不同参考系中的电场与磁场

Learning objectives / 学习目标

1. 在明确 boost 方向后变换 \(\mathbf E,\mathbf B\) 的平行与垂直分量，并检验低速、逆变换和 invariants。
2. 用中性载流导线的 four-current 解释磁力如何在另一参考系中包含 electrostatic contribution，且不把磁场说成“虚假的”。
3. 由 \(F^{\mu\nu}\) 的反对称结构读出 \(\mathbf E,\mathbf B\)，计算两个 Lorentz invariants。
4. 变换 \(J^\mu=(c\rho,\mathbf J)\)，用 \(dp^\mu/d\tau=qF^{\mu\nu}U_\nu\) 还原三维 Lorentz force 和 power equation。
5. 从两条 tensor equations 还原四条 Maxwell equations，并解释 covariance、continuity 与 gauge potential 的关系。

Prerequisites / 先修知识

• Lorentz Transformation：standard boost、\(\gamma\) 与低速极限。
• Four-Vectors：contravariant/covariant components 与 invariant scalar product。
• Relativistic Mechanics：four-velocity、four-momentum 与 proper time。
• Maxwell equations、Lorentz force、charge continuity 和 SI units。

Scope and conventions / 范围与约定

• 使用 SI units、Minkowski coordinates \(x^\mu=(ct,x,y,z)\) 与 metric \(\eta_{\mu\nu}=\operatorname{diag}(1,-1,-1,-1)\)。
• Levi-Civita convention 取 \(\epsilon^{0123}=+1\)；改变 metric/sign convention 会改变若干 tensor components 的符号，但不改变可测预测。
• \(S'\) 相对 \(S\) 以速度 \(\mathbf v\) 运动；standard example 取 \(\mathbf v=v\hat{\mathbf x}\)。以下带 prime 的场是同一 spacetime event 在 \(S'\) 的测量。
• Field transformation 使用 \(\mathbf E'_\perp=\gamma(\mathbf E_\perp+\mathbf v\times\mathbf B)\)、 \(\mathbf B'_\perp=\gamma(\mathbf B_\perp-\mathbf v\times\mathbf E/c^2)\)；inverse 由 \(\mathbf v\to-\mathbf v\)。
• Sources 和 fields 均在同一 event 比较；不能只变换场而把观察点坐标留在错误的 event。
• 只讨论真空 microscopic Maxwell equations；介质中的 \(\mathbf D,\mathbf H\) 还涉及 material four-velocity 与 constitutive tensor。

Notation and modeling contract / 符号与建模契约

Knowledge 1 — Transformation of electric and magnetic fields / 电场与磁场变换

Knowledge ID: P06-U04-L01-K01

对 \(S'\) 相对 \(S\) 的 boost velocity \(\mathbf v\)，分解任意 vector 为平行、垂直于 \(\mathbf v\) 的分量。场变换为

\[\boxed{\mathbf E'_\parallel=\mathbf E_\parallel, \qquad \mathbf B'_\parallel=\mathbf B_\parallel,}\]

\[\boxed{\mathbf E'_\perp=\gamma (\mathbf E_\perp+\mathbf v\times\mathbf B),}\]

\[\boxed{\mathbf B'_\perp=\gamma \left(\mathbf B_\perp-\frac{\mathbf v\times\mathbf E}{c^2}\right).}\]

平行分量不混合，垂直分量混合。这不是“两个独立矢量碰巧互相产生”，而是同一 antisymmetric spacetime tensor 在不同 observer 的 time–space splitting。

对 \(\mathbf v=v\hat{\mathbf x}\) 展开：

\[E'_x=E_x, \quad E'_y=\gamma(E_y-vB_z), \quad E'_z=\gamma(E_z+vB_y),\]

\[B'_x=B_x, \quad B'_y=\gamma\left(B_y+\frac{vE_z}{c^2}\right), \quad B'_z=\gamma\left(B_z-\frac{vE_y}{c^2}\right).\]

两个 frame-independent combinations 是

\[\boxed{\mathbf E^2-c^2\mathbf B^2=\text{invariant}},\]

\[\boxed{\mathbf E\cdot\mathbf B=\text{invariant}}.\]

它们是强力错误检查。若 \(\mathbf E\cdot\mathbf B\ne0\)，任何 inertial frame 都不能把其中一个场完全变为零；若场非零且两 invariants 都为零，则是 plane-wave-like null field，不能通过亚光速 boost 找到纯电或纯磁静态 frame。

