耦合振子与简正模 · Coupled Oscillators and Normal Modes

学习目标 / Learning objectives

完成本课后，你应能：

从每个物体的受力图建立 $\mathbf M\ddot{\mathbf x}+\mathbf K\mathbf x=\mathbf0$ ，检查矩阵对称性、单位与稳定性。
求两质量系统的 normal modes、normal frequencies，并从对称性预判同相/反相模式。
解 generalized eigenproblem，进行 mass normalization，并用模态正交关系投影任意初值。
用相近模态频率的叠加推导 beats 与能量迁移时间尺度，避免把 envelope 当成新固有频率。
从离散最近邻链推导 dispersion relation，并在 $k_w a\ll1$ 和正确参数缩放下取得 wave equation。

先修知识 / Prerequisites

机械振子：弹簧能量与稳定平衡附近线性化。
受迫振动与共振：单自由度二阶方程、频率响应。
矩阵、determinant、eigenvalue/eigenvector、对称矩阵正交性；本课会说明 generalized metric 是 $\mathbf M$ 而非总是 Euclidean dot product。

范围、约定与建模契约 / Scope, conventions, and modeling contract

所有 $$x_j$$ 都从共同实验室惯性系中的稳定平衡位置量起，向右为正；全文使用 SI。
先研究无阻尼、无外力的小振动： $\mathbf M$ 为 symmetric positive definite， $\mathbf K$ 为 symmetric positive semidefinite；若整体平移也受墙弹簧约束，则 $\mathbf K$ positive definite。
normal mode 指所有自由度以同一角频率和固定振幅比运动的集体形状；mode shape 的整体倍数和整体符号没有物理区别。
默认采用 mass normalization： $\mathbf a_r^{\mathsf T}\mathbf M\mathbf a_s=\delta_{rs}$ 。若只画形状，会另外使用方便的无量纲比例向量。
连续极限不是简单令格距 $$a=0$$ ；要保持线密度 $\mu=m/a$ 与张力样参数 $T=\kappa a$ 有限，并要求场在一个格距上缓慢变化，即 $k_w a\ll1$ 。

图 1：两个坐标通过中间弹簧耦合；改变 $$x_1$$ 会改变作用在第二个质量上的力。

符号表 / Notation

符号	定义	SI 单位
$\mathbf x$	physical-coordinate column vector	m
$\mathbf M$	mass matrix	kg
$\mathbf K$	stiffness matrix	$\mathrm{N\,m^{-1}}$
$\mathbf a_r$	第 $$r$$ 个 mode shape	mass-normalized 时 $\mathrm{kg^{-1/2}}$
$\omega_r$	第 $$r$$ 个 normal angular frequency	$\mathrm{rad\,s^{-1}}$
$$q_r$$	mass-normalized normal coordinate	$\mathrm{kg^{1/2}m}$
$\mathbf A$	以 $\mathbf a_r$ 为列的 modal matrix	依 normalization
$\kappa$	最近邻 coupling stiffness	$\mathrm{N\,m^{-1}}$
$$a$$	平衡格距	m
$$k_w$$	angular wave number；为避免与劲度 $$k$$ 混淆	$\mathrm{rad\,m^{-1}}$
$\mu=m/a$	连续极限线密度	$\mathrm{kg\,m^{-1}}$
$T=\kappa a$	连续极限张力样参数	N

Knowledge 1 — Equations for coupled degrees of freedom / 耦合自由度方程

Knowledge ID: P02-U02-L03-K01

1.1 分别受力，再组装矩阵

对图 1 中每个质量块写牛顿第二定律。中间弹簧伸长为 $$x_2-x_1$$ ，故

$m\ddot x_1=-kx_1+\kappa(x_2-x_1),$

$m\ddot x_2=-kx_2-\kappa(x_2-x_1).$

整理为

$\boxed{ \mathbf M\ddot{\mathbf x}+\mathbf K\mathbf x=\mathbf0 },$

$\mathbf M=m \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, \qquad \mathbf K= \begin{pmatrix} k+\kappa&-\kappa\\ -\kappa&k+\kappa \end{pmatrix}.$

off-diagonal 元素的负号来自相对位移。 $\mathbf K$ 对称体现 conservative reciprocal coupling；若随意只在一个方程中加入 coupling，会破坏第三定律和势能的可积性。

