角动量 · Angular Momentum

Learning objectives / 学习目标

计算粒子关于指定点的 $\mathbf L_O=\mathbf r\times\mathbf p$ ，判断方向与参考点依赖。
在固定惯性点或质心条件下使用 $\int\boldsymbol\tau\,dt=\Delta\mathbf L$ 。
区分固定主轴标量式 $L_z=I_z\omega_z$ 与一般三维张量关系 $\mathbf L=\mathbf I\boldsymbol\omega$ 。
先定义系统，再用外力矩为零判断角动量守恒并求解形状变化或粘连碰撞。
推导 $\mathbf L_O=\mathbf R_{\rm CM}\times\mathbf P+\mathbf L_{\rm CM}$ ，避免双重计数。

Prerequisites / 先修知识

线动量与冲量。
质点系、内外力与质心。
力矩与转动惯量。
数学准备：叉积、矢量积分与参考点变换。

0. Notation and vector geometry / 记号与矢量几何

Symbol	Meaning	SI unit
$\mathbf L_O$	total angular momentum about $$O$$	$\mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}$
$\boldsymbol\ell_O$	single-particle angular momentum	$\mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}$
$\mathbf P$	total linear momentum	$\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}$
$\mathbf J_\tau$	angular impulse	$\mathrm{N\,m\,s}$
$\mathbf R_{\rm CM}$	position of CM relative to $$O$$	m

Knowledge 1 — Angular momentum of a particle / 质点角动量

Knowledge ID: P01-U05-L04-K01

质点关于点 $$O$$ 的角动量定义为

$\boxed{\boldsymbol\ell_O=\mathbf r_{O\to p}\times\mathbf p =\mathbf r\times m\mathbf v}.$

大小为

$\ell_O=rp\sin\phi=pb,$

其中 $$b$$ 是 $$O$$ 到质点运动直线的垂距。若粒子直冲 $$O$$ ， $$b=0$$ ，即使 $$p$$ 很大也有 $\ell_O=0$ 。改变 $$O$$ 通常会改变角动量。

Angular Momentum — Knowledge 1 — Angular momentum of a particle / 质点角动量（图 2） — 图 2Knowledge 1 — Angular momentum of a particle / 质点角动量

Worked Example 1 — 飞越观察者的无人机

一架质量 $m=2.50\ \mathrm{kg}$ 的无人机沿 $$+x$$ 方向以 $v=12.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}$ 匀速飞行，其轨迹为 $y=8.00\ \mathrm m$ 。求关于原点 $$O$$ 的角动量。

$\mathbf r=x\hat{\mathbf i}+8.00\hat{\mathbf j}, \qquad \mathbf p=(30.0\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}})\hat{\mathbf i}.$

$\boldsymbol\ell_O=\mathbf r\times\mathbf p =(8.00\hat{\mathbf j})\times(30.0\hat{\mathbf i}) =\boxed{-240\hat{\mathbf k}\ \mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}}.$

$$x$$ 项叉积为零，所以无人机靠近或远离最近点时，该角动量保持不变；方向为纸内。用 $$pb=(30.0)(8.00)$$ 回算大小一致。

Knowledge 2 — Angular impulse and torque / 角冲量与力矩

Knowledge ID: P01-U05-L04-K02

对固定惯性点 $$O$$ ，由 $\mathbf p=m\mathbf v$ ：

$\frac{d}{dt}(\mathbf r\times\mathbf p) =\mathbf v\times m\mathbf v+\mathbf r\times\mathbf F =\boldsymbol\tau_O.$

粒子系内力矩若成对抵消，则

$\boxed{\sum\boldsymbol\tau_{O,\rm ext}=\frac{d\mathbf L_O}{dt}}.$

对时间积分：

$\boxed{\mathbf J_\tau=\int_{t_i}^{t_f}\sum\boldsymbol\tau_{O,\rm ext}\,dt =\Delta\mathbf L_O}.$

在一维定轴图上， $\tau_z$ – $$t$$ 曲线的有向面积就是 $\Delta L_z$ 。

Angular Momentum — Knowledge 2 — Angular impulse and torque / 角冲量与力矩（图 3） — 图 3Knowledge 2 — Angular impulse and torque / 角冲量与力矩

Worked Example 2 — 力矩脉冲启动转盘

静止转盘 $I=0.600\ \mathrm{kg\,m^2}$ 受到力矩： $$0$$ – $2.00\ \mathrm s$ 从 0 线性增至 $6.00\ \mathrm{N\,m}$ ， $$2.00$$ – $5.00\ \mathrm s$ 保持 $6.00\ \mathrm{N\,m}$ ， $$5.00$$ – $6.00\ \mathrm s$ 线性降至 0。求末角动量和角速度。

