物质的磁性

Learning objectives / 学习目标

完成本课后，你应当能够：

1. 定义 magnetization \(\mathbf M\)，从其空间分布计算 \(\mathbf J_{\mathrm b}=\nabla\times\mathbf M\) 与 \(\mathbf K_{\mathrm b}=\mathbf M\times\hat{\mathbf n}\)。
2. 由 \(\mathbf H=\mathbf B/\mu_0-\mathbf M\) 推导 \(\nabla\times\mathbf H=\mathbf J_{\mathrm f}\)，并区分 \(\mathbf B,\mathbf H,\mathbf M\) 的单位与来源账本。
3. 用磁化率、温度依赖和非线性/历史依赖区分 diamagnetic、paramagnetic、ferromagnetic response。
4. 解释磁畴重排、饱和、剩磁、矫顽场和磁滞回线面积的能量意义。
5. 推导并应用磁介质界面的 \(\mathbf B\) 法向与 \(\mathbf H\) 切向边界条件。

Prerequisites / 先修知识

• Forces and Torques on Currents：\(\boldsymbol\mu\)、力矩与偶极能。
• Biot–Savart Law：电流分布产生 \(\mathbf B\)。
• Ampère's Law：\(\nabla\times\mathbf B=\mu_0\mathbf J\)。
• curl、散度、pillbox 与 infinitesimal loop。

Scope and conventions / 范围与约定

• 采用经典连续介质宏观平均；平均尺度远大于原子尺度、远小于器件尺度。
• 总电流拆成 \(\mathbf J=\mathbf J_{\mathrm f}+\mathbf J_{\mathrm b}\)；下标 f 表 free，b 表 bound。
• 材料表面外法向用于 \(\mathbf K_{\mathrm b}=\mathbf M\times\hat{\mathbf n}\)。
• 界面法向 \(\hat{\mathbf n}_{12}\) 从介质 1 指向介质 2；free surface current 为 \(\mathbf K_{\mathrm f}\)。
• SI 中 \(\mathbf B\) 单位 T，\(\mathbf H\) 与 \(\mathbf M\) 都是 \(\mathrm{A\,m^{-1}}\)，但不是同一个场。
• 线性、各向同性、均匀关系 \(\mathbf M=\chi_m\mathbf H\) 只在指定材料与场强范围内使用；铁磁滞回通常不满足单值线性关系。

Notation and modeling contract / 符号与建模契约

Knowledge 1 — Magnetization and bound currents / 磁化与束缚电流

Knowledge ID: P04-U07-L03-K01

1.1 From dipoles to a continuum field

取足够小但含大量原子/分子的体积 \(\Delta\tau\)，定义

\[\mathbf M(\mathbf r)=\lim_{\Delta\tau\to\mathrm{macro\ small}} \frac{\sum_{\Delta\tau}\boldsymbol\mu_i}{\Delta\tau}.\]

\(\mathbf M\) 是磁偶极矩密度，不是磁场。总体磁矩为

\[\boldsymbol\mu_{\mathrm{tot}}=\int_V\mathbf M\,d\tau.\]

图 1 表示微观磁矩经空间平均形成 \(\mathbf M\)；箭头并非单个磁针的真实尺寸。

1.2 Equivalent bound currents

磁化分布的外部与宏观内部场，可等效为

\[\boxed{\mathbf J_{\mathrm b}=\nabla\times\mathbf M}, \qquad \boxed{\mathbf K_{\mathrm b}=\mathbf M\times\hat{\mathbf n}}.\]

均匀 \(\mathbf M\) 的体内 curl 为零，但表面一般仍有束缚电流；“体内无 \(\mathbf J_{\mathrm b}\)”不等于“磁化不产生场”。

图 2 的均匀磁化圆柱等效于绕在表面的理想 sheet current；端面上 \(\mathbf M\times\hat{\mathbf n}=0\)。

1.3 Spatially varying magnetization

若 \(\mathbf M=M_y(x)\hat{\mathbf y}\)，则

\[\mathbf J_{\mathrm b} =\nabla\times\mathbf M =\frac{dM_y}{dx}\hat{\mathbf z}.\]

