电磁场的能量与动量 · Energy and Momentum of Electromagnetic Fields

Learning objectives / 学习目标

计算真空电场、磁场及平面波的 energy density，并区分瞬时量和周期平均量。
使用 $\mathbf S=\mu_0^{-1}\mathbf E\times\mathbf B$ 求能流方向、功率与强度。
由 $\mathbf g=\mathbf S/c^2$ 求场动量密度，比较吸收和镜面反射的 radiation pressure。
从 Maxwell equations 推导 differential 与 integral Poynting theorem，并解释 $\mathbf J\cdot\mathbf E$ 的符号。
对能量问题明确控制体、系统边界、法向与平均时间尺度。

Prerequisites / 先修知识

Maxwell's Equations。
Electromagnetic Waves： $$E=cB$$ 。
Capacitance and Stored Energy。
Inductance and RL Circuits。
功、功率、动量通量、divergence theorem。

Scope and conventions / 范围与约定

主体是真空经典场。定义固定控制体 $$V$$ ， $d\mathbf A$ 指向外。
$\mathbf S\cdot d\mathbf A>0$ 表示场能流出控制体； $\mathbf J\cdot\mathbf E>0$ 表示场对物质做正功。
强度 $I\equiv\langle S\rangle$ 默认是对许多周期的时间平均； $$E_0,B_0$$ 是 peak amplitude， $E_{\rm rms}=E_0/\sqrt2$ 。
radiation pressure 公式 $$I/c$$ 与 $$2I/c$$ 假定正入射、完全吸收或完全镜面反射；一般界面需作动量通量账本。
本课给出真空 momentum density；完整动量守恒还涉及 Maxwell stress tensor，留作扩展。

Notation and modeling contract / 符号与建模契约

Symbol	Meaning	SI unit
$u_E=\epsilon_0E^2/2$	electric energy density	$\mathrm{J\,m^{-3}}$
$u_B=B^2/(2\mu_0)$	magnetic energy density	$\mathrm{J\,m^{-3}}$
$$u=u_E+u_B$$	total field energy density	$\mathrm{J\,m^{-3}}$
$\mathbf S=\mu_0^{-1}\mathbf E\times\mathbf B$	Poynting vector	$\mathrm{W\,m^{-2}}$
$I=\langle S\rangle$	cycle-averaged intensity	$\mathrm{W\,m^{-2}}$
$\mathbf g=\mathbf S/c^2$	field momentum density	$\mathrm{kg\,m^{-2}\,s^{-1}}$
$p_{\rm rad}$	radiation pressure	Pa

Knowledge 1 — Electric and magnetic energy density / 电场与磁场能量密度

Knowledge ID: P04-U10-L03-K01

真空场的局域能量密度为

$u_E=\frac12\epsilon_0E^2, \qquad u_B=\frac{B^2}{2\mu_0}, \qquad u=u_E+u_B.$

这与集中参数结果一致：平行板电容器的 $U_C=\tfrac12CV^2$ 等于 $\int u_EdV$ ；长螺线管的 $U_L=\tfrac12LI^2$ 等于 $\int u_BdV$ （理想场近似）。

Energy and Momentum of Electromagnetic Fields — Knowledge 1 — Electric and magnetic energy density / 电场与磁场能量密度（图 1） — 图 1Knowledge 1 — Electric and magnetic energy density / 电场与磁场能量密度

对真空行波， $$E=cB$$ 且 $c^2=1/(\mu_0\epsilon_0)$ ，所以

$u_E=u_B=\frac12\epsilon_0E^2, \qquad u=\epsilon_0E^2=\frac{B^2}{\mu_0}.$

这等分只对真空 traveling plane wave 成立；驻波的某些位置/时刻可几乎全为电能或磁能。

Energy and Momentum of Electromagnetic Fields — Knowledge 1 — Electric and magnetic energy density / 电场与磁场能量密度（图 2） — 图 2Knowledge 1 — Electric and magnetic energy density / 电场与磁场能量密度

