学习目标 / Learning objectives
完成本课后，你应能：
- 用复数 susceptibility 推导稳态位移振幅与相位滞后，并检查低频、高频和 \(\omega=\omega_0\) 极限。
- 严格区分位移振幅共振、速度共振与功率共振，判断位移峰是否存在。
- 从功率半高条件推导精确半高频率、\(\Delta\omega=2\beta\) 与 \(Q\)。
- 把完整响应写成 transient 加 steady state，并由初值求齐次项系数。
- 用同一二阶方程比较机械、串联 RLC 与单模态结构响应，同时说明类比的边界。
先修知识 / Prerequisites
- 阻尼振动：\(\beta=b/(2m)\)、\(\omega_d\)、ringdown 与 \(Q\)。
- 谐振子模型：相量、复指数及能量关系。
- 三角恒等式、复数幅角、周期平均；电学类比只需 Kirchhoff loop rule 的基本形式。
范围、约定与建模契约 / Scope, conventions, and modeling contract
- 单自由度线性模型在实验室惯性系中写为
\[m\ddot x+b\dot x+kx=F_0\cos\omega t.\]
- \(\omega_0=\sqrt{k/m}\) 是无阻尼固有角频率，\(\omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}\) 是欠阻尼自由角频率，\(\omega\) 是驱动角频率。三者定义不同。
- 采用 \(e^{i\omega t}\) 约定；实响应写成 \(x_{ss}=X\cos(\omega t-\delta)\)，\(0\le\delta\le\pi\) 表示位移落后于外力。
- “带宽”默认指平均吸收功率的 full width at half maximum (FWHM)，等价于速度幅值降至峰值的 \(1/\sqrt2\)；不是位移振幅的一半宽度。
- 只讨论稳定、线性、时不变参数。大振幅下刚度、阻尼或几何非线性会造成弯曲、多稳态与跳跃，不属于本课公式的普适结论。
图 1：研究系统是质量块；外力跨越系统边界输入能量，阻尼把机械能转移到环境。
符号表 / Notation
| 符号 | 定义 | SI 单位 |
|---|---|---|
| \(F_0\) | 谐波外力幅值 | N |
| \(\omega\) | 驱动角频率 | \(\mathrm{rad\,s^{-1}}\) |
| \(X(\omega)\) | 稳态位移幅值，非负 | m |
| \(\delta(\omega)\) | 位移相对外力的相位滞后 | rad |
| \(\chi(\omega)\) | 力到位移的复 susceptibility | \(\mathrm{m\,N^{-1}}\) |
| \(\omega_x\) | 位移幅值峰的频率（若存在） | \(\mathrm{rad\,s^{-1}}\) |
| \(\omega_\pm\) | 功率半高的两个角频率 | \(\mathrm{rad\,s^{-1}}\) |
| \(\Delta\omega\) | 功率 FWHM：\(\omega_+-\omega_-\) | \(\mathrm{rad\,s^{-1}}\) |
| \(\overline P\) | 稳态周期平均输入/耗散功率 | W |
| \(Q\) | \(\omega_0/\Delta\omega\) | 1 |
Knowledge 1 — Steady-state amplitude and phase response / 稳态振幅与相位响应
Knowledge ID: P02-U02-L02-K01
1.1 复数响应
把外力扩展为 \(\operatorname{Re}(F_0e^{i\omega t})\)，设复位移 \(z=\widetilde Xe^{i\omega t}\)。代入得
\[\left(k-m\omega^2+ib\omega\right)\widetilde X=F_0.\]
所以
\[\boxed{ \chi(\omega)=\frac{\widetilde X}{F_0} =\frac1{k-m\omega^2+ib\omega} }\]
以及
\[\boxed{ X(\omega)= \frac{F_0/m} {\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2+(2\beta\omega)^2}} }.\]
相位必须用象限正确的 \(\operatorname{atan2}\)：
\[\boxed{ \delta(\omega)= \operatorname{atan2}\!\left(2\beta\omega,\omega_0^2-\omega^2\right) }, \qquad 0\le\delta\le\pi.\]
只写 \(\tan\delta=2\beta\omega/(\omega_0^2-\omega^2)\) 会丢失 \(\omega>\omega_0\) 时应取第二象限的信息。