Coupled Oscillators and Normal Modes — 1.1 分别受力，再组装矩阵（图 2） — 图 21.1 分别受力，再组装矩阵

图 2：coupling force 的符号由相对伸长决定；第三定律的反作用力应画在另一个物体的 FBD 上。

1.2 能量给出独立矩阵检查

动能与势能为

$K_{\rm kin}=\frac12\dot{\mathbf x}^{\mathsf T}\mathbf M\dot{\mathbf x},$

$U=\frac12\mathbf x^{\mathsf T}\mathbf K\mathbf x =\frac12kx_1^2+\frac12kx_2^2+\frac12\kappa(x_2-x_1)^2.$

对 $$U$$ 求 gradient 得 $\mathbf K\mathbf x$ ；这是检查 diagonal 与 off-diagonal 系数最可靠的方法之一。只要 $k>0,\kappa\ge0$ ， $$U>0$$ 对所有非零 $\mathbf x$ 成立，平衡稳定。

Coupled Oscillators and Normal Modes — 1.2 能量给出独立矩阵检查（图 3） — 图 31.2 能量给出独立矩阵检查

图 3：从相对伸长到势能再到力，构成 coupling 符号的闭环审计。

Knowledge 2 — Normal modes and normal frequencies / 简正模与简正频率

Knowledge ID: P02-U02-L03-K02

2.1 固定形状的 collective motion

设

$\mathbf x(t)=\mathbf a\cos(\omega t-\phi).$

若这是 normal mode，所有分量共享 $\omega$ 与 $\phi$ ，而振幅比由 $\mathbf a$ 固定。对于对称两质量系统，reflection symmetry 立刻给出两个形状：

$\mathbf a_s\propto \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}, \qquad \omega_s=\sqrt{\frac{k}{m}},$

$\mathbf a_a\propto \begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}, \qquad \omega_a=\sqrt{\frac{k+2\kappa}{m}}.$

同相 mode 中 coupling spring 不伸长，所以频率与 $\kappa$ 无关；反相 mode 中相对伸长是单个振幅的两倍，频率升高。

Coupled Oscillators and Normal Modes — 2.1 固定形状的 collective motion（图 4） — 图 42.1 固定形状的 collective motion

图 4：同相 mode 的两个质量以同方向、同幅度运动。箭长按相同 modal ratio 绘制。

Coupled Oscillators and Normal Modes — 2.1 固定形状的 collective motion（图 5） — 图 52.1 固定形状的 collective motion

图 5：反相 mode 的固定振幅比为 $$1:-1$$ ，coupling stiffness 提高该 mode 的频率。

2.2 一般运动是 modes 的叠加

若系统有 $$N$$ 个稳定自由度并有完整模态基，则

$\boxed{ \mathbf x(t)= \sum_{r=1}^{N} \mathbf a_r \left(B_r\cos\omega_rt+C_r\sin\omega_rt\right) }.$

单个 normal mode 是纯正弦；一般物理坐标通常同时含多个频率。看到 $$x_1(t)$$ 不再是单一正弦，不表示方程非线性。

Worked Example 1 — 两质量的 normal modes 与数值频率

图 1 系统取 $m=0.500\ \mathrm{kg}$ 、 $k=18.0\ \mathrm{N\,m^{-1}}$ 、 $\kappa=4.50\ \mathrm{N\,m^{-1}}$ 。

系统与坐标： 两质量及三根弹簧； $$x_1,x_2$$ 从稳定平衡向右。
模型： 小振幅、无阻尼、相同质量和端弹簧，故可用 reflection symmetry。

同相频率

$\omega_s=\sqrt{\frac{18.0}{0.500}} =6.00\ \mathrm{rad\,s^{-1}}.$

反相频率

$\omega_a=\sqrt{\frac{18.0+2(4.50)}{0.500}} =7.35\ \mathrm{rad\,s^{-1}}.$

方便画形状的 eigenvectors 可取 $(1,1)^{\mathsf T}$ 与 $(1,-1)^{\mathsf T}$ 。若采用 mass normalization，