Knowledge 2 — Magnetism as a relativistic aspect of electromagnetism / 磁性作为电磁相互作用的相对论表现

Knowledge ID: P06-U04-L01-K02

考虑 laboratory frame \(S\) 中一条宏观中性直导线：正离子晶格静止，电子漂移形成 current。导线外 \(\rho=0\)，但 \(\mathbf J\ne0\)，故有 magnetic field。运动 test charge 受到

\[\mathbf f=q(\mathbf E+\mathbf u\times\mathbf B).\]

换到 test charge 瞬时静止的 \(S'\)，正、负载流成分因 Lorentz contraction 与 simultaneity slicing 获得不同 density；总 \(\rho'\) 一般不再为零，因此出现 electric field。Four-current boost 直接给

\[\rho'=\gamma_v\left(\rho-\frac{\mathbf v\cdot\mathbf J}{c^2}\right).\]

Lab 中 \(\rho=0\) 仍可有 \(\rho'\ne0\)。\(S\) 中主要称为 magnetic force 的效应，在 \(S'\) 中可部分或全部表现为 electric force；变换后的总 four-force 给相同 worldline。

“Magnetism is relativistic” 的正确含义是 electric/magnetic splitting observer-dependent；不是说 magnetic field 不真实或只在高速时才存在。日常导线中 electron drift 很慢，但 Coulomb forces of the two species almost cancel，极小的 relativistic density difference 足以留下可测 magnetic effect；\(1/c^2=\mu_0\varepsilon_0\) 正是尺度连接。

Knowledge 3 — Electromagnetic field tensor / 电磁场张量

Knowledge ID: P06-U04-L01-K03

在本课 metric/sign convention 下定义

\[F^{\mu\nu}= \begin{pmatrix} 0&-E_x/c&-E_y/c&-E_z/c\\ E_x/c&0&-B_z&B_y\\ E_y/c&B_z&0&-B_x\\ E_z/c&-B_y&B_x&0 \end{pmatrix}.\]

\(F^{\mu\nu}=-F^{\nu\mu}\)，六个独立分量恰对应三分量 \(\mathbf E\) 与三分量 \(\mathbf B\)。Lorentz transformation 不是把六个数逐个猜测，而是 tensor law

\[\boxed{F'^{\mu\nu}=\Lambda^\mu{}_{\alpha} \Lambda^\nu{}_{\beta}F^{\alpha\beta}.}\]

上一节的 field transformation 正是这条式子的三维展开。

Dual tensor 定义为

\[\widetilde F^{\mu\nu}=\frac12\epsilon^{\mu\nu\alpha\beta}F_{\alpha\beta}.\]

两个 scalar contractions 与三维 invariants 成正比：

\[F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}=2\left(B^2-\frac{E^2}{c^2}\right),\]

\[F_{\mu\nu}\widetilde F^{\mu\nu}=-\frac{4}{c}\mathbf E\cdot\mathbf B\]

（第二式符号随 \(\epsilon\) convention 改变）。Tensor 形式的真正价值是把 transformation、force、field equations 和 invariants 放进同一对象，而不是为了把简单三维计算复杂化。

Knowledge 4 — Four-current and covariant Lorentz force / 四维电流与协变洛伦兹力

Knowledge ID: P06-U04-L01-K04

Charge density 与 current density 组成 four-current

\[\boxed{J^\mu=(c\rho,\mathbf J).}\]

对 \(x\) boost：

\[\rho'=\gamma\left(\rho-\frac{vJ_x}{c^2}\right), \qquad J'_x=\gamma(J_x-v\rho),\]

\[J'_y=J_y,\qquad J'_z=J_z.\]

Charge conservation 是 Lorentz scalar equation

\[\boxed{\partial_\mu J^\mu=0},\]

即 \(\partial\rho/\partial t+\nabla\cdot\mathbf J=0\)。不同 frame 的 density 不必相同，因为“某一时刻单位体积内的电荷”涉及 observer-dependent simultaneity hypersurface；但总电荷在适当封闭系统中守恒。

Particle four-velocity \(U^\mu=\gamma_u(c,\mathbf u)\)，four-momentum \(p^\mu=(E/c,\mathbf p)\)。Covariant Lorentz force law 为

\[\boxed{\frac{dp^\mu}{d\tau}=qF^{\mu\nu}U_\nu.}\]

空间分量还原

\[\frac{d\mathbf p}{dt}=q(\mathbf E+\mathbf u\times\mathbf B),\]

时间分量还原 power equation

\[\frac{dE}{dt}=q\mathbf E\cdot\mathbf u.\]