图 2：弹性—惯性分量与阻尼分量正交；外力相量是两者的矢量和。高频时横向分量反号，必须换象限。
1.2 三个极限是最好的符号检查
\[\omega\to0: \quad X\to\frac{F_0}{k},\quad\delta\to0;\]
\[\omega=\omega_0: \quad X=\frac{F_0}{b\omega_0},\quad\delta=\frac\pi2;\]
\[\omega\to\infty: \quad X\sim\frac{F_0}{m\omega^2},\quad\delta\to\pi.\]
低频是准静态弹簧，高频由惯性主导。\(\omega=\omega_0\) 的 \(90^\circ\) 相位点严格成立，但它不总是位移幅值最大点。
图 3：阻尼增大使位移峰降低并展宽；当阻尼足够大时，有限频率位移峰消失。曲线使用不同 \(2\beta/\omega_0\)。
图 4：相位从 0 连续转到 \(\pi\)，并在 \(\omega_0\) 精确经过 \(\pi/2\)；阻尼控制转折的陡峭程度。
Worked Example 1 — 稳态幅值、相位与功率的三重核对
给定 \(m=1.00\ \mathrm{kg}\)、\(k=100\ \mathrm{N\,m^{-1}}\)、\(b=2.00\ \mathrm{kg\,s^{-1}}\)、\(F_0=4.00\ \mathrm N\)、\(\omega=8.00\ \mathrm{rad\,s^{-1}}\)。
研究对象与参考系： 质量块；实验室惯性系，平衡点为原点。
模型： 线性、稳定、已越过暂态，只求 steady state。
\[\omega_0=10.0\ \mathrm{rad\,s^{-1}}, \qquad \beta=1.00\ \mathrm{s^{-1}}.\]
动态刚度的实、虚分量为
\[k-m\omega^2=36.0\ \mathrm{N\,m^{-1}}, \qquad b\omega=16.0\ \mathrm{N\,m^{-1}}.\]
因此
\[X=\frac{4.00}{\sqrt{36.0^2+16.0^2}} =0.1015\ \mathrm m,\]
\[\delta=\operatorname{atan2}(16.0,36.0) =0.418\ \mathrm{rad}=24.0^\circ.\]
平均耗散功率
\[\overline P=\frac12b\omega^2X^2 =0.659\ \mathrm W.\]
独立用输入功率检查：
\[\overline P =\frac12F_0\omega X\sin\delta =0.659\ \mathrm W.\]
两种账本一致；\(\omega<\omega_0\) 且 \(\delta<\pi/2\)，方向和象限合理。
Knowledge 2 — Resonance frequency and bandwidth / 共振频率与带宽
Knowledge ID: P02-U02-L02-K02
2.1 “共振频率”必须附带被最大化的量
对 \(X^2\) 的分母求极小，得到位移幅值峰
\[\boxed{\omega_x=\sqrt{\omega_0^2-2\beta^2}}.\]
它只有在 \(\beta<\omega_0/\sqrt2\) 时是正的内部峰；更强阻尼下 \(X(\omega)\) 从静态值开始单调下降。
速度幅值 \(V=\omega X\) 的峰则严格位于
\[\boxed{\omega_v=\omega_0},\]
平均吸收功率 \(\overline P=(b/2)V^2\) 的峰也严格位于
\[\boxed{\omega_P=\omega_0}.\]
欠阻尼自由频率为
\[\omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\beta^2},\]
通常有 \(\omega_x<\omega_d<\omega_0\)。弱阻尼时三者很接近，但概念仍不可合并。
图 5：不同观测量对应不同特征频率；示意间距被夸大，not to scale。
2.2 功率半高全宽
稳态平均功率为
\[\overline P(\omega) =\frac12b\omega^2X^2 =\frac{F_0^2}{2m} \frac{2\beta\omega^2} {(\omega_0^2-\omega^2)^2+(2\beta\omega)^2}.\]
峰值
\[\overline P_{\max}=\frac{F_0^2}{2b}\]
出现在 \(\omega_0\)。半高条件化为
\[\lvert\omega_0^2-\omega^2\rvert=2\beta\omega.\]
两根为
\[\boxed{\omega_\pm=\sqrt{\omega_0^2+\beta^2}\pm\beta},\]
所以精确地
\[\boxed{\Delta\omega=\omega_+-\omega_-=2\beta=\frac bm}, \qquad \omega_-\omega_+=\omega_0^2.\]
