输运过程

Learning objectives / 学习目标

完成本课后，你应能：

1. 从局域守恒律与 Fick's first law 推导扩散方程，并解释扩散长度的平方根时间标度。
2. 把 Fourier heat conduction 写成能量输运问题，区分 thermal conductivity 与 thermal diffusivity。
3. 把 Newtonian viscosity 解释为横向动量通量，判断剪切应力方向并计算 Couette flow。
4. 区分 mechanical mobility 与 electrical mobility，推导并使用两种形式的 Einstein relation。
5. 对输运模型检查系统边界、参考系、符号、量纲、线性响应区间与连续介质假设。

Prerequisites / 先修知识

• 随机游走与均方位移将给出扩散的微观来源；本课先从连续介质层面建立方程。
• 能量、热与功以及 熵产生。
• 一维与三维 gradient、divergence、控制体积守恒和二阶偏微分方程。
• 电流密度、漂移速度、热力学温度和 Boltzmann constant。

Scope and conventions / 范围与约定

• 采用实验室惯性参考系和 SI；除特别说明外，介质静止、均匀、各向同性。
• \(c\) 表示 number concentration 或 amount concentration；每道题会声明单位。粒子通量 \(\mathbf J_N\) 的正方向由坐标轴定义。
• Heat flux \(\mathbf q\) 指单位面积、单位时间穿过的能量，方向从高温到低温。
• 黏性部分采用 Newtonian, incompressible, laminar continuum。明确区分 Cauchy viscous stress 与守恒式中的分子动量通量：对法向 \(+y\) 的面，\(\sigma'_{xy}=\eta\,\partial_yv_x\)；沿 \(+y\) 输运的 \(+x\) 动量通量则为 \(J_y^{(p_x)}=-\sigma'_{xy}\)。
• 线性本构式只在局域梯度足够小、系数可视为局域状态函数时使用。湍流、弹道输运、强场、非局域记忆和非牛顿流体不在本课主模型内。

Notation and modeling contract / 符号与建模契约

Knowledge 1 — Diffusion equation and Fick's laws / 扩散方程与菲克定律

Knowledge ID: P03-U08-L01-K01

1.1 通量响应浓度梯度

Diffusion 是微观随机运动造成的净粒子输运。若介质各向同性、偏离均匀状态不大，Fick's first law 为

\[\boxed{\mathbf J_N=-D\nabla c.}\]

负号不是额外规则，而是方向信息：通量指向浓度降低最快的方向。\(D>0\) 保证孤立系统的浓度不均匀趋于减小。

图 1：浓度沿 \(+x\) 下降时，Fick 通量沿 \(+x\)；曲线与箭头是示意，不按比例。

1.2 守恒律把 first law 变成 diffusion equation

对没有体源的组分，局域守恒式是

\[\frac{\partial c}{\partial t}+\nabla\cdot\mathbf J_N=0.\]

代入 Fick 定律，若 \(D\) 为常数，

\[\boxed{\frac{\partial c}{\partial t}=D\nabla^2c.}\]

若 \(D=D(c,\mathbf r,T)\)，则正确形式是 \(\partial c/\partial t=\nabla\cdot(D\nabla c)\)，一般不能把 \(D\) 直接移到 Laplacian 外。

图 2：对薄控制体积做粒子数账本，取 \(\Delta x\to0\) 即得到连续性方程。

在无限一维空间中，从 \(x=0\) 出发的归一化 probability density 为

\[P(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi Dt}} \exp\left(-\frac{x^2}{4Dt}\right),\]

且 \(\int_{-\infty}^{\infty}P\,dx=1\)、\(\langle x^2\rangle=2Dt\)。若一维线密度的总粒子数为 \(N\)，则 \(\lambda(x,t)=NP(x,t)\)，单位为 \(\mathrm{m^{-1}}\)；它不是三维体积浓度 \(c\)。因此典型扩散长度 \(\ell_D\sim\sqrt{Dt}\)，到达长度 \(L\) 的时间量级是 \(L^2/D\)，不是 \(L/D\)。

