叠加与干涉

Learning objectives / 学习目标

完成本课后，你应当能够：

1. 用线性算符说明叠加原理，并判断何时非线性会使叠加失效。
2. 由相量或三角恒等式求两列同频波的合振幅与相位。
3. 把路径差、初相差、相位差、振幅和强度严格联系起来。
4. 用复相干度与条纹可见度定量描述有限相干性。
5. 推导拍频及标准调幅的时域表达和频域边带。
6. 在计算中区分有符号包络、实际振幅包络、场振幅与时间平均强度。

Prerequisites / 先修知识

• 行波、相位与波数。
• 线性波动方程与边界条件。
• 强度与阻抗。
• 三角恒等式、复数相量、时间平均与基本统计平均。

Scope and conventions / 范围与约定

• 使用 SI；一维传播坐标取 \(+x\)，观察点固定时只讨论时间变化。
• 标量 \(u\) 可代表弦位移、声压的一个分量或某一固定偏振的电场分量；不同物理波的能量系数并不相同。
• 除非特别说明，两波位于同一线性介质、同一模式和同一偏振，且具有相同阻抗；这正是把振幅公式直接换成强度公式的条件。
• “完全相消”是局部的振幅陈述，不等于能量在整个空间消失；能量可重新分配，或返回波源。
• 本课不讨论衍射积分、非线性混频和量子单光子干涉，它们分别在后续光学、非线性波与量子课程展开。

Notation and modeling contract / 符号与建模契约

Knowledge 1 — Superposition in linear systems / 线性系统中的叠加

Knowledge ID: P02-U04-L01-K01

1.1 线性不是“波天然具有”的标签

若控制方程可写为线性算符方程

\[\mathcal L[u]=s,\]

且 \(\mathcal L[a u_1+b u_2]=a\mathcal L[u_1]+b\mathcal L[u_2]\)，那么 \(u_1,u_2\) 分别对应源 \(s_1,s_2\) 时，

\[u=a u_1+b u_2\]

对应源 \(s=a s_1+b s_2\)。无源情形 \(s=0\) 下，任意线性组合仍是解。这就是叠加原理（principle of superposition）。

对理想弦的小横向位移，

\[\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} =v^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\]

是线性的；若振幅大到几何张力显著随位移变化，方程会出现乘积或高次项，简单相加不再给出精确解。

图 1：相遇前可分别标记两列脉冲；箭头是传播方向，不是介质质点轨迹。

1.2 相加的是同一个物理自由度

同一点、同一时刻的总扰动是

\[u(x,t)=\sum_j u_j(x,t).\]

不能把不同物理量直接相加，例如电场与磁场不能相加，互相正交的位移分量应先作矢量相加。波穿过后“恢复原状”不是它们互不作用，而是线性演化不会永久改变各分量。

图 2：重叠区逐点代数相加；此例一正一负，合扰动较小。

Worked Example 1 — 两个三角脉冲重叠

已知： 同一弦上 \(u_1=3.0\ \mathrm{mm}\)、\(u_2=-1.8\ \mathrm{mm}\) 在某点某时刻重叠；两脉冲形状此后继续传播。
研究对象与边界： 该弦质点的横向位移；系统只取小振幅弦模型。
参考系与坐标： 实验室惯性系，向上位移为正。
模型理由： 位移远小于波长，张力变化可忽略，采用线性叠加。

\[u=u_1+u_2=(3.0-1.8)\ \mathrm{mm}=1.2\ \mathrm{mm}.\]

若相同脉冲相遇前的局部斜率分别为 \(+0.020\) 与 \(-0.012\)，合斜率也是 \(+0.008\)。结果保留两位有效数字。单位仍为 mm；正号表示向上。极限检查：若 \(u_2=-u_1\)，合位移应为零，公式满足。这个零只发生在重叠的时空区域，脉冲离开后仍各自继续传播。

Knowledge 2 — Constructive and destructive interference / 相长与相消干涉

Knowledge ID: P02-U04-L01-K02

2.1 同频相量相加

固定观察点处取

\[u_1=A_1\cos(\omega t+\phi_1), \qquad u_2=A_2\cos(\omega t+\phi_2).\]

令 \(\delta=\phi_2-\phi_1\)。相量和给出合振幅

\[\boxed{A_R=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos\delta}}.\]

相长干涉对应 \(\delta=2n\pi\)，\(A_R=A_1+A_2\)；相消最强对应 \(\delta=(2n+1)\pi\)，\(A_R=\lvert A_1-A_2\rvert\)。只有 \(A_1=A_2\) 时才能完全相消。

