加速电荷的辐射

Learning objectives / 学习目标

完成本课后，你应能：

1. 定义延迟时刻、延迟距离、\(\boldsymbol\beta\) 与 \(\kappa\)，正确书写 Liénard–Wiechert 势和场；
2. 区分点电荷的速度场 \(R^{-2}\) 与加速度场 \(R^{-1}\)，并从振荡偶极展开辨认 \(r^{-3},r^{-2},r^{-1}\) 三个区域；
3. 推导非相对论电偶极的 \(\sin^2\theta\) 功率图样和总平均功率；
4. 使用 Larmor 公式，说明其非相对论边界以及 Abraham–Lorentz 方程的 runaway/pre-acceleration 病态；
5. 连接偶极矩、电流元、辐射电阻与天线近远场判据，并知道工程判据不是普适锋利边界。

Prerequisites / 先修知识

• Electric and Magnetic Fields Across Frames：四维事件与因果结构的基本概念；
• Potentials and Gauge Freedom：Lorenz gauge、标势与矢势；
• Energy and Momentum of Electromagnetic Fields：Poynting 向量、真空波阻抗；
• 多元微积分、矢量恒等式、球坐标立体角 \(d\Omega=\sin\theta\,d\theta d\varphi\)。

Scope and conventions / 范围与约定

使用 SI，真空中 \(c=1/\sqrt{\mu_0\epsilon_0}\)。观察事件为 \((\mathbf r,t)\)；带方括号下标“ret”的量在延迟时刻 \(t_r\) 取值。除 Liénard–Wiechert 精确式外，偶极与 Larmor 部分默认非相对论 \(v\ll c\)。偶极源尺寸 \(d\ll\lambda\)；远区再要求 \(r\gg\lambda\) 且 \(r\gg d\)。

所有功率方向采用向外 Poynting 通量为正。\(P_{\rm rad}\) 表示源向外辐射的正功率，不与粒子机械能变化率混用。

Notation and modeling contract / 符号与建模契约

K01 — Liénard–Wiechert potentials / 李纳—维谢尔势

Knowledge ID: P04-U11-L03-K01

电磁影响以有限速度传播。延迟时刻不是简单固定的 \(t-R/c\)，因为源在传播期间移动；它由隐式方程确定：

\[t-t_r=\frac{R(t_r)}{c}, \qquad \mathbf R(t_r)=\mathbf r-\mathbf r_q(t_r).\]

在 Lorenz gauge 中，点电荷 \(q\) 的 Liénard–Wiechert 势为

\[\Phi(\mathbf r,t)=\frac{q}{4\pi\epsilon_0} \left[\frac{1}{\kappa R}\right]_{\rm ret},\]

\[\mathbf A(\mathbf r,t)=\frac{\mu_0q}{4\pi} \left[\frac{\mathbf v}{\kappa R}\right]_{\rm ret} =\frac{\Phi}{c^2}[\mathbf v]_{\rm ret}.\]

\(\kappa^{-1}\) 来自移动点源的延迟时间 Jacobian，不能凭“把 Coulomb 势中的位置换成延迟位置”得到。

对势求导得到精确场：

\[\mathbf E=\frac{q}{4\pi\epsilon_0} \left[ \frac{(1-\beta^2)(\mathbf n-\boldsymbol\beta)}{\kappa^3R^2} +\frac{\mathbf n\times\left[(\mathbf n-\boldsymbol\beta)\times\dot{\boldsymbol\beta}\right]}{c\kappa^3R} \right]_{\rm ret},\]

\[\mathbf B(\mathbf r,t)=\frac{1}{c}[\mathbf n]_{\rm ret}\times\mathbf E(\mathbf r,t).\]

点号表示对源的实验室坐标时求导，再在 \(t_r\) 取值。第一项称 velocity field，随 \(R^{-2}\)；第二项含加速度 \(\dot{\boldsymbol\beta}\)，随 \(R^{-1}\)，在远处主导辐射。匀速电荷虽可在固定观察点产生时变场，但 \(\dot{\boldsymbol\beta}=0\)，没有持续送往无穷远的辐射项。

