驻波与共振

Learning objectives / 学习目标

完成本课后，你应当能够：

1. 由两列反向同频行波推导驻波，并识别节点、腹点与相邻间距。
2. 区分弦的固定/自由端与声管的开口/闭口边界，特别是声压和质点位移的互补节点。
3. 由边界条件推导弦、开—开管、闭—闭管和开—闭管的允许波数与频率。
4. 区分 normal mode、harmonic、overtone 与 driven resonance。
5. 计算一维弦/管和矩形腔的模式频率，并说明端部修正、损耗和有限 \(Q\) 的边界。
6. 从图样判断模式编号，同时检查波长、频率、节点数和能量流的合理性。

Prerequisites / 先修知识

• 同频波叠加与相位。
• 波动方程、初边值条件。
• 反射、透射与能流。

Scope, conventions, and modeling contract / 范围、约定与建模契约

• 弦沿 \(x\in[0,L]\)；横向位移为 \(y(x,t)\)，小斜率、均匀线密度 \(\mu\)、恒张力 \(T\)，波速 \(v=\sqrt{T/\mu}\)。
• 声管采用一维平面波；质点位移记 \(\xi\)，声压扰动记 \(p'\)。理想刚性闭端有 \(\xi=0\)，理想压力释放开端有 \(p'=0\)。
• “节点”必须说明是哪一个场的节点。开口端是声压节点、质点位移腹点；闭口端相反。
• 模式编号从最低非零频率起；对开—闭管，只有理想奇次谐波出现，但 overtones 仍按出现顺序编号。
• 图均为 schematic；除明确标注的坐标外，不用箭长表示实际振幅比例。

Notation / 符号表

Knowledge 1 — Nodes, antinodes, and standing-wave patterns / 波节、波腹与驻波图样

Knowledge ID: P02-U04-L02-K01

1.1 由反向行波得到驻波

取两列等振幅反向行波

\[y_+=A\sin(kx-\omega t), \qquad y_-=A\sin(kx+\omega t).\]

叠加得

\[\boxed{y(x,t)=2A\sin(kx)\cos(\omega t)}.\]

空间因子与时间因子分离。对所有时刻都有 \(y=0\) 的位置是节点（node）：

\[x_n=\frac{n\pi}{k}=\frac{n\lambda}{2}.\]

\(\lvert\sin kx\rvert=1\) 的位置是腹点（antinode）：

\[x_a=\frac{(2n+1)\lambda}{4}.\]

相邻节点、相邻腹点间距均为 \(\lambda/2\)；相邻节点与腹点间距为 \(\lambda/4\)。

图 1：不同时间快照的节点位置不变；腹点的位移随时间换向。

1.2 驻波不携带净的单向平均功率

理想驻波是相等的左右行波叠加。局部动能密度与势能密度随时间交换，瞬时能流可来回摆动，但对一周期平均的净单向功率为零。真实共振器若持续耗散，驱动源必须供应净平均功率；此时场可近似驻波，却不是严格无损驻波。

图 2：蓝线是一瞬时形状，红虚线是最大位移包络；N/A 分别表示 node/antinode。

Worked Example 1 — 从驻波函数读取节点和速度

已知： \(y(x,t)=Y_0\sin(4\pi x)\cos(20\pi t)\)，其中驻波振幅 \(Y_0=0.040\ \mathrm m\)；\(x\) 以 m、\(t\) 以 s 代入。
研究对象与系统： 一段理想弦，不含驱动器；端点之外暂不指定。
参考系与正方向： 实验室系，\(+y\) 向上。
模型理由： 函数已分离为空间和时间因子，是线性驻波。

\(k=4\pi\ \mathrm{rad\,m^{-1}}\)，所以 \(\lambda=2\pi/k=0.500\ \mathrm m\)；\(\omega=20\pi\ \mathrm{rad\,s^{-1}}\)，故 \(f=10.0\ \mathrm{Hz}\)，波速 \(v=\omega/k=5.00\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)。节点为

\[x_n=\frac{n\pi}{4\pi}=0.250n\ \mathrm m.\]

在 \(x=0.125\ \mathrm m\) 为腹点，最大横向速率

\[\lvert v_y\rvert_{\max}=Y_0\omega=(0.040)(20\pi)=2.51\ \mathrm{m\,s^{-1}}.\]

三位有效数字。量纲检查：\(\omega\) 乘位移为速度；节点间距 \(0.250\ \mathrm m=\lambda/2\)。介质质点最大横向速率可与波形传播速度不同，二者方向也不同。