$\mathbf a_s=\frac1{\sqrt{2m}} \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}, \qquad \mathbf a_a=\frac1{\sqrt{2m}} \begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}.$

检查： $\kappa\to0$ 时两频率都趋于 $\sqrt{k/m}$ ，出现 degeneracy； $\kappa>0$ 只提高反相 mode，符合 coupling spring 的能量图景。

Knowledge 3 — Eigenvalue formulation / 本征值表述

Knowledge ID: P02-U02-L03-K03

3.1 Generalized eigenproblem

把 $\mathbf x=\mathbf a e^{i\omega t}$ 代入矩阵方程：

$\boxed{ \mathbf K\mathbf a=\omega^2\mathbf M\mathbf a }.$

非零解存在要求

$\boxed{\det(\mathbf K-\omega^2\mathbf M)=0}.$

eigenvalue 是 $\omega^2$ 而不是 $\omega$ 。若出现 $\omega^2<0$ ，则 $\omega$ 为纯虚数，线性解指数增长，说明展开点不是稳定平衡；不应把负值开方后称作“负频率”。

Coupled Oscillators and Normal Modes — 3.1 Generalized eigenproblem（图 6） — 图 63.1 Generalized eigenproblem

图 6：先由 determinant 求允许的 $\omega^2$ ，再回代求每个 null-space direction；顺序不能反过来猜全部模式。

3.2 Orthogonality 与 normalization

对不同 eigenvalues 的 modes，利用 $\mathbf M,\mathbf K$ 对称可得

$(\omega_s^2-\omega_r^2) \mathbf a_r^{\mathsf T}\mathbf M\mathbf a_s=0.$

所以 $r\ne s$ 且 $\omega_r\ne\omega_s$ 时

$\mathbf a_r^{\mathsf T}\mathbf M\mathbf a_s=0.$

选择 mass normalization 后

$\boxed{ \mathbf A^{\mathsf T}\mathbf M\mathbf A=\mathbf I, \qquad \mathbf A^{\mathsf T}\mathbf K\mathbf A =\operatorname{diag}(\omega_1^2,\ldots,\omega_N^2) }.$

若 $\mathbf x=\mathbf A\mathbf q$ ，则

$\boxed{\ddot q_r+\omega_r^2q_r=0}, \qquad \boxed{\mathbf q=\mathbf A^{\mathsf T}\mathbf M\mathbf x}.$

degenerate eigenspace 内 eigenvectors 不唯一，但可以在 $\mathbf M$ -inner product 下选成正交基。直接用 Euclidean normalization $\mathbf a^{\mathsf T}\mathbf a=1$ 并非错误，但投影公式必须随之修改。

Coupled Oscillators and Normal Modes — 3.2 Orthogonality 与 normalization（图 7） — 图 73.2 Orthogonality 与 normalization

图 7：模态坐标是对物理状态的 metric-aware projection；一般 mass matrix 下不能只凭纸面直角投影。

3.3 能量完全解耦

在 mass-normalized coordinates 中

$E=\frac12\dot{\mathbf q}^{\mathsf T}\dot{\mathbf q} +\frac12\mathbf q^{\mathsf T}\boldsymbol\Omega^2\mathbf q =\sum_r\left(\frac12\dot q_r^2+\frac12\omega_r^2q_r^2\right).$

无阻尼线性系统中每个 modal energy 独立守恒；物理质量之间看似“能量传递”，是多个固定 modal-energy contributions 在 physical coordinates 中发生干涉。

Worked Example 2 — Mass-normalized projection of initial data

取 $m=2.00\ \mathrm{kg}$ 、 $k=50.0\ \mathrm{N\,m^{-1}}$ 、 $\kappa=10.0\ \mathrm{N\,m^{-1}}$ ，初值