K02 — Near, induction, and radiation fields / 近场、感应场与辐射场

Knowledge ID: P04-U11-L03-K02

点电荷精确场自然分为 \(R^{-2}\) 与 \(R^{-1}\) 两项；工程中常说的“近场—感应场—辐射场”三层结构，最清楚地出现在局域振荡偶极展开。对任意缓变电偶极 \(\mathbf p(t)\)，

\[\mathbf E(\mathbf r,t)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left[ \frac{3\mathbf n(\mathbf n\cdot\mathbf p)-\mathbf p}{r^3} +\frac{3\mathbf n(\mathbf n\cdot\dot{\mathbf p})-\dot{\mathbf p}}{cr^2} +\frac{\mathbf n\times(\mathbf n\times\ddot{\mathbf p})}{c^2r} \right]_{t-r/c},\]

\[\mathbf B(\mathbf r,t)=\frac{\mu_0}{4\pi} \left[ \frac{\dot{\mathbf p}\times\mathbf n}{r^2} +\frac{\ddot{\mathbf p}\times\mathbf n}{cr} \right]_{t-r/c}.\]

若 \(\mathbf p\) 随 \(e^{-i\omega t}\) 或 \(e^{i\omega t}\) 振荡，各项幅值之比由 \(kr=\omega r/c\) 控制：

• \(kr\ll1\)：\(r^{-3}\) 准静态电场主导，能量主要在源附近往返储存；
• \(kr\sim1\)：\(r^{-2}\) 感应项不可忽略；
• \(kr\gg1\)：\(r^{-1}\) 横向辐射场主导，\(\mathbf E\perp\mathbf B\perp\mathbf n\)，且 \(E=cB\)。

“三个场”并非三种互不相干的物质，也没有尖锐边界；它们是同一个 Maxwell 解在不同 \(kr\) 阶次的主导项。近场中 Poynting 向量可来回振荡，不能把瞬时向外流全部解释成永久辐射损失。

K03 — Dipole radiation pattern and power / 偶极辐射图样与功率

Knowledge ID: P04-U11-L03-K03

令

\[\mathbf p(t)=p_0\cos\omega t\,\hat{\mathbf z}.\]

在远区只保留 \(1/r\) 项，峰值场满足

\[E_{\theta,0}=\frac{p_0\omega^2}{4\pi\epsilon_0c^2r}\sin\theta, \qquad B_{\varphi,0}=\frac{E_{\theta,0}}{c}.\]

周期平均 Poynting 通量给出

\[\frac{d\overline P}{d\Omega} =\frac{p_0^2\omega^4}{32\pi^2\epsilon_0c^3}\sin^2\theta =\frac{\mu_0p_0^2\omega^4}{32\pi^2c}\sin^2\theta.\]

轴向 \(\theta=0,\pi\) 没有辐射，赤道面 \(\theta=\pi/2\) 最大。对全立体角积分，使用

\[\int\sin^2\theta\,d\Omega=\frac{8\pi}{3},\]

得到

\[\overline P=\frac{p_0^2\omega^4}{12\pi\epsilon_0c^3} =\frac{\mu_0p_0^2\omega^4}{12\pi c}.\]

这个 \(\omega^4\) 标度解释了为什么相同偶极矩幅值在高频更易辐射。它也说明“场幅 \(\propto1/r\)”与能量守恒不矛盾：强度 \(\propto1/r^2\)，球面积 \(\propto r^2\)。

K04 — Larmor formula and radiation reaction boundary / 拉莫尔公式与辐射反作用边界

Knowledge ID: P04-U11-L03-K04

在电荷的瞬时静止系、非相对论极限，远区辐射场只取决于视线横向加速度。角分布为

\[\frac{dP}{d\Omega}=\frac{q^2a^2}{16\pi^2\epsilon_0c^3}\sin^2\theta.\]

积分得到 Larmor 公式：

\[P_{\rm rad}=\frac{q^2a^2}{6\pi\epsilon_0c^3} =\frac{\mu_0q^2a^2}{6\pi c}.\]

功率与 \(a^2\) 成正比，所以加速与减速只要加速度大小相同，非相对论瞬时辐射功率相同。相对论运动需使用 Liénard 推广：

\[P=\frac{q^2\gamma^6}{6\pi\epsilon_0c^3} \left[a^2-\frac{\lvert\mathbf v\times\mathbf a\rvert^2}{c^2}\right].\]

辐射带走能量，似乎应有自作用。非相对论 Abraham–Lorentz 形式为

\[\mathbf F_{\rm AL}=\frac{q^2}{6\pi\epsilon_0c^3}\dot{\mathbf a} =m\tau_0\dot{\mathbf a},\]

\[\tau_0=\frac{q^2}{6\pi\epsilon_0mc^3}.\]

但把它当作精确点粒子运动方程

\[m\mathbf a=\mathbf F_{\rm ext}+m\tau_0\dot{\mathbf a}\]

