\frac{(1-\alpha_p)S_0}{4}=\sigma T_e^4,\]

\[T_e=\left[\frac{(1-\alpha_p)S_0}{4\sigma}\right]^{1/4}.\]

\(T_e\) 是从空间观测到的总 outgoing longwave radiation（OLR）所对应的 effective temperature，不必等于 surface mean temperature。若 TOA absorbed solar radiation（ASR）大于 OLR，\(N=ASR-OLR>0\)，能量累积在 ocean、land、atmosphere 和 cryosphere。

图 1 给出 factor-of-four 的几何来源；不是“夜侧没有能量”，而是时间—面积平均后的 bookkeeping。

图 2 表明 OLR 的 Planck restoring 随 temperature 增长；真实 OLR 还取决于 atmospheric opacity 与 clouds。

2. Albedo and greenhouse effect / 反照率与温室效应

Knowledge ID: P14-U02-L02-K02

albedo 决定短波有多少被反射：\(ASR=(1-\alpha_p)S_0/4\)。若其他量不变，\(\alpha_p\) 增大使 \(T_e\) 降低。greenhouse gases 对 solar shortwave 相对透明，却在特定 infrared bands 吸收与再发射 surface thermal radiation；TOA 辐射有效来自较高、较冷的 emission levels。为恢复 OLR=ASR，surface–troposphere system 必须升温。

一个完全透明短波、完全吸收长波、单一大气层且 radiative equilibrium 的 toy model 给出：

\[\sigma T_a^4=\frac{(1-\alpha_p)S_0}{4},\]

\[\sigma T_s^4=\frac{(1-\alpha_p)S_0}{4}+\sigma T_a^4 =2\sigma T_a^4,\]

因此 \(T_s=2^{1/4}T_a\)。它只解释方向：真实 atmosphere 有连续温度剖面、部分光学厚度、convection、latent heat 与 spectral windows。

图 3 是 spectral energy-flow model；向下红外并非凭空加热，layer 同时向上辐射并满足能量守恒。

图 4 画出 ice–albedo feedback 的因果环；positive 指放大 initial change，不表示 energy conservation 被破坏。

3. Radiative forcing and climate sensitivity / 辐射强迫与气候敏感度

Knowledge ID: P14-U02-L02-K03

effective radiative forcing（ERF）是引入 driver 并容许 rapid adjustments 后、排除 surface-temperature response 的 TOA energy perturbation。在线性近似中：

\[N=F+\alpha_f\Delta T, \qquad \alpha_f<0\ \text{for a stable climate}.\]

平衡时 \(N=0\)：

\[\Delta T_{eq}=-\frac{F}{\alpha_f}=\lambda F.\]

equilibrium climate sensitivity（ECS）特指 atmospheric \(\mathrm{CO_2}\) doubling 达平衡后的 global mean warming；transient climate response（TCR）对应规定的渐增实验，因 deep-ocean heat uptake 未完成而通常小于 ECS。\(F\) 不是瞬时地表加热率；同一 global-mean forcing 的 regional pattern 与 efficacy 也可能不同。

图 5 是 forcing–feedback line：warming 增强 outgoing response，直到净吸热降为零。

图 6 说明 transient response 有快 mixed-layer 与慢 deep-ocean time scales；海洋吸热延迟 surface equilibrium，但不消除最终 forcing。

4. Feedbacks, transport, and circulation / 反馈、输运与环流

Knowledge ID: P14-U02-L02-K04

feedback 是由 \(\Delta T\) 引发、继而改变 TOA radiation 的过程。Planck response 是主要 restoring term；water-vapor、surface-albedo 和多数 cloud response 可放大 warming，lapse-rate feedback 与具体 cloud regimes 需分开评估。不能把 water vapor 当作 independent forcing：其 atmospheric amount 很快受 temperature 与 circulation 控制，而 long-lived \(\mathrm{CO_2}\) 可作为外部 driver。

局地 TOA balance 不必处处为零。低纬净吸收、高纬净出射的差由 atmosphere 和 ocean transport 弥补：

\[\nabla_h\cdot\mathbf F_H=N_{\rm TOA},\]

其中 \(\mathbf F_H\) 包含 dry-static、latent 与 ocean heat transport。surface fluxes（radiative、sensible、latent、momentum）耦合 atmosphere–ocean，并驱动 Hadley cells、eddies、gyres 与 overturning。

图 7 表示 regional imbalance drives transport；global integral of divergence vanishes，故全球平均仍由 TOA balance 控制。