Knowledge 2 — Poynting vector and energy flux / 坡印廷矢量与能流

Knowledge ID: P04-U10-L03-K02

Poynting vector 定义为

$\boxed{\mathbf S=\frac{1}{\mu_0}\mathbf E\times\mathbf B}.$

它是单位面积、单位时间的电磁能流；跨曲面的净向外场功率为

$P_{\rm out}=\oint_{\partial V}\mathbf S\cdot d\mathbf A.$

对真空平面波，

$S=cu, \qquad I=\langle S\rangle=\frac12c\epsilon_0E_0^2 =\frac{cB_0^2}{2\mu_0} =c\epsilon_0E_{\rm rms}^2.$

Energy and Momentum of Electromagnetic Fields — Knowledge 2 — Poynting vector and energy flux / 坡印廷矢量与能流（图 3） — 图 3Knowledge 2 — Poynting vector and energy flux / 坡印廷矢量与能流

幅值加倍使 $$u$$ 和 $$I$$ 变为四倍；频率本身不直接进入经典平面波强度公式。对各向同性点源的远场，功率跨球面守恒给 $I=P/(4\pi r^2)$ 。

Energy and Momentum of Electromagnetic Fields — Knowledge 2 — Poynting vector and energy flux / 坡印廷矢量与能流（图 4） — 图 4Knowledge 2 — Poynting vector and energy flux / 坡印廷矢量与能流

在直流电路中，能量也可主要沿导线周围的场流入电阻，而非“随漂移电子高速穿过导线”。 $\mathbf S$ 提供电源、导体表面与负载之间的局域功率流图景。

Energy and Momentum of Electromagnetic Fields — Knowledge 2 — Poynting vector and energy flux / 坡印廷矢量与能流（图 5） — 图 5Knowledge 2 — Poynting vector and energy flux / 坡印廷矢量与能流

Knowledge 3 — Momentum density and radiation pressure / 动量密度与辐射压

Knowledge ID: P04-U10-L03-K03

真空中的 electromagnetic momentum density 为

$\boxed{\mathbf g=\frac{\mathbf S}{c^2}=\epsilon_0\mathbf E\times\mathbf B}.$

平面波有 $$g=u/c$$ 。正入射到面积 $$A$$ 的理想表面，时间平均压力由法向动量通量得到：

$p_{\rm abs}=\frac{I}{c}, \qquad p_{\rm refl}=\frac{2I}{c}.$

反射时动量从 $$+p$$ 变为 $$-p$$ ，表面获得两倍变化；这就是因子 2 的来源。

Energy and Momentum of Electromagnetic Fields — Knowledge 3 — Momentum density and radiation pressure / 动量密度与辐射压（图 6） — 图 6Knowledge 3 — Momentum density and radiation pressure / 动量密度与辐射压

Energy and Momentum of Electromagnetic Fields — Knowledge 3 — Momentum density and radiation pressure / 动量密度与辐射压（图 7） — 图 7Knowledge 3 — Momentum density and radiation pressure / 动量密度与辐射压

正入射且反射部分为镜面反射时，一般反射率 $$R$$ 、吸收率 $$A_a$$ 且无透射可写 $$p=(A_a+2R)I/c$$ ；若有透射或漫反射，必须把两侧介质中的完整角向动量通量和界面力一起列账，不能套用真空理想镜面公式。

Energy and Momentum of Electromagnetic Fields — Knowledge 3 — Momentum density and radiation pressure / 动量密度与辐射压（图 8） — 图 8Knowledge 3 — Momentum density and radiation pressure / 动量密度与辐射压

Knowledge 4 — Energy conservation and Poynting theorem / 能量守恒与坡印廷定理

Knowledge ID: P04-U10-L03-K04

由 Ampère–Maxwell law 点乘 $\mathbf E$ 、Faraday law 点乘 $\mathbf B/\mu_0$ ，并使用

$\nabla\cdot(\mathbf E\times\mathbf B) =\mathbf B\cdot(\nabla\times\mathbf E)-\mathbf E\cdot(\nabla\times\mathbf B),$