$\mathbf x(0)= \begin{pmatrix}0.0300\\-0.0100\end{pmatrix}\mathrm m, \qquad \dot{\mathbf x}(0)= \begin{pmatrix}0.200\\0\end{pmatrix}\mathrm{m\,s^{-1}}.$

系统与 normalization： $\mathbf M=2\mathbf I\ \mathrm{kg}$ ；取

$\mathbf a_s=\frac12 \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\mathrm{kg^{-1/2}}, \qquad \mathbf a_a=\frac12 \begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\mathrm{kg^{-1/2}}.$

两者满足 $\mathbf a_r^{\mathsf T}\mathbf M\mathbf a_s=\delta_{rs}$ 。频率为

$\omega_s=5.00\ \mathrm{rad\,s^{-1}}, \qquad \omega_a=\sqrt{35.0}=5.92\ \mathrm{rad\,s^{-1}}.$

投影初值：

$q_s(0)=\mathbf a_s^{\mathsf T}\mathbf M\mathbf x(0) =0.0200\ \mathrm{kg^{1/2}m},$

$q_a(0)=0.0400\ \mathrm{kg^{1/2}m},$

$\dot q_s(0)=\dot q_a(0)=0.200\ \mathrm{kg^{1/2}m\,s^{-1}}.$

因此

$q_s(t)=0.0200\cos5.00t+0.0400\sin5.00t,$

$q_a(t)=0.0400\cos5.92t+0.0338\sin5.92t,$

相应单位均为 $\mathrm{kg^{1/2}m}$ ，最后由 $\mathbf x=\mathbf A\mathbf q$ 重建。
检查： $\mathbf A\mathbf q(0)$ 与 $\mathbf A\dot{\mathbf q}(0)$ 分别精确返回原初值；这比仅检查 eigenvalue 更重要。

Knowledge 4 — Energy exchange and beats / 能量交换与拍

Knowledge ID: P02-U02-L03-K04

4.1 局域初值必然激发两个 modes

对相同两质量，若 $$x_1(0)=A$$ 、 $$x_2(0)=0$$ 且两者初速度为零，则同相和反相 mode 的系数相等：

$x_1(t)=\frac A2\left(\cos\omega_st+\cos\omega_at\right),$

$x_2(t)=\frac A2\left(\cos\omega_st-\cos\omega_at\right).$

令

$\overline\omega=\frac{\omega_a+\omega_s}{2}, \qquad \Delta\omega=\omega_a-\omega_s>0,$

则

$\boxed{x_1=A\cos(\overline\omega t)\cos\frac{\Delta\omega t}{2}},$

$\boxed{x_2=A\sin(\overline\omega t)\sin\frac{\Delta\omega t}{2}}.$

envelopes 在时间尺度 $\pi/\Delta\omega$ 上交换；完整 envelope 重复周期为 $2\pi/\Delta\omega$ 。 $\Delta\omega$ 是两个 normal frequencies 的差，不是第三个 normal mode。

Coupled Oscillators and Normal Modes — 4.1 局域初值必然激发两个 modes（图 8） — 图 84.1 局域初值必然激发两个 modes

图 8：第一个质量的 fast oscillation 被 slow beat envelope 调制；曲线为方程的教学采样。

Coupled Oscillators and Normal Modes — 4.1 局域初值必然激发两个 modes（图 9） — 图 94.1 局域初值必然激发两个 modes

图 9：弱耦合 envelope 语言中的能量迁移；精确瞬时能量还包括 coupling spring energy，图为 schematic。

Worked Example 3 — 计算 beats 的迁移时间尺度

取 $m=0.500\ \mathrm{kg}$ 、 $k=18.0\ \mathrm{N\,m^{-1}}$ 、弱 coupling $\kappa=0.900\ \mathrm{N\,m^{-1}}$ ，初始只把质量 1 拉开 $A=0.0400\ \mathrm m$ 后静止释放。