会引入三阶导数、runaway 解 \(a\propto e^{t/\tau_0}\)，以未来边界条件排除 runaway 又会产生 pre-acceleration。电子的 \(\tau_0\approx6.26\times10^{-24}\ \mathrm s\)，远小于通常经典时间尺度。

因此本课只把 Abraham–Lorentz 当作有效理论边界提示。在缓变外力下可作 reduction of order：

\[m\mathbf a\approx\mathbf F_{\rm ext}+\tau_0\dot{\mathbf F}_{\rm ext},\]

其小参数是 \(\tau_0/T\ll1\)。瞬时机械功率平衡还涉及近场（Schott）能量导数，不能逐时刻简单写成 \(\mathbf F_{\rm AL}\cdot\mathbf v=-P_{\rm rad}\)。

K05 — Antennas and radiation zones / 天线与辐射区

Knowledge ID: P04-U11-L03-K05

天线把导行电流和自由空间辐射互相转换。对长度 \(\ell\ll\lambda\)、电流近似空间均匀的 Hertzian dipole，若峰值电流为 \(I_0\)，电荷连续性给出

\[p_0=\frac{I_0\ell}{\omega}.\]

代入偶极功率式，可写成电路形式

\[\overline P=I_{\rm rms}^2R_{\rm rad}, \qquad R_{\rm rad}=80\pi^2\left(\frac{\ell}{\lambda}\right)^2\Omega.\]

“辐射电阻”不是一定存在的发热电阻，而是把远区辐射功率映射成端口 \(I_{\rm rms}^2R\) 的等效量。真实短偶极还包含很大的容性输入电抗和导体损耗。

天线最大尺度为 \(D\) 时，工程上常用 Fraunhofer 判据

\[r_{\rm FF}\gtrsim\frac{2D^2}{\lambda}\]

限制孔径上球面波的相位差；同时还须远离反应近场，通常要求 \(r\gg\lambda\) 和 \(r\gg D\)。因此保守写法是

\[r\gg\max\!\left(\lambda,D,\frac{2D^2}{\lambda}\right),\]

而不是把 \(2D^2/\lambda\) 当成对所有小天线都充分的绝对边界。

在远区，角分布与 \(r\) 基本无关、场近似横向、\(E/B\to c\)，波前在有限接收孔径上近似平面。Fresnel 区仍可有实际向外功率，但方向图依赖测量距离。

Worked Examples / 完整例题

Worked Example 1 — 解一个移动点电荷的延迟时刻

已知：电荷 \(q=1.00\ \mathrm{nC}\) 沿 \(+x\) 以 \(u=0.100c\) 匀速运动，\(t=0\) 通过原点；观察点在 \(x=d=300\ \mathrm m\)，求观察时刻 \(t=0\) 的 \(t_r,R,\kappa,\Phi\)。

参考系与模型：实验室惯性系；观察点在电荷前方，\(\mathbf n=+\hat x\)；点电荷精确延迟势。

延迟方程为

\[-t_r=\frac{d-ut_r}{c},\]

所以

\[t_r=-\frac{d}{c-u}=-1.11\ \mu\mathrm s.\]

\[R=d-ut_r=333\ \mathrm m, \qquad \kappa=1-u/c=0.900.\]

于是 \(\kappa R=300\ \mathrm m\)，

\[\Phi=\frac{q}{4\pi\epsilon_0\kappa R} =\frac{(8.98755\times10^9)(1.00\times10^{-9})}{300} =2.996\times10^{-2}\ \mathrm V.\]

检查：信号发出时电荷更靠后，故 \(R>d\)；\(t_r<0\)；匀速使加速度场为零，不能因势随观察事件变化就声称有辐射。

Worked Example 2 — 振荡偶极的功率与远区场

已知：\(p_0=2.00\times10^{-10}\ \mathrm{C\,m}\)，\(f=100\ \mathrm{MHz}\)。求总平均辐射功率及 \(r=100\ \mathrm m\)、\(\theta=90^\circ\) 的峰值电场。

系统与区域：真空中局域电偶极；\(\lambda=3.00\ \mathrm m\)，故 \(r\gg\lambda\)，可用远区式。

\[\omega=2\pi f=6.283\times10^8\ \mathrm{rad\,s^{-1}}.\]

\[\overline P=\frac{\mu_0p_0^2\omega^4}{12\pi c}=0.693\ \mathrm W.\]