图 3：三条 Gaussian 均按单位面积归一化；概率守恒时峰值下降而宽度按 \(\sqrt{t}\) 增长。

Worked Example 1 — 薄膜中的稳态扩散

已知： 厚度 \(L=2.00\ \mathrm{mm}\) 的平板膜，两侧 amount concentration 分别为 \(c_L=2.00\ \mathrm{mol\,m^{-3}}\)、\(c_R=0.500\ \mathrm{mol\,m^{-3}}\)；\(D=1.20\times10^{-9}\ \mathrm{m^2\,s^{-1}}\)，面积 \(A=4.00\ \mathrm{cm^2}\)。求从左向右的稳态通量、摩尔流率和一小时输运量。
研究对象与边界： 膜内组分；两侧浓度库恒定，膜内无反应。
参考系与坐标： 实验室系，\(+x\) 从左指向右。
模型理由： 一维、稳态、常 \(D\)，故浓度线性。

\[\frac{dc}{dx}=\frac{c_R-c_L}{L} =\frac{0.500-2.00}{2.00\times10^{-3}} =-750\ \mathrm{mol\,m^{-4}}.\]

\[J_x=-D\frac{dc}{dx} =9.00\times10^{-7}\ \mathrm{mol\,m^{-2}s^{-1}}.\]

面积换算为 \(A=4.00\times10^{-4}\ \mathrm{m^2}\)，所以

\[\dot n=J_xA=3.60\times10^{-10}\ \mathrm{mol\,s^{-1}},\]

\[\Delta n=\dot n(3600\ \mathrm s) =1.30\times10^{-6}\ \mathrm{mol}.\]

检查： 通量为正，确实从高浓度流向低浓度；\(D(dc/dx)\) 的单位为 \(\mathrm{mol\,m^{-2}s^{-1}}\)。若 \(L\) 加倍，稳态通量减半，极限合理。结果取三位有效数字。

Knowledge 2 — Thermal conduction as transport / 热传导的输运观点

Knowledge ID: P03-U08-L01-K02

2.1 Fourier law 与能量守恒

在各向同性介质的局域线性响应区，

\[\boxed{\mathbf q=-k\nabla T.}\]

对无对流、无体热源的均匀介质，内能账本给

\[\rho c_p\frac{\partial T}{\partial t}=-\nabla\cdot\mathbf q,\]

因此

\[\boxed{\frac{\partial T}{\partial t} =\alpha_{\mathrm{th}}\nabla^2T,\qquad \alpha_{\mathrm{th}}=\frac{k}{\rho c_p}.}\]

\(k\) 衡量给定梯度产生多大热通量；\(\alpha_{\mathrm{th}}\) 衡量温度扰动扩散多快。二者维度不同，不能互换。

图 4：\(\nabla T\) 指向升温最快方向，而热通量沿其反向；色彩只编码温度。

2.2 三种输运的数学同构

粒子、内能和切向动量都满足“局域密度的变化 = 通量散度的负值”。在线性近似下，通量与相应梯度成正比。

图 5：扩散、导热和黏性共享数学骨架，但被输运的守恒量和系数单位不同。

Worked Example 2 — 平板的稳态导热

已知： 厚度 \(L=1.00\ \mathrm{cm}\)、面积 \(A=2.00\times10^{-2}\ \mathrm{m^2}\) 的均匀板，\(k=0.800\ \mathrm{W\,m^{-1}K^{-1}}\)；两面保持 \(350\ \mathrm K\) 与 \(300\ \mathrm K\)。求稳态热流率。
系统边界： 板为系统，侧面绝热；两面是理想恒温库。
参考系与坐标： 实验室系，\(+x\) 从热面指向冷面。
模型理由： 一维、稳态、常 \(k\)、无体热源，故 \(T(x)\) 线性。

\[\frac{dT}{dx}=\frac{300-350}{0.0100} =-5.00\times10^3\ \mathrm{K\,m^{-1}}.\]

\[q_x=-k\frac{dT}{dx} =4.00\times10^3\ \mathrm{W\,m^{-2}}.\]

\[\boxed{\dot Q=q_xA=80.0\ \mathrm W}\]

方向为 \(+x\)。检查： \(kA\Delta T/L\) 的单位为 W；温差为零时热流归零，厚度加倍时热流减半。结果为三位有效数字。

Knowledge 3 — Viscosity and momentum transport / 黏性与动量输运

Knowledge ID: P03-U08-L01-K03

3.1 Newtonian viscosity 是横向动量通量

设流速沿 \(x\)，但随 \(y\) 改变。分子跨越不同 \(y\) 层时携带 \(x\)-momentum，使快层向慢层传递切向动量。对 Newtonian fluid，先以 Cauchy stress convention 写

\[\boxed{\sigma'_{xy}=\eta\frac{\partial v_x}{\partial y}}.\]