系统与初值： 整个双质量保守系统； $x_1=A,x_2=0,\dot x_1=\dot x_2=0$ 。
模型： 线性、小振幅、无阻尼。

$\omega_s=\sqrt{18.0/0.500}=6.000\ \mathrm{rad\,s^{-1}},$

$\omega_a=\sqrt{\frac{18.0+2(0.900)}{0.500}} =6.293\ \mathrm{rad\,s^{-1}}.$

频差 $\Delta\omega=0.293\ \mathrm{rad\,s^{-1}}$ 。质量 2 的 envelope 首次最大约在

$t_{\rm transfer}=\frac\pi{\Delta\omega} =10.7\ \mathrm s.$

完整 beat envelope 重复时间

$T_{\rm beat}=\frac{2\pi}{\Delta\omega}=21.4\ \mathrm s.$

检查： coupling $\kappa\to0$ 时 $\Delta\omega\to0$ ，迁移时间发散，符合两个互不交换能量的独立振子极限。 $10.7\ \mathrm s$ 是 envelope 最大时间，不保证某个采样瞬间全部能量都只在质量 2；coupling spring 也可储能。

Knowledge 5 — Continuum limit of oscillator chains / 振子链的连续极限

Knowledge ID: P02-U02-L03-K05

5.1 从最近邻差分到 dispersion relation

对无限均匀链，质量 $$m$$ 、格距 $$a$$ 、最近邻劲度 $\kappa$ ：

$m\ddot y_n=\kappa(y_{n+1}-2y_n+y_{n-1}).$

用 Bloch/plane-wave ansatz

$y_n=Ae^{i(nk_wa-\omega t)}$

得到

$\boxed{ \omega^2(k_w)=\frac{4\kappa}{m} \sin^2\left(\frac{k_wa}{2}\right) }.$

这条离散 dispersion relation 只需考虑第一 Brillouin zone $-\pi/a\le k_w\le\pi/a$ ； $$k_w$$ 与 $k_w+2\pi/a$ 在格点上给出同一相位模式。

Coupled Oscillators and Normal Modes — 5.1 从最近邻差分到 dispersion relation（图 10） — 图 105.1 从最近邻差分到 dispersion relation

图 10：局域最近邻耦合与离散平移对称性使 normal modes 成为空间正弦/复指数。

Coupled Oscillators and Normal Modes — 5.1 从最近邻差分到 dispersion relation（图 11） — 图 115.1 从最近邻差分到 dispersion relation

图 11：离散链在 zone edge 的频率有限；连续 wave equation 只对应原点附近的线性切线。

5.2 Taylor expansion 与正确的连续参数

令 $$y_n(t)=y(x=na,t)$$ 且场在格距上平滑：

$y(x\pm a,t) =y\pm a\frac{\partial y}{\partial x} +\frac{a^2}{2}\frac{\partial^2y}{\partial x^2} +O(a^3).$

所以

$y_{n+1}-2y_n+y_{n-1} =a^2\frac{\partial^2y}{\partial x^2}+O(a^4).$

离散方程成为

$\frac{\partial^2y}{\partial t^2} =\frac{\kappa a^2}{m}\frac{\partial^2y}{\partial x^2}.$

取 $\mu=m/a$ 、 $T=\kappa a$ 固定，得到

$\boxed{ \frac{\partial^2y}{\partial t^2} =c^2\frac{\partial^2y}{\partial x^2}, \qquad c=\sqrt{\frac T\mu} =a\sqrt{\frac\kappa m} }.$

Coupled Oscillators and Normal Modes — 5.2 Taylor expansion 与正确的连续参数（图 12） — 图 125.2 Taylor expansion 与正确的连续参数

图 12：连续场是对格点位移的平滑插值；二阶中心差分近似曲率，前提是相邻点变化小。

Worked Example 4 — 连续波速与格点修正

链参数 $a=0.0200\ \mathrm m$ 、每个珠子 $m=0.00400\ \mathrm{kg}$ 、最近邻等效劲度 $\kappa=500\ \mathrm{N\,m^{-1}}$ 。考察波长 $\lambda=0.400\ \mathrm m$ 的 mode。

系统与极限参数： 均匀最近邻链； $\mu=m/a=0.200\ \mathrm{kg\,m^{-1}}$ ， $T=\kappa a=10.0\ \mathrm N$ 。

