安培定律

Learning objectives / 学习目标

完成本课后，你应当能够：

1. 计算并解释 \(\oint_C\mathbf B\cdot d\boldsymbol\ell\)，一致地选择路径与跨越面取向。
2. 用 Ampère’s law 求无限长导线、均匀载流圆柱、理想无限长螺线管和环形线圈的场。
3. 借助 Stokes theorem 在积分式与 \(\nabla\times\mathbf B=\mu_0\mathbf J\) 之间转换。
4. 判断一个问题是否有足够的旋转、平移或环向对称性把 \(B\) 提出积分号。
5. 说明磁静态定律面对时变电场时的边界，以及 displacement current 的必要性。

Prerequisites / 先修知识

• Biot–Savart Law：电流源的逐元叠加。
• Electric Current and Conduction：\(I=\int\mathbf J\cdot d\mathbf a\)。
• 线积分、curl 与 Stokes theorem。
• 圆柱坐标、右手定则和系统边界。

Scope and conventions / 范围与约定

• 本课主体为 magnetostatics：\(\partial\mathbf E/\partial t=0\)、\(\partial\rho/\partial t=0\)。
• 闭合路径 \(C=\partial S\) 的正向与面积法向 \(\hat{\mathbf n}\) 按右手规则配对；\(I_{\mathrm{enc}}=\int_S\mathbf J\cdot d\mathbf a\) 带符号。
• 理想无限导线、无限长 solenoid 和理想 toroid 都是对称极限；有限器件有 edge/fringing fields。
• \(\mathbf B\) 的环流非零并不表示磁场线“起于电流”；\(\nabla\cdot\mathbf B=0\) 仍成立。
• 数值采用 \(\mu_0\simeq4\pi\times10^{-7}\ \mathrm{N\,A^{-2}}\)。

Notation and modeling contract / 符号与建模契约

Knowledge 1 — Circulation of magnetic field / 磁场环流

Knowledge ID: P04-U07-L02-K01

1.1 Oriented circulation

磁静态 Ampère’s law 是

\[\oint_C\mathbf B\cdot d\boldsymbol\ell=\mu_0I_{\mathrm{enc}}.\]

左侧不是“沿路磁场大小总和”，而是切向分量的有向线积分。局部 \(\mathbf B\) 与路径方向相反时，该段贡献为负；垂直时为零。

图 1 把路径正向、面法向和穿面电流符号绑定。若同时反转 \(C\) 与 \(\hat{\mathbf n}\)，等式两边一起变号，物理不变。

1.2 Topological but not shape-independent field

同一边界 \(C\) 可张成许多曲面。在稳恒情形 \(\nabla\cdot\mathbf J=0\)，穿过任意两个跨越面的净电流相同，因此右端明确。但这并不意味着 \(\mathbf B\) 在任意路径上相同；只意味着整条有向环流固定。

图 2 中两面共享同一边界并被同一稳恒电流穿过。若电荷在两面之间积累，磁静态前提失效，Maxwell correction 才能恢复面选择无关性。

Knowledge 2 — Infinite wire, solenoid, and toroid / 无限长导线、螺线管与环形线圈

Knowledge ID: P04-U07-L02-K02

2.1 Infinite straight wire and a thick cylindrical conductor

无限长直导线有绕轴旋转对称与沿轴平移对称，所以 \(\mathbf B=B(r)\hat{\boldsymbol\phi}\)。取半径 \(r\) 同心圆：

\[B(2\pi r)=\mu_0I,\qquad B(r)=\frac{\mu_0I}{2\pi r}.\]

图 3 中每点 \(\mathbf B\) 都切向且等大，故可以从积分号提出 \(B\)。

若半径 \(R\) 的圆柱内电流密度均匀，则 \(r<R\) 时 \(I_{\mathrm{enc}}=I r^2/R^2\)：

\[B(r)= \begin{cases} \dfrac{\mu_0Ir}{2\pi R^2}, & r<R,\\ \dfrac{\mu_0I}{2\pi r}, & r\ge R. \end{cases}\]