图 3：相量平行四边形直接给出余弦定理；相量转动不代表介质质点沿圆周运动。

2.2 从场振幅到强度

同一阻抗、同一偏振并取时间平均时，\(I\propto A^2\)，故

\[\boxed{I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}\cos\delta}.\]

等强度 \(I_1=I_2=I_0\) 时，\(I=4I_0\cos^2(\delta/2)\)。这说明相长点的强度可达单束的四倍，而不是两倍；空间平均仍须服从能量守恒。

图 4：等强度相干波的归一化强度；\(\delta=\pi\) 是局部零点。

2.3 路径差不是完整相位差

两源到观察点路径分别为 \(r_1,r_2\)，则

\[\delta=k\Delta r+\delta_0, \qquad \Delta r=r_2-r_1,\]

其中 \(\delta_0\) 是源的初相差，还可能需要加入反射相变或器件相移。只写 \(\delta=k\Delta r\) 等价于额外假设两源同相且传播过程无其他相移。

图 5：路径差只贡献传播相位；源相位和边界相位必须另行记账。

Worked Example 2 — 不等强度两波的条纹极值

已知： 两同频、同偏振平面波在同一介质叠加，\(I_1=4.00\ \mathrm{W,m^{-2}}\)，\(I_2=1.00\ \mathrm{W,m^{-2}}\)。
研究对象与边界： 接收面单位面积上的时间平均能流；不把波源纳入系统。
参考系与坐标： 接收器静止，\(+x\) 沿传播方向。
模型理由： 两波阻抗相同且相位稳定，强度干涉式适用。

\[I_{\max}=(\sqrt{I_1}+\sqrt{I_2})^2=(2.00+1.00)^2=9.00\ \mathrm{W,m^{-2}},\]

\[I_{\min}=(\sqrt{I_1}-\sqrt{I_2})^2=(2.00-1.00)^2=1.00\ \mathrm{W,m^{-2}}.\]

三位有效数字。单位和方向检查：强度非负并沿传播方向；\(I_{\min}\ne0\)，因为振幅不等。若 \(I_2\to0\)，两极值都趋于 \(I_1\)，极限正确。物理上，相消不能用较小振幅抵消较大振幅的全部场。

Knowledge 3 — Coherent sources and phase stability / 相干源与相位稳定性

Knowledge ID: P02-U04-L01-K03

3.1 相干性是测量时间尺度上的相位统计

两个源相干（coherent），意指其频率相同或具有稳定关系，且相对相位在测量积分时间内足够稳定。设复解析信号为 \(U_1,U_2\)，归一化复相干度定义为

\[\gamma_{12}=\frac{\langle U_1^*U_2\rangle} {\sqrt{\langle\lvert U_1\rvert^2\rangle\langle\lvert U_2\rvert^2\rangle}}, \qquad 0\le\lvert\gamma_{12}\rvert\le1.\]

平均强度为

\[I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}\operatorname{Re}\gamma_{12}.\]

若相位在 \(0\) 到 \(2\pi\) 上快速、均匀漂移，\(\langle e^{i\delta}\rangle=0\)，干涉交叉项消失，但各自强度仍在。

图 6：相干性不是“波长相同”本身，而是相对相位的统计稳定性。

3.2 条纹可见度

扫描一个可控相位，定义

\[\mathcal V=\frac{I_{\max}-I_{\min}}{I_{\max}+I_{\min}}.\]

在准单色、同偏振条件下，

\[\boxed{\mathcal V=\frac{2\sqrt{I_1I_2}}{I_1+I_2}\lvert\gamma_{12}\rvert}.\]

因此条纹不清晰可能来自强度不平衡，也可能来自低相干度；只测 \(\mathcal V\) 而不知道 \(I_1/I_2\)，不能唯一反推出 \(\lvert\gamma_{12}\rvert\)。

图 7：相位平均削弱条纹调制度，但不会使总平均强度变成零。

Worked Example 3 — 由可见度求相干度

已知： 两束同偏振光的单独强度分别为 \(I_1=9.0\ \mathrm{W,m^{-2}}\)、\(I_2=4.0\ \mathrm{W,m^{-2}}\)，扫描相位测得 \(\mathcal V=0.72\)。
研究对象与系统： 探测器积分面积内的两束重叠光；探测器响应线性。
参考系与坐标： 探测器静止；空间相位由扫描器改变。
模型理由： 准单色、同偏振，采用一阶相干公式。

\[\lvert\gamma_{12}\rvert =\mathcal V\frac{I_1+I_2}{2\sqrt{I_1I_2}} =0.72\frac{13.0}{2\sqrt{36.0}} =0.780.\]