连续极限波速

$c=\sqrt{\frac{10.0}{0.200}} =7.07\ \mathrm{m\,s^{-1}}.$

该 mode 的

$k_wa=\frac{2\pi a}{\lambda} =0.314.$

离散链相速度与连续值之比为

$\frac{v_{\rm ph,lattice}}{c} =\frac{\sin(k_wa/2)}{k_wa/2} =\frac{\sin0.1571}{0.1571} =0.9959.$

所以格点使相速度低约 $0.411\%$ 。
检查： $k_wa=0.314\ll1$ 尚可，修正小；若波长接近 $$2a$$ ，连续近似会严重失败。 $$c$$ 的单位 $\sqrt{\mathrm{N}/(\mathrm{kg\,m^{-1}})}=\mathrm{m\,s^{-1}}$ 。

全课整合 / Lesson synthesis

图 13：modal analysis 的闭环；求得 eigenpairs 后仍须用初值重建、能量与极限复核。

公式与决策表 / Formula-and-decision table

任务	公式	条件与限制
组装方程	$\mathbf M\ddot{\mathbf x}+\mathbf K\mathbf x=0$	小振动、无阻尼保守 coupling
求频率	$\det(\mathbf K-\omega^2\mathbf M)=0$	eigenvalue 是 $\omega^2$
求形状	$(\mathbf K-\omega_r^2\mathbf M)\mathbf a_r=0$	整体比例/符号任意
Mass normalization	$\mathbf a_r^{\mathsf T}\mathbf M\mathbf a_s=\delta_{rs}$	$\mathbf M$ positive definite
初值投影	$\mathbf q=\mathbf A^{\mathsf T}\mathbf M\mathbf x$	已 mass-normalize
模态方程	$\ddot q_r+\omega_r^2q_r=0$	modes complete
Beat timescale	$t_{\rm transfer}\simeq\pi/\lvert\omega_2-\omega_1\rvert$	两相近 modes、局域初值的 envelope
链 dispersion	$\omega^2=4\kappa\sin^2(k_wa/2)/m$	无限均匀最近邻链
连续极限	$y_{tt}=c^2y_{xx}$ ， $c=a\sqrt{\kappa/m}$	$k_wa\ll1$ 且 $\mu,T$ 有限

模型边界 / Model boundaries

线性 normal modes 依赖小振幅线性化；大振幅下 modal frequencies 与 shapes 可随振幅变化。
symmetric $\mathbf M,\mathbf K$ 产生实 $\omega^2$ 与 $\mathbf M$ -orthogonality；nonconservative、gyroscopic 或 nonreciprocal coupling 需要更一般的左右 eigenvectors。
若加入一般 damping matrix $\mathbf C$ ，只有 classical/proportional damping 等特殊情形能用同一实模态基完全解耦。
beats 是线性叠加；“能量全部转移”在弱耦合 envelope 层面最清楚，精确瞬时账本还包括 coupling energy。
连续极限要求 $\lambda\gg a$ 与正确参数缩放；zone-edge modes 永远保留 lattice physics。

易错概念诊所 / Misconception clinic

误解	修正与原因
“每个物体对应一个 normal mode。”	mode 是所有自由度共同运动的形状；数目通常等于独立自由度数。
“eigenvalue 是 $\omega$ 。”	generalized eigenvalue 是 $\omega^2$ ；稳定系统取非负平方根。
“eigenvector 的绝对大小有物理意义。”	只有分量比定义 shape；整体大小由 modal coordinate 决定。
“对称矩阵 eigenvectors 一定普通点积正交。”	generalized problem 的自然正交度量是 $\mathbf M$ ；相同质量时才常与 Euclidean 正交重合。
“beats 表示存在差频 normal mode。”	差频只控制 envelope；真正 normal frequencies 仍是 $\omega_s,\omega_a$ 。
“物体间能量交换意味着 modal energies 改变。”	无阻尼线性系统中 modal energies 固定；physical-coordinate energy 由干涉重分配。
“令 $a\to0$ 就自动得到有限波速。”	必须同时保持 $$m/a$$ 与 $\kappa a$ 有限，否则 $$c$$ 可趋零或发散。