图 4 的连续性来自没有理想 surface-current sheet；斜率在 \(r=R\) 可改变。

2.2 Ideal infinite solenoid

设单位长度匝数 \(n\)、每匝电流 \(I\)。对跨过内部长度 \(\ell\) 的矩形路径，理想无限长极限中外场为零、短边点积为零：

\[B\ell=\mu_0(n\ell)I,\qquad B_{\mathrm{inside}}=\mu_0nI.\]

图 5 表示理想内部均匀场。真实有限线圈端部附近有显著 fringing，外场也不为零。

2.3 Ideal toroid

环形线圈有环向对称性。若线圈横截面占 \(a<r<b\)，则

\[B(r)= \begin{cases} 0, & r<a,\\ \dfrac{\mu_0NI}{2\pi r}, & a<r<b,\\ 0, & r>b \end{cases}\]

是“紧密均匀绕制、圆形中心线”的理想结果。外部路径穿过的代数净电流为零。

图 6 中场只在理想绕组区域内环绕；实际离散匝会产生小的漏磁场。

Knowledge 3 — Integral and differential forms / 积分与微分形式

Knowledge ID: P04-U07-L02-K03

3.1 Stokes theorem bridge

Stokes theorem 给

\[\oint_{\partial S}\mathbf B\cdot d\boldsymbol\ell =\int_S(\nabla\times\mathbf B)\cdot d\mathbf a.\]

又有 \(I_{\mathrm{enc}}=\int_S\mathbf J\cdot d\mathbf a\)，故对任意足够光滑的面元

\[\boxed{\nabla\times\mathbf B=\mu_0\mathbf J}\]

是磁静态局部形式。积分式描述有限环路的总环流；微分式描述一点附近的局部旋转密度。

图 7 表示边界环流等于面内局部 curl 的通量；两者不是两条不同定律。

3.2 Why the magnetostatic form is incomplete for changing fields

对 \(\nabla\times\mathbf B=\mu_0\mathbf J\) 取散度：

\[0=\mu_0\nabla\cdot\mathbf J.\]

它只与稳恒连续性 \(\nabla\cdot\mathbf J=0\) 相容。若电荷积累，连续性方程是 \(\nabla\cdot\mathbf J=-\partial\rho/\partial t\)。Maxwell 增加 displacement-current term：

\[\nabla\times\mathbf B =\mu_0\mathbf J+\mu_0\epsilon_0\frac{\partial\mathbf E}{\partial t}.\]

本课只把它作为边界说明；完整推导在后续 Maxwell equations 课程。

图 8 显示为什么只计 conduction current 会让不同跨越面得出矛盾；变化电场补上同一环流源。

Knowledge 4 — Conditions for symmetry-based use / 对称性求场的条件

Knowledge ID: P04-U07-L02-K04

4.1 The law is universal; the shortcut is not

磁静态 Ampère’s law 对任意闭合路径成立，但要从

\[\oint_C\mathbf B\cdot d\boldsymbol\ell\]

直接化成 \(B\,L_C\)，路径上必须同时满足：磁场与路径切向平行或在某段垂直、且所有非零点积段上的 \(B\) 大小可由对称性证明相同。

图 9 的非对称源仍服从安培定律，但不能把 \(B\) 提出积分号；应回到 Biot–Savart 或数值方法。

4.2 Symmetry checklist

• Rotational symmetry： 绕轴旋转源不变，常给 \(\mathbf B=B(r)\hat{\boldsymbol\phi}\)。
• Translational symmetry： 沿某方向平移源不变，排除该坐标依赖。
• Reflection symmetry： 判断某些分量必须为零。
• Matching loop： 选择路径必须顺应已证明的场方向和等值面。
• Enclosed current： 只数穿过所选有向面的净电流，不数“靠近路径”的电流。