Knowledge 2 — Fixed, free, open, and closed boundaries / 固定、自由、开口与闭口边界

Knowledge ID: P02-U04-L02-K02

2.1 弦：固定端约束位移，自由端约束斜率

固定端 \(x=0\) 满足 Dirichlet 条件 \(y(0,t)=0\)，反射的位移脉冲反相，理想振幅反射系数 \(r_y=-1\)。

图 3：理想固定端反射反相，端点始终是位移节点。

自由端横向外力为零；小斜率理想弦满足 Neumann 条件 \(\partial y/\partial x=0\)，位移反射不反相，端点为腹点。

图 4：理想自由端位移反射同相；滚环只是边界示意，不代表实际装置唯一实现。

2.2 声管：压力与位移边界互补

在本节的一维驻波中，\(p'\) 与质点位移/速度的空间振幅节点相差四分之一波长；单向行进平面声波中，\(p'\) 与同向质点速度同相。理想边界为：

真实开口会向外辐射，压力节点略在管口外，常用有效长度 \(L_{\rm eff}=L+\Delta L\)；\(\Delta L\) 依几何、频率与是否有凸缘而变，不能把某个经验系数当作普适常数。

图 5：开—闭管基模在 \(t=0\) 的归一化快照；蓝色位移在闭端为节点、开端为腹点，红色压力的空间节点相反，整体负号与 \(p'=-\rho_0c^2\partial\xi/\partial x\) 一致。

Worked Example 2 — 判断声管边界变量

已知： 一根一端刚性封闭、另一端开口的细管处于基模；在闭端附近测量。
研究对象与系统： 管内空气柱；管壁视为刚性，开端近似压力释放。
参考系与坐标： \(x=0\) 取闭端，\(+x\) 指向开端。
模型理由： 管径远小于波长，采用一维平面声波。

闭端法向质点速度必须为零，故 \(\xi(0,t)=0\)；由动量方程 \(\rho_0\partial v_p/\partial t=-\partial p'/\partial x\)，闭端压力梯度为零而压力振幅最大。基模可写

\[\xi=\xi_0\sin\left(\frac{\pi x}{2L}\right)\cos\omega t, \qquad p'=-\rho_0c^2\frac{\partial\xi}{\partial x} =-\rho_0c^2\frac{\pi\xi_0}{2L} \cos\left(\frac{\pi x}{2L}\right)\cos\omega t.\]

质点速度则为

\[v_p=\frac{\partial\xi}{\partial t} =-\omega\xi_0\sin\left(\frac{\pi x}{2L}\right)\sin\omega t.\]

因此闭端是位移/速度节点、压力腹点；压力与质点速度还在时间上相差 \(\pi/2\)。量纲检查分别为 m、\(\mathrm{m\,s^{-1}}\) 与 Pa；极限检查在 \(x=L\) 得 \(p'=0\)。这也解释了“闭端压力不动”这一说法为何错误：不动的是质点，不是压力。

Knowledge 3 — Harmonics and normal-mode frequencies / 谐波与简正频率

Knowledge ID: P02-U04-L02-K03

3.1 固定—固定弦

分离变量 \(y=X(x)T(t)\) 后，边界 \(X(0)=X(L)=0\) 要求

\[k_nL=n\pi, \qquad n=1,2,3,\ldots\]

所以

\[\boxed{\lambda_n=\frac{2L}{n},\qquad f_n=\frac{nv}{2L}}.\]

第 \(n\) 模在弦内部有 \(n-1\) 个节点、\(n\) 个腹段。若 \(f_n=n f_1\)，这些频率是基频的整数倍，称 harmonics。

图 6：固定—固定弦的前三模；模式编号等于半波段数。

3.2 管中模式与术语

• 开—开管（位移腹—腹、压力节—节）和闭—闭管（位移节—节、压力腹—腹）在理想一维模型中均有 \(f_n=nc/(2L)\)。
• 开—闭管（位移腹—节）有

\[\boxed{f_m=\frac{(2m-1)c}{4L},\qquad m=1,2,3,\ldots}\]

即只含基频的奇数倍。

• Fundamental 是最低模式；overtone 按高于基频的出现顺序计数；harmonic 按基频整数倍编号。开—闭管的第一 overtone 是第三 harmonic，不是第二 harmonic。