练习与检索 / Practice and retrieval

K01 组装： 从 $U=(k/2)(x_1^2+x_2^2)+(\kappa/2)(x_2-x_1)^2$ 求 $\mathbf K$ 。
K01 对称性： 为什么 conservative reciprocal spring coupling 给 $K_{12}=K_{21}$ ？
K02 模态： 对没有端弹簧的两个相同质量、只有中间 coupling spring，求两个频率并解释零频 mode。
K02 极限： 在图 1 系统中令 $\kappa\to0$ ，频率和 eigenvectors 发生什么？
K03 推导： 从两个 generalized eigen-equations 推出不同频率 modes 的 $\mathbf M$ -orthogonality。
K03 normalization： 若 $\mathbf M=\operatorname{diag}(m,2m)$ ，向量 $(1,1)^{\mathsf T}$ 的 mass-normalization factor 是多少？
K03 投影： 已有 $\mathbf A^{\mathsf T}\mathbf M\mathbf A=\mathbf I$ ，证明 $\mathbf A^{-1}=\mathbf A^{\mathsf T}\mathbf M$ 。
K04 beats： $f_1=10.0\ \mathrm{Hz}$ 、 $f_2=10.4\ \mathrm{Hz}$ ，求 beat envelope repeat frequency 与相邻“能量转移”时间。
K04 概念： 为什么两个相近频率的线性叠加仍不产生新的 spectral line at $$f_2-f_1$$ ？
K05 dispersion： 从 plane-wave ansatz 推导 $\omega^2=4\kappa\sin^2(k_wa/2)/m$ 。
K05 连续极限： 展开 $\sin(k_wa/2)$ 至三阶，求相速度相对 $$c$$ 的 leading fractional correction。
综合： $m=1.00\ \mathrm{kg}$ 、 $k=9.00\ \mathrm{N\,m^{-1}}$ 、 $\kappa=3.50\ \mathrm{N\,m^{-1}}$ 。求两频率；若 $x_1(0)=0.0200\ \mathrm m,x_2(0)=0$ 且静止释放，写出 $$x_1(t),x_2(t)$$ 。

参考答案 / Answers

1. $\frac{\partial U}{\partial\mathbf x} =\begin{pmatrix}k+\kappa&-\kappa\\-\kappa&k+\kappa\end{pmatrix}\mathbf x,$ 故得到正文 $\mathbf K$ 。
2. 同一势能的混合二阶偏导满足 $K_{12}=\partial^2U/(\partial x_1\partial x_2)=K_{21}$ ；也对应一对相等反向的 internal forces。
3. 同相整体平移不伸长弹簧， $\omega_s=0$ ；反相 mode 的 $\omega_a=\sqrt{2\kappa/m}$ 。零频表示自由刚体平移，不是不稳定。
4. 两频率都趋于 $\sqrt{k/m}$ ，出现 degeneracy；degenerate subspace 中任何线性组合都是 mode， $(1,\pm1)$ 只是方便的正交选择。
5. 左乘得到 $\mathbf a_r^{\mathsf T}\mathbf K\mathbf a_s=\omega_s^2\mathbf a_r^{\mathsf T}\mathbf M\mathbf a_s$ ；交换 $$r,s$$ 并用矩阵对称性相减，得 $(\omega_s^2-\omega_r^2)\mathbf a_r^{\mathsf T}\mathbf M\mathbf a_s=0$ 。
6. 设 $\mathbf a=c(1,1)^{\mathsf T}$ ，则 $\mathbf a^{\mathsf T}\mathbf M\mathbf a=3mc^2=1$ ，故 $c=1/\sqrt{3m}$ 。
7. $\mathbf A^{\mathsf T}\mathbf M\mathbf A=\mathbf I$ 右乘 $\mathbf A^{-1}$ ，即 $\mathbf A^{\mathsf T}\mathbf M=\mathbf A^{-1}$ 。
8. $f_{\rm beat}=\lvert f_2-f_1\rvert=0.400\ \mathrm{Hz}$ ，envelope repeat time $2.50\ \mathrm s$ ；相邻由一个振子主导到另一个主导约 $1/(2\Delta f)=1.25\ \mathrm s$ 。
9. Fourier spectrum 仍只有 $$f_1,f_2$$ ；差频出现在 amplitude envelope 或平方探测量中，是代数重写/非线性测量的结果。
10. 代入后 $-m\omega^2=\kappa(e^{ik_wa}-2+e^{-ik_wa})=-4\kappa\sin^2(k_wa/2)$ 。
11. $\frac{v_{\rm ph}}c =\frac{\sin(k_wa/2)}{k_wa/2} \simeq1-\frac{(k_wa)^2}{24},$ leading fractional correction 为 $$-(k_wa)^2/24$$ 。
12. $\omega_s=3.00\ \mathrm{rad\,s^{-1}}, \qquad \omega_a=\sqrt{16.0}=4.00\ \mathrm{rad\,s^{-1}}.$ 因初值等量激发两 modes， $x_1=0.0100(\cos3t+\cos4t)\ \mathrm m,$ $x_2=0.0100(\cos3t-\cos4t)\ \mathrm m.$