因此 magnetization gradient 可产生体束缚电流，方向由 curl 而非由“磁矩箭头朝向”直接猜测。

图 3 是 curl 的局部示意：向右增大的 \(M_y\) 对应 \(+z\) 束缚体电流。

Knowledge 2 — Auxiliary field \(\mathbf H\) / 辅助场 \(\mathbf H\)

Knowledge ID: P04-U07-L03-K02

2.1 Free-current bookkeeping

总场满足

\[\nabla\times\mathbf B =\mu_0(\mathbf J_{\mathrm f}+\mathbf J_{\mathrm b}) =\mu_0(\mathbf J_{\mathrm f}+\nabla\times\mathbf M).\]

定义

\[\boxed{\mathbf H\equiv\frac{\mathbf B}{\mu_0}-\mathbf M},\]

便有

\[\boxed{\nabla\times\mathbf H=\mathbf J_{\mathrm f}}, \qquad \boxed{\oint_C\mathbf H\cdot d\boldsymbol\ell=I_{\mathrm f,enc}}.\]

\(\mathbf H\) 是把材料束缚电流从 Ampère 账本中移走的 auxiliary field；它不是比 \(\mathbf B\) “更真实”或“更外加”的场。

图 4 显示 \(\mathbf H\) 只让自由电流出现在 curl 方程右端；最终受力与磁通仍常用 \(\mathbf B\)。

2.2 Constitutive relation is extra physics

Maxwell equations 本身不给材料响应。在线性、各向同性、均匀且无明显历史依赖的范围内，可加

\[\mathbf M=\chi_m\mathbf H,\qquad \mathbf B=\mu_0(1+\chi_m)\mathbf H=\mu\mathbf H.\]

若材料各向异性，\(\chi_m\) 是 tensor；若铁磁响应非线性且有磁滞，\(\mathbf M\) 不是 \(\mathbf H\) 的单值线性函数。

Knowledge 3 — Diamagnetism, paramagnetism, and ferromagnetism / 抗磁、顺磁与铁磁

Knowledge ID: P04-U07-L03-K03

3.1 Response classes

• Diamagnetism（抗磁性）： 外场诱导与外场反向的磁矩，\(\chi_m<0\)；所有材料都有此量子起源响应，但常被更强机制掩盖。
• Paramagnetism（顺磁性）： 已有微观磁矩在外场中略偏向排列，\(\chi_m>0\) 且通常很小；热涨落抵抗排列。
• Ferromagnetism（铁磁性）： exchange interaction 支持协同有序，响应强、非线性且常有磁畴与历史依赖。

图 5 故意不按共同纵轴比例：顺/抗磁斜率通常远小于铁磁响应；颜色只区分类别。

3.2 Temperature and saturation

简单弱场顺磁模型常给 Curie law

\[\chi_m=\frac{C}{T},\]

更一般的铁磁高温相可近似 Curie–Weiss form \(\chi_m=C/(T-\Theta)\)。它们都有适用温区与弱场条件；低温或强场时量子能级和 saturation 使简单式失效。

图 6 用 \(1/\chi_m\) 对 \(T\) 的线性化展示参数 \(\Theta\)；相变附近不能盲目外推。

Knowledge 4 — Magnetic domains and hysteresis / 磁畴与磁滞

Knowledge ID: P04-U07-L03-K04

4.1 Domains reduce energy

铁磁体常分成多个 magnetic domains，各域内磁化接近饱和但方向不同，使宏观净磁矩降低。外场可驱动 domain-wall motion 与 moment rotation；缺陷会 pin 畴壁，使过程具有不可逆性。

图 7 比较去磁宏观态与外场作用下的畴重排；不是把每个原子磁矩单独旋转成完全相同方向。

4.2 Hysteresis loop and energy loss

磁滞回线上关键量包括 saturation、remanence \(B_r\) 与 coercive field \(H_c\)。一个准静态循环的单位体积耗散能量等于回线面积的绝对值：

\[w_{\mathrm{loss}}=\left\lvert\oint H\,dB\right\rvert.\]