面积为两三角形与矩形之和：

$\Delta L_z=\frac12(2)(6)+(3)(6)+\frac12(1)(6) =27.0\ \mathrm{N\,m\,s}.$

$L_f=27.0\ \mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}, \qquad \omega_f=\frac{L_f}{I} =\boxed{45.0\ \mathrm{rad\,s^{-1}}}.$

这里可以用 $L=I\omega$ ，因为转盘绕固定对称轴转动且 $$I$$ 恒定。

Angular Momentum — Worked Example 2 — 力矩脉冲启动转盘（图 4） — 图 4Worked Example 2 — 力矩脉冲启动转盘

Knowledge 3 — Angular momentum of a rigid body / 刚体角动量

Knowledge ID: P01-U05-L04-K03

刚体关于点 $$O$$ 的角动量是所有质元的矢量和：

$\mathbf L_O=\int\mathbf r\times\mathbf v\,dm.$

绕固定 $$z$$ 轴转动时，轴向分量满足

$\boxed{L_z=I_z\omega_z}.$

若该轴是主轴，完整矢量也可写 $\mathbf L=I\boldsymbol\omega$ 。一般三维刚体必须写

$\boxed{\mathbf L=\mathbf I\boldsymbol\omega},$

其中 $\mathbf I$ 是惯性张量； $\mathbf L$ 与 $\boldsymbol\omega$ 通常不平行。

Angular Momentum — Knowledge 3 — Angular momentum of a rigid body / 刚体角动量（图 5） — 图 5Knowledge 3 — Angular momentum of a rigid body / 刚体角动量

Worked Example 3 — 两个质点构成的哑铃

两个质量均为 $m=1.50\ \mathrm{kg}$ 的质点相距 $0.800\ \mathrm m$ ，由轻杆连接，绕过质心且垂直杆的固定轴以 $\omega=10.0\ \mathrm{rad\,s^{-1}}$ 转动。求 $$I,L,K$$ 。

每个质点到轴距离 $0.400\ \mathrm m$ ：

$I=2m(0.400)^2=0.480\ \mathrm{kg\,m^2}.$

$L=I\omega=\boxed{4.80\ \mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}},$

$K=\frac12I\omega^2=\boxed{24.0\ \mathrm J}.$

方向沿转轴，由右手定则确定。且 $K=L^2/(2I)=24.0\ \mathrm J$ ，交叉检查通过。

Angular Momentum — Worked Example 3 — 两个质点构成的哑铃（图 6） — 图 6Worked Example 3 — 两个质点构成的哑铃

Knowledge 4 — Conservation of angular momentum / 角动量守恒

Knowledge ID: P01-U05-L04-K04

若选定系统关于合适参考点的净外力矩为零，则

$\boxed{\mathbf L=\text{constant}}.$

守恒的是矢量，不只是大小。内力可改变各部分的角动量和系统转动能，却不能改变系统总角动量（在标准中心内力模型下）。形状变化时，固定轴主轴转动可用

$I_i\omega_i=I_f\omega_f.$

但一般 $$K=L^2/(2I)$$ 会改变，差额来自内部化学能或人体做功。

Angular Momentum — Knowledge 4 — Conservation of angular momentum / 角动量守恒（图 7） — 图 7Knowledge 4 — Conservation of angular momentum / 角动量守恒

Worked Example 4 — 转台上的学生收臂

学生与转台初转动惯量 $I_i=4.80\ \mathrm{kg\,m^2}$ 、角速度 $\omega_i=1.50\ \mathrm{rad\,s^{-1}}$ ；收臂后 $I_f=2.00\ \mathrm{kg\,m^2}$ 。轴承外力矩可忽略。求 $\omega_f$ 及动能变化。

系统取学生与转台，关于固定竖直轴的外力矩近零：

$L_i=I_i\omega_i=7.20\ \mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}.$

$\omega_f=\frac{I_i}{I_f}\omega_i =\boxed{3.60\ \mathrm{rad\,s^{-1}}}.$

$K_i=\frac12I_i\omega_i^2=5.40\ \mathrm J, \qquad K_f=\frac12I_f\omega_f^2=13.0\ \mathrm J.$

$\boxed{\Delta K=+7.56\ \mathrm J}.$

动能增加来自学生收臂时肌肉做的内功；角动量守恒不蕴含机械能守恒。

Angular Momentum — Worked Example 4 — 转台上的学生收臂（图 8） — 图 8Worked Example 4 — 转台上的学生收臂