图 10 的核心顺序是“先由源证明场结构，再选路径”；不能先画一个圆就宣称场恒定。

Worked Examples / 完整例题

Worked Example 1 — Uniform solid conductor / 均匀载流实心导体

已知： 圆柱导体半径 \(R=1.00\ \mathrm{cm}\)，总电流 \(I=8.00\ \mathrm A\) 均匀分布，求 \(r=6.00\ \mathrm{mm}\) 处场。

对象、坐标与模型： 无限长圆柱，轴为 \(z\)，电流沿 \(+z\)；取同心圆安培环路，\(\mathbf B=B(r)\hat{\boldsymbol\phi}\)。

\[I_{\mathrm{enc}}=I\frac{r^2}{R^2},\qquad B(2\pi r)=\mu_0I\frac{r^2}{R^2}.\]

\[B=\frac{\mu_0Ir}{2\pi R^2} =\frac{(4\pi\times10^{-7})(8.00)(0.00600)} {2\pi(0.0100)^2} =9.60\times10^{-5}\ \mathrm T.\]

方向与检查： 环向右手定则；\(r\to0\) 时 \(B\to0\)，在 \(r=R\) 与外式连续。三位有效数字。

Worked Example 2 — Long solenoid / 长螺线管

已知： \(n=1.50\times10^3\ \mathrm{m^{-1}}\)，\(I=0.800\ \mathrm A\)。求远离端部的内部场。

模型： 长度远大于半径、紧密绕制、空气芯；选跨越内外的矩形环路。

\[B=\mu_0nI =(4\pi\times10^{-7})(1.50\times10^3)(0.800) =1.51\times10^{-3}\ \mathrm T.\]

检查： \(\mu_0nI\) 单位为 T；方向由绕组电流右手定则决定。有限端部附近此值不适用。

Worked Example 3 — Toroid / 环形线圈

已知： \(N=500\)，\(I=2.00\ \mathrm A\)，求绕组内 \(r=0.120\ \mathrm m\) 处场。

模型： 紧密均匀绕制的理想 toroid；同心圆路径穿过 \(NI\) 的代数电流。

\[B=\frac{\mu_0NI}{2\pi r} =\frac{(4\pi\times10^{-7})(500)(2.00)} {2\pi(0.120)} =1.67\times10^{-3}\ \mathrm T.\]

检查： 随 \(r\) 增大按 \(1/r\) 减小；方向沿环向。三位有效数字。

Worked Example 4 — Coaxial cable / 同轴电缆

已知： 内导体半径 \(a=2.00\ \mathrm{mm}\)，均匀载流 \(+I=4.00\ \mathrm A\)；半径 \(b=6.00\ \mathrm{mm}\) 的薄外导体载流 \(-I\)。求 \(r=1.00,4.00,8.00\ \mathrm{mm}\) 处场。

系统与模型： 无限长同轴、轴对称，忽略外导体厚度；内导体电流沿 \(+z\)，外导体回流沿 \(-z\)，因此内导体外的正场方向按右手定则为 \(+\hat{\boldsymbol\phi}\)。

在 \(r=1.00\ \mathrm{mm}<a\)：

\[I_{\mathrm{enc}}=I\frac{r^2}{a^2}=1.00\ \mathrm A,\qquad B=\frac{\mu_0I_{\mathrm{enc}}}{2\pi r}=2.00\times10^{-4}\ \mathrm T.\]

在 \(a<r=4.00\ \mathrm{mm}<b\)：

\[B=\frac{\mu_0I}{2\pi r}=2.00\times10^{-4}\ \mathrm T.\]

在 \(r=8.00\ \mathrm{mm}>b\)，\(I_{\mathrm{enc}}=I-I=0\)，故 \(B=0\)。

检查与解释： 两个非零数相同只是所给半径的巧合；外部为零依赖理想同轴、等大反向电流。方向绕 \(+z\) 电流。

Lesson synthesis / 本课综合

Ampère’s law 永远约束总环流，但“直接求场”是一项对称性特权。可靠流程是：声明稳恒前提与取向；从源对称性推断 \(\mathbf B\) 的方向和坐标依赖；选择匹配环路；计算带符号 \(I_{\mathrm{enc}}\)；最后检查内外极限、连续性与理想化边界。