它的单位是 \((\mathrm{A\,m^{-1}})(\mathrm T)=\mathrm{J\,m^{-3}}\)。软磁材料通常窄回线、低损耗；永磁材料需要较大 coercivity，但真实选材还受温度、频率和机械加工影响。

图 8 中路径有方向；回线面积是耗散，而不是任一时刻储存的全部磁能。

Knowledge 5 — Boundary conditions in magnetic media / 磁介质界面边界条件

Knowledge ID: P04-U07-L03-K05

5.1 Normal \(\mathbf B\) and tangential \(\mathbf H\)

令 \(\hat{\mathbf n}_{12}\) 从介质 1 指向介质 2。由 \(\nabla\cdot\mathbf B=0\) 的薄 pillbox：

\[\boxed{\hat{\mathbf n}_{12}\cdot(\mathbf B_2-\mathbf B_1)=0}.\]

由 \(\nabla\times\mathbf H=\mathbf J_{\mathrm f}\) 的薄矩形：

\[\boxed{\hat{\mathbf n}_{12}\times(\mathbf H_2-\mathbf H_1)=\mathbf K_{\mathrm f}}.\]

等价地，切向跳跃满足

\[\mathbf H_{2t}-\mathbf H_{1t} =\mathbf K_{\mathrm f}\times\hat{\mathbf n}_{12}.\]

若无自由面电流，\(\mathbf H_t\) 连续；无论材料如何，\(\mathbf B_n\) 连续。\(\mathbf B_t\) 与 \(\mathbf H_n\) 一般不连续。

图 9 取界面为水平线、\(\hat{\mathbf n}_{12}\) 从 medium 1 指向 medium 2，并明确采用 \(\mathbf K_{\mathrm f}=\mathbf 0\)。因此两侧 \(\mathbf B\) 的法向分量相同、\(\mathbf H\) 的切向分量连续，而 \(\mathbf B\) 的切向分量可因 permeability 不同而改变；零面电流没有可画的方向箭头。

5.2 Refraction in linear media

若 \(\mathbf K_{\mathrm f}=0\) 且两侧线性各向同性，\(B_{1n}=B_{2n}\)、\(H_{1t}=H_{2t}\)。因 \(B_t=\mu H_t\)，有

\[\frac{\tan\theta_2}{\tan\theta_1}=\frac{\mu_2}{\mu_1},\]

其中 \(\theta_i\) 从法线量起。该“折射”关系不是光的 Snell law，且在非线性、各向异性或有 surface current 时不能直接使用。

5.3 Boundary workflow

图 10 强调先用普遍边界条件，再加入材料关系；不能把 \(\mathbf B=\mu\mathbf H\) 当成所有介质的普遍定律。

Worked Examples / 完整例题

Worked Example 1 — Uniformly magnetized cylinder / 均匀磁化圆柱

已知： 圆柱 \(R=1.00\ \mathrm{cm}\)、\(L=5.00\ \mathrm{cm}\)，\(\mathbf M=4.00\times10^5\hat{\mathbf z}\ \mathrm{A\,m^{-1}}\)。

对象与模型： 宏观均匀磁化、圆柱外为真空；侧面外法向 \(\hat{\mathbf r}\)。

\[\mathbf J_{\mathrm b}=\nabla\times\mathbf M=0,\qquad \mathbf K_{\mathrm b}=\mathbf M\times\hat{\mathbf r} =M\hat{\boldsymbol\phi}.\]

\[V=\pi R^2L=1.57\times10^{-5}\ \mathrm{m^3},\qquad \mu_{\mathrm{tot}}=MV=6.28\ \mathrm{A\,m^2}.\]

穿过一条母线的等效总环向电流为 \(K_{\mathrm b}L=2.00\times10^4\ \mathrm A\)；与面积 \(\pi R^2\) 相乘仍给 \(6.28\ \mathrm{A\,m^2}\)。

检查： \(\mathbf K_{\mathrm b}\) 单位 A/m，乘长度才是 A；端面 \(\hat{\mathbf n}=\pm\hat{\mathbf z}\)，故无表面束缚电流。