图 7：闭—闭管的压力在两端均为腹点；频率序列与开—开管相同，但场节点位置不同。

图 8：开—闭管的压力模式；左端压力腹、右端压力节，只容纳奇数个四分之一波长。

Worked Example 3 — 弦的模式频率与张力敏感度

已知： 弦长 \(L=0.650\ \mathrm m\)，线密度 \(\mu=5.00\times10^{-4}\ \mathrm{kg,m^{-1}}\)，张力 \(T=80.0\ \mathrm N\)，两端固定。
研究对象与系统： 均匀理想弦；支座固定，空气阻力忽略。
参考系与坐标： 弦平衡方向为 \(+x\)。
模型理由： 小振幅、恒张力，因此 \(v=\sqrt{T/\mu}\)。

\[v=\sqrt{\frac{80.0}{5.00\times10^{-4}}}=400\ \mathrm{m,s^{-1}},\]

\[f_1=\frac{v}{2L}=\frac{400}{1.300}=308\ \mathrm{Hz}, \qquad f_3=3f_1=923\ \mathrm{Hz}.\]

三位有效数字。若张力提高 \(1.00\%\)，小变化满足 \(\Delta f/f\simeq\tfrac12\Delta T/T=0.500\%\)，故基频约升 \(1.54\ \mathrm{Hz}\)。量纲、正方向与极限检查均正确；弦的弯曲刚度会使真实高阶泛音略偏离整数倍。

Knowledge 4 — Resonance in strings, pipes, and cavities / 弦、管与腔中的共振

Knowledge ID: P02-U04-L02-K04

4.1 正常模是自由系统性质，共振是驱动响应

Normal modes 由波动方程和边界决定；外力频率接近 \(\omega_n\) 时，若耦合到该模式且阻尼有限，出现 driven resonance。单模近似下响应为

\[A_n(\omega)\propto \frac{1}{\sqrt{(\omega_n^2-\omega^2)^2+(2\beta_n\omega)^2}}.\]

有限阻尼使峰值有限、带宽非零；理想无阻尼且持续精确共振会导致振幅随时间增长，所谓“无穷大稳态振幅”不是实际稳态。

图 9：同一正常模在不同阻尼下的共振峰；峰位置可略低于无阻尼 \(\omega_n\)。

4.2 多维腔的模式

矩形刚性声腔边长 \(L_x,L_y,L_z\) 的理想压力模可写成余弦乘积，其频率为

\[\boxed{f_{n_xn_yn_z}=\frac{c}{2} \sqrt{\left(\frac{n_x}{L_x}\right)^2+ \left(\frac{n_y}{L_y}\right)^2+ \left(\frac{n_z}{L_z}\right)^2}},\]

其中 \(n_x,n_y,n_z\) 为非负整数且不能全零。不同指标可给相同频率，称简并；非矩形几何通常需数值求本征模。

图 10：矩形腔 \((1,1,0)\) 模的符号区域；虚线是压力节点，不是实体隔板。

Worked Example 4 — 矩形声腔的二维模式

已知： 刚性矩形房间 \(L_x=4.00\ \mathrm m\)、\(L_y=3.00\ \mathrm m\)、\(L_z=2.50\ \mathrm m\)，声速 \(c=343\ \mathrm{m,s^{-1}}\)。求 \((1,1,0)\) 压力模。
研究对象与系统： 封闭房间内空气；墙视为刚性且无吸声。
参考系与坐标： 三轴沿房间边。
模型理由： 线性小振幅声学、均匀介质、矩形边界。

\[f_{110}=\frac{343}{2} \sqrt{\left(\frac{1}{4.00}\right)^2+ \left(\frac{1}{3.00}\right)^2} =71.5\ \mathrm{Hz}.\]

三位有效数字。括号内单位为 \(\mathrm{m^{-2}}\)，乘 \(c\) 后为 \(\mathrm{s^{-1}}\)。\(n_z=0\) 表示沿高度无节点面，并不表示“没有波”。真实房间的门窗、吸声和非刚性墙使频率偏移并赋予有限线宽。

Lesson synthesis / 全课整合

边界到频谱的流程

1. 写明波动变量：弦位移、声质点速度还是声压。
2. 把每个端点翻译成 \(X=0\) 或 \(X'=0\) 一类边界条件。
3. 解空间本征方程并筛选 \(k_n\)，再用 dispersion relation 得 \(\omega_n\)。
4. 画节点/腹点，检查端点、节点数和 \(\lambda\) 是否一致。
5. 若有驱动，投影到各 normal mode；只有耦合非零且频率接近的模式会强烈响应。
6. 最后加入损耗、端部修正、非均匀和多维效应，并说明近似大小。