Magnetic force 不做瞬时功的三维陈述，正是 \(\mathbf u\cdot(\mathbf u\times\mathbf B)=0\)；但另一个 frame 的 electric/magnetic work split 可不同，总 energy–momentum transformation 仍一致。

Knowledge 5 — Covariant Maxwell equations / 协变麦克斯韦方程

Knowledge ID: P06-U04-L01-K05

四条 vacuum microscopic Maxwell equations 可压缩成两条 tensor equations：

\[\boxed{\partial_\mu F^{\mu\nu}=\mu_0J^\nu},\]

\[\boxed{\partial_\mu\widetilde F^{\mu\nu}=0}.\]

第一组的 \(\nu=0\) 是 Gauss electric law，\(\nu=i\) 是 Ampère–Maxwell law；第二组的 \(\nu=0\) 是 \(\nabla\cdot\mathbf B=0\)，\(\nu=i\) 是 Faraday law。因为两边都按 tensor law 变换，一个 inertial frame 中成立就会在所有 inertial frames 中成立，这就是 Lorentz covariance。

对第一式再取 \(\partial_\nu\)：

\[\partial_\nu\partial_\mu F^{\mu\nu}=0\]

（symmetric derivatives 与 antisymmetric \(F\) contraction 为零），所以自动得到 \(\partial_\nu J^\nu=0\)。局域 charge conservation 不是额外补丁，而与 Maxwell source equation 的结构相容。

若 four-potential \(A^\mu=(\phi/c,\mathbf A)\)，则

\[F^{\mu\nu}=\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu.\]

这一定义自动满足 homogeneous equations，并具有 gauge freedom

\[A^\mu\to A^\mu+\partial^\mu\Lambda.\]

Lorenz gauge（注意是 Ludvig Lorenz）\(\partial_\mu A^\mu=0\) 下，source equation 变为 wave equation

\[\Box A^\nu=\mu_0J^\nu, \qquad \Box=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\nabla^2\]

（本课 sign convention）。Gauge choice 改 representation，不改变 \(F^{\mu\nu}\)；Lorentz covariance 也不等于“每个 component 在每个 frame 数值相同”。

Worked Examples / 完整例题

Worked Example 1 — Transforming a pure electric field

在 \(S\) 中 \(\mathbf E=(0,3.00\times10^5,0)\,\mathrm{V\,m^{-1}}\)、\(\mathbf B=0\)。\(S'\) 相对 \(S\) 以 \(v=0.600c\) 沿 \(+x\) 运动。求 \(\mathbf E',\mathbf B'\) 并检查 invariant。

研究对象： 同一 event 的 electromagnetic field。
系统/参考系： 两个惯性系，boost \(\mathbf v=+0.600c\hat{\mathbf x}\)。
坐标： 右手系，\(\hat{\mathbf x}\times\hat{\mathbf y}=\hat{\mathbf z}\)。
模型理由： Vacuum Lorentz field transformation，\(\gamma=1.25\)。

\[E'_y=\gamma E_y=3.75\times10^5\,\mathrm{V\,m^{-1}}.\]

\[B'_z=-\gamma\frac{vE_y}{c^2} =-\gamma\beta\frac{E_y}{c} =-7.51\times10^{-4}\,\mathrm T.\]

其余分量为零。检查：

\[E'^2-c^2B'^2 =(3.75\times10^5)^2-c^2(7.51\times10^{-4})^2 \simeq9.00\times10^{10}\,\mathrm{V^2\,m^{-2}},\]

等于 \(E^2\)（舍入误差内）；\(\mathbf E'\cdot\mathbf B'=0\)。方向也正确：\(-\mathbf v\times\mathbf E/c^2\) 指向 \(-z\)。三位有效数字。

Worked Example 2 — Four-current of a neutral conductor

\(S\) 中某小体元宏观中性，\(\rho=0\)，但 \(\mathbf J=(1.00\times10^6,0,0)\,\mathrm{A\,m^{-2}}\)。求沿 \(+x\) 以 \(v=0.800c\) 运动的 \(S'\) 所测 \(\rho',J'_x\)。

研究对象： 指定 event 附近的 total four-current。
系统/参考系： \(S'\) 相对 \(S\) 的 standard \(+x\) boost。
坐标： Current 沿 \(+x\)。
模型理由： \(J^\mu=(c\rho,\mathbf J)\) 作为 four-vector，\(\gamma=1.667\)。

\[\rho'=\gamma\left(0-\frac{vJ_x}{c^2}\right) =-\gamma\frac{0.800J_x}{c} =-4.45\times10^{-3}\,\mathrm{C\,m^{-3}}.\]

\[J'_x=\gamma J_x=1.67\times10^6\,\mathrm{A\,m^{-2}}.\]