可得 differential Poynting theorem：

$\boxed{\frac{\partial u}{\partial t}+\nabla\cdot\mathbf S+\mathbf J\cdot\mathbf E=0.}$

对固定体积积分：

$\boxed{\frac{d}{dt}\int_Vu\,dV =-\oint_{\partial V}\mathbf S\cdot d\mathbf A -\int_V\mathbf J\cdot\mathbf E\,dV.}$

左侧是体内场能变化；右侧第一项是“负的净流出”，第二项是场对物质做功后的场能损失。若 $\mathbf J\cdot\mathbf E<0$ ，物质反而向场供能，例如电源区域。

Energy and Momentum of Electromagnetic Fields — Knowledge 4 — Energy conservation and Poynting theorem / 能量守恒与坡印廷定理（图 9） — 图 9Knowledge 4 — Energy conservation and Poynting theorem / 能量守恒与坡印廷定理

Energy and Momentum of Electromagnetic Fields — Knowledge 4 — Energy conservation and Poynting theorem / 能量守恒与坡印廷定理（图 10） — 图 10Knowledge 4 — Energy conservation and Poynting theorem / 能量守恒与坡印廷定理

Poynting vector 的局部路径在某些静态/近场配置并非唯一直觉图像，但穿过完整边界的积分与能量收支是可检验的。不要把某一根“能流线”误当成粒子轨迹。

Worked Examples / 完整例题

Worked Example 1 — Field energy in a capacitor

真空平行板面积 $A=0.0200\,\mathrm{m^2}$ 、间距 $d=1.00\,\mathrm{mm}$ 、电压 $V=500\,\mathrm V$ 。求 $$u_E$$ 与总能量。

系统与模型： 取板间场为系统，忽略 fringing； $$E=V/d$$ 。

$E=5.00\times10^5\,\mathrm{V\,m^{-1}},$

$u_E=\frac12\epsilon_0E^2=1.11\,\mathrm{J\,m^{-3}}.$

体积 $Ad=2.00\times10^{-5}\,\mathrm{m^3}$ ，

$U=u_EAd=2.21\times10^{-5}\,\mathrm J.$

检查： $\tfrac12CV^2$ ，其中 $C=\epsilon_0A/d=1.77\times10^{-10}\,\mathrm F$ ，给相同结果。三位有效数字。

Worked Example 2 — Intensity from field amplitude

真空正弦波 $E_0=120\,\mathrm{V\,m^{-1}}$ 。求 $$B_0$$ 、平均强度和峰值 Poynting magnitude。

坐标与模型： 取任一右手平面波三元组； $$E_0$$ 为峰值。

$B_0=\frac{E_0}{c}=4.00\times10^{-7}\,\mathrm T,$

$I=\frac12c\epsilon_0E_0^2=19.1\,\mathrm{W\,m^{-2}}, \qquad S_{\max}=2I=38.2\,\mathrm{W\,m^{-2}}.$

检查： 强度随 $$E_0^2$$ ；峰值是周期平均的两倍，仅因 $\langle\cos^2\rangle=1/2$ 。

Worked Example 3 — Force on an absorbing sail

面积 $A=12.0\,\mathrm{m^2}$ 的黑色平板正对 $I=1.36\times10^3\,\mathrm{W\,m^{-2}}$ 的光，求力；若为理想镜面又是多少？

系统与方向： 表面为研究对象， $$+x$$ 沿入射波传播；正入射，先全吸收。

$F_{\rm abs}=\frac{IA}{c} =\frac{(1.36\times10^3)(12.0)}{2.998\times10^8} =5.44\times10^{-5}\,\mathrm N.$