取两位有效数字，\(\lvert\gamma_{12}\rvert=0.78\)，量纲为 1。边界检查：结果小于 1；若误算出大于 1，应检查偏振、背景光或强度校准。物理解释：条纹损失并非全由相位噪声造成，强度不平衡本身也限制可见度。

Knowledge 4 — Beats and amplitude modulation / 拍与振幅调制

Knowledge ID: P02-U04-L01-K04

4.1 拍是近频率叠加，不是新振子忽快忽慢

等振幅近频率信号

\[u=A\cos\omega_1t+A\cos\omega_2t\]

可写成

\[\boxed{u=2A\cos\left(\frac{\Delta\omega}{2}t\right) \cos(\bar\omega t)},\]

其中 \(\bar\omega=(\omega_1+\omega_2)/2\)，\(\Delta\omega=\omega_1-\omega_2\)。有符号包络的角频率是 \(\lvert\Delta\omega\rvert/2\)，但实际听到或由能量探测器测得的响度峰每次在包络绝对值取最大时出现，故

\[\boxed{f_{\mathrm{beat}}=\lvert f_1-f_2\rvert}.\]

图 8：红线是有符号包络；听觉强弱近似跟随其绝对值或平方。

频域中只有原来的 \(f_1,f_2\) 两条谱线；“拍频”通常不是线性波场中新产生的一条谱线，而是平方律或包络探测产生的低频响应。

图 9：线性频谱保留两原频率；低频差频出现在探测或非线性混频中。

4.2 标准调幅与边带

标准幅度调制（amplitude modulation, AM）写成

\[u(t)=A_c[1+m\cos(\omega_mt)]\cos(\omega_ct), \qquad 0\le m\le1.\]

展开为

\[u=A_c\cos\omega_ct +\frac{mA_c}{2}\cos[(\omega_c+\omega_m)t] +\frac{mA_c}{2}\cos[(\omega_c-\omega_m)t].\]

因此频谱含载波 \(f_c\) 和上下边带 \(f_c\pm f_m\)。\(m>1\) 是过调制，包络过零，简单包络检波会产生失真。

图 10：单音 AM 的三线频谱；边带是乘法调制产生的，不应与两独立源的拍频谱混同。

Worked Example 4 — 用拍频调弦并核对 AM 类比

已知： 标准音叉 \(f_1=440.0\ \mathrm{Hz}\)；待调弦与之同时发声时听到 \(3.0\ \mathrm{beats,s^{-1}}\)。稍微拉紧弦后拍频降到 \(1.0\ \mathrm{Hz}\)。
研究对象与边界： 空气中到达耳朵的总声压；声源频率在一次测量内恒定。
参考系与方向： 实验室系；只研究固定观察点的时间信号。
模型理由： 两音频率接近、声压近似线性相加。

最初 \(\lvert f_s-440.0\rvert=3.0\ \mathrm{Hz}\)，故候选为 \(437.0\) 或 \(443.0\ \mathrm{Hz}\)。拉紧使弦频率升高，而拍频下降，只有从 \(437.0\ \mathrm{Hz}\) 向 \(440.0\ \mathrm{Hz}\) 移动符合，故

\[f_s=437.0\ \mathrm{Hz}.\]

频率保留到 \(0.1\ \mathrm{Hz}\)。单位检查正确；方向检查使用了 \(f\propto\sqrt{T}\)，拉紧使频率上升。若原来为 \(443.0\ \mathrm{Hz}\)，拉紧会使频差增大，与观察相反。物理解释：拍只给频差绝对值，必须借助可控改变才能判断高低。

Lesson synthesis / 全课整合

建模流程

1. 确认可相加量： 同一位置、同一时刻、同一物理自由度；先判断线性近似。
2. 先加振幅： 写 \(u=\sum u_j\)；不要直接加功率或强度。
3. 建立相位账： \(\delta=\) 初相差 \(+\) 路径相位 \(+\) 边界或器件相位。
4. 选择探测模型： 瞬时振幅、平方律强度、时间平均或包络检波会保留不同信息。
5. 判断相干性： 比较相位漂移时间、测量积分时间与带宽。
6. 做边界检查： 等幅、零相差、\(\pi\) 相差、单束极限、随机相位极限。