功率曲线关于线性 \(\omega\) 并非严格左右对称；高 \(Q\) 时才可在峰附近把它近似为对称 Lorentzian。
图 6：带宽按功率半高定义；对应的是速度幅值的 \(1/\sqrt2\)，不是位移幅值的一半。
Worked Example 2 — 三个频率、带宽与峰值功率
取 \(m=0.500\ \mathrm{kg}\)、\(k=72.0\ \mathrm{N\,m^{-1}}\)、\(b=3.00\ \mathrm{kg\,s^{-1}}\)、\(F_0=6.00\ \mathrm N\)。
系统与模型： 单自由度线性稳态响应；比较位移、速度和功率三种观测量。
\[\omega_0=\sqrt{72.0/0.500}=12.0\ \mathrm{rad\,s^{-1}}, \qquad \beta=\frac{3.00}{1.00}=3.00\ \mathrm{s^{-1}}.\]
因为 \(\beta<\omega_0/\sqrt2\)，位移峰存在：
\[\omega_x=\sqrt{12.0^2-2(3.00)^2} =11.2\ \mathrm{rad\,s^{-1}}.\]
自由 ringdown 频率
\[\omega_d=\sqrt{12.0^2-3.00^2} =11.6\ \mathrm{rad\,s^{-1}}.\]
速度和功率峰在 \(12.0\ \mathrm{rad\,s^{-1}}\)。功率半高根
\[\omega_\pm=\sqrt{144+9}\pm3.00 =9.37,\ 15.4\ \mathrm{rad\,s^{-1}},\]
故 \(\Delta\omega=6.00\ \mathrm{rad\,s^{-1}}\)、\(Q=\omega_0/\Delta\omega=2.00\)。峰值功率
\[\overline P_{\max}=\frac{F_0^2}{2b} =\frac{36.0}{6.00}=6.00\ \mathrm W.\]
检查： \(\omega_-\omega_+=144\ \mathrm{s^{-2}}=\omega_0^2\)；\(Q=2\) 不很大，因此不能把曲线当作高度对称的窄 Lorentzian。
Knowledge 3 — Transient and steady-state motion / 暂态与稳态运动
Knowledge ID: P02-U02-L02-K03
3.1 完整解不是只有 particular solution
线性方程的完整解为
\[\boxed{x(t)=x_h(t)+x_{ss}(t)}.\]
- \(x_h\) 解无外力方程，包含初值信息；若欠阻尼，\(x_h=e^{-\beta t}(C\cos\omega_dt+D\sin\omega_dt)\)。
- \(x_{ss}=X\cos(\omega t-\delta)\) 是由持续外力决定的 particular solution，与初值无关。
- \(b>0\) 时 \(x_h\) 衰减，长时间只剩驱动频率 \(\omega\)，而不是 \(\omega_d\)。
启动初期两种频率叠加可出现貌似不规则的 envelope；这是 transient beating，不自动意味着非线性或 chaos。
图 7：暂态衰减后，响应锁定到外力频率和固定相位；曲线为教学示意。
3.2 无阻尼精确共振是特殊极限
若 \(b=0\) 且 \(\omega=\omega_0\)，不存在有限振幅稳态 particular solution。可取
\[x_p(t)=\frac{F_0}{2m\omega_0}t\sin\omega_0t,\]
其 envelope 线性增长。真实系统最终由非零阻尼、非线性、有限驱动时间或破坏限制；“无穷振幅”只是理想线性、无限时间模型的发散信号。
图 8：零阻尼精确共振时 envelope 线性长大，而不是瞬间变成无穷。
Worked Example 3 — 由“静止启动”确定暂态
取 \(m=1.00\ \mathrm{kg}\)、\(k=25.0\ \mathrm{N\,m^{-1}}\)、\(b=2.00\ \mathrm{kg\,s^{-1}}\)、\(F_0=5.00\ \mathrm N\)、\(\omega=4.00\ \mathrm{rad\,s^{-1}}\)，并在 \(t=0\) 打开余弦外力，物体当时 \(x=v=0\)。
参考系与模型： 实验室惯性系；线性参数瞬间开启，初值施加给完整解。
\[\omega_0=5.00, \quad \beta=1.00, \quad \omega_d=\sqrt{24}=4.899\ \mathrm{rad\,s^{-1}}.\]
稳态量为
\[X=\frac{5.00}{\sqrt{(25-16)^2+(2\cdot4)^2}} =0.415\ \mathrm m,\]
\[\delta=\operatorname{atan2}(8,9)=0.727\ \mathrm{rad}.\]
写