\(\sigma'_{xy}\) 表示法向为 \(+y\) 的面上沿 \(+x\) 的 viscous traction。若把同一过程写成“沿 \(+y\) 输运的 \(+x\) 动量”的非对流守恒通量，则

\[\boxed{J_y^{(p_x)}=-\sigma'_{xy}=-\eta\frac{\partial v_x}{\partial y}}.\]

两者相差负号，是因为 Cauchy stress 作为边界 traction 进入控制体动量账本，而通量以穿出 \(+y\) 面为正。若只求阻力大小，可用 \(\lvert\sigma'_{xy}\rvert=\eta\lvert dv_x/dy\rvert\)。

图 6：Couette flow 中上板拖动流体；黏性把 \(x\) 动量沿 \(-y\) 传向慢层。

对不可压、常 \(\eta\) 且无压强梯度的一维非稳态剪切，

\[\frac{\partial v_x}{\partial t} =\nu\frac{\partial^2v_x}{\partial y^2}, \qquad \nu=\frac{\eta}{\rho}.\]

因此 \(\nu\) 是 momentum diffusivity；\(\eta\) 给出 viscous stress 对速度梯度的响应，而守恒式中的非对流动量通量带相反号。

3.2 边界条件决定速度剖面

圆管充分发展层流在 no-slip 边界下形成抛物线速度剖面；若 Reynolds number 大、入口未发展或流体非牛顿，不能套用该图。

图 7：Newtonian 圆管充分发展层流的速度在壁面为零、轴线上最大；示意图未按管径比例。

Worked Example 3 — Couette flow 的剪切力与耗散功率

已知： 两平行板间距 \(h=1.00\ \mathrm{mm}\)，面积 \(A=1.00\times10^{-2}\ \mathrm{m^2}\)；下板静止，上板以 \(U=0.200\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 匀速运动。流体 \(\eta=1.00\times10^{-3}\ \mathrm{Pa\,s}\)。
研究对象： 板间 Newtonian fluid；求流体对上板阻力的大小。
参考系与坐标： 下板实验室系，\(+x\) 沿上板速度，\(+y\) 向上。
模型理由： 稳态、无压强梯度、no slip，故 \(v_x=Uy/h\)。

\[\frac{dv_x}{dy}=\frac{U}{h} =\frac{0.200}{1.00\times10^{-3}} =200\ \mathrm{s^{-1}}.\]

\[\lvert\sigma'_{xy}\rvert=\eta\frac{U}{h} =0.200\ \mathrm{Pa}.\]

\[\boxed{F=\lvert\sigma'_{xy}\rvert A=2.00\times10^{-3}\ \mathrm N.}\]

维持匀速所需机械功率为

\[\boxed{P=FU=4.00\times10^{-4}\ \mathrm W.}\]

流体对上板的力沿 \(-x\)。检查： \(\mathrm{Pa\,s}\times\mathrm{s^{-1}}=\mathrm{Pa}\)；\(h\to\infty\) 时剪切趋零，合理。输入三位有效数字。

Knowledge 4 — Mobility, conductivity, and Einstein relations / 迁移率、电导率与爱因斯坦关系

Knowledge ID: P03-U08-L01-K04

4.1 漂移与扩散是同一粒子群的两种响应

对弱恒力 \(\mathbf F\)，mechanical mobility 定义为

\[\mathbf v_d=b\mathbf F.\]

热平衡与 detailed balance 要求

\[\boxed{D=bk_BT.}\]

对带电粒子，常把 electrical mobility 定义为速度大小与电场大小之比，\(\mu_q=v_d/E=\lvert q\rvert b\)，于是

\[\boxed{D=\mu_q\frac{k_BT}{\lvert q\rvert}.}\]

两式中的 mobility 单位不同；漏掉 \(\lvert q\rvert\) 是常见错误。

图 8：单条轨迹仍然曲折，但外力使许多轨迹的平均位移出现漂移。

4.2 电导率来自载流子数密度与迁移率

单一载流子种类的 conventional current density 为

\[\mathbf j=\sigma_e\mathbf E, \qquad \boxed{\sigma_e=n\lvert q\rvert\mu_q.}\]

若浓度也不均匀，粒子通量同时含 drift 与 diffusion。符号必须以带符号电荷和 conventional current 的定义统一，不能只凭电子速度箭头猜电流方向。