Formula-and-decision table / 公式—决策表

Model boundaries / 模型边界

• 小振幅线性化： 对弦波常需 \(A/\lambda\ll1\)；具体阈值由介质本构决定。
• 同阻抗假设： \(I\propto A^2\) 的比例常数必须相同，才能直接用 \(\sqrt I\) 代替振幅。
• 相干时间： 若探测积分时间远大于相位随机化时间，交叉项趋于零；短时快照仍可能看到瞬时干涉。
• 探测器带宽： 不能响应载波的探测器可能只读包络；线性频谱与平方律输出频谱不同。
• 空间能量守恒： 局部暗纹不表示能量湮灭；必须对完整干涉图样或包含波源的系统作能量账。
• AM 模型： 三线结果只适用于单一正弦调制；一般消息产生以 \(f_c\) 为中心平移的连续边带。

Misconception clinic / 易错概念诊所

1. “相消后两列波被消灭。” 错在把局部合扰动当成各分量的历史；在线性介质中它们穿过后继续传播。
2. “强度直接相加，所以干涉不能超过 \(I_1+I_2\)。” 相干时应先加场，平方后出现交叉项。
3. “同频就是相干。” 同频仍可能有快速随机相位漂移；相干性是统计稳定性。
4. “路径相等必定相长。” 还需考虑初相差、反射相变与器件相移。
5. “拍频是第三条真实波的频率。” 线性场频谱仍是两个原频率；差频常由包络或平方律探测显现。
6. “群组包络出现负号意味着负振幅。” 有符号包络过零时等价于载波相位跳变 \(\pi\)；实际幅度包络取绝对值。

Practice and retrieval / 练习与检索

1. 线性判断（K01）

判断 \(u_{tt}-v^2u_{xx}+\alpha u^3=0\) 是否满足一般叠加，并说明理由。

2. 脉冲重叠（K01）

某点两横波瞬时位移为 \(-2.5\ \mathrm{mm}\) 与 \(+4.0\ \mathrm{mm}\)。求合位移。

3. 等振幅相位差（K02）

两波振幅均为 \(A\)，相位差 \(2\pi/3\)。求合振幅。

4. 路径差（K02）

同相两源发出波长 \(0.80\ \mathrm m\) 的波。某点路径差 \(0.30\ \mathrm m\)，求相位差主值。

5. 不等强度极值（K02）

\(I_1=16\ \mathrm{W,m^{-2}}\)、\(I_2=9.0\ \mathrm{W,m^{-2}}\)。求完全相干时 \(I_{\max}\) 与 \(I_{\min}\)。

6. 随机相位（K03）

等强度两波的相位差在每次采样中均匀分布于 \([0,2\pi)\)。长时间平均强度是多少？

7. 可见度上限（K03）

若 \(I_1/I_2=4\) 且完全相干，求最大可能可见度。

8. 拍频（K04）

频率 \(256\ \mathrm{Hz}\) 与 \(260\ \mathrm{Hz}\) 的两音同时发声，求拍频和拍周期。

9. AM 边带（K04）

载波 \(100.0\ \mathrm{kHz}\) 由 \(2.00\ \mathrm{kHz}\) 正弦信号作 \(m=0.60\) 的 AM。列出谱线频率及相对载波振幅。

10. 实验诊断（综合）

相位扫描得到低可见度。列出至少三种彼此不同的可能原因及一种区分方法。

Exit ticket / 课末检验

1. 用一句话解释为什么两束相干等强度波在亮纹处可给 \(4I_0\) 而空间总能量仍守恒。
2. 给定一个时域慢包络信号，说明仅凭图形如何用频谱区分“两独立近频源”与“带载波的单音 AM”。

References and source notes / 参考资料与来源说明

1. OpenStax University Physics Vol. 1, §16.5 — Interference of Waves — 叠加、相长/相消及相位差教学主线。
2. MIT OCW 8.03SC, Lecture 5 — Beat Phenomena — 拍、近频率叠加与慢包络。
3. MIT OCW 8.03SC, Lecture 14 — Fourier Transform, AM Radio — 调幅、载波与频域边带。
4. MIT OCW 8.03SC, Textbook Chapter 10 — Signals and Fourier Analysis — 频谱、包络及傅里叶观点。
5. MIT OCW 8.03SC, Lecture 20 — Interference and Soap Bubble — 相位、路径差与干涉的本科例证。

所有图按本文方程原创绘制，没有复制来源插图。来源与链接于 2026-08-23 实际打开核对；不同来源把正弦/余弦、\(\Delta\omega\) 正负和 AM 相位写法作不同选择，本文统一为上述符号约定。

Source-to-content map

复习与拓展

• 下一课把反向传播的同频波叠加成空间节点固定的 standing wave。
• Unit 2.5 将把声压拍、响度与管中共振具体化。
• Part V 将用复相干度、光程差和干涉仪进一步扩展本课。
• 后续可增加实测音频 FFT 与相位噪声拟合，但不改变本课 canonical 边界。