\[x=X\cos(4t-\delta) +e^{-t}\left(C\cos\omega_dt+D\sin\omega_dt\right).\]
\(x(0)=0\) 给 \(C=-X\cos\delta=-0.310\ \mathrm m\)。稳态初速度为 \(v_{ss}(0)=\omega X\sin\delta=1.10\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)；再由
\[v_h(0)=-\beta C+\omega_dD=-v_{ss}(0)\]
得
\[D=\frac{-v_{ss}(0)+\beta C}{\omega_d} =-0.288\ \mathrm m.\]
检查： 把 \(C,D\) 代回，\(x(0)\) 与 \(v(0)\) 都为零；当 \(t\gg1\ \mathrm s\)，指数项消失，只剩频率 \(4.00\ \mathrm{rad\,s^{-1}}\) 的稳态，而不是 \(4.899\ \mathrm{rad\,s^{-1}}\)。
Knowledge 4 — Power absorption and quality factor / 功率吸收与品质因数
Knowledge ID: P02-U02-L02-K04
4.1 稳态能量账本
把运动方程乘以 \(\dot x\)：
\[\frac{d}{dt}\left(\frac12m\dot x^2+\frac12kx^2\right) =F(t)\dot x-b\dot x^2.\]
稳态周期平均时左侧为零，所以
\[\boxed{\overline{F\dot x}=\overline{b\dot x^2}=\overline P}.\]
外力既可能在周期某些时段取回能量，也可能输入能量；一个完整周期的净输入恰好补偿阻尼损失。
图 9：稳态平均只保留从 driver 到热库的净通量；虚功率式的周期内往返不等于净耗散。
4.2 \(Q\) 的三个相容面貌
在线性单模态模型中
\[\boxed{Q=\frac{\omega_0}{2\beta}=\frac{m\omega_0}{b}=\frac{\omega_0}{\Delta\omega}}.\]
在高 \(Q\)、慢衰减语境中，它也可解释为
\[Q\simeq2\pi \frac{\text{stored energy}} {\text{energy lost per cycle}}.\]
必须说明使用的是角频率还是普通频率；因为 \(\Delta\omega=2\pi\Delta f\)，比值 \(\omega_0/\Delta\omega=f_0/\Delta f\) 数值相同，但不能把 \(\omega_0\) 除以 \(\Delta f\)。
Worked Example 4 — 串联 RLC 的机械类比与带宽
串联电路 \(L=0.100\ \mathrm H\)、\(R=4.00\ \Omega\)、\(C=250\ \mathrm{\mu F}\)，驱动电压幅值 \(V_0=10.0\ \mathrm V\)。
系统边界与变量： 整个串联 RLC 回路；以电荷 \(q\) 为 generalized coordinate，\(i=\dot q\)。Kirchhoff 方程为
\[L\ddot q+R\dot q+\frac1Cq=V_0\cos\omega t.\]
对应 \(m\leftrightarrow L\)、\(b\leftrightarrow R\)、\(k\leftrightarrow1/C\)。因此
\[\omega_0=\frac1{\sqrt{LC}} =200\ \mathrm{rad\,s^{-1}},\]
\[\beta=\frac{R}{2L}=20.0\ \mathrm{s^{-1}}, \qquad Q=\frac{\omega_0L}{R}=5.00.\]
电流（对应速度）及功率在 \(\omega_0\) 达峰；带宽
\[\Delta\omega=\frac RL=40.0\ \mathrm{rad\,s^{-1}}.\]
共振电流幅值
\[I_0=\frac{V_0}{R}=2.50\ \mathrm A.\]
电阻平均功率为 \(I_0^2R/2=12.5\ \mathrm W\)，也等于 \(V_0^2/(2R)\)。
检查： \(R/L\) 单位为 \(\mathrm{s^{-1}}\)；这里的“位移”类比量是 \(q\)，实验最常测的 \(i\) 对应机械速度，所以其峰精确在 \(\omega_0\)。
Knowledge 5 — Mechanical, electrical, and structural resonance / 机械、电学与结构共振
Knowledge ID: P02-U02-L02-K05
5.1 同构方程，不同可观测量
| 系统 | generalized coordinate | inertia | damping | stiffness | drive |
|---|---|---|---|---|---|
| 质量—弹簧—阻尼器 | \(x\) | \(m\) | \(b\) | \(k\) | \(F(t)\) |