图 9：在平衡漂移—扩散问题中，两项可相消；箭头方向取正载流子示意。

图 10：输运建模决策树先确认守恒量，再选本构式；外力存在时还要加入漂移项。

Worked Example 4 — 由 electrical mobility 求扩散与电导

已知： 正载流子在 \(T=300\ \mathrm K\) 时有 \(\mu_q=0.120\ \mathrm{m^2\,V^{-1}s^{-1}}\)，数密度 \(n=2.00\times10^{21}\ \mathrm{m^{-3}}\)，电荷 \(q=e\)。求 \(D\)、\(\sigma_e\)，以及 \(E=100\ \mathrm{V\,m^{-1}}\) 时的漂移速度和电流密度。
系统与参考系： 均匀材料中的单一正载流子，晶格实验室系。
方向： \(\mathbf E\) 定义为正方向；正载流子漂移同向。
模型理由： 非简并、低场、局域热平衡，使用 Einstein 与 Ohmic linear response。

取 exact SI constants \(k_B=1.380649\times10^{-23}\ \mathrm{J\,K^{-1}}\)、\(e=1.602176634\times10^{-19}\ \mathrm C\)，

\[D=\mu_q\frac{k_BT}{e} =(0.120)\frac{(1.380649\times10^{-23})(300)} {1.602176634\times10^{-19}} =3.10\times10^{-3}\ \mathrm{m^2\,s^{-1}}.\]

\[\sigma_e=ne\mu_q =(2.00\times10^{21})(1.602176634\times10^{-19})(0.120) =38.5\ \mathrm{S\,m^{-1}}.\]

\[v_d=\mu_qE=12.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}, \qquad j=\sigma_eE=3.85\times10^3\ \mathrm{A\,m^{-2}}.\]

检查： \(k_BT/e\) 的单位是 V，因此 \(\mu_q(k_BT/e)\) 给 \(\mathrm{m^2\,s^{-1}}\)；同时 \(j=nev_d\) 得相同结果。若载流子为电子，速度反向但 conventional current 与 \(\mathbf E\) 同向。结果取三位有效数字。

Lesson synthesis / 全课整合

四种输运的共同结构是：

1. 先选系统、参考系与被输运的 extensive quantity；
2. 用控制体积写 continuity/balance equation；
3. 在声明的线性、局域、连续介质近似下写 constitutive law；
4. 合并得到 evolution equation，再施加初始与边界条件；
5. 检查通量方向、系数量纲、守恒积分、耗散正号与极限行为。

Fick、Fourier 与 Newtonian viscosity 不是同一个定律，但它们都把通量连接到驱动力梯度。Einstein relation 更进一步，把平衡涨落强度 \(D\) 与外力下的耗散响应 mobility 联系起来，为下一课的 fluctuation–dissipation viewpoint 铺路。

Formula-and-decision table / 公式—决策表

Model boundaries / 模型边界

1. Continuum equations require observation scales large compared with mean free path and correlation length; ballistic nanoscale transport can be nonlocal.
2. Constant-coefficient diffusion is invalid when \(D\) depends strongly on concentration, temperature, phase or direction.
3. Fourier law predicts instantaneous mathematical tails; on ultrashort scales a finite-relaxation-time model may be needed.
4. Newtonian viscosity excludes shear-thinning, viscoelastic and yield-stress fluids; Poiseuille additionally requires incompressible fully developed laminar flow and no slip.
5. Classical Einstein relation assumes thermal equilibrium and low-field linear response; degenerate quantum carriers and hot-carrier transport need modified statistics.
6. Turbulent eddy diffusivity is an effective closure, not the molecular \(D\), \(k\), or \(\nu\) defined here.

Misconception clinic / 易错概念诊所

1. “负号表示通量一定为负。” 错；负号表示通量与梯度反向，分量正负取决于坐标。
2. “扩散速度是 \(D/L\)，所以粒子都以这个速度运动。” 错；\(D/L\) 只是尺度估计，微观热速度远大于净扩散漂移。
3. “thermal conductivity 越大，温度变化一定越快。” 不完整；变化速率由 \(\alpha_{\mathrm{th}}=k/(\rho c_p)\) 决定。
4. “黏性力就是动量消失。” 错；总动量守恒，黏性把动量跨层输运，并把有序机械能耗散为内能。
5. “两种 mobility 都可直接代入 \(D=\mu k_BT\)。” 错；electrical mobility 需要除以 \(\lvert q\rvert\)。
6. “电子漂移向左，所以 conventional current 也向左。” 错；负电荷使 conventional current 与电子速度反向。