$F_{\rm refl}=2F_{\rm abs}=1.09\times10^{-4}\,\mathrm N.$

检查： 力沿 $$+x$$ ；数值虽小但持续。反射使法向动量反转，因而加倍。

Worked Example 4 — Poynting-theorem ledger

某固定体积内场能以 $0.80\,\mathrm W$ 增加，且场对其中物质做功 $1.50\,\mathrm W$ 。求净向外 Poynting flux。

系统边界： $d\mathbf A$ 向外；把 $P_{\rm out}=\oint\mathbf S\cdot d\mathbf A$ 定义为正向外。

$\frac{dU}{dt}=-P_{\rm out}-P_{\rm matter},$

$P_{\rm out}=-(0.80)-(1.50)=-2.30\,\mathrm W.$

解释： 负的“向外”表示净有 $2.30\,\mathrm W$ 场能流入；其中 $0.80\,\mathrm W$ 储存在场中， $1.50\,\mathrm W$ 交给物质。功率账本闭合。

Lesson synthesis / 本课综合

从 $$u$$ 、 $\mathbf S$ 、 $\mathbf g$ 到 $p_{\rm rad}$ ，分别回答“哪里储能”“向哪流、流多快”“场带多少动量”“界面每面积每时间收到多少动量”。Poynting theorem 把场能变化、边界能流与物质功率放进同一控制体账本。

Formula-and-decision table / 公式与决策表

Quantity	Formula	Use condition	Main caution
vacuum energy density	$u=\epsilon_0E^2/2+B^2/(2\mu_0)$	classical vacuum field	use instantaneous fields
energy flux	$\mathbf S=\mathbf E\times\mathbf B/\mu_0$	vacuum microscopic fields	direction is cross product
sinusoidal intensity	$I=c\epsilon_0E_0^2/2$	vacuum plane wave, peak amplitude	RMS removes factor $$1/2$$
momentum density	$\mathbf g=\mathbf S/c^2$	vacuum	momentum conservation also needs stress
radiation pressure	$$I/c$$ or $$2I/c$$	normal full absorption/reflection	partial transmission needs full ledger
energy conservation	$\partial_tu+\nabla\cdot\mathbf S+\mathbf J\cdot\mathbf E=0$	fixed coordinates	sign of $\mathbf J\cdot\mathbf E$ matters

Model boundaries / 模型边界

真空 $$u_E,u_B$$ 不可直接用来替代强色散/有损介质中的完整能量表达。
$I=P/(4\pi r^2)$ 只适用于各向同性远场且无吸收；天线辐射有角分布。
完美吸收体、完美反射体是边界模型；真实表面同时吸收、反射、透射、散射。
$\mathbf g=\mathbf S/c^2$ 是真空形式；介质中的 Abraham–Minkowski momentum 问题需要更精细的场—物质系统定义。
电磁场的经典连续能量密度不描述单光子探测统计。

Misconception clinic / 误区诊所

“只有带电粒子才储存电磁能。” 能量密度存在于场所在空间，真空波离开源后仍携能。
“ $\mathbf S$ 就等于力。” 它是能流密度；除以 $$c$$ 并结合界面动量变化才得到压力。
“反射面不吸收能量，所以没有力。” 能量可不变而动量方向反转，故仍有压力且理想情况下为 $$2I/c$$ 。
“ $\mathbf J\cdot\mathbf E>0$ 表示物质给场供能。” 正好相反：场对物质做正功，场能减少。
“平面波的电能与磁能总是空间平均才相等。” 真空单向平面波中二者在每一点每一时刻相等；驻波不然。