| 串联 RLC | \(q\) | \(L\) | \(R\) | \(1/C\) | \(V(t)\) |
| 单一结构模态 | \(q_j\) | \(M_j\) | \(C_j\) | \(K_j\) | \(P_j(t)\) |
图 10：二阶方程同构允许迁移数学，但 \(x,q,q_j\) 的物理意义与实际测量量不同。
5.2 结构共振与控制
多自由度结构在第 \(j\) 个模态附近常近似为
\[M_j\ddot q_j+C_j\dot q_j+K_jq_j=P_j(t).\]
是否激发该模态不仅取决于频率接近，还取决于 forcing spatial pattern 与 mode shape 的 overlap；若 generalized force \(P_j\) 很小，频率相等也可能响应很弱。
设计策略包括：
- 改变 \(K_j/M_j\) 使固有频率远离持续载荷谱；
- 增大适当阻尼以降低峰值，但同时会拓宽响应；
- 加 tuned mass damper (TMD)，把单一强峰分裂并让附加质量吸收能量；
- 避免周期性旋转机械的 operating speed 穿越 critical speed，或快速安全地穿越。
图 11：TMD 不是“消灭振动”，而是增加一个耦合自由度并重新分配峰值与耗散路径。
5.3 类比边界
- 集总 RLC 要求元件尺度远小于相关电磁波长；高频下寄生电容、电感和辐射破坏简单模型。
- 结构单模态近似只在目标模态占优且模态间隔足够时可靠；强耦合、非比例阻尼需矩阵模型。
- 共振不是“频率相等就必然破坏”；振幅还受 \(Q\)、驱动力幅值、加载时间、空间 overlap 与非线性限制。
全课整合 / Lesson synthesis
图 12：任何“共振频率”结论都先声明响应变量，再声明 steady state 与线性边界。
公式与决策表 / Formula-and-decision table
| 问题 | 公式 | 条件与解释 |
|---|---|---|
| 稳态位移 | \(X=(F_0/m)/\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2+4\beta^2\omega^2}\) | 线性 LTI、谐波驱动 |
| 相位滞后 | \(\delta=\operatorname{atan2}(2\beta\omega,\omega_0^2-\omega^2)\) | 保留正确象限 |
| 位移峰 | \(\omega_x=\sqrt{\omega_0^2-2\beta^2}\) | 仅 \(\beta<\omega_0/\sqrt2\) |
| 速度/功率峰 | \(\omega_v=\omega_P=\omega_0\) | 对本线性模型精确 |
| 平均功率 | \(\overline P=b\omega^2X^2/2\) | 稳态周期平均 |
| 半高根 | \(\omega_\pm=\sqrt{\omega_0^2+\beta^2}\pm\beta\) | 功率 FWHM |
| 带宽 | \(\Delta\omega=2\beta=b/m\) | 不是半位移振幅宽度 |
| 品质因数 | \(Q=\omega_0/\Delta\omega=m\omega_0/b\) | 单模态线性系统 |
| 完整响应 | \(x=x_h+x_{ss}\) | 初值只进入 \(x_h\) |
| 零阻尼精确共振 | \(x_p=F_0t\sin\omega_0t/(2m\omega_0)\) | 无有限稳态；有限时间理想式 |
模型边界 / Model boundaries
- 线性模型的振幅与 \(F_0\) 成正比；实验出现 amplitude-dependent frequency、hysteresis 或 jump 表明非线性不可忽略。
- 位移峰公式需要内部峰存在；强阻尼时不能把虚数 \(\omega_x\) 当作频率。
- \(\Delta\omega=2\beta\) 是本模型的功率 FWHM 精确式；Lorentzian 对称形状仍是高 \(Q\) 近似。
- 稳态假设要求驱动持续若干 transient lifetimes；短脉冲未必建立峰值振幅。
- 结构破坏取决于应力、疲劳、非线性与载荷时长，不由频率匹配单独决定。
易错概念诊所 / Misconception clinic
| 误解 | 修正与原因 |
|---|---|
| “所有共振都在 \(\omega_0\)。” | 位移峰在 \(\omega_x\)；速度和功率峰才在 \(\omega_0\)。 |
| “自由振动最后锁到 \(\omega_d\)。” | 有持续驱动且 \(b>0\) 时，长时间响应锁到驱动频率 \(\omega\)。 |
| “半功率就是位移振幅减半。” | 半功率对应速度幅值乘 \(1/\sqrt2\)；位移还多一个频率因子。 |
| “\(\arctan\) 计算出的负角就是相位。” | 必须用 \(\operatorname{atan2}\) 选象限，使高频滞后趋近 \(\pi\)。 |