赤道面峰值电场：

\[E_{\theta,0}=\frac{p_0\omega^2}{4\pi\epsilon_0c^2r} =7.90\times10^{-2}\ \mathrm{V\,m^{-1}}.\]

检查：相应平均强度 \(E_0^2/(2\mu_0c)=8.27\ \mu\mathrm{W\,m^{-2}}\)；乘 \(r^2\) 后的角功率密度为 \(8.27\times10^{-2}\ \mathrm{W\,sr^{-1}}\)，再按 \(\sin^2\theta\) 积分回到 \(0.693\ \mathrm W\)。

Worked Example 3 — 单个电子的 Larmor 功率

已知：某瞬间电子速度仍满足 \(v\ll c\)，加速度大小 \(a=1.00\times10^{18}\ \mathrm{m\,s^{-2}}\)。求瞬时辐射功率及持续 \(1.00\ \mathrm{ps}\) 的近似辐射能（假设 \(a\) 近似不变）。

参考系与模型：电子瞬时静止系的非相对论 Larmor 公式；忽略辐射反作用对给定短区间运动的改变。

\[P=\frac{e^2a^2}{6\pi\epsilon_0c^3}=5.70\times10^{-18}\ \mathrm W.\]

\[E_{rad}=P\Delta t=5.70\times10^{-30}\ \mathrm J =3.56\times10^{-11}\ \mathrm{eV}.\]

检查：\(P\ge0\) 且与加速度方向无关；该区间速度改变量约 \(1.00\times10^6\ \mathrm{m\,s^{-1}}\ll c\)，可与非相对论假设相容。更长时间需重新给定轨迹并检查相对论效应。

Worked Example 4 — 短偶极的辐射电阻与远区判断

已知：Hertzian dipole 长 \(\ell=5.00\ \mathrm{cm}\)，\(f=100\ \mathrm{MHz}\)，峰值电流 \(I_0=2.00\ \mathrm A\)。

系统与模型：\(\lambda=3.00\ \mathrm m\)，\(\ell/\lambda=1/60\ll1\)，电流沿短元近似均匀。

\[R_{rad}=80\pi^2\left(\frac{0.0500}{3.00}\right)^2=0.219\ \Omega.\]

\[I_{rms}=\frac{2.00}{\sqrt2}=1.414\ \mathrm A, \qquad \overline P=I_{rms}^2R_{rad}=0.439\ \mathrm W.\]

对应偶极矩峰值

\[p_0=\frac{I_0\ell}{\omega}=1.59\times10^{-10}\ \mathrm{C\,m},\]

代入偶极功率式得到同一 \(0.439\ \mathrm W\)。

边界检查：\(2D^2/\lambda=1.67\ \mathrm{mm}\) 对如此小的 \(D\) 并不足以保证辐射场主导；还需 \(r\gg\lambda\)。例如 \(r=300\ \mathrm m=100\lambda\) 是明确得多的远区量级。

Lesson synthesis / 本课综合

因果链条是：源的过去运动 \(\to\) 延迟势 \(\to\) 速度场与加速度场 \(\to\) 远区横向 \(1/r\) 场 \(\to\) \(1/r^2\) 能流密度和有限总功率。偶极是局域低速源的最低非零辐射多极；天线把这一场论结果映射成端口的辐射电阻。

Formula-and-decision table / 公式与决策表

Model boundaries / 模型边界

1. Liénard–Wiechert 势是 Lorenz gauge 下的延迟解；势可作 gauge 变换，\(\mathbf E,\mathbf B\) 才是可观测场。
2. 偶极近/感应/远区展开要求源局域且 \(d\ll\lambda\)；复杂天线需对电流分布积分。
3. Larmor 公式仅非相对论；高速回旋辐射出现相对论 beaming 与 synchrotron 谱。
4. Abraham–Lorentz 点粒子方程存在 runaway 与 pre-acceleration，不应作为无条件精确初值方程。
5. \(2D^2/\lambda\) 是孔径相位误差导出的工程判据，尤其适合 \(D\gtrsim\lambda\)；小天线还须 \(r\gg\lambda\)。
6. 理想自由空间功率不含介质吸收、地面反射、导体损耗、馈线失配与有限带宽。