检查： \(vJ/c^2\) 的单位为 \(\mathrm{C\,m^{-3}}\)。Four-vector norm：

\[c^2\rho'^2-J_x'^2\simeq-J_x^2,\]

与 \(S\) 中 \(c^2\rho^2-J_x^2\) 一致。负 \(\rho'\) 符合 boost 方向与 positive conventional current 的 sign convention。

Worked Example 3 — Classifying a field with invariants

某 event 在 \(S\) 中 \(\mathbf E=(3.00\times10^6,0,0)\,\mathrm{V\,m^{-1}}\)，\(\mathbf B=(5.00\times10^{-3},0,0)\,\mathrm T\)。问是否存在惯性系使 \(\mathbf B'=0\) 或 \(\mathbf E'=0\)。

研究对象： 单一 event 的 field class。
系统/参考系： 任意 inertial boosts。
坐标： 两场均沿 \(+x\)。
模型理由： 用 Lorentz scalar invariants，而非试遍 boost。

\[\mathbf E\cdot\mathbf B=(3.00\times10^6)(5.00\times10^{-3}) =1.50\times10^4\ne0.\]

因此任何 frame 都有 \(\mathbf E'\cdot\mathbf B'=1.50\times10^4\)，不可能让任一场完全为零。另一个 invariant 为

\[E^2-c^2B^2=9.00\times10^{12}-2.25\times10^{12} =6.75\times10^{12}\,\mathrm{V^2\,m^{-2}}.\]

检查： \(cB\) 与 \(E\) 同单位；非零 dot invariant 已足以排除 pure-electric/pure-magnetic frame。结论不依赖 boost 方向。

Worked Example 4 — Covariant Lorentz force reduced to 3-force

电荷 \(q=2.00\,\mathrm{nC}\) 在 \(S\) 中以 \(\mathbf u=0.600c\hat{\mathbf x}\) 运动；\(\mathbf E=1.00\times10^4\hat{\mathbf y}\,\mathrm{V\,m^{-1}}\)，\(\mathbf B=20.0\,\mu\mathrm T\hat{\mathbf z}\)。求三维 force、power 与 four-force 空间分量。

研究对象： 单个 test charge；忽略 radiation reaction。
系统/参考系： Fields 视为外加，\(S\) 为惯性系。
坐标： \(\hat x\times\hat z=-\hat y\)。
模型理由： 从 \(dp^\mu/d\tau=qF^{\mu\nu}U_\nu\) 的三维展开计算。

\[uB=(0.600)(2.998\times10^8)(20.0\times10^{-6}) =3.60\times10^3\,\mathrm{V\,m^{-1}}.\]

\[\mathbf f=q(E_y-uB)\hat{\mathbf y} =(2.00\times10^{-9})(6.40\times10^3)\hat{\mathbf y} =1.28\times10^{-5}\hat{\mathbf y}\,\mathrm N.\]

因 \(\mathbf E\perp\mathbf u\)，

\[\frac{dE}{dt}=q\mathbf E\cdot\mathbf u=0.\]

\(\gamma_u=1.25\)，故 four-force spatial part \(d\mathbf p/d\tau=\gamma_u\mathbf f\)：

\[\mathbf K_{space}=1.60\times10^{-5}\hat{\mathbf y}\,\mathrm N.\]

检查： \(uB\) 与 \(E\) 同为 \(\mathrm{V\,m^{-1}}\)；force 与 velocity 垂直所以瞬时 power 为零；若 \(B\) 增至 \(E/u\)，两项恰抵消。三位有效数字。

Lesson synthesis / 本课综合

相对论电磁问题的可靠流程是：先声明 \(S'\) 相对 \(S\) 的 boost velocity；只比较同一 event；把场或 sources 组装为 \(F^{\mu\nu}\)、\(J^\mu\) 后用 tensor/vector law 变换；再按新 observer 的 time–space split 读出 \(\mathbf E',\mathbf B',\rho',\mathbf J'\)；用 covariant Lorentz force 求 worldline；最后以 \(E^2-c^2B^2\)、\(\mathbf E\cdot\mathbf B\)、charge continuity 和四条 Maxwell equations 检查。Electric 和 magnetic labels 可变，\(F\) 的 spacetime structure、causal dynamics 与 scalar predictions 不变。