| “零阻尼共振瞬间无穷大。” | 理想解 envelope 随时间线性增长；发散要无限驱动时间。 |
| “高 \(Q\) 总是更好。” | 高 \(Q\) 提升选择性和峰值，也延长 ringdown、增加对失谐和应力的敏感性。 |
| “机械、电路、结构方程相同，所以变量相同。” | 数学同构不改变 \(x\)、\(q\) 与模态坐标的不同物理意义。 |
练习与检索 / Practice and retrieval
- K01 极限： 从 \(X(\omega)\) 推出 \(\omega\to0\) 与 \(\omega\to\infty\) 的主导项，并解释物理。
- K01 相位： 当 \(\omega>\omega_0\) 时，为何只算普通 \(\arctan\) 容易错一个 \(\pi\)？
- K02 推导： 对 \(X^2\) 关于 \(u=\omega^2\) 求导，推出 \(\omega_x\) 及其存在条件。
- K02 数值： \(\omega_0=10.0\ \mathrm{s^{-1}}\)、\(\beta=2.00\ \mathrm{s^{-1}}\)，求 \(\omega_x,\omega_d,\omega_P\) 并排序。
- K02 带宽： 同一系统求 \(\omega_\pm,\Delta\omega,Q\)，并核对 \(\omega_-\omega_+=\omega_0^2\)。
- K03 初值： 为什么 particular solution 通常不能单独满足任意 \(x(0),v(0)\)？
- K03 边界： \(b=0\)、\(\omega=\omega_0\) 时，验证 \(x_p=F_0t\sin\omega_0t/(2m\omega_0)\) 满足方程。
- K04 功率： 证明稳态 \(\overline{Fv}=b\overline{v^2}\)。
- K04 量纲： 说明 \(Q=m\omega_0/b\) 与 \(\omega_0/\Delta\omega\) 都无量纲。
- K05 电学： 串联 RLC 中若 \(R\) 加倍而 \(L,C\) 不变，\(\omega_0\)、带宽和 \(Q\) 如何变？
- K05 结构： 一个周期荷载频率正好等于某结构固有频率，为何该模态仍可能响应很小？
- 综合： \(m=2.00\ \mathrm{kg}\)、\(k=200\ \mathrm{N\,m^{-1}}\)、\(b=8.00\ \mathrm{kg\,s^{-1}}\)、\(F_0=10.0\ \mathrm N\)。求 \(\omega_0,Q,\Delta\omega\)、在 \(\omega_0\) 的 \(X\) 与 \(\overline P\)。
参考答案 / Answers
1. \(\omega\to0\) 时 \(X\to F_0/k\)，是准静态弹簧；\(\omega\to\infty\) 时 \(X\sim F_0/(m\omega^2)\)，惯性主导。
2. 分母实部 \(\omega_0^2-\omega^2<0\)、虚部为正，动态刚度在第二象限；普通反正切只返回主值，必须用 \(\operatorname{atan2}\)。
3. 分母平方写成 \(D(u)=(\omega_0^2-u)^2+4\beta^2u\)；\(D'(u)=2u-2\omega_0^2+4\beta^2=0\)，故 \(u=\omega_0^2-2\beta^2>0\)。
4.
\[\omega_x=\sqrt{92}=9.59,
\quad
\omega_d=\sqrt{96}=9.80,
\quad
\omega_P=10.0\ \mathrm{rad\,s^{-1}}.\]
所以 \(\omega_x<\omega_d<\omega_P\)。
5.
\[\omega_\pm=\sqrt{104}\pm2
=8.20,12.2\ \mathrm{rad\,s^{-1}}.\]
\(\Delta\omega=4.00\ \mathrm{rad\,s^{-1}}\)、\(Q=2.50\)，乘积为 \(100\ \mathrm{s^{-2}}\)。
6. particular solution 的幅值与相位已由外力和系统参数唯一决定；两个任意初值需要齐次解的两个常数。
7. 两次求导代回 \(\ddot x+\omega_0^2x\)，含 \(t\) 的项相消，剩下 \((F_0/m)\cos\omega_0t\)。
8. 将方程乘 \(v\) 并对一周期平均；稳态储能回到原值，故 \(\overline{dE/dt}=0\)。
9. \([m\omega_0/b]=\mathrm{kg\,s^{-1}}/\mathrm{kg\,s^{-1}}=1\)；两个角频率之比也无量纲。
10. \(\omega_0=1/\sqrt{LC}\) 不变；\(\Delta\omega=R/L\) 加倍；\(Q=\omega_0L/R\) 减半。
11. generalized force 是载荷空间分布与 mode shape 的 overlap；若对称性使投影为零或很小，该模态几乎不被激发。
12.