Practice and retrieval / 练习与提取

K01 量纲： 证明 $\epsilon_0E^2$ 的单位是 $\mathrm{J\,m^{-3}}$ 。

Answer

$(\mathrm{C/(V\,m)})(\mathrm{V^2/m^2})=\mathrm{CV/m^3}=\mathrm{J/m^3}$ 。

K01 比例： 场幅均加倍时总能量密度如何变？

Answer

$$u$$ 对 $$E^2,B^2$$ 成正比，故变为四倍。

K02 方向： $\mathbf E\parallel-x$ 、 $\mathbf B\parallel+z$ ， $\mathbf S$ 指向何方？

Answer

$(-\hat x)\times\hat z=+\hat y$ ，故 $\mathbf S\parallel+y$ 。

K02 定量： $I=800\,\mathrm{W\,m^{-2}}$ ，求真空波 $E_{\rm rms}$ 。

Answer

$E_{\rm rms}=\sqrt{\frac{I}{c\epsilon_0}}=5.49\times10^2\,\mathrm{V\,m^{-1}}.$

K02 概念： 为什么点源远场振幅按 $$1/r$$ 而强度按 $$1/r^2$$ ？

Answer

总功率跨球面守恒，面积按 $$r^2$$ ；强度按 $$1/r^2$$ 。又因 $I\propto E_0^2$ ，振幅按 $$1/r$$ 。

K03 定量： 完全吸收表面受 $I=300\,\mathrm{W\,m^{-2}}$ ，求压力。

Answer

$p=I/c=1.00\times10^{-6}\,\mathrm{Pa}.$

K03 比较： 相同强度、正入射时镜面与黑面受力之比是多少？

Answer

理想镜面动量反转，压力 $$2I/c$$ ；黑面为 $$I/c$$ ，比值 2。

K04 符号： 若 $P_{\rm out}=3\,\mathrm W$ 、 $\int\mathbf J\cdot\mathbf E\,dV=-5\,\mathrm W$ ，场能变化率是多少？

Answer

$dU/dt=-3-(-5)=+2\,\mathrm W.$ 物质向场供能 5 W，净流出 3 W，余 2 W 储存。

K04 推导： 写出推导 Poynting theorem 所需的向量恒等式。

Answer

$\nabla\cdot(\mathbf E\times\mathbf B)=\mathbf B\cdot(\nabla\times\mathbf E)-\mathbf E\cdot(\nabla\times\mathbf B)$ 。

综合： 为什么只算 $$u$$ 不能知道能量流向？

Answer

$$u$$ 是标量，只给局域储量；方向与跨界功率由矢量 $\mathbf S$ 给出。驻波还可有非零 $$u$$ 而平均净能流为零。

Exit ticket / 离堂检核

画一个控制体并用一句话解释 Poynting theorem 三项的符号。
从给定 $$E_0$$ 出发，依次求 $$u(t)$$ 、 $$I$$ 、 $$g$$ 、吸收压与反射压，并指出哪些是瞬时、哪些是平均。

References and source notes / 参考资料与来源说明

Source-to-content map

Source	Used for	Knowledge ID / section	Model boundary or convention
OpenStax University Physics Vol. 2, §16.3 Energy Carried by Electromagnetic Waves	energy density, Poynting vector, intensity	K01–K02	sinusoidal vacuum plane waves
OpenStax University Physics Vol. 2, §16.4 Momentum and Radiation Pressure	momentum transfer, absorbing/reflecting pressure	K03	normal incidence ideal surfaces
MIT OCW 6.641, Energy, Power Flow, and Forces	integral/differential Poynting theorem	K01–K04	continuum macroscopic energy ledger
MIT OCW 2.71, Lecture 14: Maxwell's equations; polarization; Poynting's vector	irradiance and optical field conventions	K01–K02	harmonic fields
The Feynman Lectures on Physics, Vol. II, Ch. 27: Field Energy and Field Momentum	energy conservation and $\mathbf g=\mathbf S/c^2$ interpretation	K01–K04	classical vacuum field

资料和链接实际核对日期：2026-08-28。图示依据方程原创绘制；例题与练习独立复算。

复习与拓展

Boundary-Value and Multipole Methods：用边界条件确定场，再积分能量与力。
Radiation from Accelerated Charges：远区 $\mathbf S$ 的角分布与总辐射功率。
Waves in Media and Waveguides：介质能量速度、损耗和模式功率。