Misconception clinic / 误区诊所

• “场指向电荷现在的位置。” 错。完整场由延迟位置、速度、加速度共同决定，不能只画延迟 Coulomb 线。
• “任何时变场都是辐射。” 错。随 \(R^{-2}\) 或更快衰减的近场可以随时间变化，却不产生半径无关的远区净功率。
• “辐射场 \(1/r\)，所以总能量随半径增加。” 错。强度平方为 \(1/r^2\)，正好抵消球面积的 \(r^2\)。
• “偶极沿轴辐射最强。” 错。\(\sin^2\theta\) 在轴上为零、赤道面最大。
• “辐射反作用就是每时刻 \(-P/v\)。” 错。方向在 \(v=0\) 时甚至无定义，且瞬时能量账还含 Schott 近场项。

Practice and retrieval / 练习与提取

1. 延迟（K01）

静止源到观察点距离 \(600\ \mathrm m\)。观察时刻 \(t=10.0\ \mu\mathrm s\) 对应的延迟时刻是多少？

2. \(\kappa\)（K01）

\(\beta=0.60\) 且速度正对观察者（\(\mathbf n\cdot\boldsymbol\beta=0.60\)）。求 \(\kappa\)。

3. 场与强度标度（K02）

远区距离增为 10 倍，辐射场幅、强度和穿过整球面的总功率怎样变？

4. 区域判断（K02）

\(f=30.0\ \mathrm{MHz}\)，在 \(r=0.10\ \mathrm m\) 与 \(100\ \mathrm m\) 处估算 \(kr\) 并判断。

5. 偶极方向图（K03）

比较 \(\theta=30^\circ\) 与 \(90^\circ\) 的 \(dP/d\Omega\)。

6. 频率缩放（K03）

固定 \(p_0\)，频率加倍，偶极总平均功率变为多少？

7. 加速与减速（K04）

非相对论电荷加速度从 \(+a\hat x\) 改为 \(-a\hat x\)，Larmor 总功率如何？方向图如何？

8. 反作用尺度（K04）

为何电子 \(\tau_0\sim10^{-23}\ \mathrm s\) 提示 Abraham–Lorentz 项通常应作微扰，而不是独立初始自由度？

9. 辐射电阻（K05）

Hertzian dipole 满足 \(\ell/\lambda=0.0100\)。求 \(R_{rad}\)。

10. 匀速电荷（K01/K04）

实验室中匀速电荷的场在观察点随时间变化。它是否按本课定义持续辐射？

Exit ticket / 离堂检验

1. 从一条给定点电荷轨迹到远区功率，写出五步因果链：\(t_r\to\kappa,R\to\mathbf E_{rad}\to\mathbf S\to dP/d\Omega\)。
2. 面对“距离超过 \(2D^2/\lambda\) 就一定是远场”这句话，给出一个小天线反例并写出还缺少的尺度条件。

References and source notes / 参考资料与来源说明

以下直接资料均于 2026-08-28 实际打开并阅读；公式按本课 SI 约定统一，图示依据方程原创。

1. MIT OpenCourseWare 8.07, Electromagnetism II, Lecture Notes 17 — 延迟势与 Liénard–Wiechert 势。
2. MIT OpenCourseWare 22.105, Chapter 4: Radiation by Moving Charges — 移动点电荷的 Jacobian、\(\kappa\) 与场。
3. MIT OpenCourseWare 8.311, Problem Set 10: Retarded Green Function and Radiation — 速度场/加速度场分解、偶极和 Larmor 应用。
4. The Feynman Lectures on Physics, Vol. II Ch. 21: Solutions of Maxwell’s Equations with Currents and Charges — 延迟位置、\(1/r^2\) 与 \(1/r\)、偶极远场。
5. The Feynman Lectures on Physics, Vol. I Ch. 28: Electromagnetic Radiation — 非相对论横向加速度场与偶极方向图物理图景。
6. MIT OpenCourseWare RES.6-001, Chapter 12: Electrodynamic Fields — 偶极场、天线、复 Poynting 定理和辐射电阻。
7. University of Texas at Austin, The Larmor Formula — Larmor 与相对论 Liénard 推广。
8. University of Maryland PHYS 411, Notes and Supplements: Radiation and Radiation Reaction — 区域尺度、Abraham–Lorentz、runaway 与 reduction of order。
9. University of California, Santa Barbara, Self-Force and Radiation Reaction — Schott 能量接口、三阶方程与病态边界。

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复习与拓展

• Waves in Media and Waveguides 将把自由空间辐射延伸到介质、边界和导波结构。
• 天线阵列需把每个源元的相位延迟相干叠加，形成 array factor、增益与旁瓣。
• 相对论加速粒子进入 synchrotron、bremsstrahlung 与 radiation damping；量子高场下经典连续辐射也会失效。