Practice and retrieval / 练习与检索

1. Fick 方向判断（K01）

一维中 \(dc/dx=+4.0\ \mathrm{mol\,m^{-4}}\)、\(D>0\)。\(J_x\) 指向哪里？

2. 扩散时间尺度（K01）

\(D=2.0\times10^{-10}\ \mathrm{m^2\,s^{-1}}\) 时，扩散跨越 \(L=20\ \mathrm{\mu m}\) 的量级时间是多少？

3. 变系数方程（K01）

若 \(D=D(c)\)，为什么不能一般写成 \(\partial_t c=D\nabla^2c\)？

4. 导热方向（K02）

温度场 \(T(x)=300+20x\ \mathrm K\)，\(x\) 用 m、\(k=0.50\ \mathrm{W\,m^{-1}K^{-1}}\)。求 \(q_x\)。

5. Conductivity 与 diffusivity（K02）

材料 \(k=4.0\ \mathrm{W\,m^{-1}K^{-1}}\)、\(\rho=2000\ \mathrm{kg\,m^{-3}}\)、\(c_p=800\ \mathrm{J\,kg^{-1}K^{-1}}\)。求 \(\alpha_{\mathrm{th}}\)。

6. 剪切应力（K03）

油的 \(\eta=0.080\ \mathrm{Pa\,s}\)，速度梯度大小 \(15\ \mathrm{s^{-1}}\)。剪切应力大小是多少？

7. Momentum diffusivity（K03）

同一流体密度 \(800\ \mathrm{kg\,m^{-3}}\)，求 \(\nu\)。

8. Mechanical Einstein relation（K04）

粒子的 \(b=2.0\times10^8\ \mathrm{m\,N^{-1}s^{-1}}\)，\(T=300\ \mathrm K\)。求 \(D\)。

9. 多载流子电导（K04）

电子与空穴各有 \(n_e,n_h\) 和 mobility \(\mu_e,\mu_h\)。写出总 conductivity。

10. 模型审计（K01–K04）

实验在纳米薄膜中观察到热脉冲传播距离与 \(t\) 近似成正比，而不是 \(\sqrt t\)。指出至少两个需要检查的 Fourier-model 前提。

Exit ticket / 课末检验

1. 对一个未知输运问题，写出从“选守恒量”到“确定 PDE 与边界条件”的五步流程，并说明负号来自哪里。
2. 比较 \(D\)、\(\alpha_{\mathrm{th}}\)、\(\nu\) 的共同单位与不同物理含义；再说明 Einstein relation 为什么是下一课 fluctuation–dissipation relation 的原型。

References and source notes / 参考资料与来源说明

1. MIT OCW 3.205, Kinetics Lecture 2 — Mass Diffusion and Heat Conduction — Fick laws、continuity form、Fourier analogy 与变系数边界。
2. MIT OCW 3.091SC, Session 24 — Diffusion — 扩散剖面、随机跳跃、稳态与瞬态图景。
3. MIT OCW 2.57, Complete Lecture Notes — Nano-to-Macro Transport Processes — heat、momentum、mass and charge transport 的统一框架及 Einstein relation。
4. MIT OCW 10.626, Lecture 21 — Transport in Solids and Concentrated Solutions — mobility、chemical driving force 与 \(D=bk_BT\)。
5. MIT OCW 6.641, Lecture 7 — Drift-Diffusion Conduction — electrical mobility、current density 与 electrical Einstein relation。
6. OpenStax University Physics Volume 1, 14.7 Viscosity and Turbulence — viscosity、laminar profile 与 Poiseuille model boundary。
7. NIST CODATA Values of the Fundamental Physical Constants — \(k_B\)、\(e\) 与 SI constant convention。

以上直接来源均于 2026-08-25 实际打开并核对到具体课程页面、讲义或官方数据库。正文采用统一 SI 与本文符号；所有示意图依据方程原创绘制，没有复制来源插图。

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复习与拓展

• 下一课从 random walk、Langevin 和 Fokker–Planck 方程推导 \(D\) 与概率通量。
• Irreversible thermodynamics 将把 \(\nabla T\)、\(\nabla(\mu/T)\) 等写成 thermodynamic forces，并处理交叉输运。
• Electromagnetism 中 drift–diffusion 会与 Poisson equation 联立；solid-state physics 会讨论 degenerate carriers 和 band-dependent mobility。
• Fluid mechanics 将从 Navier–Stokes equation 系统推导 momentum diffusion、boundary layers 与 Reynolds-number boundary。