Formula-and-decision table / 公式与决策表

Model boundaries / 模型边界

• Field transformation formulas apply between inertial frames in flat spacetime; accelerated coordinates and curved spacetime require tetrads/covariant derivatives。
• A field at an event must be transformed together with event coordinates; a global static configuration in one frame is generally time-dependent in another。
• “Magnetism from relativity” wire argument assumes a well-defined macroscopic current and neglects lattice stresses、surface charge distributions and finite geometry。
• \(F^{\mu\nu}\) sign pattern is convention-dependent; mixing a matrix from one convention with force/Maxwell equations from another produces silent sign errors。
• Four-current treatment is microscopic/vacuum or macroscopic free-current only when definitions are explicit；polarization/magnetization in media require additional tensors。
• Point-particle Lorentz force ignores radiation reaction and quantum electrodynamics。
• Classical Maxwell covariance does not by itself include quantum vacuum polarization or charge quantization。

Misconception clinic / 误区诊所

1. “\(\mathbf E\) 和 \(\mathbf B\) 都是不变量。” 它们是 observer-dependent components；只有特定 scalar combinations 与 tensor relation invariant。
2. “磁场只是错觉。” 它是特定 observer 对真实 \(F^{\mu\nu}\) 的一部分测量，可产生可测 force 与 energy–momentum transport。
3. “中性导线在所有 frame 都中性。” \(\rho\) 与 longitudinal current 混合；\(\rho=0\) 不保证 \(\rho'=0\)。
4. “Covariant 表示每个 component 不变。” Covariance 指方程在变换后保持同一 tensor form，不是数值不变。
5. “Gauge transformation 是换参考系。” Gauge 改 potential representation，Lorentz transformation 改 observer coordinates；两者是不同对称性。

Practice and retrieval / 练习与提取

1. K01： 若 boost 与 \(\mathbf E\) 平行且 \(\mathbf B=0\)，场如何变？

2. K01： \(S\) 中 \(\mathbf E=0\)、\(\mathbf B=B_0\hat z\)，\(S'\) 以 \(v\hat x\) 运动。求非零分量方向。

3. K02： Lab-neutral current density \(J_x>0\)，沿 \(+x\) boost 后 \(\rho'\) 的符号是什么？

4. K02： 为什么小 drift speed 仍能有明显 magnetic force？

5. K03： 写出 \(F^{\mu\nu}\) 的独立分量数并解释。

6. K03： Plane wave 满足 \(E=cB\) 且 \(\mathbf E\perp\mathbf B\)。两个 field invariants 是多少？

7. K04： \(\rho=2.00\,\mathrm{C\,m^{-3}}\)、\(J_x=0\)，以 \(v=0.600c\) boost。求 \(\rho'\) 与 \(J'_x\)。

8. K04： Magnetic force 为什么不出现在 \(dE/dt=q\mathbf E\cdot\mathbf u\)？

9. K05： 从 \(\partial_\mu F^{\mu\nu}=\mu_0J^\nu\) 为什么必有 continuity equation？

10. K05： Gauge transformation 会改变 \(\mathbf E\) 或 \(\mathbf B\) 吗？

Exit ticket / 离堂检核

1. 从本课 \(F^{\mu\nu}\) matrix 任选一个 spatial index，显式验证 \(qF^{i\nu}U_\nu\) 给 \(\gamma_uq(\mathbf E+\mathbf u\times\mathbf B)_i\)。
2. 给出一个 \(S\) 中纯电场经 boost 出现磁场的具体方向例，并用两个 invariants 检查结果；随后说明为何这不违反“同一物理事件只有一个电磁场”。

References and source notes / 参考资料与来源说明

Source-to-content map

资料和链接实际打开核对日期：2026-08-29。不同来源的 metric、\(F\) matrix 与 boost sign 不同；本文已统一为 Scope 中声明的 convention，并以 MIT/Feynman sources 及三维 Lorentz force、Gauss law 与 invariants 交叉核对。图示原创，例题与练习独立复算。

复习与拓展

• Four-Vectors：返回检查 index raising/lowering 与 scalar contractions。
• Equivalence and Curved Spacetime：把 partial derivatives、global inertial frames 推广到 local tetrads 与 covariant derivatives。
• Classical field theory：由 \(-\tfrac1{4\mu_0}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}-J_\mu A^\mu\) 的 action 推导 Maxwell equations。
• Quantum electrodynamics：把 \(A^\mu\) 升格为 gauge field operator，并保持 local \(U(1)\) symmetry。