Worked Example 2 — Linear paramagnet in a solenoid / 线性顺磁体

已知： 长 solenoid 的 \(n=1500\ \mathrm{m^{-1}}\)、\(I=0.800\ \mathrm A\)，填入 \(\chi_m=2.50\times10^{-4}\) 的线性顺磁体。

系统与模型： 忽略端部和退磁场，free current 决定 \(H=nI\)。

\[H=nI=1.20\times10^3\ \mathrm{A\,m^{-1}}, \qquad M=\chi_mH=0.300\ \mathrm{A\,m^{-1}}.\]

\[B=\mu_0(H+M) =(4\pi\times10^{-7})(1200.3) =1.51\times10^{-3}\ \mathrm T.\]

检查： \(\chi_m>0\) 使 \(B\) 略大于真空值；由于 \(\chi_m\) 很小，三位有效数字下增量不可见，但模型方向正确。

Worked Example 3 — Field refraction at an interface / 界面场折转

已知： \(\mu_1=2\mu_0\)、\(\mu_2=5\mu_0\)，无 free surface current。介质 1 中 \(B_1=0.0200\ \mathrm T\)，与法线夹角 \(\theta_1=30.0^\circ\)。

边界与坐标： \(\hat{\mathbf n}_{12}\) 从 1 指向 2，切向取 \(+x\)。两侧线性各向同性。

\[B_{2n}=B_{1n}=B_1\cos30^\circ=0.0173\ \mathrm T.\]

\[H_{2t}=H_{1t} \Rightarrow B_{2t}=\frac{\mu_2}{\mu_1}B_{1t} =\frac52(0.0200\sin30^\circ) =0.0250\ \mathrm T.\]

\[B_2=\sqrt{B_{2n}^2+B_{2t}^2}=0.0304\ \mathrm T, \qquad \theta_2=\tan^{-1}\frac{B_{2t}}{B_{2n}}=55.3^\circ.\]

检查： 法向分量相同；更大 \(\mu\) 使 \(\mathbf B\) 更趋向界面切向。三位有效数字。

Worked Example 4 — Hysteresis power loss / 磁滞功率损耗

已知： 某铁芯 \(B\)–\(H\) 回线面积为 \(1.80\times10^4\ \mathrm{J\,m^{-3}}\)，体积 \(V=2.00\times10^{-5}\ \mathrm{m^3}\)，循环频率 \(f=60.0\ \mathrm{Hz}\)。

系统与模型： 把铁芯作为热力学系统，准周期稳定循环；忽略涡流及其他损耗以隔离磁滞项。

\[E_{\mathrm{cycle}}=w_{\mathrm{loss}}V =(1.80\times10^4)(2.00\times10^{-5}) =0.360\ \mathrm J.\]

\[P=fE_{\mathrm{cycle}}=(60.0)(0.360)=21.6\ \mathrm W.\]

检查与解释： J/cycle 乘 cycles/s 得 W；真实铁芯总损耗还包括 eddy-current 与异常损耗。

Lesson synthesis / 本课综合

材料磁性问题有三张账本：\(\mathbf M\) 记录偶极矩密度并可转成 bound currents；\(\mathbf H\) 把 Ampère 环流右端整理成 free current；\(\mathbf B=\mu_0(\mathbf H+\mathbf M)\) 是最终总磁场。材料关系、磁畴动力学和磁滞是额外物理，不由 Maxwell 方程自动给出。界面上先用普遍的 \(B_n\) 与 \(H_t\) 跳跃条件，再使用合适 constitutive law。

Formula-and-decision table / 公式与决策表

Model boundaries / 模型边界

• 连续 \(\mathbf M\) 是宏观平均，不描述单个 spin 或晶格尺度结构。
• \(\mathbf M=\chi_m\mathbf H\) 不适用于饱和、磁滞、强非线性、明显各向异性或频率色散。
• Curie/Curie–Weiss laws 有温区和弱场限制，不能穿过相变点机械外推。
• 理想回线面积公式假设稳定周期；动态磁滞会随频率和波形改变。
• 界面折转式要求线性各向同性且 \(\mathbf K_{\mathrm f}=0\)；普遍边界条件本身不要求这些。
• 微观磁性根源涉及量子力学；本课只建立本科宏观场论接口。