Formula-and-decision table / 公式—决策表

Model boundaries / 模型边界

• 端部修正： 管口的声场延伸到外部，几何长度一般不等于声学有效长度。
• 压力/位移互补： 只对线性一维行波与理想边界严格成立；复杂管口存在辐射阻抗。
• 高阶弦模： 弦刚度、张力随振幅变化和支座柔度会造成 inharmonicity。
• 有限 \(Q\)： 黏滞、热传导、辐射和材料内耗使模式有线宽且峰值有限。
• 模态简并： 对称腔中不同模式可同频；轻微不对称会劈裂简并。
• 一维管近似： 横向尺寸应远小于波长；超过横向截止后会出现高阶横模。

Misconception clinic / 易错概念诊所

1. “驻波完全不含传播波。” 它通常由等振幅反向行波相干叠加而成。
2. “节点处什么物理量都为零。” 弦位移节点处速度也为零，但应力可最大；声管中压力与位移节点互补。
3. “开口端空气不能动。” 恰相反，理想开口是位移/速度腹点、压力节点。
4. “第一 overtone 总是第二 harmonic。” 开—闭管第一 overtone 是第三 harmonic。
5. “驱动频率不等于本征频率就没有振动。” 非共振频率仍有响应，只是通常较弱。
6. “共振频率总精确等于无阻尼自然频率。” 位移振幅峰会因阻尼略移，且功率峰与其他响应量的峰定义不同。

Practice and retrieval / 练习与检索

1. 节点间距（K01）

某驻波相邻节点距离 \(0.180\ \mathrm m\)。求波长。

2. 驻波验证（K01）

验证 \(y=Y_0\sin kx\cos\omega t\) 满足波动方程时需满足什么关系。

3. 固定端反射（K02）

向上脉冲到达理想固定端后，反射脉冲的位移方向如何？端点为何不动？

4. 声管变量（K02）

在理想开口处，声压和质点速度分别为节点还是腹点？

5. 弦模（K03）

长 \(1.20\ \mathrm m\)、波速 \(180\ \mathrm{m,s^{-1}}\) 的固定弦，求前四个频率。

6. 开—闭管（K03）

理想开—闭管基频 \(85.0\ \mathrm{Hz}\)。列出随后三个允许频率。

7. 模式图判号（K03）

固定弦内部有 4 个节点（不计端点）。该模的 \(n\) 是多少？

8. 张力改变（K04）

弦张力变为原来的 \(1.44\) 倍，长度和线密度不变。所有模式频率如何变？

9. 房间轴向模（K04）

长度 \(5.00\ \mathrm m\) 的刚性房间，\(c=343\ \mathrm{m,s^{-1}}\)。求最低 \(x\) 轴向非零模。

10. 边界诊断（综合）

实测一根标称开—闭管出现接近 \(f,2f,3f\) 的完整整数序列。至少给出两种可能原因。

Exit ticket / 课末检验

1. 画出同一开—闭管基模的压力图与质点位移图，并在两个端点标明 node/antinode。
2. 解释“normal-mode frequency”与“resonance peak frequency”为何在实际有损系统中不必完全相等。

References and source notes / 参考资料与来源说明

1. OpenStax University Physics Vol. 1, §16.6 — Standing Waves and Resonance — 反向波叠加、弦节点与共振主线。
2. OpenStax University Physics Vol. 1, §17.4 — Normal Modes of a Standing Sound Wave — 开闭管边界、奇次谐波与声学节点。
3. MIT OCW 8.03SC, Lecture 9 — Wave Equation, Standing Waves, Fourier Series — 本征边界问题、驻波与 Fourier 模态。
4. MIT OCW 8.03SC, Lecture 11 — Sound Waves — 声压、质点运动及管中驻波。
5. MIT OCW 6.013 — Electromagnetics and Applications Course Notes — 波阻抗类比、声管开闭端边界与驻波。

所有图按正文方程原创绘制。来源与链接于 2026-08-23 实际打开核对；OpenStax 某图注对压力/位移措辞可能造成混淆，本文以边界方程和 MIT 声学讲义统一为“闭端位移节点/压力腹点，开端相反”。

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复习与拓展

• 下一课说明现实介质中 \(\omega(k)\) 非线性时，有限波包为何展宽。
• Unit 2.5 将加入音高、声强、端部修正、乐器与房间声学。
• Unit 2.6 将把一维弦推广到膜、弹性体、Bloch 波和非线性波。
• 后续可用实验麦克风扫描验证压力节点，并拟合 \(Q\) 与有效长度。