\[\omega_0=10.0\ \mathrm{rad\,s^{-1}},
\quad
Q=\frac{(2.00)(10.0)}{8.00}=2.50,
\quad
\Delta\omega=4.00\ \mathrm{rad\,s^{-1}}.\]
在 \(\omega_0\)，\(X=F_0/(b\omega_0)=0.125\ \mathrm m\)，\(\overline P=F_0^2/(2b)=6.25\ \mathrm W\)。
Exit ticket
- 画一条频率轴，依次标出 \(\omega_x\)、\(\omega_d\)、\(\omega_0\)，并在每个标记下写出它最大化或描述的量与存在条件。
- 某实验报告称“带宽是振幅降到峰值一半时的宽度，因此 \(Q=\omega_0/\Delta\omega\)”。指出缺失的响应变量和正确的半高规范。
参考资料与来源说明 / References and source notes
- MIT OpenCourseWare 8.03SC, The Physics of Waves, Chapter 2: Forced Oscillation and Resonance — complex response、transient/steady state、吸收功率和功率线宽。
- MIT OpenCourseWare 8.03SC, Lecture 3: Driven Oscillators, Transient Phenomena, Resonance — 受迫响应、暂态演示与稳态锁频。
- OpenStax, University Physics Volume 1, §15.6 Forced Oscillations — 基础共振图景、阻尼对峰值与选择性的影响。
- OpenStax, University Physics Volume 2, §15.5 Resonance in an AC Circuit — 串联 RLC 方程、电流共振、平均功率与 FWHM。
- Caltech, The Feynman Lectures on Physics, Vol. I, Ch. 23: Resonance — 复幅值、机械—电学类比与 \(Q\)。
- MIT OpenCourseWare 2.003SC, Steady State Response to Harmonic Excitation by the Method of Modal Analysis — 多自由度结构的模态强迫响应、modal damping 与空间投影。
所有 TikZ 依据本文方程原创绘制，没有复制来源插图。URL 与内容于 2026-08-23 实际核对。OpenStax 的入门图把弱阻尼位移峰近似标在 \(\omega_0\)；本文用微分精确区分 \(\omega_x\) 与 \(\omega_0\)，并把带宽严格定义为功率 FWHM。
Source-to-content map
| Source | Used for | Knowledge ID / Section | Model boundary or convention |
|---|---|---|---|
| MIT 8.03 textbook Ch. 2 | 复响应、相位、transient、吸收功率与线宽 | K01–K04 | MIT 速度项系数 \(\gamma=2\beta\)；本文用 \(e^{i\omega t}\) |
| MIT 8.03 Lecture 3 | steady-state locking 与 transient phenomena | K03 | 线性、持续正弦驱动 |
| OpenStax Vol. 1 §15.6 | HS 直觉、阻尼与峰高/选择性 | K01, K02 | 将“峰在自然频率”视作弱阻尼教学近似 |
| OpenStax Vol. 2 §15.5 | RLC、电流峰、平均功率 FWHM | K02, K04, K05 | 集总串联 RLC；电流对应机械速度 |
| Feynman Vol. I Ch. 23 | dynamic stiffness 与机械—电学映射 | K01, K05 | 集总线性元件 |
| MIT 2.003SC | modal forced response 与多模态边界 | K05 | 单模态缩减需目标模态占优；广义力由载荷对模态的投影决定 |
复习与拓展
- 下一课把单一坐标推广到 \(\mathbf M\ddot{\mathbf x}+\mathbf K\mathbf x=0\)；每个 normal mode 都有自己的响应峰和 forcing overlap。
- Lesson 2.4.2 的弦、管与腔共振将把边界条件量化成离散模态频率。
- 非线性 resonance curve、jump 与 hysteresis 接到 Part I 的 nonlinear dynamics；不要用本课线性峰值公式解释多稳态。