Misconception clinic / 误区诊所

1. 把 \(\mathbf M\) 当作 T。 它是磁矩密度，单位 A/m。
2. 均匀 \(\mathbf M\) 所以没有 bound current。 只有体束缚电流为零，表面 \(\mathbf K_{\mathrm b}\) 可非零。
3. \(\mathbf H\) 只由外加场产生。 它是由 \(\mathbf B\) 与 \(\mathbf M\) 定义的辅助场，不等同于“外场”。
4. \(\mu_r\) 是材料永恒常数。 非线性、温度、频率、方向和历史都可使其变化。
5. 铁磁体零外场时每个磁矩随机。 域内高度有序；去磁态是不同磁畴宏观抵消。
6. 界面上 \(\mathbf B\) 全矢量连续。 只有法向分量普遍连续；切向分量可跳变。
7. 回线面积是瞬时储能。 它是一周期耗散能量密度。

Practice and retrieval / 练习与提取

1. 定义（K01）： 均匀 \(\mathbf M=M\hat{\mathbf z}\) 的长圆柱有哪些 bound currents？
2. curl（K01）： 若 \(\mathbf M=kx\,\hat{\mathbf y}\)，求 \(\mathbf J_{\mathrm b}\)。
3. H field（K02）： 某点 \(\mathbf B=0.020\hat{\mathbf x}\ \mathrm T\)、\(\mathbf M=5.0\times10^3\hat{\mathbf x}\ \mathrm{A\,m^{-1}}\)，求 \(\mathbf H\)。
4. 线性介质（K02）： \(\chi_m=-1.0\times10^{-5}\)、\(H=2.0\times10^4\ \mathrm{A\,m^{-1}}\)，求 \(M\) 与 \(B\)。
5. 分类（K03）： 仅由 \(\chi_m>0\) 能否断言材料是 ferromagnet？解释。
6. 温度（K03）： 简单 Curie paramagnet 从 \(300\ \mathrm K\) 升至 \(600\ \mathrm K\)，弱场 \(\chi_m\) 如何变化？
7. 磁畴（K04）： 为什么未磁化铁磁体仍可在每个 domain 内有大磁化？
8. 磁滞（K04）： 回线面积 \(5.0\times10^3\ \mathrm{J\,m^{-3}}\)、体积 \(1.0\times10^{-4}\ \mathrm{m^3}\)、频率 \(50\ \mathrm{Hz}\)，求磁滞功率。
9. 边界（K05）： 无 free sheet current 时，哪些分量连续？
10. 界面电流（K05）： \(\hat{\mathbf n}_{12}=\hat{\mathbf z}\)、\(\mathbf K_{\mathrm f}=K\hat{\mathbf x}\)，求 \(\mathbf H_{2t}-\mathbf H_{1t}\) 的方向与大小。

Exit ticket / 离堂检核

1. 一块均匀磁化材料内部 \(\nabla\times\mathbf M=0\)。解释为何它仍可在外部产生磁场，并写出相应源。
2. 有人说“界面无自由电流，所以 \(\mathbf B\) 连续”。指出错误，并给出正确的两条分量条件。

References and source notes / 参考资料与来源说明

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资料与链接实际浏览、阅读和核对日期：2026-08-28。不同来源的 \(\mathbf H\) 和界面法向约定已统一为本课声明；图示均为原创。

复习与拓展

• Faraday’s and Lenz’s Laws：时变 \(\mathbf B\) 与磁性材料中的感应。
• Magnetic circuits：在受控近似下用 reluctance，但不能忽略 fringing 与非线性。
• Thermodynamics of magnetic media：能量、功与选择 \(\mathbf B\) 或 \(\mathbf H\) 作为控制变量。
• Condensed matter：exchange、spin waves、anisotropy 与相变。