图 8 分开 heat、moisture 与 momentum flux；只有先声明箭头 sign，surface energy budget 才不会重复计数。

5. Climate models, uncertainty, and attribution / 气候模型、不确定度与归因

Knowledge ID: P14-U02-L02-K05

model hierarchy 从 zero-dimensional EBM、one-dimensional radiative-convective model 到 atmosphere–ocean GCM/Earth-system model。GCM 在三维 grid 上离散 mass、momentum、energy、water 与 tracer conservation；cloud microphysics、turbulence 与 convection 等 subgrid processes 以受物理与观测约束的 parameterization 表示。

uncertainty 至少分为：initial-condition/internal variability、forcing/scenario uncertainty、parameter/model structural uncertainty、observation uncertainty 和 numerical discretization。ensemble spread 只能表示被采样的部分，不能自动等同完整 truth interval。

detection 问“观测变化是否超出 internal variability”，attribution 问“哪组 causal forcings 最能解释其 magnitude 与 spatiotemporal fingerprint”。常见逻辑是比较 observations 与 natural-only、anthropogenic-only、all-forcing ensembles，同时核对独立变量（surface、ocean heat、vertical temperature、cryosphere）与物理机制。单个模型曲线贴近观测并不构成归因。

图 9 显示 model grid 交换 flux；格点越细计算越贵，仍有比 grid 更小的 processes 需要 closure。

图 10 是 attribution logic 的 schematic：评价的是 ensembles 与 multi-variable fingerprints，不是让一条人为调节的线穿过所有观测点。

Worked examples / 完整例题

Worked Example 1 — Earth-like effective emission temperature

已知： \(S_0=1361\ \mathrm{W\,m^{-2}}\)，\(\alpha_p=0.300\)，\(\sigma=5.670\times10^{-8}\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}\)。
系统边界： whole planet at TOA；steady global mean。
模型： uniform effective blackbody emission；不求 surface temperature。

\[ASR=\frac{(1-0.300)(1361)}4=238.2\ \mathrm{W\,m^{-2}},\]

\[T_e=\left(\frac{238.2}{5.670\times10^{-8}}\right)^{1/4}=254.6\ \mathrm K.\]

检查： \(\sigma T^4\) 单位为 flux；\(T_e\approx255\ \mathrm K\) 低于 mean surface temperature，差异来自 greenhouse atmosphere 与 vertical temperature structure。若 \(\alpha_p\to1\)，\(T_e\to0\) 的 toy-model limit 成立。

Worked Example 2 — Albedo perturbation 的 radiative 与 temperature response

已知： 同上，将 albedo 从 \(0.300\) 增至 \(0.310\)，暂假 greenhouse structure 不变。
边界与符号： downward TOA positive；\(\Delta\alpha_p=+0.010\)。
模型： instantaneous shortwave perturbation followed by new zero-dimensional equilibrium。

\[\Delta F_{SW}=-\frac{S_0}{4}\Delta\alpha_p =-3.40\ \mathrm{W\,m^{-2}}.\]

新平衡：

\[T_e'=\left[\frac{(1-0.310)1361}{4\sigma}\right]^{1/4}=253.7\ \mathrm K,\]

故 \(\Delta T_e=-0.9\ \mathrm K\)（两位有效数字）。检查： albedo 增大应冷却，sign 正确。真实 cloud/albedo change 会同时改变 longwave 与 feedback，不能把此值当 surface climate projection。

Worked Example 3 — CO2 doubling forcing、ECS 与 transient imbalance

已知： AR6-assessed doubled-\(\mathrm{CO_2}\) ERF central value \(F_{2x}=3.93\ \mathrm{W\,m^{-2}}\)，取 net feedback parameter \(\alpha_f=-1.16\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}\)。某 transient state 已升温 \(\Delta T=2.00\ \mathrm K\)。
系统： global TOA linear forcing–feedback model。
sign： \(N>0\) 表示 Earth heat uptake。

\[ECS=-\frac{F_{2x}}{\alpha_f} =\frac{3.93}{1.16}=3.39\ \mathrm K.\]

\[N=F_{2x}+\alpha_f\Delta T =3.93-1.16(2.00)=1.61\ \mathrm{W\,m^{-2}}.\]

检查： 在 \(\Delta T<ECS\) 时仍有正 imbalance；到 \(3.39\ \mathrm K\) 时 \(N=0\)。这是 central-value linear illustration，不传播 \(F\) 与 \(\alpha_f\) 的 uncertainty，也不代表某一年 temperature。

Worked Example 4 — Mixed-layer thermal response time

已知： ocean mixed-layer depth \(h=50.0\ \mathrm m\)，\(\rho_w=1025\ \mathrm{kg\,m^{-3}}\)，\(c_p=3990\ \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}\)，restoring magnitude \(B=1.16\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}\)。
系统： 单箱 EBM \(C\,dT/dt=F-BT\)；无 deep-ocean exchange。
模型理由： 用于估计 fast surface time scale。

\[C=\rho_wc_ph=(1025)(3990)(50.0) =2.04\times10^8\ \mathrm{J\,m^{-2}\,K^{-1}},\]

\[\tau=\frac{C}{B}=1.76\times10^8\ \mathrm s=5.58\ \mathrm{yr}.\]