Formula-and-decision table / 公式与决策表

Model boundaries / 模型边界

• 无限长导线与螺线管、完美 toroid 不可实体实现；只在距边缘足够远时近似。
• 均匀体电流假设在高频 skin effect 或非均匀材料中失效。
• 磁静态形式要求 \(\partial\mathbf E/\partial t=0\)；充电电容是反例。
• 安培定律本身不要求对称；把 \(B\) 提出积分号才要求对称。
• 在磁性介质中，若只想让右端计自由电流，通常改用 \(\oint\mathbf H\cdot d\boldsymbol\ell=I_{\mathrm f,enc}\)。

Misconception clinic / 误区诊所

1. “路径包围电流”只看平面图。 应数穿过指定有向面的代数电流。
2. 总把 \(\oint\mathbf B\cdot d\boldsymbol\ell\) 写成 \(B(2\pi r)\)。 只有 \(\mathbf B\) 切向且等大时才可。
3. 认为环路外电流没有任何影响。 它对净环流贡献为零，但可改变路径各点的局部 \(\mathbf B\)。
4. 认为 toroid 外场严格为零。 只对连续、紧密、理想对称绕组成立。
5. 把 \(\nabla\times\mathbf B\neq0\) 理解为磁场线有起点。 起点由散度描述；\(\nabla\cdot\mathbf B=0\)。
6. 在充电电容间隙仍使用 \(\nabla\times\mathbf B=\mu_0\mathbf J\)。 必须加入 displacement current。

Practice and retrieval / 练习与提取

1. 取向（K01）： 若环路从 \(+z\) 看为逆时针，正法向是什么？沿 \(-z\) 的电流计正还是负？
2. 环流（K01）： 某闭路穿过 \(+3.0\ \mathrm A\) 与 \(-1.0\ \mathrm A\)，求 \(\oint\mathbf B\cdot d\boldsymbol\ell\)。
3. 细导线（K02）： \(I=10.0\ \mathrm A\)，求 \(r=5.00\ \mathrm{cm}\) 处场。
4. 粗导体（K02）： 半径 \(2.00\ \mathrm{cm}\)、均匀载流 \(12.0\ \mathrm A\)，求 \(r=1.00\ \mathrm{cm}\) 和 \(4.00\ \mathrm{cm}\) 处场。
5. 螺线管（K02）： \(N=1200\)、\(L=0.600\ \mathrm m\)、\(I=1.50\ \mathrm A\)，求理想内部场。
6. Toroid（K02）： \(N=800\)、\(I=0.750\ \mathrm A\)，求 \(r=0.100\ \mathrm m\) 处理想场。
7. 局部形式（K03）： 用 Stokes theorem 说明积分式如何推出微分式。
8. 时变边界（K03）： 为什么充电电容暴露磁静态安培定律的不足？
9. 对称性（K04）： 对有限直导线，圆形安培环路为何不能直接求 \(B\)？
10. 综合（K04）： 理想同轴电缆内外导体电流等大反向。解释为何外部环流为零，但现实外部局部场未必严格为零。

Exit ticket / 离堂检核

1. 给出“安培定律成立”与“安培定律能直接求场”的差别，并各举一例。
2. 对一条半径 \(R\) 的非均匀载流导线，说明在不知道 \(J(r)\) 时能否求内部 \(B(r)\)，以及还缺什么信息。

References and source notes / 参考资料与来源说明

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资料与链接实际浏览、阅读和核对日期：2026-08-28。正文和图示均为基于方程的原创重构。

复习与拓展

• Magnetism in Matter：用 \(\mathbf H\) 让环流右端只计自由电流。
• Maxwell’s Completion of Electromagnetism：加入 displacement current，解除跨越面矛盾。
• Electromagnetic waves：变化电场与变化磁场相互耦合。
• Numerical electromagnetism：对称性不足时用边界元或有限元求场。