Exit ticket

给出一个 $2\times2$ 的 $\mathbf M,\mathbf K$ ，完整写出从 determinant 到 mass-normalized modes，再到任意初值投影的四步流程。
用“差分—dispersion—Taylor expansion—parameter scaling”四个关键词解释为何振子链的长波极限是 wave equation，但短波端不是。

参考资料与来源说明 / References and source notes

MIT OpenCourseWare 8.03SC, Lecture 4: Coupled Oscillators, Normal Modes — 两自由度受力、矩阵方程、normal modes。
MIT OpenCourseWare 8.03SC, The Physics of Waves, Chapter 3: Normal Modes — generalized eigenproblem、完整性、mass orthogonality、初值投影与 driven coupled systems。
MIT OpenCourseWare 8.03SC, Lecture 5: Beat Phenomena — 两模式叠加、beats 与能量迁移演示。
MIT OpenCourseWare 8.03SC, The Physics of Waves, Chapter 5: Waves — 平移对称、最近邻链、 $$k$$ 与 dispersion relation。
MIT OpenCourseWare 8.03SC, Lecture 8: Translation Symmetry — 从无限耦合系统到连续 wave equation。
University of Florida, Computational Methods for Physics: Coupled Oscillators — 数值 eigenvectors、normalization 与 modal reconstruction 的独立核对。

所有 TikZ 均从本文方程原创绘制，没有复制来源图像。URL 与内容于 2026-08-23 实际核对。来源有的把 angular wave number 写作 $$k$$ ；本文用 $$k_w$$ ，避免与端弹簧劲度 $$k$$ 冲突。

Source-to-content map

Source	Used for	Knowledge ID / Section	Model boundary or convention
MIT 8.03 Lecture 4	两质量 equations、mode shapes	K01, K02	线性、无阻尼、小振动
MIT textbook Ch. 3	generalized eigenproblem、orthogonality、projection	K02, K03	$\mathbf M$ positive definite， $\mathbf K$ symmetric
MIT 8.03 Lecture 5	beat envelope 与两模式叠加	K04	线性叠加；能量图景以弱 coupling 最清楚
MIT textbook Ch. 5	translation symmetry、离散 modes、dispersion	K05	均匀最近邻链
MIT 8.03 Lecture 8	continuum limit 与 wave equation	K05	$k_w a\ll1$ 且参数正确缩放
University of Florida notes	modal numerics 与 eigenvector interpretation	K03	对称矩阵时正交；一般情形需左右基

复习与拓展

下一课 Wave Description 将把 $$y_n(t)$$ 的长波极限写成 traveling-wave functions，并定义 wavelength、phase 与 wave speed。
Lesson 2.3.2 将从连续介质受力独立推导 wave equation，反向验证本课的 lattice continuum limit。
后续 standing waves 是有限边界选择出的 normal modes；“驻波”和“简正模”是同一数学结构在连续系统中的语言。