Knowledge 5 — Orbital and spin angular momentum decomposition / 轨道与自转角动量分解

Knowledge ID: P01-U05-L04-K05

令第 $$i$$ 个质点位置与速度分解为

$\mathbf r_i=\mathbf R_{\rm CM}+\boldsymbol\rho_i, \qquad \mathbf v_i=\mathbf V_{\rm CM}+\mathbf u_i,$

并使用 $\sum m_i\boldsymbol\rho_i=0$ 、 $\sum m_i\mathbf u_i=0$ ，得到

$\boxed{\mathbf L_O =\underbrace{\mathbf R_{\rm CM}\times M\mathbf V_{\rm CM}}_{\mathbf L_{\rm orb}} +\underbrace{\sum_i\boldsymbol\rho_i\times m_i\mathbf u_i}_{\mathbf L_{\rm spin,CM}}}.$

“orbital / spin” 是相对所选 $$O$$ 与 CM 的经典分解，不是说宏观刚体真的分成两套粒子。若 $$O$$ 改变，轨道项改变；自转项关于 CM 保持其定义。

Angular Momentum — Knowledge 5 — Orbital and spin angular momentum decomposition / 轨道与自转角动量分解（图 9） — 图 9Knowledge 5 — Orbital and spin angular momentum decomposition / 轨道与自转角动量分解

5.1 Reference-point theorem

在同一惯性系中定义

$\mathbf L_A\equiv\sum_i(\mathbf r_i-\mathbf r_A)\times m_i\mathbf v_i, \qquad \mathbf P\equiv\sum_i m_i\mathbf v_i,$

其中 $\mathbf v_i$ 与 $\mathbf v_A$ 都是该惯性系测得的速度，而不是“相对 $$A$$ 的速度”。逐项求导并使用内力矩相消，得对任意移动点 $$A$$ ：

$\frac{d\mathbf L_A}{dt} =\boldsymbol\tau_{A,\rm ext}-\mathbf v_A\times\mathbf P.$

因此“外力矩为零就守恒”还需参考点条件。固定惯性点有 $\mathbf v_A=0$ ；质心有 $\mathbf v_{\rm CM}\times\mathbf P=0$ 。若随意取一个移动点，不能漏掉运输项。

Angular Momentum — 5.1 Reference-point theorem（图 10） — 图 105.1 Reference-point theorem

Lesson synthesis / 全课综合

角动量题的可靠流程：

先定义系统、惯性参考系和参考点 $$O$$ 。
计算所有外力对同一 $$O$$ 的力矩；内力不放进外力矩账本。
检查 $$O$$ 是固定惯性点、质心还是任意移动点。
使用矢量式 $\int\boldsymbol\tau_Odt=\Delta\mathbf L_O$ ；只有主轴/定轴时才简化为 $I\omega$ 。
系统有整体平动时，用 orbital + spin 分解避免漏项或重复计数。

Formula-and-decision table

Need	Relation	Conditions
particle angular momentum	$\boldsymbol\ell_O=\mathbf r\times\mathbf p$	reference point specified
torque theorem	$\sum\boldsymbol\tau_O=d\mathbf L_O/dt$	$$O$$ fixed in inertial frame
angular impulse	$\int\boldsymbol\tau_Odt=\Delta\mathbf L_O$	same system and reference point
fixed principal axis	$L_z=I_z\omega_z$	rigid body; fixed/principal axis
general rigid body	$\mathbf L=\mathbf I\boldsymbol\omega$	inertia tensor about stated point
conservation	$\mathbf L_i=\mathbf L_f$	net external torque zero about valid point
orbital + spin	$\mathbf L_O=\mathbf R_{\rm CM}\times\mathbf P+\mathbf L_{\rm CM}$	particle system decomposition
moving reference point	$d\mathbf L_A/dt=\boldsymbol\tau_A-\mathbf v_A\times\mathbf P$	arbitrary moving $$A$$

Model boundaries / 模型边界

Angular momentum is always about a point (or a specified axis component); omitting the point makes conservation claims ambiguous.
Internal torques cancel in the elementary proof only for central action–reaction forces; extended electromagnetic systems may require field angular momentum.
$L=I\omega$ is not a universal vector identity. It is safe as an axis component or along a principal rotation axis.
Inelastic rotational collisions may conserve angular momentum while losing mechanical energy.
A short collision may justify neglecting gravitational angular impulse, but that is an impulse approximation, not exact zero torque.