检查： \((\mathrm{J\,m^{-2}\,K^{-1}})/(\mathrm{J\,s^{-1}\,m^{-2}\,K^{-1}})=\mathrm s\)。加入 deep ocean、sea ice 和 spatial structure 会产生更长且多重 time scales。

Lesson synthesis / 全课整合

建模顺序：选 TOA 或 surface boundary → 用 geometry 得到 \(S_0/4\) → 分开 reflection、ASR 与 spectral OLR → 判断 \(N\) 的 sign → 把 driver 写成 \(F\)、response 写成 \(\alpha_f\Delta T\) → 加入 heat capacity/ocean uptake → 再分析 regional transport 与 feedback → 选择适当 model hierarchy → 用 ensembles、observations 和 fingerprints 评估 uncertainty 与 attribution。

Formula-and-decision table / 公式与决策表

Model boundaries / 模型边界

• \(S_0/4\) is a global/time average; tidally locked planets and seasonal extremes require spatial models。
• \(T_e\) is an emission metric; greenhouse warming depends on vertical lapse rate, opacity and convection。
• One-layer greenhouse model is gray and idealized; it cannot predict spectral windows, clouds or precipitation。
• Linear \(F+\alpha_f\Delta T\) assumes feedback approximately constant; feedbacks vary with state, pattern and time。
• ECS is an equilibrium metric under a specified \(\mathrm{CO_2}\) experiment, not a direct forecast for a calendar date。
• GCM parameterization is not arbitrary curve fitting; it is constrained closure, but structural uncertainty remains。
• Attribution is probabilistic and scale-dependent; event attribution and long-term global attribution answer different questions。

Misconception clinic / 易错概念诊所

Practice and retrieval / 练习与检索

1. [K01] 为什么行星截获功率是 \(S_0\pi R^2\)，平均 flux 却除以 \(4\pi R^2\)？

2. [K01] 若 \(S_0\) 增加 \(4\%\)、albedo 不变，\(T_e\) 约增多少百分比？

3. [K02] albedo \(0.25\) 表示什么？它等同地表反照率吗？

4. [K02] one-layer toy model 中为何 atmosphere 同时向上和向下发射？

5. [K03] \(F=2.0\ \mathrm{W\,m^{-2}}\)、\(\alpha_f=-1.25\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}\)，求 equilibrium warming。

6. [K03] 当 \(N>0\) 时，为什么 surface temperature 可以短期下降？

7. [K04] 低纬 TOA 有正 \(N\)、高纬有负 \(N\)，长期局地为何不无限升温/降温？

8. [K04] 写出一个 positive 与一个 negative/restoring feedback，并说明 sign。

9. [K05] 为什么同一 GCM 要从略不同 initial conditions 跑 ensemble？

10. [综合] “自然因素也影响气候，所以无法归因”错在哪里？

Exit ticket / 迁移检验

一颗无大气行星的 \(S_0\) 与 \(\alpha_p\) 已知。先算 \(T_e\)；随后加入 infrared-active atmosphere。列出哪三个新增物理量/过程决定 surface temperature 不再等于 \(T_e\)。

References and source notes / 参考资料与使用说明

以下权威直接来源均在 2026-08-31 实际浏览核对；IPCC 章节正文经官方章节检索结果读取，页面读取器对直接 PDF 返回 403，因此未声称已下载 PDF。所有图依据方程原创绘制。

1. IPCC AR6 WGI, Chapter 7 — The Earth’s Energy Budget, Climate Feedbacks, and Climate Sensitivity — ERF、feedback、ECS/TCR 与 global energy budget assessment。
2. NASA Earth Observatory, Climate and Earth’s Energy Budget — \(340\ \mathrm{W\,m^{-2}}\) TOA mean、reflection、surface/atmosphere flux 与 natural greenhouse effect。
3. NASA CERES, Science — Earth’s Energy Budget and Model Evaluation — satellite TOA fluxes、regional transport、feedback observations and model evaluation。
4. NASA GISS, Forcings in GISS Climate Models — forcing definitions、rapid adjustments、baseline and forcing uncertainty。
5. NOAA GFDL, Climate Modeling — coupled components、grid、parameterization、ensembles、hindcast and uncertainty。
6. NASA GISS, Caldwell et al. 2016 — Sources of Inter-model Spread in ECS — feedback covariance and cloud contribution to ECS spread。

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复习与拓展

• Atmosphere and Ocean 将展开 hydrostatic/geostrophic balances、waves、ocean circulation 与 chaotic weather prediction。
• 可扩展：line-by-line radiative transfer、orbital climate、snowball/runaway greenhouse boundaries、carbon cycle 与 Bayesian attribution。
• 与 PART XII planetary physics 的接口：相同 TOA ledger 用于不同 albedo、stellar spectrum、rotation 与 atmosphere mass 的行星。