Misconception clinic

Practice and retrieval

$m=0.50\ \mathrm{kg}$ 粒子以 $4.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}$ 沿距 $$O$$ 为 $3.0\ \mathrm m$ 的直线运动，求 $|\ell_O|$ 。
粒子沿径向冲向 $$O$$ ，其 $\ell_O$ 是多少？
恒力矩 $5.0\ \mathrm{N\,m}$ 作用 $2.0\ \mathrm s$ ，求 $\Delta L$ 。
$I=0.25\ \mathrm{kg\,m^2}$ 的定轴盘初始静止，角冲量 $3.0\ \mathrm{N\,m\,s}$ ，求末 $\omega$ 。
为什么上一题可以用 $L=I\omega$ ，但一般三维物体不一定可以？
一人把 $$I$$ 降为原来的 $$0.40$$ ，无外力矩时 $\omega$ 变为原来的多少？
在 $$L$$ 固定时， $$K=L^2/(2I)$$ ；若 $$I$$ 减半， $$K$$ 如何变化？能量从何而来？
写出关于 $$O$$ 的 orbital + spin 分解。
以任意移动点 $$A$$ 为参考且 $\tau_A=0$ ， $\mathbf L_A$ 是否必守恒？
解释为什么在均匀重力场中，关于 CM 的重力总力矩为零。

Answers / 答案

$\ell=mvb=(0.50)(4.0)(3.0)=6.0\ \mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}$ 。
$$0$$ ，因为 $\mathbf r\parallel\mathbf p$ 。
$\Delta L=\tau\Delta t=10\ \mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}$ 。
$\omega=\Delta L/I=12\ \mathrm{rad\,s^{-1}}$ 。
盘绕固定对称主轴转动；一般三维需 $\mathbf L=\mathbf I\boldsymbol\omega$ ，两矢量未必平行。
$I_i\omega_i=0.40I_i\omega_f$ ，故 $\omega_f=2.5\omega_i$ 。
$$K$$ 加倍；差额来自改变形状者所做的内功。
$\mathbf L_O=\mathbf R_{\rm CM}\times M\mathbf V_{\rm CM}+\mathbf L_{\rm CM}$ 。
不一定； $d\mathbf L_A/dt=-\mathbf v_A\times\mathbf P$ 仍可能非零。
$\boldsymbol\tau_{\rm CM}=\int\boldsymbol\rho\times\mathbf g\,dm=(\int\boldsymbol\rho dm)\times\mathbf g=0$ 。

Exit ticket

一个自由飞行刚体的 CM 沿直线移动并自转。画出并写出它关于地面固定点的两部分角动量。
给出一个“关于 A 外力矩为零但 $\mathbf L_A$ 不守恒”的可能情形，并指出遗漏项。

References and source notes

以下直接来源于 2026-08-20 核对。

OpenStax, 11.2 Angular Momentum.
OpenStax, 11.3 Conservation of Angular Momentum.
OpenStax, 11.4 Precession of a Gyroscope.
MIT OpenCourseWare 8.01SC, Online Textbook: Chapter 19 — Angular Momentum.
MIT OpenCourseWare 8.01SC, Readings: Lessons 32–34.
MIT OpenCourseWare 16.07, Lecture L23 — 2D Rigid Body Dynamics: Impulse and Momentum.

Source-to-content map

Source	Used for	Knowledge ID / section	Boundary or convention
OpenStax 11.2	particle and fixed-axis rigid-body angular momentum	K01, K03	angular momentum about designated origin
OpenStax 11.3	conservation and changing $$I$$	K04	negligible external torque
OpenStax 11.4	vector direction and precession preview	K03, review hook	rapid symmetric gyroscope approximation
MIT 8.01SC Chapter 19	torque theorem and orbital/spin reasoning	K01–K05	fixed inertial point or CM
MIT 8.01SC readings	course scope cross-check	K01–K05	calculus-based introductory mechanics
MIT 16.07 L23	angular impulse for rigid bodies	K02, K04	two-dimensional rigid-body impulse

复习与拓展

Lesson 1.5.5 将用惯性张量与 Euler 方程解释无力矩运动中 $\mathbf L$ 固定但物体系分量变化。
Unit 1.7 中心力运动将使用 $\mathbf r\times\mathbf F=0$ 推出轨道角动量守恒。
Unit 1.9 将由转动对称性通过 Noether 定理重新得到角动量守恒。
可扩展实验：在低摩擦转台上改变配重半径，分别测量 $I\omega$ 与 $$K$$ 的变化。

Symbol	Meaning	SI unit
$\mathbf L_O$	total angular momentum about $\(O\)$	$\mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}$
$\boldsymbol\ell_O$	single-particle angular momentum	$\mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}$
$\mathbf P$	total linear momentum	$\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}$
$\mathbf J_\tau$	angular impulse	$\mathrm{N\,m\,s}$
$\mathbf R_{\rm CM}$	position of CM relative to $\(O\)$	m